LTDH phuongtrinhCANTHUC

Đây là tài liệu hay giúp học sinh nắm lại kiến thức về phương trình, bất phương trình chứa căn, các bài tập đã được chia dạng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ theo dõi và tự học, cuối của chủ đề có bài tập ôn tổng hợp để học sinh rèn luyện thành thục các kỹ năng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016



Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

(Trong chủ đề này, khi đề cập đến phương trình, bất phương trình được hiểu là phương trình, bất phương trình chứa căn thức)

I) Cơng thức chung

      2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1)

2)

3)

4) 0 5) n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a b a b a b a b                   II) Phương pháp biến đổi tương đương 1) Các dạng phương trình, bất phương trình cơ bản:    

f x  g x    

   

f x g x           

1: 2 :

f x g x TH TH           

f x g x           

1: 2 :

f x g x TH TH        Ví dụ: 2 ) 2 1 3 1 0 a x x  x  (Đại học khối D năm 2006) ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

2) 2 1 3 1 0        2   2 )4 1 2 10 1 3 2 b x  x   x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

2 ) 2 6 1 2 0 c x  x   x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

d) Định m để phương trình 2 2x mx  3 x 1 có hai nghiệm phân biệt ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

2) Các kỹ năng hỗ trợ: a) Bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình: Để bình phương hai vế của phương trình hay bất phương trình cần đảm bảm hai vế đó KHÔNG ÂM (Ví dụ: ta có 4> -6 nhưng không thể có 4 2 > (-6) 2 ) Ví dụ: 5x 1 x 1 2x4 (Đại học khối A năm 2005) ………

………

………

………

………

………

………

………

……… Bài tập:

1) x x 1 x x2 2 x

2) Định m để phương trình 2x2mx x2 4 0 có nghiệm

b) Chuyển vể phương trình, bất phương trình tích

Ví dụ: x2  x 7 7

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài tập:     2 2 2 2 1) 4 2) 3 2 3 2 0 1 1 x x x x x x x         3) Chứng minh rằng với mọi giá trị m dương thì 2   2 8 2 x  x  m x luôn có hai nghiệm thực phân biệt (Đại học khối B năm 2007) Một số dạng đặc biệt chuyển về phương trình tích: Dạng:     +b a c x b d ax cx d m       , chuyển thành  +b   x+b   m ax  cxd  a  cxd Ví dụ: 3 4 1 3 2 5 x x  x   Dạng: u  v 1 u v , chuyển thành u1v 1 0 Ví dụ: 2 3 3 3 3 2 4 4 ) 1 2 1 3 2 ) 1 1 i x x x x ii x x x x             Dạng: au bv ab uv chuyển thành u b v  a0 Ví dụ: 2 3 2 2 2 ) 3 2 1 2 4 3 ) 3 3 2 3 2 2 i x x x x x x ii x x x x x x x                c) Chuyển về dạng A1A2  A n 0 trong đó A A1, 2, ,A n là các số KHÔNG ÂM Khi đó A1 A2   A n 0 Ví dụ: 4x23x 3 4x x 3 2 2x1 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài tập: 4xy2  y 2 4x2 y d) Lập phương dùng cho các bài toán có dạng 3 3 3 A B  C Ví dụ: 3 3 3 1 2 2 3 x  x  x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

e) Giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu đặt điều kiện để phân thức xác định (mẫu khác 0) Đối với bài toán bất phương trình thì cần lưu ý tìm các giá trị x làm cho mẫu thức dương hay âm trước khi nhân chia khử mẫu Ví dụ:  2  2 16 7 3 3 3 x x x x x        (Đại học khối A năm 2004) ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… Bài tập:

1

x

 



f) Bài tập tổng hợp

Bài 1: Giải phương trình

      

      

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 x 1 2 x  2 x2

Bài 3: Giải phương trình: 4 3 10 3  x  x 2

Bài 4: Giải phương trình: 2 2

Bài 5: Giải phương trình: 2x 6x2  1 x 1

Bài 6: Giải các phương trình sau:

3

2

2

 

    

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m

Bài 8: Tìm m để phương trình: 4xx2  x m

a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt

Bài 9: Giải các bất phương trình sau:

2

1 1 4

x

x

       

Bài 10: Giải các phương trình:

2

4

3 3

x

x

x



      

III) Phương pháp đặt ẩn phụ

1) Dạng 1: Phương trình 2 2

0

ax bx c k px qx r , (trong đó a b

p q)

Cách giải: Đặt t = 2

px qxr (t  0), phương trình đã cho trở thành

t2 t 0

Ví dụ:

2

3

x



………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

2) Dạng 2: Phương trình  f x( ) g x( )( trong đó *

   ;

( ) ( )

f x g x k hằng số)

Cách giải: Đặt t = f x( ) (t  0), khi đó   k

g x

t



Ví dụ: 3 1 3 27(2 3)

2

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3) Dạng 3: Phương trình f x  g x d f x g x   k, với f x g x chằng số Cách giải: t f x  g x  (tìm điều kiện của t) Ví dụ: a) 2 3 2 3 6 9 x   x    x x b) 2 2 1 1 3 x x x x      ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

4) Dạng 4: Phương trình 2 2 2 2 xa  b a x b  xa  b a x b cxd Cách giải: - ĐK: x b 0 Đặt t = x b Ví dụ: 6 9 6 9 23 6 x x x  x x   ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

5) Dạng 5: Phương trình [ ( )f x g x( )][ f x( ) g x( )] 2  f x g x( ) ( )  0 ( 2 2 0    ) Cách giải: Đặt t = f x( ) g x( ) ( đặt điệu kiện cho t ), suy ra 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) t  f x g x  f x g x Ví dụ: a) 2 7 2 7 35 2 x x  x  x   x b) 2 4 4 2 12 2 16 x  x  x  x  ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

6) Dạng 6: Phương trình f x( )g x( ) f x g x( ) ( )0 (  0) Cách giải: - ĐK: f x g x( ) ( )0 Xét các khả năng sau - Nếu f(x) = 0 thì g(x) = 0 dẫn đến giải hệ ( ) 0 ( ) 0 f x g x      - Nếu f(x) > 0, ta chia 2 vế của pt cho f(x) ta được ( ) ( ) 0 ( ) ( ) g x g x f x f x     Đặt t = ( ) ( ) g x f x (t  0), pt đã cho trở thành 2 0 t t      - Nếu f(x) < 0, ta chia 2 vế của pt cho -f(x) Ví dụ: a) 2 3 2(x 3x2)3 x 8 b) 2 2 x    3 x 2 x 3 x  2 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

7) Dạng 7: Phương trình af x( )b g x ( ) f x( )c h x ( )0, a b c 0

Cách giải: ĐK: f x( )0 Đặt t = f x( ) (t0) Đưa về bài toán đặt ẩn phụ t nhưng trong đó vẫn còn chứa ẩn x và xem x như một hằng số Ví dụ: 2 2 (x3) 10x x  x 12 b) 2 2 2x 4 4 2 x 9x 16 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

8) Dạng 8: Phương trình m f x( )n g x( )c, trong đó f x g x k hằng số Cách giải: đặt điều kiện phù hợp rồi cho ( ) ( ) m n u f x v g x       Ví dụ: a) 3 2  x 1 x1 b) 2 2 4 2 3 4 x x   x x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

9) Dạng 9: Phương trình [ ( )]f x n  b a af x n  b Cách giải: Nếu n chẵn thì đk: af x  b 0 Đặt X = f(x), Y = n af x b, ta được hệ pt n n X b aY Y b aX         (hệ đối xứng loại II) Ví dụ: x3 2 3 33 x2 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

10) Dạng 10**: Phương trình 2 ( ) ax b c dx e x( trong đó d ac e bc          ) Cách giải: - ĐK ax b 0 Đặt ax b dy e suy ra 2 ( ) ax b  dy e ta chuyển về hệ đối xứng loại II Ví dụ: 2 1 4 5 x x  x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

11) Bài tập tổng hợp:

2

3

2

1

3

2

x x x x

x

x







 

2

x  x x  x 

2 2 2

3

2

2

2

IV) Hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa căn thức

1) Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải 5 2 7







………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 2: Giải 2 1 2 1 x y y x         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 3: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 0 1 x y m x xy         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 4: Giải     2 2 2 2 2 2 2 2 185 65 x xy y x y x xy y x y             ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ 5: Giải 2 1 x y x y y x y x              ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… Bài tập:

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

2

3 3

3 3

7

420 2

280 3

x y

y x xy

x y

 



 





 

2

2

1

1

2

1 1

4 9)

1 1

4

a

x y x y xy

x y x y

x y

y x









Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x y xy m

x y m





 



2) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải hệ phương trình 3

x y xy





 (Đề thi đại học khối A năm 2006)

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… Bài tập:

Giải các hệ phương trình sau

3

3

2 2

4 9

1

3 3

14

x y xy

x y xy y

x y xy

x y

y









