chuyên đề phương trình lượng giác chi tiết và hay

Bình luận: Việc giải một phương lượng giác được gọi là cơ bản nhưng trong phương trình đó có sự xuất hiện các giá trị tan, cot thì thực sự không thể gọi là cơ bản chút nào, vì vậy chúng

♠ cos u = ư cos v ⇐⇒ cos u = cos(π ư v) ♦ sin u = ư sin v ⇐⇒ sin u = sin(ưv)

♥ tan u = ư tan v ⇐⇒ tan u = tan(ưv) ♣ cos u = sin v ⇐⇒ cos u = cos(π

2 ư v)

♠ cos u = ư sin v ⇐⇒ cos u = cos(π

2 + v) ♦ tan u = cot v ⇐⇒ tan u = tan(π

4) + sin x = 0 (4) cos 4x + sin x = 0

x = 2π

3 + k2π

(k ∈ Z)Phương trình thứ hai có dạng cos u = sin v sử dụng công thức hai cung phụ nhau để giải phươngtrình này như sau

x = ư7π

20 + kπ

(k ∈ Z)Phương trình thứ ba có dạng sin u = ư sin v nếu chuyển vế, do vậy ta giải như sau

x = 5π

4 + k2π

(k ∈ Z)Phương trình thứ tư sẻ có dạng cos u = ư sin v nếu chuyển vế, do vậy ta giải phương trình như sau(4) ⇐⇒ cos 4x = ư sin x ⇐⇒ cos 4x = cos(π

x = ưπ

10 + k

2π5

(k ∈ Z)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

(1) cot 2x + cot(x ư π

3) = 0 (2) tan x + tan 3x = 0(3) tan(2x ư π

4) cot x = 1 (4) cot 4x + cos 4x = 0

Bài giải:

♥ Phương trình (1), trước hết điều kiện để phương trình có nghĩa là 2x 6= mπ ⇐⇒ x 6= mπ

2, m ∈Z(∗)

Với điều kiện (∗) ở trên và để ý rằng phương trình có phương trình dạng cot u = ư cot v nếuchuyển vế, do vậy ta giải như sau

3 , (k ∈ Z) chính là họ nghiệm của phương trình đã cho

Bình luận: Việc giải một phương lượng giác được gọi là cơ bản nhưng trong phương trình đó có

sự xuất hiện các giá trị tan, cot thì thực sự không thể gọi là cơ bản chút nào, vì vậy chúng ta cần

phải bình tĩnh trước mỗi bài tập Chú ý rằng việc giải các phương trình vô định như trên chỉ thực

sự dành cho các học sinh khá giỏi và phải có niềm tin, còn với các học sinh khác thì chúng ta cóthể bỏ qua mà không cần băn khoăn gì nhiều Tuy nhiên đối với phương trình thứ hai thì muốn đạt

điểm tối đa chắc chắn phải làm được bước loại nghiệm

♥ Phương trình thứ hai có dạng tan u = ư tan v, nếu chuyển vế do vậy chúng ta thực hiện cácbước như sau

Điều kiện để phương trình có nghĩa x 6= π

2 + mπ, m ∈ Z(∗) Với điều kiện này(2) ⇐⇒ tan 3x = ư tan x ⇐⇒ tan 3x = tan(ưx)

⇐⇒ 3x = ưx + kπ ⇐⇒ x = kπ

4Xét phương trình vô định nghiệm nguyên sau đây

Trước hết bạn hãy thữ chứng minh phát biểu sau: Nếu S1 là tổng các nghiệm của một phươngtrình lượng giác bất kì trên nữa đoạn [0; 2π) thì tổng các nghiệm của phương trình trên nữa đoạn[0; n2π), n ∈ N được tính theo công thức S = n(n + 1)

2 S1+

(n ư 1)n

2 mπ trong đó m là số nghiệmcủa phương trình trên nữa đoạn [0; 2π) Việc chứng minh phát biểu này sẻ dễ hơn nếu bạn biết đếncấp số cộng (nhân) và tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Do vậy chúng ta chỉ tính tổng S1 các nghiệm của phương trình (2) trên nữa đoạn [0; 2π) Ta vẫn làmcác bước tìm điều kiện và giải như trên, nhưng vì chỉ xét nghiệm trên nữa đoạn [0; 2π) do đó ở (∗) chỉcần xét các giá trị m = 0, m = 1 do vậy từ phương trình (∗∗) ta loại hai giá trị k = 2, k = 6 Lúc đóphương trình có 6 nghiệm trong nữa đoạn [0; 2π) là x = 0, x = π

(3) ⇐⇒ tan(2x ư π

4) =

1cot x = tan x ⇐⇒ 2x ư

π

4 = x + kπ ⇐⇒ x =

π

4 + kπ, (k ∈ Z)Kiểm tra điều kiện ta thấy các nghiệm của họ này đều thỏa mãn, vậy nghiệm của phương trình là

x = π

4 + kπ, (k ∈ Z)

♥ Phương trình thứ tư: Điều kiện để phương trình có nghĩa là 4x 6= mπ ⇐⇒ x 6= mπ

4, m ∈ Z(∗).Với điều kiện này ta giải phương trình như sau

0) =

√32(5) tan(x ư 150) =

√3

√3(7) cos 2x tan x = 0 (8) cot 2x tanx

2 = 1

Bài 4: Giải các phương trình:

(1) 2 cos(π

4 ư 3x) =√3 (2) cos 4x + cos 3x = 2(3) 4 sin2(150ư x) ư 1 = 0 (4) 3 tan(x + 300) =√

3(5) tan(x ư 150) tan(x + 150) = 1 (6) sin x + tan x = 0

(7) cos 2x + sin x = 2 (8) cot(2x ư 1) + tan(2x ư 1) = 2

Đ2 phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác

Nhiệm vụ của mục này là giúp chúng ta đưa một phương trình lượng giác "phức tạp" về mộtphương trình bậc cao đại số bằng cách đặt ẩn phụ Sau đó giải tiếp các phương trình dạng cơ bản,chú ý điều kiện của ẩn phụ Cụ thể các phương trình bậc cao đại số trong mục này là phương trìnhbậc hai, bậc ba, bậc bốn,

(1) Kiến thức bổ sung:

(1.1) Ta nhắc lại phương trình at2+ bt + c = 0, a 6= 0 với biệt thức ∆ = b2 ư 4ac thì phươngtrình có hai nghiệm x1,2 = ưb ±√∆

2a với điều kiện ∆ ≥ 0.

(1.2) Chú ý hệ thức viet cho hai nghiệm của phương trình trên là

x1+ x2 = ưb

a; x1.x2 =

ca(1.3) Giả sử phương trình bậc ba at3+ bt2+ ct + d = 0, a 6= 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 lúc đo

hệ thức viet cho ba nghiệm này là

Dn = anαn+ an−1αn−1+ + a2α2+ a1α + a0Theo cách đạt nh− thế chúng ta thấy D0 = an, D1 = D0α + an−1 tổng quát ta có Dk =

P2(x) là bất khả quy trên Q), nên công việc phân tích thành nhân tử theo yêu cầu đề bài dừng lại

ở đó

(2) Chúng ta cần chú ý rằng với các phép đặt ẩn phụ t = cos x, t = sin x thì cần điều kiện chotham số là ư1 ≤ t ≤ 1 còn nếu đặt ẩn phụ t = tan x, t = cot x thì t ∈ R, và chú ý thêm rằng trongmột số trường hợp yêu cầu khắc khe nghiệm của phương trình lượng giác thì chúng ta cần phải tìmchính xác các khoảng biến thiên của t, ở đây chúng ta xét các phương trình mà nghiệm được tìmtrên toàn miền xác định của từng phương trình Chúng ta sẽ quay lại vấn đề trên ở bài chuyên sâuhơn sau này Các công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc, sẽ giúp ích rất nhiều cho chúng ta trongmục này, chúng tôi cần nêu lại.

1 Công thức nhân đôi:

sin 2x = 2 sin x cos x tan 2x = 2 tan x

1 ư tan2xcos 2x = cos2x ư sin2x = 2 cos2x ư 1 = 1 ư 2 sin2x

Bài 1: Giải các phương trình sau:

(1) 2 cos2x ư 3 cos x + 1 = 0 (2) sin2 x

2 ư 2 cosx

2 + 2 = 0(3) 8 cos2x + 2 sin x ư 7 = 0 (4) cot 4x ư 2 tan 4x + 1 = 0

Bài giải:

(1) Đặt t = cos x, |t| 6 1 lúc đó phương trình (1) được viết lại 2t2ư 3t + 1 = 0 ⇐⇒ t = 1 ∨ t = 1

2+ Với t = 1 ⇐⇒ cos x = 1 ⇐⇒ x = k2π, k ∈ Z

(3) Ta có (3) ⇐⇒ 8(1 ư sin2x) + 2 sin x ư 7 = 0 ⇐⇒ 8 sin2x ư 2 sin x ư 1 = 0.

Đặt t = sin x, |t| 6 1 lúc đó phương trình được viết lại

8t2ư 2t ư 1 = 0 ⇐⇒ t = 1

2∨ t = ư1

4+ Với t = 1

Đặt t = cot 4x, t ∈ R lúc đó phương trình được viết lại

Bài 2: Giải các phương trình sau:

(1) cos 2x ư 2 cos x + 1 = 0 (2) sin 3x ư 2 sin x = 0

(3) tan 2x ư 3 tan x = 0 (4) cos 4x ư 4 cos 2x + cos x ư 6 = 0

Bài giải:

(1) Đặt t = cos x, |t| 6 1 lúc đó phương trình (1) được viết lại

2t2ư 1 ư 2t + 1 = 0 ⇐⇒ t2ư t = 0 ⇐⇒ t = 1 ∨ t = 0+ Với t = 1 ⇐⇒ cos x = 1 ⇐⇒ x = k2π, k ∈ Z

1 ư tan2x ư 3 tan x = 0 ⇐⇒ 3 tan3x ư tan x = 0.

Đặt t = tan x, t ∈ R lúc đó phương trình được viết lại

3t3ư t = 0 ⇐⇒ t = 0 ∨ t = √1

3 ∨ t = ư√1

3+ Với t = 0 ⇐⇒ tan x = 0 ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z

cos 4x = 2 cos22x ư 1 = 2(2 cos2x ư 1)2ư 1 = 8 cos4x ư 8 cos2x + 1

Do vậy, Đặt t = cos x, |t| 6 1 lúc đó phương trình được viết lại

Bài 3: Giải các phương trình sau:

(1) 2 sin2x ư 3 sin x + 1 = 0 (2) cos2 x

2 ư 2 sinx

2 + 2 = 0(3) sin2x + 2 cos x ư 1 = 0 (4) 2 cot x + tan x + 1 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:

(1) cos 2x ư 2 sin x + 3 = 0 (2) cos 3x + 2 cos x = 0

(3) cot 2x ư 3 tan x = 0 (4) cos 3x ư cos 2x ư cos x + 1 = 0

Đ3 phương trình nhất đối với SIN và cos

(1) Kiến thức bổ sung:

(1.1) Công thức cộng cung:

cos(a ư b) = cos a cos b + sin a sin bcos(a + b) = cos a cos b ư sin a sin bsin(a ư b) = sin a cos b ư cos a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b(1.2) Công thức biến đổi biểu thức T = p cos x + q sin x:

T = pp2+ q2[cos α cos x + sin α sin x] =pp2+ q2cos(x ư α)

Đặc biệt lần lượt cho p, q nhận các giá trị 1, ư1 ta được các công thức sau

cos x + sin x = √

2 cos(x ư π

4)cos x ư sin x =√

2 cos(x +π

4)sin x ư cos x = ư√

p sin x + q cos x + m = 0Theo biến đổi như trên ta đưa phương trình về dạng

(3) PhÇn gi¶i bµi tËp:

Bµi 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

3 cos x − sin x − 2 = 0(3) sin 2x −√

2 sin x +

√2

2 cos x =

√2

2 ⇐⇒ cos(x − π

4) =

√22

⇐⇒ cos(x −π

4) = cos

π4

12+ kπ, k ∈ Z(4) Ta cã (4) ⇐⇒ 1

2sin 2x −

√3

2 cos 2x = −

√22

⇐⇒

√3

2 cos 2x −

1

2sin 2x =

√22

⇐⇒ cos(2x +π

6) =

√22

24 + kπ, x =

−5π

24 + kπ, k ∈ Z

Bµi 2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

(1) 2 sin2x + sin x cos x − 3 cos2x = 0 (2) 3 sin2x − 4 sin x cos x + 5 cos2x = 2

⇐⇒ cos α cos 2x + sin α sin 2x = sin α (§Æt cos α = √5

4 + kπ, x =

α

2 − π

4 + kπ, k ∈ Z(2) Ta cã (2) ⇐⇒ 3(1 − cos 2x)

⇐⇒ cos α cos 2x + sin α sin 2x = sin α (§Æt cos α = √1

4 + kπ, x =

α

2 − π

4 + kπ, k ∈ Z(3) Ta cã (3) ⇐⇒ 2(1 + cos 2x)

2 sin 2x = −

12

⇐⇒ cos(2x +π

3) = cos

2π3

6 + kπ, x = kπ, k ∈ Z(4) Ta cã (4) ⇐⇒ (1 + cos 2x)

2 + sin 2x + 1 = 0

⇐⇒ cos 2x + 2 sin 2x + 3 = 0

Ta nhËn thÊy 22+ 12 < 32 do vËy ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm

(4) PhÇn bµi tËp tù gi¶i:

Bµi 3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

(1) sin 3x − cos 3x + 1 = 0 (2) √

3 cos x

2 − sin x

2 + 2 = 0(3) sinx

2 +

√

3 cosx

2 + 2 = 0 (4) 3 sin 2x + 4 cos 2x − 5 = 0

Bµi 4: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

(1) 2 cos2x + sin x cos x − 3 sin2x = 0 (2) 4 sin x cos x + 5 sin2x − 9

2 = 0(3) 2 cos2x − 3√

3 sin 2x − 4 = 0 (4) √

3 cos2x −√

2 sin 2x + 1 = 0

Đ4 phương trình đối xứng đối với SIN và cos

(1) Kiến thức bổ sung:

(1.1) Cho hai số a, b bất kỳ, ta nói S = a + b và P = ab là các hệ thức đối xứng sơ cấp của hai

số đã cho Bây giờ chúng ta để ý rằng

a2+ b2 = (a + b)2 ư 2ab = S2ư 2P

a3+ b3 = (a + b)3 ư 3ab(a + b) = S3ư 3P S

a4+ b4 = (a + b)4 ư 4ab(a2+ b2) ư 6a2b2 = S4ư 4P S2+ 2P2(1.2) Trong các đẳng thức trên nêu chúng ta thế a = sin x, b = cos x và đặt t = sin x + cos x

đồng thời để ý rằng sin2x + cos2x = 1 chúng ta sẽ có các đẳng thức dưới đây

(3) sin3x + cos3x = ưt3 + 3t

4x + cos4x = ưt4+ 2t2+ 1

2

(2) Các dạng phương trình đối xứng với sin và cos:

(2.1) Phương trình dạng a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0

Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

Giải phương trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phương trình cơ bản đã biết

(2.2) Phương trình dạng a(sin x ư cos x) + b sin x cos x + c = 0

Đặt t = sin x ư cos x điều kiện ư√

Giải phương trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phương trình cơ bản đã biết

(2.3) Phương trình dạng a(sin3x + cos3x) + b sin x cos x + c = 0

Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

Giải phương trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phương trình cơ bản đã biết

(2.4) Phương trình dạng a(sin4x + cos4x) + b sin x cos x + c = 0

Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

a(sin4x + cos4x) + b(sin3x + cos3x) + c(sin x + cos x) + d sin x cos x + e = 0

Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

Trong tài liệu nhỏ này chúng ta chỉ thực sự quan tâm đến nhiều về các phương trình dạng 2.1 và2.2 còn các dạng khác chỉ mang tính chất tham khảo và dành cho các học sinh khá giỏi

(3) Phần giải bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

(1) sin x + cos x ư sin x cos x ư 1 = 0 (2) sin 2x ư 2(sin x + cos x) + 1 = 0(3) 12(sin x ư cos x) ư 2 sin x cos x = 12 (4)

⇐⇒ x = π

2 + k2π ∨ x = k2π, k ∈ ZVậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm

(2) Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

2 ≤ t ≤√

2 lúc đó phương trình được viết lại dưới dạng

t2ư 1 ư 2t + 1 = 0 ⇐⇒ t2ư 2t = 0 ⇐⇒ t = 0 ∨ t = 2Với t = 2 loại theo điều kiện trên

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm x = 3π

⇐⇒ x = π

2 + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ZVậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm

(4) Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

Bài 2: Giải các phương trình sau:

(1) sin3x + cos3x = √1

4x + cos4x ư 2 sin 2x ư 1 = 0(3) 4√

2(sin x + cos x) + cos22x = 8 (4) sin3x + cos3x ư sin x ư cos x = cos 2x

Với t2 = 1 ⇐⇒ sin x cos x = 0 ⇐⇒ x = kπ

4, k ∈ Z

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm

(3) Đặt t = sin x + cos x điều kiện ư√

2 ⇐⇒ cos(x ưπ

4) = 1 ⇐⇒ x =

π

4 + k2π, k ∈ Z(4) Ta có sin3x + cos3x ư sin x ư cos x = cos 2x

⇐⇒ (sin x+cos x)(sin2x+cos2x+sin x cos x)ư(sin x+cos x) = (cos x+sin x)(cos xưsin x)

sin x cos x + sin x ư cos x = 0 (ii)Phương trình (i) ⇐⇒ x = ưπ

(4) Phần bài tập tự giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau:

(1) sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0 (2) 2 sin 2x + (sin x + cos x) ư 1 = 0(3) 1

2(sin x ư cos x) ư 2 sin x cos x ư 1 ư

√2

2 = 0 (4) sin x ư cos x ư 2 sin x cos x = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:

(1) sin3x ư cos3x = 1 (2) sin4x + cos4x + 2 sin 2x ư 5

2 = 0(3) 4√

2(sin x ư cos x) + sin22x = 9 (4) sin3x + cos3x + cos 2x ư √1

2 = 0(5) sin4x + cos4x + sin3x + cos3x ư (sin x + cos x) + (1 +√

2) sin x cos x = 1

Đ5 phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

(1.1) Phương trình đẳng cấp bậc 2:

Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

a cos2x + b sin x cos x + c sin2x = 0

Để giải phương trình này chúng ta có thể vận dụng cách giải của phương trình bậc nhất đối vớisin ư cos tuy nhiên cách giải sau đây vẫn thường hay được áp dụng, đặc biệt trong các bài toánbiện luận nghiệm có chứa tham số

Trước hết ta có nhận xét nếu một trong ba hệ số a, b, c bằng không thì phương trình trở nên đơngiản vì vậy ta có thể giả sử cả ba hệ số đều khác không, lúc đó chia cả hai vế phương trình chosin2x hoặc cos2x ta sẽ được phương trình bậc hai theo ẩn cot x hoặc tan x

Đặt t = cot x, t ∈ R phương trình đã cho trở thành

at2+ bt + c = 0

Chú ý rằng phương trình sau đây có thể đưa về dạng trên bằng biến đổi d = d sin2x + d cos2x

a cos2x + b sin x cos x + c sin2x + d = 0

(1.2) Phương trình đẳng cấp bậc 3:

Phương trình đẳng cấp bậc ba có dạng: (a.b.c.d 6= 0) :

a cos3x + b cos2x sin x + c sin2x cos x + d sin3x = 0

Tương tự như trên chúng ta chia hai vế phương trình cho sin3x hoặc cos3x ta sẽ được phươngtrình bậc ba theo ẩn cot x hoặc tan x

(1) cos2x + sin x cos x − 2 sin2x = 0 (2) 4 cos2x + sin x cos x + sin2x − 3 = 0(3) 4√

3 sin x cos x + 4 cos2x = 2 sin2x + 5

2(4) 2 sin x + 2√

3 cos x =

√3cos x +

1sin x (5) sin

3(π

4 + x) =

√

2 sin x(6) 2 cos3x − 11 cos2x sin x = 6 sin3x − 17 sin2x cos x

(2) Ta cã (2) ⇐⇒ 4 cos2x + sin x cos x + sin2x − 3 sin2x − 3 cos2x = 0

⇐⇒ cos2x + sin x cos x − 2 sin2x = 0Gi¶i nh− trªn cã c¸c hä nghiÖm x = π

(5) Ta cã (5) ⇐⇒ (

√2

3 cos x =

√3cos x +

1sin x (5) sin

3(π

4 + x) =

√

2 sin x(6) 2 cos3x − 11 cos2x sin x = 6 sin3x − 17 sin2x cos x

Đ6 phương trình lượng giác trong đề thi đại học

6.1 Năm 2002

Khối A: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình:

5

sin x + cos 3x + sin 3x

cot x ư tan x + 4 sin 2x = 2

sin 2xKhối D: Giải phương trình:

sin2x

2 ư π4

tan2x ư cos2 x

cot x + sin x(1 + tan x tan x

2) = 4Khèi D: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0

2 + cos

x2

2+√

3 cos x = 2

6.7 N¨m 2008

Khèi A: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1sin x+

1sin(x − 3π

6.8 Năm 2009

Khối A: Giải phương trình:

(1 ư 2 sin x) cos x(1 + 2 sin x)(1 ư sin x) =

√3Khối B: Giải phương trình:

sin x + cos x sin 2x +√

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3x)Khối D: Giải phương trình:

√

3 cos 5x ư 2 cos 2x sin 3x ư sin x = 0TAM THứC BậC HAI Và ứNG DụNG I Phưng pháp Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+bx+c, (a 6=0)

Đặt ∆ = b2ư 4ac, S = ưb

a, P = ca, α, β ∈ R

Xét phưng trình f (x) = ax2+ bx + c = 0 (∗), x1, x2 là các nghiệm của phưng trình này

II Điều kiện để phưng trình (*) có nghiệm tho:

2 ư α < 0a.f (α) > 0

2 ư α < 0a.f (α) > 0

2 − α < 0a.f (α) > 0

2 − α 6 0a.f (α) > 0

2 − α > 0a.f (α) > 0

2 − α > 0a.f (α) > 0

2 − α > 0a.f (α) > 0

2 − α > 0a.f (α) > 0

16*) x1 6 α < β 6 x2 ⇔





a.f (α) 6 0a.f (β) 6 0

17*) α < x1 < β < x2 ⇔





a.f (α) > 0a.f (β) < 0

∆ > 0S

∆ > 0S

2 − β < 021*) x1 < α < x2 < β ⇔







a.f (α) < 0a.f (β) > 0

∆ > 0S

2 − α < 0

∆ > 0S

2 − α > 025*)

∆ > 0S

∆ > 0S

2 − β < 0

∆ > 028*).

∆ > 029*)

2 − β < 0

∆ > 031*).

2 − α < 0

∆ > 032*)







f (β) = 0a.f (α) < 0

α < S

2 < β34*)

α < S235*)

2 < β36*)

α < S

2 < β

α 6 S238*).

2 6 β39*)

α 6 S

2 6 β

f (α) = 0

α < S2

2 < β