Một vài phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

VẤN ĐỀ VII:Tìm nghiệm phương trình lượng giác thoả mản điều kiện cho trước.. Giải phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác.. Với những phương trình lượng giác được cho thêm đ

VẤN ĐỀ VI:

Vài cách giải dặc biệt với các phương trình không chuẩn mực

1 Phương pháp tổng hai số âm:

A 0

0

A B

A B









  



2 Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới hai vế)

A M

A B









 



3 Phương pháp phản chứng:

A M

A M

B N

B N

A B M N















   



4 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích có vế phải bằng 1, các nhân tử bị chặn

bởi 1:

1

1 1

1 1

A

A B B

A B

A B

 

 





5 Dùng tham số như ẩn số

6 Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a,4cos2x3tanx 4 3 cosx2 3 tanx  (1)4 0

b,cos 2x cos 6x4(3sinx 4sin3x1) 0 (2)

GIẢI:

a, ĐK:

2

x k

(1) (4cos 4 3 cos 3) (3tan 2 3 tan 1) 0

3 cos

2 3 tan

3 2

6

x

x

m n

















 





 



  



Z

So với điều kiện thì 2

6

x  k  là nghiệm của (1) k Z

b,

2

(2) 1 cos 2 1 cos 6 4sin 3 2 0

2cos 2sin 3 4sin 3 2 0

cos (sin 3 1) 0

cos 0

sin 3 1

2

2

2

x

x

x

k x













 







 



 

  



Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a, cos x = 1 + x (1)

b,2sinx = cos x với 0,

2

x  

  (2)

GIẢI:

a,

Ta nhận thấy x = 0 là nghiệm của (1)

Đặt ( ) 1f x   x cosx

( ) 1 sinx 0f x     x R

( )

f x

 là hàm tăng

Do đó:

x >0  f x( ) f(0)

  1 x cosx0

 cosx 1 x x: 0 không là nghiệm của (1)

x<0  f x( ) f(0)

 cosx 1 x x o:  không là nghiệm của (1)

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất

b,

Với - x = 0 : VT = 2sin0 = 20 = 1

VP = cos 0 = 1

 x = 0 là nghiệm của (2)

- 0

2

  :  sin x > 0

 2sin x > 20 = 1 :VT > 1

0

2

   cos x < 1 :VP < 1

Vậy: 0

2

  không là nghiệm của (2), do đó:

x = 0 là nghiệm duy nhất

*Bài tập:

6.1: Giải các phương trình sau:

a, cos3x 2 cos 3 2 x 2(1 sin 2 ) 2 x

b, sin3x + cos3x = 2 – sin4x

c, 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1

d, sin2x + sin2y + sin2(x + y) 9

4



e, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = 1

f, cos 1 1 cos3 1 1 1

sin sin 2 sin 3

h, sin2 1sin 32 sin sin 32

4

i,

j, x2 – 2x.sinxy + 1 = 0

6.2:

Giải các phương trình sau:

2 sin

sin

x

b, 3sin x cosx

c, 2

2cos ( ) 3 x 3 x

d, tanxcotx2sin 2x

tan xtan y2cot cotx y 3 sin (x y )

Giải các phương trình sau:

a,

2 cos 1

2

x

x  

b, sin ( 1)sin (1 ) 0

x

x  x    với x 0,1

c, sinxtanx 2x0 với 0

2

 

d, 2 2 2 (cos sin ) 3 cos sin

2

m  m x x   x x (theo tham số m)

e, 7 cos2x1995.sin1994x1995

6.4:

a, Giải phương trình:

cos 4x cos 2x2  5 sin 3x

b, Định a để phương trình sau có nghiệm:

cos 4x cos 2x2 a24a3 a24a6 7 sin 3x6.5:

a, Với giá trị nào của a thi phương trình:

1 + sin2ax = cosx

Có nghiệm duy nhất?

b, Chứng minh rằng nếu a là số hữu tỷ khác 0 còn b là số vô tỷ thì phương trình:

1 + sin2ax = cox bx

Có 1 nghiệm duy nhất

6.6:

a, Định điều kiện của a, b để phương trình sau có nghiệm:

2 5 2[x-2cos(ax+b)]

x  

b, Định a, b để mọi nghiệm của phương trình sin(x + y) = a

cũng là nghiệm của phương trình cos(x + y) = b

VẤN ĐỀ VII:

Tìm nghiệm phương trình lượng giác thoả mản điều kiện cho trước.

Giải phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác.

1 Với những phương trình lượng giác được cho thêm điều kiện về nghiệm, khi giải xong ta

phải dựa vào điều kiện mà chọn nghiệm Nếu điều kiện về nghiệm là một khoảng cho trước thì việc chọn các nghiệm dẫn đến việc giải các bất phương trình trong tập số nguyên Nếu điều kiện về nghiệm cần thoả bất phương trình chứa các hàm lượng giác, việc chọn các nghiệm nhất thiết được thực hiện trên một khoảng bằng BSCNN của chu

kỳ các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình và bất phương trình điều kiện

2 Việc giải các phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác, thường tuỳ thuộc đặc

trưng của mỗi phương trình Cần kết hợp cách giải các phương trình mũ, logarit với giải phương trình lượng giác Đôi khi sử dụng phương pháp đối lập, đoán nghiệm Chú ý đến điều kiện ban đầu của bài toán

Ví dụ:

Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

2

2

cos

x

GIẢI:

Điều kiện:

2

x k

(1) 2cos2 x 1 tan 2x 1 cosx 1 tan 2 x

2

2cos cos 1 0

1 cos

2 2 2 3 2

x

x















 







  



Vì 1 x 70 2

3 k 3

,

0,1, 2, ,31,32

k

Z

Phương trình (1) có 33 nghiệm trên [1;70] lập thành cấp số cộng :

2

x  x    x    có công sai là 2

3



S = x0 + x1 + x2 +…+ x32

32

    

363

* Bài tập:

7.1: Tìm các nghiệm của phương trình:

3

thoả mãn bất phương trình: 2cos 7

cos3 sin 3

x



7.2: Giải các phương trình sau:

a,Insinx x 0

3

log sin sin log sin cos 2 0

c,2log cot3 x log (cos )2 x

7.3: Tìm các nghiệm của phương trình

1  2 2

cos5 cos7 cos 2 sin 3 0

thoả mãn điều kiện x 2

7.4: Tìm các nghiệm của phương trình:

tanxsinx  tanx sinx  3tanx

a, Trên 0,

b, Trên toàn trục số.

7.5: Tìm các nghiệm phương trình:

5

thoả mãn bất phương trình cos 2 sin 4

2 cos 2 sin 2

x





7.6: Giải các phương trình sau:

a, 4sin 2x 41 cos  2x 10

b, logcosx sinx logsinx cosx 2

c, 2cos 2 2

5

 

4 sin cos



VẤN ĐỀ VIII:

Tính giá trị biểu thức, tìm miền giá trị (GTLN, GTNN) của hàm số

bằng phương pháp giải phương trình

1 Để tính giá trị của một hàm lượng giác của một cung, dựa vào mối liên hệ giữa các cung

(bù, phụ, hơn kém ,

2



 ,…) và công thức lượng giác, ta lập được một phương trình bậc hai hay ba mà hàm lượng giác đó là nghiệm Giải phương trình này ta tính được giá trị đó

2 Để tính giá trị của một biểu thức lượng giác số, ta cũng lập một phương trình lượng giác

(tương tự trên) nhận các hàm lượng giác trong biểu thức đó là nghiệm Dựa vào định lý Viète của phương trình bậc n ta suy ra giá trị của biểu thức

GHI CHÚ: Nếu một phương trình có n nghiệm a1, …, an thì:

(x-a1)(x-a2)…(x-an) = 0

 x1-S1xn-1+S2xn-2-S3xn-3+…+ (-1)nSn = 0 Với: S1 = a1 + a2 + …+ an

S2 = a1a2 + a2a3 + …+ ana1

………

Sn = a1a2…an

3 Để tìm miền giá trị của một hàm ( hay tìm GTLN, GTNN), ta làm như sau:

 Tim D (Miền xác định)

 Lấy y T (Miền giá trị), giải phương trình

( )

yf x với x D

Khi giải xong phương trình yf x( ) ta thương đưa về dngj phươg trình bậc hai hay

bậc một đối với sinx, cosx.

Từ điều kiện có nghiệm của phương trình suy ra miền giá trị cần tìm

Ví dụ 1:

Không dùng bảng hãy tính sin 180

Ta có: sin 540 cos360 (540 360 90 )0

sin 3(18 ) cos 2(18 )

3sin18 4sin 18 1 2sin 18

4sin 18 2sin 18 3sin18 1

Đặt: xsin18 : 00 x1

(1) 4x3 – 2x2 – 3x + 1 = 0

 (x – 1)(4x2 + 2x – 1) = 0

 42 + 2x – 1 = 0

0 4

4

x

x

  







  







Vậy: sin 180 1 5

4

 

Ví dụ 2:

Tìm GTLN GTNN của : osx+2sinx+3

2cosx-sinx+4

c

GIẢI

Ta có phương trình : 2cosx – sinx = -4 vô nghiệm (vì a2 + b2 <c2 )

 2cosx – sinx + 4 0 với mọi x

Gọi T là tập giá trị của y

Lấy y thuộc T ,thế thì tồn tại x thuộc D sao cho osx+2sinx+3

2cosx-sinx+4

c

y  (1)

 (y +2)sinx + ( 1 – 2y )cosx = 4y – 3 (2)

(loại)

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm

 ( y + 2)2 + (1 -2y )2 (4y -3)2

 11y2 -24y + 4 0

 2

2

11 y

Dấu “=” xảy ra được nên: 2;2

11

T  

Và GTLN y = 2, GTNN y = 2

11

*Bài tập:

8.1: Không dùng bảng (dùng phương trình) tính các giá trị sau:

cos18 ,sin 36 ,sin108 ,cos720 0 0 0

8.2: Chứng minh:

a, sin2 sin2 2 5

8.3: Tìm giá trị của:

tan2 tan2 2 tan23

  và tan tan2 tan3

8.4: Tìm x sao cho:

sin 1

cos 2

x y

x





 là số nguyên

8.5: Định k để giá trị nhỏ nhất của:

sin 1

cos 2

y

x





 nhỏ hơn -1.

8.6 Tìm x sao cho sinx+1

cosx+2

y  là số nguyên

8.7 Tìm GTLN, GTNN của:

a, sinx+2cosx+1

sinx+cosx+2

y 

b,

2

2

os sinx.cosx 1+sin

y

x



BÀI TẬP TỔNG HỢP

1:Giải các phương trình sau:

a, sin23x +sin24x = sin25x + sin26x

b,sin3x(1 + cotx ) + cos3x( 1+ tanx) = 2 sinx.cosx

c,sin 3 os3x 2

os2x sin2x sin 3

2

2 tan

1 tan

2

x



e, sin 22 tan2 9cos 2

2

f, 2sin 3 1 2cos3 1

g, sin 4 sin 2 4sin 3 2cos 4 0

sin 1

x





12sinx5cosx2y  8y21

i, sinx 2 sin 2xsin 2 sinx  2x 3

j, tan 1cot cos sin ( , 2)

4

n

2: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:

1 2cos x 1 2sin x m

3.Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:

3

2

sin 1

2 os cot

sin

x

x



  với điều kiện 2 x 40

4.Cho phương trình : 1 sinx  1 sinx kcosx

a, Giải phương trình khi k = 2

b, Giải và biện luận phương trình theo tham số k

5 Tìm nghiệm của phương trình :

sin tan 2x x 3(sinx- 3 tan 2 ) 3 3x  thoả mãn: 1

2 2log x  0

6.Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

os 3 9 2 160 800 1

8

c  x x  x  

7.Giải và biện luận phương trình :

a, (m – 1 )sin2x – 2( m+ 1 )cosx + 2m – 1 = 0

b, cosax +cos2bx - cos[( a + 2b )x] = 1

c, msinx + ( 2m - 1)cosx = 3m – 1 với 0 < x <

2



8 Cho phương trình : sinx + mcosx = 1 (1)

a, Giải phương trình khi m = 3

b, Định m để (1) có nghiệm chung với phương trình : msinx + cosx = m2

9 Chứng minh phương trình :sinx- 2sin2x – sin3x = 2 2 vô nghiệm

10 Tìm nghiệm của phương trình

a2sinx – asin2x – a2cosx + acos2x = cosx – sinx với 3







 

11 Cho phương trình :

2(2 – 3m )sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2 )sin2x.cosx – ( 4m – 3 )cosx = 0

a, Giải phương trình khi m = 2

b, Tìm m để 0,

4



 

 

  chứa đúng một nghiệm của phương trình

12 Cho phương trình msĩn + (m + 1 )cosx =

osx

m

a, Giải phương trình khi m = 1

2.

b, Định m để phương trình có nghiệm

c,Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 +x2

2 k





  Tính cos2(x1 + x2 ) theo m

13 a, Xác định a sao cho phương trinh : 2cosx +a.cosx = 3 + sin2x có nghiệm duy nhất trên

0,2 

b,Cho hai phương trình : 2|x| + |x| = 1 + asin2y (1) và (2|y| + |y| )sinx = acosx (2) Tìm a để mọi nghiệm (x,y) của (1) cũng là nghiệm của (2)

14 Cho phương trình : sin4x + (1 – sinx)4 = m

a, Giải phương trình với m =1

8.

b, Định m để phương trình có nghiệm

15 Cho phương trình : 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x.

a, Giải phương trình khi m = - 7

b,Định m đẻ phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn 3 ,

 

16.Tìm số thực a > 0 và nhỏ nhất thoả mãn phương trình : os a2 2 1 sin( 2) 0

2

17 Tìm nghiệm của phương trình : sin2 [(x + 1)y] = sin2 (xy) + sin2 [(x – 1)y]

Sao cho (x +1)y, xy , (x – 1)y tạo thành cácgóc của 1 tam giác

18 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác sao cho các góc của nó đều là nghiệm của

bất phương trình : (56 – 65sinx)(80 – 64sinx – 65cos2x) = 0