Đây là tài liệu hay giúp học sinh nắm lại kiến thức về phương trình lượng giác. Các bài tập đã được chia dạng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ theo dõi và tự học, cuối của chủ đề có bài tập ôn tổng hợp để học sinh rèn luyện thành thục các kỹ năng
Trang 1Chúc các em thành công! Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016
Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I) Lý thuyết:
a) Hệ thức cơ bản:
2
2
sin os t anx.cot
t anx 1 tan
cot 1 cot
x
b) Cơng thức cộng:
sin
os
tan
a b
c a b
a b
c) Cơng thức nhân đơi, nhân ba
sin 2 cos 2 sin 3 os3
d) Cơng thức hạ bậc
sin x cos x
e) Cơng thức biến tổng thành tích
) sin sin ) sin sin ) os cos ) os cos
f) Cơng thức biến tích thành tổng
) sin sin ) os os ) sin cos
g) Các cơng thức bổ sung
os sin 1 sin 2
3
os sin 3 sin cos 3 sin 4 os cos 3 sin sin 3 cos 2
4 1
2
3
os sin 1 sin 2
4
II) Phương trình lượng giác cơ bản
a) Cách giải:
Trang 2Chúc các em thành công! Trang 2
s inx sin
cosx cos
tanx tan
cotx cot
a a a a
b) Bài tập:
- 3
3
7)2sinx+ 2sin2x=0 8)sin 2x+cos 3x=1
π 9)tan x- +cotx=0 10) 1-tanx 1+sin2x =1+tanx
5 11)tanx+cotx=2 sin2x+cos
3
2x 12)sin xcos3x+cos xsin3x=sin 4x 13)sin x+cos x=cos4x 14)cos7x+sin 2 cos 2
15) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3
16) sin cos
x
sin cos 1
sin 2 2
1 18) sin 2 cot tan 2 4 cos 19) sin cos
4 4
x
III) Phương trình bậc 2, 3 đối với một hàm số lượng giác
a) Dạng và phương pháp giải:
Phương trình bậc 2, 3 đối với một hàm số lượng giác cĩ một trong các dạng sau:
2
2
2
2
a x b x c
a c x bc x c
a x b x c
a c x b x c
sin sin s inx 0
tan tan tan x 0 cot cot cot x 0
a c x bc x cc d
Cách giải: đặt t = sinx/ cosx/ tanx/ cotx Lưu ý nếu đặt t = sinx/ t = cosx, điều kiện
b) Bài tập:
Trang 3Chúc các em thành công! Trang 3
2
2
2
1)4 sin 4 sin 3 0
3)5 cos 7 sin 7 0
5) os2 9 cos 5 0
7) sin 3sin 2 sin 0
9)4 cos 2 7 cos 2 3 0
11)2 sin 3cos 3cos
13)2 cos 2 tan
2 3 15) tan 2 sin 2 cot
2 17)3cos 4 2 cos 3 1
19)4 sin 3 os2 5 s inx 1
21)
x x
x c x
3cos 2 sin 2 os4 0 23)1 3 tan 2 sin 2
25) sin 4 t anx
1 sin 2 1 2
s inx
x
x sin x
x
2
4
2
2
3
2) tan 1 3 t anx 3 0
4
cos 6) os2 s inx 3 0
3 8) sin 2 2 cos 0
4 10)4 sin 3 12 cos 3 7 0 12)2 os2 5sin sin 3 2 cos 2 2
3 14) cos os
4 16)2 3 tan sin 2 0 18)2 sin os2 s inx 20)3 t anx cot
x
x
x
c x
x
x c
x c x
x
3
2 2 sin 2 22) os4 6 sin cos 1 0 24)4 cos 3 2 sin 2 8 cos 26) sin 3 sin 2 5sin
1 28)2 cos 2 8 cos 7
cos
x
x
IV) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a) Dạng và phương pháp giải:
Cách giải: Chia hai vế cho a2b2 , chọn gĩc phù hợp để đưa về dạng:
sin x c hay osc x c
Điều kiện cĩ nghiệm: 2 2 2
a b c Khi thỏa mãn điều kiện này, ta sẽ sử dụng các dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết bài tốn
b) Bài tập:
1) 3 sin 2 os2 2
3)2 sin 2 os2x+ 3 os4 2
5 2 5)4 cos 3cos
7) sin 5 3 cos 5 2 sin 7
x c x
2)4 sin os 3 sin 4 2 4) os 3 sin 2 1 sin 6)2 sin 3 sin 2 3 os2 0
8) 3 sin 4 cos 4 sin 3 cos
Trang 4Chúc các em thành công! Trang 4
2
6
3cos 4 sin 1 11) os7 os5 2 sin 2 1 sin 7 sin 5
13) 3 sin sin sin 2013
15) sin 2 2 cos 2 1 s inx 4 cos
17) sin 2 3 os2 5 os 2
6 19) t anx 3cot 4 s nx 3 cos
2
3
cos sin 2
2 cos s inx 1 12)3sin 3 os3 4sin 1 14)9sin 6 cos 3sin 2 os2 8
16)2sin 2 os2 7 sin 2 cos 4 18)4 sin os 3 sin 4 2
x
V) Phương trình đẳng cấp
a) Dạng và phương pháp giải:
Phương trình đẳng cấp là phương trình cĩ một trong các dạng sau đây:
sin sin cos cos
a x b x x c xd
sin cos sin cos s inx cos 0
Đẳng cấp bậc 3 suy rộng:
sin cos sin cos s inx cos sin cos 0
a x b x c x x d x m x n x
Cách giải:
Bước 1 (bước chung): nhận xét xem cosx = 0 cĩ là nghiệm của phương trình khơng?
với các dạng đẳng cấp bậc 3) để đưa về phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 theo
c x
Chú ý: Thỉnh thoảng, ta cĩ thể gặp những bài phương trình dạng đẳng cấp bậc n, thì cách làm hồn tồn tương tự, nghĩa là sau khi nhận xét ở bước 1, ta chia cả hai
vế cho cosnx
b) Bài tập:
2
1)5sin 2 3sin 2 cos 2 2 cos 2 0
3)4 sin 3cos s inx sin cos 0
5) sin 3 os3 s inx cos
7) sin t anx 1 3sin cos s inx 3
3
3
2) sin os 3sin cos 0 4) os sin s inx cos 6)2 cos sin 3
8) s inx.sin 2 sin 3 6 cos
Trang 5Chúc các em thành công! Trang 5
2
9) os 4sin 3cos sin s inx 0
11) cot 1 sin sin 2
c x
10)3cos4 x4sin2xcos2xsin4 x0
2sin xs inx.cosx c os xm
a) Định m để phương trình cĩ nghiệm
b) Giải phương trình ứng với m = -1
VI) Phương trình đối xứng với sinx và cosx
a) Dạng và phương pháp giải:
Phương trình đối xứng với sinx và cosx là phương trình cĩ chứa các biểu thức
s inxcos x và s inx.cos x
Cách giải:
Đặt ẩn phụ t = s inx+ cos x hoặc t = s inx- cos x
Khi đĩ,
2 1
s inx.cos
2
t
x
, hoặc
2 1
s inx.cos
2
t
x
Sau đĩ, đưa phương trình về phương trình đa thức theo biến t
Chú ý: điều kiện để phương trình cĩ nghiệm x là 2 t 2
b) Bài tập:
1) sin 2 2 2 s inx cos 5 0
3) cot t anx s inx cos
5) s in os 1
3 7)1 sin os sin 2
2
x c x
2) sin os 1 3sin cos 4) | s inx cos | 2 sin 2 1 6) s inx sin sin sin
cos os os os
1 8)1 sin 2 os 2 sin 4
2
x c x c x c x
a) Giải phương trình ứng với m = -1
b) Định m để phương trình cĩ nghiệm
VII) Các phương pháp hỗ trợ trong việc giải phương trình
a Phương pháp tổng bình phương: 2 2 0
0
0
A
B
2
3
2
1)4 cos 3 tan 4 3 cos 2 3 t anx 4 0
2) 2 sin 2 cos 2 0
3) os2 os6 4 3sin 4 sin 1 0
4) 4 5 sin 2
b Phương pháp đánh giá
Trang 6Chúc các em thành công! Trang 6
g x a
cos
1
cos 3) ln sin 1 sin 0 4)sin 3 cos 2sin 3 cos 3 1 sin 2cos 3 0
x
x
c Phương pháp hạ bậc
2
3
sin 5
x
x
x
d Phương pháp dùng hằng đẳng thức
13
8
x
1
8 7
e Phương pháp đưa về phương trình tích
Trang 7Chúc các em thành công! Trang 7
2
2
1 cos 2 9)1 cot 2
sin 2
x x
x
3
6)
f Phương pháp nhân đơi, hạ bậc
2
1
4
1 2) cos cos 2 cos 4 cos8
16
g Phương pháp sử dụng cơng thức biến đổi
-HẾT -
ĐÁP ÁN
Trang 8Chúc các em thành công! Trang 8
II) Phương trình lượng giác cơ bản:
0
3
III) Phương trình bậc 2, 3 đối với một hàm số lượng giác