Đây là tài liệu hay giúp học sinh nắm lại kiến thức về hình học phẳng không gian. Các bài tập đã được chia dạng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ theo dõi và tự học, cuối của chủ đề có bài tập ôn tổng hợp để học sinh rèn luyện thành thục các kỹ năng
Trang 1Chúc các em thành công! Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016
Chủ đề 6: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN -
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Thể tích khối đa diện
Các thuật ngữ thường gặp:
o Tứ diện đều là tứ diện cĩ tất cả các cạnh bằng nhau
o Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (đỉnh nằm trên trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy)
o Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy
o Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mỗi đáy là đa giác đều
o Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy
Các cơng thức cần lưu ý: trong các cơng thức sau: B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao
o Thể tích hình chĩp và hình tứ diện: 1
3
o Thể tích hình lăng trụ: V = B.h
o Thể tích hình trụ: 2
Loại 1: Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp các cơng thức
i (A - 2009) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB =
AD = 2a, CD =a; gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chĩp S.ABCD theo a
i (B - 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa đường thẳng
BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600
; tam giác ABC vuơng tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính
Trang 2Chúc các em thành công! Trang 2
thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
i (D - 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
i (A - 2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuơng gĩc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
i (B - 2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a , SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Loại 2: Tính thể tích bằng cách sử dụng cơng thức tỉ lệ thể tích và phân tích thành tổng/
hiệu thể tích của các khối cơ bản
Cho hình chĩp S.ABCD Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên SA,
SB, SC Khi đĩ:
' ' '
' ' '
S A B C
S ABC
i (A - 2004) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cĩ tâm là O và cạnh bằng 5 cm, đường chéo AC = 4cm Đường thẳng SO = 2 2 cm và vuơng gĩc với đáy Gọi M là trung điểm của SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích hình chĩp
i (D - 2006) Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =
2a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chĩp A.BCNM
Trang 3Chúc các em thành công! Trang 3
i (A - 2009) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ cạnh AB = a, cạnh bên SA = a 2 Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, CD Tìm thể tích tứ diện AMNP
Phần 2: Sử dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ đỉnh đến mặt đối diện
i (D - 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM
và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
i (D - 2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCBAD900, BA = BC =
a, AD = 2a Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuơng và tính ( theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
i (A - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và
MN
i (A, A1 - 2013) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, ABC300, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuơng gĩc với đáy Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
i (B - 2013) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCDvà khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phần 3: Giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối đa diện
ước 1: Chọn tham số Tham số này cĩ thể là gĩc thích hợp trong đa diện hoặc độ
dài nào đĩ
ước 2: Sử dụng tham số này để tính thể tích bằng các cơng thức tính thể tích
thơng thường
ước 3: Ta xem kết quả này như một hàm số phụ thuộc vào tham số đã đặt ban
đầu Sử dùng bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Trang 4Chúc các em thành công! Trang 4
i Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 2a
Với giá trị nào của x, với x là gĩc giữa mặt bên và đáy của hình chĩp thì thể tích của khối chĩp là nhỏ nhất? Tìm giá trị đĩ
i Hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân đỉnh C và SA vuơng gĩc với
(ABC) Giả sử SC = a Hãy tìm gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABD) sao cho thể tích khối chĩp là nhỏ nhất
Phần 4: Các bài tốn chứng minh tính vuơng gĩc trong khơng gian
i (B - 2007) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuơng gĩc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC
i (D - 2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCBAD900, BA = BC =
a, AD = 2a Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuơng và tính ( theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
i (Cao đẳng - 2009) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a Cạnh bên bằng a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SD, DC Chứng minh rằng MN vuơng gĩc SP
i (B - 2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a , SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Phần 5: Các bài tốn tìm khoảng cách (điểm đến mặt, hai đường chéo nhau)
i (D - 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng, AB = BC = a,
cạnh bên AA' = a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
i (B - 2007) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC
Trang 5Chúc các em thành công! Trang 5
Chứng minh MN vuơng gĩc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC
Phần 6: Các bài tốn tính gĩc trong khơng gian
i (A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuống tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng '
AA , B C' '
i (B - 2008) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB =
3
a và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM, DN
-HẾT -