LTDH khảo sát hàm số

Đây là tài liệu hay giúp học sinh nắm lại kiến thức về khảo sát hàm số. Các bài tập đã được chia dạng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ theo dõi và tự học, cuối của chủ đề có bài tập ôn tổng hợp để học sinh rèn luyện thành thục các kỹ năng

Trang 1

Chúc các em thành công! Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016



Chủ đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Phần 1: Khảo sát hàm số và vấn đề cực trị

3

1 3 2  

y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b) Tìm m để hàm số cĩ cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

c) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1;x2thoả mãn x1;x2 ≥ 8

Câu 2: Cho hàm số y  x3  3 ( m  1 ) x2  ( 2 m2  3 m  2 ) x  m ( m  1 )

b) Tìm m để hàm số cĩ cực đại cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo

với đường thẳng 5

4

1 



c) Tìm m để hàm số cĩ đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuơng gĩc với đường thẳng

y = 3x-7

Câu 3: Cho hàm số y   x3 3 x2 3 ( m2 1 ) x  m2 1 )

b) Tìm m để hàm số cĩ cực đại cực tiểu cách đều gĩc toạ độ O

Câu 4: Cho hàm số y  x4  2 m2x2  1

b) Tìm m để hàm số cĩ 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuơng cân

Phần 2: Khảo sát hàm số và vấn đề tiếp tuyến với đồ thị

Câu 1: Cho hàm sốy  x3 mx  m  1 (Cm)

b) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam giác cĩ diện tích bằng 8

Câu 2: Cho hàm sốy  x3 3 x  mx  1 (Cm)

b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuơng gĩc với nhau

Trang 2

Câu 3: Cho hàm số

1

2 3





x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox gĩc 450

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân

d) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận Tiếp tuyến tại M bất kỳ thuộc (H) cắt 2 tiệm cận tại A,B Chứng minh M là trung điểm AB

e) Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi

f) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

2







x

m x

y (Hm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=3

b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều (C,B là các tiếp điểm)

m x

mx y





 2 3 (Hm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 8

Phần3: Khảo sát hàm số và vấn đề biện luận số nghiệm, tính chất nghiệm của phương trình

4

2 5 3

x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm để phương trình sau cĩ 8 nghiệm phân biệt x46x25 m22m

Câu 2: Cho hàm sốy  x3 3 mx2 6 mx

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1/4

b) Biện luận so nghiệm 4 x33x26x 4a0

Câu 3: Cho hàm sốy  x3 3 mx2 3 ( m2  1 ) x  ( m2  1 )

b) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh dộ dương

Câu 4: Tìm m để hàm số y  x3 ( 3 m  1 ) x2 ( 5 m  4 ) x  8 cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp

số nhân

Trang 3

Câu 5: Tìm m để hàm số y  x4 2 ( m  1 ) x2 2 m  1 cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số

cộng

Câu 6: Cho hàm số y  x4 3 x2 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận số nghiệm phương trình x22(x2 1)m

Phần4: Khảo sát hàm số và vấn đề liên quan đến các đường tiệm cận

Câu 1: Tìm M thuộc (H)

2

5 3





x

y để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H là nhỏ nhất

Câu 2: Tìm trên đồ thị hàm số

1

2 5

2







x

x x

y điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm

2 đường tiệm cận

Câu 3: Tìm m để hàm số yxmcắt đồ thị hàm số

2

1 2





x

y tại 2 điểm A,B mà độ dài

AB nhỏ nhất

Phần5: Khảo sát hàm số trong các đề thi đại học

Bài 1 (D-2013) Cho hàm số 3 2

y  x  3mx  (m 1)x 1 (1)   , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đường thẳng y = −x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

Bài 2 (B-2013)Cho hàm số 3 2

y  x  3(m 1)x   6mx (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x + 2

Bài 3 (A, A1-2013) Cho hàm số 3 2

y    x 3x  3mx 1 (1)  , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)

Bài 4 (D-2012)Cho hàm số y = 2

3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + 2

3 (1), m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1

Bài 5 (B-2012) Cho hàm số 3 2 3

3 3 (1)

yx  mx  m , m là tham số thực

Trang 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB cĩ

diện tích bằng 48 Bài 6 (A, A1-2012) Cho hàm số 4 2 2

yx  ( m )x m ( ) ,với m là tham số thực

a) hảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuơng

Bài 7 (D-2011) Cho hàm số 2 1

1

x y x







1 hảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hồnh bằng nhau

Bài 8 (B-2011) Cho hàm số 4 2

yx  ( m )x m ( ) ,với m là tham số thực

1 hảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cịn lại

Bài 9 (A -2011) Cho hàm số 1

2 1

x y x

 





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luơn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của các tiếp tuyến với (C) tại A

và B Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 10 (D-2010) Cho hàm số 4 2

6

y  x x 

1 Khảo sát sựu biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng

1 6

1 

 x

y

Bài 11 (B-2010) Cho hàm số 2 1

1

x y x







1 Khảo sát sựu biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

Trang 5

2 Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cã diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

Bài 12 (A-2010) Cho hàm số y = x3  2x2  m)x m (1), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hành tại 3 điểm phân biệt cĩ hành độ

1 , 2 , 3

x x x thảo mãn điều kiện 2 2 2

x x x 

Trang 6

CÁC ĐỀ LUYỆN TẬP THÊM Bài 1:Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2





x

y biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thoả mãn AB OA 2

Bài 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y x mx (m 3)x

2

1 3

1 3 2  2 

tiểu x2 đồng thời x1;x2 là độ dài các cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ độ dài cạnh

huyền bằng

2 5

Bài 3: Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm): ( 1) (4 3 ) 1

3

tại đúng 2 điểm cĩ hồnh độ dương mà tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc với đường thẳng (L):

x+2y-3=0

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C): y  x3  3 x  2 tại 3 điểm phân biệt

A, B, C sao cho xA=2 và BC=2 2

Bài 5: Cho hàm số y  4 x3 6 mx2  1, m là tham số Tìm m để đường thẳng d:

1





 x

y cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0;1), B, C và B, C đối xứng qua đường phân giác

thứ nhất

Bài 6: Cho hàm số y  x4  2 mx2 2 m2  4 , m là tham số thực Xác định m để hàm số đã

cho cĩ 3 cực trị tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1

Bài 7: Cho hàm số

1

2







x

y Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox,

Oy tại A, B sao cho bán kính vịng trịn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất

m x

mx y





 2 3 Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64

Bài 9: Tìm m sao cho đồ thị hàm số y  x4  x2  m

4 cắt trục hồnh tại 4 điểmphân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh cĩ phần trên bằng phần dưới

Bài 10: Cho hàm số y  x4 2 ( 1  m2) x2  m  1 Tìm m để hàm số đã cho cĩ ba điểm cực

trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác cĩ diện tích lớn nhất

3

1









x

y cĩ đồ thị là (H) Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M cĩ

hệ số gĩc lớn hơn 1 tạo với đường thẳng ∆: 3x+4y-1=0 một gĩc cĩ giá trị bằng

25 5 2

Trang 7

2

3







x

y cĩ đồ thị là (H) Tìm m để đường thẳng d:

y = -x+m+1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao choAOB nhọn

1





x

y Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác cĩ chu vi bằng 2(2+ 2)

1

2







mx

m x

y (1) Chứng minh với mọi m≠0 đồ thị (1) cắt (d): y=2x-2m tại hai điểm phân biệt A,B thuộc một đường (H) cố định Đường thẳng (d) cắt các trục Ox,

Oy lần lượt tại các điểm M,N Tìm m để SOAB = 3SOMN

Bài 15: Tìm trên (H):

2

1









x

y các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y= x4 - mx2 + m - 1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cĩ

hồnh độ lớn hơn -2

2

3





x

y cĩ đồ thị (H) Tìm m để đường d: y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm phân biệt sao choOA.OB= -4 với O là gĩc toạ độ

Bài 18: Tìm toạ độ hai diểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

1

3





x

y sao cho tam giác ABC vuơng cân tại A(2;1)

Bài 19: Cho hàm số y = x3+ 3x2+m (1) Tìm m để hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A,B sao cho AOB = 1200

1

1 2







x

y cĩ đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d:

y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2

1

2 3







x

y (C) Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thoả mãn cosBAI =

26 5

Bài 22: Cho hàm số y = x4 - 2mx+ 2 cĩ đồ thị (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

đồ thị (Cm) cĩ 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cĩ đường trịn ngoại tiếp qua điểm













5

9

;

5

3

D

2

5 3 2

2

4





 x x

y cĩ đồ thị (C) và điểm A (C) với xA = a

Trang 8

Tìm các giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt B,C khác A sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và C)

Bài 24: Cho hàm số (3 1) 2( 1)

4





điểm cực trị tạo thành một tam giác cĩ trọng tâm là gốc toạ độ O

Bài 25: Cho hàm số ( 1) (3 4) 1

3

giá trị của m sao cho trên (Cm) cĩ điểm mà tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc vời đường thẳng (d): y=x+2011

Bài 26: Cho hàm số y x33mx2(3m2 1)x(m2 1)(1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương

Bài 27: Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x2-3x2 + 3mx + 3m + 4 và trục hồnh cĩ phần nằm phía trên trục hồnh bằng phần nằm phía dưới trục hồnh

Bài 28: Trên đồ thị hàm số

2

1







x

y các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại hàm số tại điểm A song song với tiếp tuyến tại điểm B và AB = 8

Bài 29: Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và cĩ hệ số gĩc k Tìm k để D cắt đồ thị

1

2







x

y tại 2 điểm phân biệt M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị và AM = 2AN

Bài 30: Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3-3mx+2 cắt đường trịn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại A, B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất

) 1 ( 2

3





x

y cĩ đồ thị là (H) Viết phương trình tiếp tuyến tạiM trên (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 trục toạ độ Ox, Oy tại 2 điểm A, B đồng thời đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O

Bài 32: Cho hàm số y x3 m x2 mx

) 1 ( 2

1 3

1

m là tham số Tìm m để hàm số cĩ cực đại

và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d: 72x-12y-35=0

Bài 33: Cho hàm số y = x3 - 3x2+4 cĩ đồ thị là (C) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d: y=m(x+1) luơn cắt đồ thị (C) tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1

Bài 34: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: ( 3) 2( 1) 1

2

1 3

2

3









hai điểm cực trị với hồnh độ lớn hơn 1

Bài 35: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = x3 - 3 + 2 sao cho các tiếp tuyến tại A, B

cĩ cùng hệ số gĩc và đường thẳng đi qua A, B vuơng gĩc với đường thẳng x + y + 2011 = 0

Trang 9

Bài 36: Giả sử đồ thị hàm số y = x3 - 6x2 + 9x + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt x1<

x2<x3 Chứng minh rằng: 0<x1<1<x2<3<x3<4

Bài 37: Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3+3(m+1)x2+3(m2+1)x+m3+1=0 luơn cĩ nghiệm duy nhất

Bài 38: Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;0) và cĩ hệ số gĩc k Tìm k để d cắt đồ thị (C):

2 3

3



y tại 4 điểm phân biệt

Bài 39: Tìm m để điểm A(3;5) nằm trên đường thẳng nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y

= x3-3mx2+3(m+6)x+1

Bài 40: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x-1)(x3+x2+1) biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt

Bài 41: Cho hàm số y = x3-2(m+2)x2+7(m+1)x-3m-12 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1;x2;x3 thoả 2 1 2 3

3 2 2 2

1 x x 3x x x

>53

Bài 42: Với mỗi tham số mR, gọi (Cm)là đồ thị của hàm số: y = x3- (3m-1)x2+2m(m-1)x +

m2 (1) CMR: khi m thay đổi, đường thẳng (m): y=mx-m2 luơn cắt (Cm) tại một điểm A cĩ hồnh độ khơng đổi Tìm m để (m) cịn cắt (Cm) tại hai điểm nữa khác A và tiếp tuyến của (Cm) tại hai điểm đĩ song song với nhau

Bài 43: Cho hàm số y = x3-2x2+(m-2)x+3m (m là tham số) Tìm mđể tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1;

27

55

 )

Bài 44: Cho hàm số y =

1

2





x

cĩ đồ thị là (H) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại 2 điểm A, B sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB cĩ bán kính nhỏ nhất với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

Bài 45: Cho hàm: y=x4+4mx2+3(m+1)x2+1 Tìm m để hàm số cực tiểu mà khơng cĩ cực đại

Bài 46: Tìm các giá trị của m để đường thẳng: d: 2mx-2y+m+1=0 cắt đồ thị hàm số

1

2

1





x

y tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức: P=OA2+OB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 47: Cho hàm:

1

2







x

x x

y Tìm trên trục tung các điểm mà qua nĩ chỉ cĩ 1 đường tiếp tuyến đến đồ thị hàm số trên

Bài 48: Cho hàm số:

m x

m mx y







 4 3(Cm) 1) Tìm điểm cố định của họ (Cm)

2) Từ các điểm cố định của họ đồ thị viết các đường thẳng đi qua chúng với hệ số gốc

2

3



k tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng vừa lập và trục Ox

Trang 10

Bài 49: Cho hàm số: y x33(2m21)x23(m21)x1m3(m là tham số) cĩ đồ thị là (Cm)

cĩ hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gĩc toạ độ

Bài 50: Cho hàm số: yx42x21 Tìm tất cả các điểm M thuộc trục tung sao cho từ đĩ

cĩ thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (1)

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	541,17 KB