Bài toán xác định tham số trong một lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Kế, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Bài toán xác địnhtham số trong một lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

− − − ∗ ∗ ∗ − − −

TÔ THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC

VI BIẾN PHÂN CẤP PHÂN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

− − − ∗ ∗ ∗ − − −

TÔ THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC

VI BIẾN PHÂN CẤP PHÂN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Đình Kế

HÀ NỘI-2018

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình.Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong nhàtrường đã dạy dỗ, chỉ bảo tận tình trong quá trình em học tập tại trường

Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Bộ môn Toán Giảitích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điềukiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn của mình Đặc biệt, em xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trần Đình Kế, người đãtrực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiệnluận văn

Cuối cùng, em xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp,những người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với emtrong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, tháng 10 năm 2018

Tác giả

Tô Thị Huyền

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Kế, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Bài toán xác địnhtham số trong một lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số"được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2018

Tác giả

Tô Thị Huyền

6Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

6Nửa nhóm các toán tử tuyến tính

1.1

7Giải tích bậc phân số

1.2

10Các bất đẳng thức dạng Gronwall

1.3

12Chương 2 : Tính giải được của bài toán xác định tham số

12Bài toán tương đương

2.1

16

Sự tồn tại nghiệm 2.2

25Chương 3 : Tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm

25Ước lượng theo dữ kiện

3.1

283.2 Áp dụng

32Kết luận chung

33Tài liệu tham khảo

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức vi biến phân (DVI) là mô hình kết hợp giữa phương trình

vi phân và bất đẳng thức biến phân, dùng để mô tả các bài toán trong cơhọc tiếp xúc, động lực học kinh tế, mạng lưới điện Mô hình này bắt đầuđược nghiên cứu một cách hệ thống từ công trình của Pang và Stewarttrong trường hợp hữu hạn chiều, sau đó được mở trọng cho trường hợp vôhạn chiều trong một số công trình gần đây Xét mô hình DVI sau

Dα0x(t) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)), t ∈ (0, T ] (0.1)

hF (x(t)) + G(u(t)), v − u(t)i ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ] (0.2)

trong đó (x, u) lấy giá trị trong X ×U với X là một không gian Banach và U

là một không gian Hilbert, K ⊂ U là một tập lồi đóng, D0α là đạo hàm cấp

α theo nghĩa Caputo, A là toán tử sinh của một C0− nửa nhóm, B, h, F, G

là các hàm cho trước Bài toán tìm bộ ba (x, u, z) ∈ C([0, T ]; X) × X vớiđiều kiện bổ sung

Z T 0

là một bài toán ngược dạng xác định tham số, là vấn đề nghiên cứu có tínhthời sự trong thời gian gần đây Quan tâm đến lớp bài toán này, chúng tôichọn đề tài

Bài toán xác định tham số trong một lớp bất đẳng thức vi biến

phân cấp phân số,làm nội dung nghiên cứu trong luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm điều kiện đảm bảo tính giải được duy nhất của bài toán (0.1)-(0.4)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu lý thuyết bất đẳng thức vi biến phân;

2 Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm là giải tích bậc phân số

3 Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động

4 Nghiên cứu các điều kiện giải được duy nhất đối với bài toán ngược(0.1)-(0.4)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số

• Phạm vi nghiên cứu: điều kiện giải được duy nhất của bài toán ngược

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số công cụ của giải tích hàm:

• Lý thuyết điểm bất động;

• Bất đẳng thức biến phân;

• Lý thuyết nửa nhóm và giải tích bậc phân số

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Trình bày chi tiết một số kết quả về tính giải được duy nhất đối với bàitoán (0.1)-(0.4), dựa vào công trình [9]

bù vi phân Thực tế DVIs mô tả các mô hình toán học ở đó là nơi giaothoa của hệ động lực và tối ưu DVIs bậc phân số (FrDVIs) được đề xuấtđầu tiên trong [14] Trong [14], các tác giả sử dụng phương pháp bậc tô

pô để nghiên cứu tính giải được của FrDVIs Chú ý rằng các FrDVIs trong[14] được thiết lập trong không gian hữu hạn chiều Tuy nhiên, nếu phươngtrình tiến hoá trong DVIs miêu tả một phương trình đạo hàm riêng (PDE),chúng ta có DVIs vô hạn chiều DVIs trong không gian vô hạn chiều thuhút sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học [2, 13] Trong [2, 13]các tác giả đã nghiên cứu các câu hỏi liên quan tới tính giải được và dángđiệu tiệm cận nghiệm của DVIs mà ràng buộc là phương trình tiến hoácấp một trong không gian Banach.

Xét FrDVI (0.5)-(0.7), chú ý rằng, phương trình tiến hoá bậc phân số(0.5) được sử dụng để mô tả các quá trình động lực học trong các vật liệu

có nhớ Các phương trình tiến hoá bậc phân số cũng được sử dụng để miêu

tả quá trình khuếch tán bất thường (xem [10, 20]) Gần đây, bài toán xácđịnh số hạng nguồn cho PDEs bậc phân số nhận được sự quan tâm củanhiều nhà toán học Đối với bài toán tuyến tính, các tác giả đã nghiên cứubài toán xác định số hạng nguồn sử dụng phương pháp chính quy hoá [19],hoặc phương pháp thác triển duy nhất [5] Tuy nhiên, so sánh với trườnghợp tuyến tính, bài toán xác định số hạng nguồn trong bài toán ngược phituyến còn ít được biết đến Trong [17], bài toán xác định số hạng nguồnphi tuyến được nghiên cứu dựa trên nguyên lý cực đại cho phương trình viphân bậc phân số Sử dụng phương pháp định lý điểm bất động, các tácgiả trong [23] đã nghiên cứu bài toán xác định số hạng nguồn cho phươngtrình truyền sóng bậc phân số nửa tuyến tính, ở đó B Wu và cộng sựchứng minh kết quả về sự tồn tại địa phương Cần chú ý rằng, không giốngnhư các phương trình bậc nguyên, chúng ta không thể kéo dài nghiệm chophương trình bậc phân vì nghiệm của phương trình bậc phân số không cótính chất nửa nhóm Ngoài ra sử dụng phương pháp điểm bất động nghiêncứu bài toán ngược có thể xem [15, 16]

Vấn đề đặt ra là xác định đại lượng ràng buộc của FrDVI (0.5)-(0.7)

Cụ thể, trong biểu diễn B(u(t))z của phương trình (0.5), số hạng B(u(t))

là biên độ của ràng buộc, số hạng z ∈ X là hướng của ràng buộc và được

giả sử là chưa biết Số hạng này sẽ được xác định bởi sử dụng đo đạc (0.8).Bài toán (FrIP) sẽ được nghiên cứu như sau Dưới giả sử A là toán tửquạt,ta chứng minh nghiệm tích phân của (0.5)-(0.7) cũng là nghiệm cổđiển Sử dụng định lý điểm bất động Schauder ta chứng minh sự tồn tạinghiệm toàn cục (x, u, z) với mỗi dữ kiện ban đầu (ξ, ψ) Bổ sung thêmgiả thiết hệ số Lipschitz của F nhỏ, chứng minh ánh xạ (ξ, ψ) 7→ (x, u, z)Lipschitz địa phương từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × C([0, T ]; U ) × X, từ

đó nhận được kết quả về tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm.Luận văn nhắc lại các tính chất của toán tử giải thức bậc phân số tươngứng với phần tuyến tính của (0.5) Trong mục 3, nghiên cứu sự tồn tại vàchính quy của nghiệm tích phân của (FrIP) Mục 4 dẫn ra tính duy nhất

và tính Lipschitz của ánh xạ (ξ, ψ) 7→ (x, u, z) Phần cuối luận văn đưa ramột áp dụng của kết quả trừu tượng cho một hệ PDEs

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nửa nhóm các toán tử tuyến tính

Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm [1]

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói rằng {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm các ánh xạtuyến tính bị chặn trên X nếu S(t) ∈ L(X) với mọi t ≥ 0, và

Bây giờ chúng ta sẽ nêu định nghĩa nửa nhóm giải tích Với δ ∈ (0, π)

và σ ∈ (0, π) ta định nghĩa

∆δ = {z ∈ C : | arg z| < δ, z 6= 0},

∆δ(a) = a + ∆δ = {z ∈ C : | arg(z − a)| < δ, z 6= a},

Σσ = {z ∈ C : | arg z| > σ, z 6= 0},

Σσ(a) = a + Σσ = {z ∈ C : | arg(z − a)| > σ, z 6= a}

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử {S(t)} là một C0-nửa nhóm sinh bởi A trênkhông gian Banach X Ta nói rằng {S(t)} là một nửa nhóm giải tích nếutồn tại một thác triển của t 7→ S(t) thành ánh xạ z 7→ S(z) xác định vớimọi z thuộc quạt ∆δ∪ {0} và thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) z 7→ S(z) là ánh xạ từ ∆δ∪ {0} vào L(X);

(2) S(z1 + z2) = S(z1)S(z2) với mọi z1, z2 ∈ ∆δ ∪ {0};

(3) Với mọi w ∈ X, ta có S(z)w → w khi z → 0 trong ∆δ ∪ {0};

(4) Với mọi w ∈ X, ánh xạ z 7→ S(z)w là giải tích từ ∆δ vào X

Mỗi ánh xạ S(z) như trên gọi là một thác triển nửa nhóm giải tích củaS(t)

Định nghĩa 1.1.4 Nếu ánh xạ t 7→ S(t) liên tục trên khoảng (0, +∞)theo chuẩn trong L(X) thì ta nói nửa nhóm {S(t)}t≥0 là liên tục theochuẩn (norm-continuous) Nếu S(·) liên tục trên nửa trục [0, ∞) thì ta nóinửa nhóm này liên tục đều

1.2 Giải tích bậc phân số

Cho T > 0, ký hiệu L1(0, T ; X) là không gian các hàm xác định trên [0, T ]lấy giá trị trong không gian Banach X và khả tích theo nghĩa Bochner.Đặt

gα(t) = t

α−1

Γ(α), t ≥ 0, α > 0,trong đó Γ(α) =R0∞tα−1e−tdt, α > 0, là hàm Gamma

Định nghĩa 1.2.1 ([11]) Tích phân Riemann-Liouville bậc phân số củahàm f ∈ L1(0, T ; X) cho bởi

I0αf (t) =

Z t 0

gα(t − s)f (s)ds

Định nghĩa 1.2.2 ([11]) Đạo hàm Caputo bậc phân số với bậc α ∈ (n −

1, n), n ∈ N+, của hàm f ∈ Cn−1([0, T ]; X) được xác định bởi

D0αf (t) = d

n

dtn

Z t 0

gn−α(t − s) f (s) −

n−1Xk=0

gk+1(s)f(k)(0)

!ds

Xét bài toán Cauchy tuyến tính

Sα(t)x =

Z ∞ 0

Pα(t)x = α

Z ∞ 0θφα(θ)S(tαθ)x dθ, ∀x ∈ X, (1.6)với φα là hàm mật đọ xác suất trên (0, ∞), φα có biểu diễn dạng

φα(θ) = 1

απ

∞Xn=1

Cho A là toán tử quạt, nghĩa là, tồn tại C > 0 và ω ∈ (π2, π) sao cho

Σω := {λ ∈ C\{0} : | arg λ| < ω} ⊂ ρ(A),kλ(λI − A)−1vk ≤ Ckvk, ∀v ∈ X, λ ∈ Σω,

ở đây ρ(A) là tập giải của toán tử A Khi đó ta có kết quả chính quy saucho hệ (1.2)-(1.3)

Bổ đề 1.2.1 Giả sử A là toán tử quạt Nếu x0 ∈ D(A) và f là hàm liêntục H¨older, nghĩa là, tồn tại C > 0 và γ ∈ (0, 1) sao cho

kf (t) − f (s)k ≤ C|t − s|γ, ∀t, s ∈ [0, T ],thì mọi nghiệm tích phân của hệ (1.2)-(1.3) cũng là nghiệm cổ điển.Chứng minh Lập luận tương tự như trong [26, Bổ đề 5.1 và Định lý 5.1]

Ta liệt kê một số tính chất của toán tử giải Sα(·) và Pα(·)

Bổ đề 1.2.2 [22, 25] Giả sử A là toán tử quạt mà nửa nhóm S(·) sinhbởi A thoả mãn kS(t)vk ≤ M kvk với mọi t ≥ 0, v ∈ X Khi đó

dtSα(t)v khả tích địa phương trên (0, ∞).

(iii) Với η ∈ (0, 1], tồn tại Cη > 0 sao cho

znΓ(αn + β), z ∈ C

1.3 Các bất đẳng thức dạng Gronwall

Trong luận văn, ta sử dụng các bất đẳng thức loại Gronwall sau

Bổ đề 1.3.1 ([24, Hệ quả 2]) Giả sử rằng β > 0, b ≥ 0 và σ là hàm khônggiảm, không âm và khả tích địa phương trên [0, T ] Nếu v là hàm không

âm khả tích địa phương trên [0, T ] với

v(t) ≤ σ(t) + b

Z t 0(t − s)β−1v(s)ds, ∀t ∈ [0, T ],thì v(t) ≤ σ(t)Eβ,1(bΓ(β)tβ) với mọi t ∈ [0, T ]

Bổ đề 1.3.2 Cho v : [0, T ] → R+ là hàm liên tục và thoả mãn bất đẳngthức tích phân

v(t) ≤ Eα,1(−ηtα)v0 +

Z t 0(t − s)α−1Eα,α(−η(t − s)α) (` v(s) + κ) ds,trong đó α ∈ (0, 1), 0 < ` < η, κ ≥ 0, v0 ≥ 0 Khi đó

v(t) ≤ Eα,1(−(η − `)tα)v0 + κ

η − ` (1 − Eα,1(−(η − `)t

α)) (1.7)Chứng minh Sử dụng lập luận tương tự như trong [6, Bổ đề 13], ta cóv(t) ≤ Eα,1(−(η − `)tα)v0+ κ

Z t 0(t − s)α−1Eα,α(−(η − `)(t − s)α)ds (1.8)

Hơn nữa, sử dụng phép biến đổi Laplace ta có

Chương 2

Tính giải được của bài toán xác định tham số

2.1 Bài toán tương đương

Để nghiên cứu tính giải được, ta sẽ đưa ra các giải thiết sau:

(A) A là toán tử quạt và A sinh ra nửa nhóm compact sao cho

kS(t)vk ≤ e−βtkvk, ∀t ≥ 0, v ∈ X,trong đó β là số dương

(B) B : U → R là hàm Lipschitz, nghĩa là tồn tại số dương LB > 0 saocho

kB(u1) − B(u2)k ≤ LBku1 − u2kU, ∀u1, u2 ∈ U ,

và tồn tại số dương mB, MB > 0 sao cho mB ≤ B(v) ≤ MB với mọi

v ∈ K

(F) Toán tử F : X → U∗ liên tục Lipschitz với hệ số LF,

kF (y1) − F (y2)kU∗ ≤ LFky1 − y2k, ∀y1, y2 ∈ X

(G) Toán tử G : U → U∗ được cho bởi

hG(u), vi = b(u, v), ∀u, v ∈ U ,

trong đó b : U × U → R là hàm song tuyến tính liên tục trên U × U

D0αx(t) = Ax(t) + f (t), t ∈ (0, T ],x(0) = ξ,

Theo [12, Định lý 2.1], chúng ta thu được kết quả sau về tập S(w)

Bổ đề 2.1.1 Giả sử (G) thoả mãn Khi đó với mỗi w ∈ U∗, tập nghiệmS(w) là một điểm Hơn nữa, ánh xạ w 7→ u liên tục Lipschitz từ U∗ tới Uvới hệ số 1

ηG, nghĩa là

kS(w1) − S(w2)kU ≤ 1

ηGkw1 − w2kU∗, ∀w1, w2 ∈ U∗

Xét bài toán: cho trước ˜x ∈ X, tìm ˜u ∈ K sao cho

hG(˜u) + F (˜x), v − ˜ui ≥ 0, ∀v ∈ K (2.1)Bất đẳng thức (2.1) là dạng gốc của (0.6)

Bổ đề 2.1.2 Giả sử (F) và (G) thoả mãn Khi đó với mỗi ˜x ∈ X tồn tại

và duy nhất nghiệm ˜u ∈ U của (2.1) Hơn nữa ánh xạ nghiệm

V :X → U

˜

x 7→ ˜uthoả mãn

Z T

0

ϕ(t)y0(t)dt = A

Z T 0ϕ(t)x(t)dt+

Z T 0ϕ(t)h(x(t))dt+

Z T 0ϕ(t)B(u(t))zdt,

(2.2)trong đó

y(t) =

Z t 0

Z T 0

ϕ0(t)y(t)dt

Từ đây, ta có

kΛxk ≤ Lϕ(kxk∞+ kξk), (2.3)trong đó

Z T 0ϕ(t)h(x(t))dt

−1

J (x) = Λx − Aψ −

Z T 0ϕ(t)h(x(t))dt (2.7)Theo giả thiết (B), ta có

Bổ đề 2.1.3 Cho ξ ∈ X, ψ ∈ D(A) Giả sử các giả thiết (A), (B), (F) và(G) thoả mãn Khi đó, nếu x là một nghiệm cổ điển của bài toán (2.13)-(2.14), thì (x, u, z), với u = Vx và z = I(u)J (x), là một nghiệm của bàitoán (FrIP).

Chứng minh Giả sử x là một nghiệm cổ điển của bài toán (2.13)-(2.14).Theo công thức của Φ, ta có

D0αx(t) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)), t ∈ (0, T ], (2.15)x(0) = ξ,

trong đó u(t) = V(x(t)), t ∈ [0, T ], là nghiệm duy nhất của bất đẳngthức biến phân (0.6) Để chứng minh Bổ đề 2.1.3 ta cần chứng minh

Vì 0 ∈ ρ(A), ta có R0T ϕ(s)x(s)ds = ψ như yêu cầu

2.2 Sự tồn tại nghiệm

Bổ đề 2.2.1 Cố định ξ ∈ X, ψ ∈ D(A) và giả sử (B), (F), (G) và (H)thoả mãn Khi đó với mọi x ∈ C([0, T ]; X) mà kxk∞ ≤ r ta có

kΦ(x)(t1) − Φ(x)(t2)k ≤ KΦ(r)kx(t1) − x(t2)k, ∀t1, t2 ∈ [0, T ], (2.16)

ở đây KΦ(r) > 0 Hơn nữa

kΦ(x)k∞ ≤ LΦkxk∞ + MΦ, ∀x ∈ C([0, T ]; X), (2.17)trong đó LΦ, MΦ > 0

Chứng minh Sử dụng giả thiết (B), (H), Bổ đề 2.1.2, các ước lượng (2.9) và công thức (2.12), ta có

Định lý 2.2.2 Giả sử (A), (B), (F), (G) và (H) được thoả mãn Giả

sử rằng x ∈ C([0, T ]; X) là một nghiệm tích phân của (2.13)-(2.14) với

ξ ∈ D(A) Khi đó ánh xạ t 7→ x(t) liên tục H¨older trên [0, T ]

Chứng minh Cố định τ ∈ (0, T ) và t ∈ [0, T − τ ] Ta có

x(t) = Sα(t)ξ +

Z t 0

sα−1Pα(s)Φ(x)(t + τ − s)dsk+ k

Z t 0

sα−1(−A)ηPα(s)(−A)1−ηξk

≤ k(−A)1−ηξk

Z t+τ t

sα−1k(−A)ηPα(s)kds

≤ Ck(−A)1−ηξk

Z t+τ t

sα−1kPα(s)kkΦ(x)(t + τ − s)kds

≤ LΦr + MΦΓ(α)

Z t+τ t

sα−1kx(t + τ − s) − x(t − s)kds

≤ C

Z t 0(t − s)α−1kx(s + τ ) − x(s)kds

Sử dụng các ước lượng Ii, i = 1, 2, 3 trong (2.20), chúng ta có

kx(t + τ ) − x(t)k ≤ Cτα(1−η) + C

Z t 0(t − s)α−1kx(s + τ ) − x(s)kds

Từ đây áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta nhận được

kx(t + τ ) − x(t)k ≤ Cτα(1−η).Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.2.3 Dưới các giả thiết của Định lý 2.2.2 mọi nghiệm tích phâncủa (2.13)-(2.14) đều là nghiệm cổ điển

Chứng minh Giả sử x ∈ C([0, T ]; X) là một nghiệm tích phân của (2.14) Theo Bổ đề 2.2.1 và Định lý 2.2.2 hàm f (t) = Φ(x)(t) liên tụcH¨older Do đó, theo Bổ đề 1.2.1, x là nghiệm cổ điển của (2.13)-(2.14).Với mỗi y ∈ C([0, T ]; X), đặt

(2.13)-Φy(ζ) = B(V(ζ))I(Vy)J (y) + h(ζ), ζ ∈ X (2.21)Xét bài toán phi tuyến cục bộ

Dα0x(t) = Ax(t) + Φy(x(t)), t ∈ (0, T ], (2.22)

Ký hiệu

Cξ([0, T ]; X) = {x ∈ C([0, T ]; X) : x(0) = ξ}

Ta thu được kết quả phụ trợ sau

Mệnh đề 2.2.4 Giả sử rằng (A), (B), (F), (G) và (H) được thoả mãn.Khi đó với mỗi y ∈ Cξ([0, T ]; X), tồn tại duy nhất nghiệm tích phân x củabài toán (2.22)-(2.23) Thêm vào đó ánh xạ

Σ : Cξ([0, T ]; X) → Cξ([0, T ]; X)cho bởi Σ(y) = x, liên tục