ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC pps

1 Trong cách viết các nghiệm của phương trình lượng giác, nếu không có thêm điều kiện gì khác thì k, l, m, u , n∈Z.. Dự bị 2002 Tìm để phương trình có nghiệm thuộc đoạn.. Dự bị 2002 Ch

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2

π





•

•

Bài 1 Giải các phương trình sau:

2; 2) sin(x – 600) + 2cos(x + 300 ) = 0; 4) cos(cosx) = cos(2cosx);

x

π

; 6) cotg3x = cotg5x;

9) 3sin x2 +3 cos x2 =34;

10)

11)

14)

Đáp số

1)

2 , 9

2

2 ;

9

π







π





1 2) x = 600 + k1800; 3)

3

x= ± π ;

4) x =

2 k

π

2 , 4 5

2 ; 4

π





 π



6) x =

2 k

π + π;

1,2

3,4

1 1 2 ( 0, 1, 2, )

3

1 1 2 ( 1, 2, 3, )

3









9) x =

+k

2 3 2

k x

π π









11)

5 2 6

k x

π π









Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 3 ;

2

π

 của phương trình : 1

sin cos cos sin

Đáp số : 31 17

24 24 24

−

Bài 3 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

sin( π x2) = sin[ π (x2 + 2x)]

Đáp số : 3 1

2

−

1

Trong cách viết các nghiệm của phương trình lượng giác, nếu không có thêm

điều kiện gì khác thì k, l, m, u , n∈Z

54

55 (Dự bị 2004)

56 (Dự bị 2004)

57 (Dự bị 2002) Tìm để phương trình có nghiệm thuộc đoạn

58 (Dự bị 2002)

Đáp số

59 (Dự bị 2002)

Đáp số

60 (Dự bị 2002)

61 (Dự bị 2002) Cho phương trình 1) Giải phương trình khi 2) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm

62 (Dự bị 2002) Giải phương trình

42

43

44 (Dự bị A, 2006)

Đáp số

45 (Dự bị A, 2006)

Đáp số

46

Đáp số

47 (A, 2005)

Đáp số

48 (B, 2005)

49

50 (Dự bị 2005)

Đáp số

51 (Dự bị 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình

Đáp số

52 (Dự bị 2005)

53 (Dự bị 2004)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1 : Giải các phương trình sau:

a) cos4 sin2 1

+ = ; b) 6 sin− x−7 cos2x +sinx=0;

c) 4 sin x + 2cos2x = 3; d) sinx – 2 cos 1

2 cos 1

x x

−

− sin2x = sin2x; e) sin42x + cos42x = sin2xcos2x; f) 2 1 2 3 4 0

sin cos sin xcos x+ x x − = ; g) tg5x + 2sin10x = 5sin5x; h) 2 cos2 2 3

1 4 cos2

x

x

i) 2cosx(cosx – 8 tgx) = 5; j) tg2x tgx 5

tgx +tg2x =2; k) sin2x + cos2x – 2sin2

8

π cosx = 1

2 với – π < x <

5 2

π

;

cos x

− = < < ; m) cos(10x + 12) + 4 2sin(5x + 6) = 4

Đáp số :

a)

5

5 , 2

5 ;

x n

π









b) sinx = – 1

3; c)

2 , 6 5

2 ; 6

π







π





d)

,

2 ; 6

x k

= π



 π



e) x =

+k

; f)

, 12 5

; 12

π





 π





g)

,

5

arccos ;

k

x

k

x

π



=





π





h) x =

6 k

π

± + π; i)

2 , 4 5

2 ; 4

π





 π



l) x ,

= π





= π +

Bài 2 Cho phương trình (*) (m là tham số)

Với Tìm điều kiện của m để cho phương trình (*)

có nghiệm

Đáp số : 0 ≤ m ≤ 1

4,

1

1

2≤m≤ ,

1

1

8≤m≤

Bài 3 (Học viện Báo chí tuyên truyền, HCM, 2001)

Cho phương trình sin6x + cos6x = a.sin2x

a) Giải phương trình khi a = 1;

b) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm

Đáp số : a) sin2x = 2

3; b) a ≥

1

4

Bài 4 (ĐH Y dược HCM, 2001) Xác định các giá trị của tham số a sao

cho phương trình sau có nghiệm sin6x + cos6x = a sin2x

Đáp số : a ≥ 1

4

Bài 5 (ĐH Huế, 2001) Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình khi ;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số thực m thỏa m ≥ 1

thì phương trình (1) luôn luôn có nghiệm

Đáp số: a) x =

4

π

+ k π

Bài 6 (ĐHQGHN, khối D, 2000)

Cho phương trình 6sin2x – sin22x = mcos2x

30 (Dự bị 2, A, 2007)

Đáp số

31 (Dự bị B, 2007)

32 (Dự bị B, 2007)

Đáp số

33 (Dự bị 1, D, 2007)

Đáp số

Đáp số

35 (Dự bị B, 2006)

36 (Dự bị B, 2006)

37 (Dự bị D, 2006)

38 (Dự bị D, 2006)

Đáp số

39

40

41

Đáp số

17 (A, 2008)

Đáp số

18 (B, 2008)

Đáp số

19 (D, 2008)

Đáp số

Đáp số

21 (Dự bị 1, A, 2008)

22 (Dự bị 2, A, 2008)

23 (Dự bị 1, B, 2008)

24 (Dự bị 2, B, 2008)

25 (Dự bị D, 2008)

26 (A, 2007)

Đáp số

27 (B, 2007)

Đáp số

28 (D, 2007)

29 (Dự bị 1, A, 2007)

Đáp số

a) Giải phương trình khi m = 3;

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Đáp số: a) x = ±

3

π

+ k π ; b) m ≥ 0

Bài 7 (ĐHQGHCM, đợt 3, 1998)

Cho phương trình cos4x + 6sinxcosx = m

a) Giải phương trình khi m = 1;

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x

4 4

π π

−

Đáp số: b) 2 17

8

m

− ≤ <

Bài 8 Cho phương trình sinx + sin2x + asin3x = 0

a) Giải phương trình khi a = 0;

b) Chứng minh rằng với mọi a > 1 thì phương trình đã cho có đúng

hai nghiệm x ∈ 0;

2

π

 

Bài 9 (ĐH Thái Nguyên, 2000)Cho phương trình 3cos2x + 2 sinx = m

a) Giải phương trình khi m = 2;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x ∈ ;

4 4

π π

−

Đáp số: b) Þ

Bài 10 (Hàng không Việt Nam, 1997)

Cho phương trình sin4x + cos4x – cos2x + 1

4sin

2

2x + m = 0

a) Giải phương trình khi m = – 2;

b) Giải và biện luận phương trình đã cho

Đáp số:

a) x = 2

π + k π b)

v 0

2

m

m

>





< −

 : phương trình vô nghiệm

2

m

m

=





= −

 : phương trình có nghiệm x =

2

kπ

v – 2 < m < 0 : x = ± 1arccos 2( 1 4 )

Bài 11) Giải các phương trình sau:

1)

3)

CÔNG THỨC CỘNG

Giải các phương trình sau:

1) cosx.tg6 x + sin5x = 0; 2) sin x tg5x = cosx;

3) tg2x tgx 1

1 tg2xtgx

+

= −

1 tg3xtg2x

−

=

5) 2tg3x – 3tg2x = tg22xtg3x; 6) tgx + 1 tgx 2

1 tgx

+

=

− 7) cotgx + cotg15o + cotg(x + 25o) = cotgxcotg15ocotg(x + 25o);

9) (ĐH Dược, Hà Nội, 2001)

tg2x.cotg22x.cotg3x = tg2x – cotg22x + cotg3x;

10) (Cao đẳng Giao thông Vận tải, 2001)

tg2x.tg23x.tg4x = tg2x – tg23x + tg4x;

Đáp số

8 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2003, dự bị 2)

cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2

Đáp số

9 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2003, dự bị 1)

3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0

Đáp số

10 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2003, dự bị 2)

2

1

x

cos x

π

=

11 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối D, 2003, dự bị 1)

2

1

2 1 cos x(cos x )

( sin x) sin x cos x

−

Đáp số

12 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối D, 2003, dự bị 2)

cotgx = tgx + 2 4

2

cos x sin x

Đáp số

13 (A, 2009)

Đáp số

14 (B, 2009)

Đáp số

15 (D, 2009)

Đáp số

16 (Cao đẳng A, B, D, 2009)

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY

1 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2002)

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 π ) của phương trình :

2 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2002)

sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

3 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối D, 2002)

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình

cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

Đáp số

4 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2003)

2

cos x

sin x sin x

Đáp số

5 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2003)

cotgx – tgx + 4sin2x = 2

2 sin x

Đáp số

6 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối D, 2003)

sin  −πtg x cos− =

Đáp số

7 (Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2003, dự bị 1)

3 – tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0

11) (Học viện Bưu chính Viễn thông, 1999) tg x3 tgx 1

4

π

Đáp số :

, 11

π



=





n x

x m

, 12 (2 1)

, 12 (1 2 )

; 8

x n x

n x

π



=







=





π −

 =



1 3 ;







 ≠ +



k x

4) Þ ;

5) x = k π ; 6) x = arctg(2 ± 3 ) + k π ;

k

9)

, 4

; 6

π





 π



= ± + π



10)

,

;

= π





 = +



k

x 11) x = k

4

π

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Giải các phương trình sau:

1) 2) Trong khoảng (0; π /12), tìm các nghiệm của phương trình :

sinπ−xsinπ+x=

4) sinxcos2x + sin2xcos5x = sin3xcos5x;

5) sin2x + sin2x sin4x + … + sinnxsinn2x = 1;

6) (sinx + 3 cosx).sin3x = 2;

7) sin2xsin4xsin6x = 1sin 4

4

x; 8) (ĐH Huế, 1999) sin x.cot g5x 1

cos9x = ; 9) (ĐH Giao thông Vận tải HN, 1996) cos3x.tg5x = sin7x;

10) (ĐH Y khoa HN, 1997)

cosxcos cos3 sin sin sin3 1

x

Đáp số

Đáp số

Đáp số :

12, 4

18

π

2

,

;

k x

k x











4)

, 3

2

; 9

k

x

k

x

π



=





π



=



5) x = (2k2 1)

+ π

6

k

π + π;

12) 13) 14) 15) 16)

19) 20)

22)

Đáp số :

1) x = 5 2 ;

6

π +k π (xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo tgx);

2)

2 ,

2 ; 2

x k



 π



3) x = (1 + 4k)2 π ; 4) x = 3

k

2;

,

2 ; 2

x k

= π



 π



10) 2

π + π

Đáp số:

2

π

, , 2 2

;

x k n y

m z



 = π

 π

 =





 = − +



4) 1;

2 k

π

5) x = 2k π ; 6)

8

x=π+ πk ; 7) x = 0;

π

MỘT SỐ BÀI KHÁC

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) sin2x + 2tg2x + 4 tgx sin x 11 0

12

2) 8cosx + 6sinx – cos2x – 7 = 0;

3) cosx 2sin x sin x 1 sinx 2 cos x cos x 0;

4) sin4x.cos16x = 1;

5) sin 5x sin x 2

7) x = sin x 1sin 1 x, 0 x 1

8) cos120x – sin120x = 1;

9) cos68x + sin69x = 1;

10) 4(sin3xsinx)2 – sin3x = 5;

8)

,

;

20 10

k x

k x









9)

,

;

20 10

k x







10)

, 4 , 2

2 , 6 7

2 6

π



= − + π



 π



= − + π



 π

 = − + π





CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1 Giải các phương trình sau :

1) cos5x – sin5x = sin7x – cos7x;

2) sin7x + cos2

2x = sin22x + sinx;

3) cos2x – sin3x – cos8x = sin10x – cos5x;

4) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x;

5) 5sinx + 6sin2x + 5sin3x + sin4x = 0;

sinx =sin 2x+sin 4x ; 7) sina + sin(x – a) + sin(2x + a) = sin(x + a) + sin(2x – a);

8) (ĐH Hàng hải, HN, 2001, Khối A)

9) (ĐH Ngoại thương, HN, 2000, Khối A)

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x;

10) (ĐHSP, HCM, 2000, Khối D, E)

2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1);

11) 12) 13)

Đáp số

1)

;

2

24 6

k

x

π











2)

,

2 ,

;

k x

k x

k x















3)

,

16 4 3

, 4 2 ,

2

;

k x

k x

k x





 π











 = +



4)

,

2

2 ,

6

5

2 ,

6

2

2 ; 3

π







π





π





π



5)

, 2 2

2 ; 3

k x

π



=





π





6 ) 7(2 1) ,

7 4;

π







 ≠ −



7) (– ∞ ; + ∞) với a ∈{k π }, arccos1 5 2

4

x= ± ± + kπ với a ∈( – ∞; + ∞);

8)

2 ,

6

5

2 ;

6

π







π





9)

, 6 7

, 6

2 , 3

;

x k

π



= − + π



 π



 π

 = ± + π





= π



10) x =

k

+

CÔNG THỨC HẠ BẬC, CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

1) sin2

x + sin22x + sin23x =

2

3

;

a) Giải phương trình khi m = – 1 bằng cách đặt t = cosx – sinx;

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm x ∈ ;

4 4

π π

−

Đáp số : a)

2 ,

2 2

= −π + π



 π



− ≤ <

Bài 5 (ĐH Tài chính Kế toán HCM, 1993)

Cho phương trình sinx+cosx +asin 2x=1 ( a > 0)

Tìm a đểû phương trình có nghiệm

PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI VẾ

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) − −3 cos2x+3sin 5x = −1 sinx;

2

1

cos x

4) (CĐSP Kĩ thuật, 2001) Tìm x, y thỏa

x2 – 2xsinxy + 1 = 0;

5) (Ngân hàng, HCM, 2001)

cos3x+ 2 cos 3x− =2(1 sin 2x)+ ; 6) (Kĩ thuật Công nghệ, 2001, Khối D)

tg 2x cotg 2x 2sin 2x

4

π

7) (ĐHTCKT, Hà Nội, 1999)πsin x =cos x; 8) 4 + sin2x + cos22x = 5sin2xsin2y;

9) tg22x + 2 3 tg2x + 3 = – cotg2 4y

6

π

−

10) 1 – 2x – x2 = tg2(x + y) + cotg2(x + y)

7)

2 ,

4

2 ,

2

2 ;

π







π







= π + π





8)

2 ,

2 ; 2

= π + π



 π

 = + π



, 4

2 , 2

2 ;

π





 π







= π + π





10)

2 ,

2 ;

2





π

 = + π



11)

2

2

2

4 2 11

6 5 4 6





π



π



= − + π



Bài 2 (ĐH Thái Nguyên, 2000)

Cho phương trình sin2x + 4(cosx – sinx) = m

a) Giải phương trình khi m = 4;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Đáp số : a)

2 , 3

2 ; 2

x k





π



b) 1 4 2− − ≤m≤ − +1 4 2

Bài 3 (ĐHSP, HCM, Khối A, B, 2001)

Cho phương trình 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx)

a) Giải phương trình khi m = 2;

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ∈ 0;

2

π

 

Đáp số : a)

2 , , 4

2 ; 2

x k



 π

 = − + π



 π



b) – 2 ≤ m ≤ 2

Bài 4 (ĐH Quốc gia HCM, 2000)

Cho phương trình cos3x – sin3x = m (1)

2) (Khối B, 2002) sin2

3x – cos24x = sin25x – cos26x;

3) sin2

4x – cos26x = sin(10,5 π + 10x);

4) sin22x + sin2x = 9

16;

8) sin8x + cos8x = 17

16cos22x; 9) sin8x + cos8x = 17

32; 10) sin4x + cos4x = 7

8cot g x +3πcot g6π−x

11) sin22x = 3 cos2x – sin2( x + π ) với 5

2π x

− < < π; 12) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x );

13) (ĐH Ngoại thương, HN, 2000)

sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x ) + 5

4cos2x;

Bài 2) (ĐH Mở, HN, 2000)

Cho phương trình sin8x + cos8x – 2(sin10x + cos10x ) = mcos2x

a) Giải phương trình khi m = 7

3; b) Tìm m để phương trình có nghiệm x ≠

k

+

Đáp số :

3

,

;

k x





 π



= ± + π



2

,

;

k x





 π





5)

2 2

2 5

, ,

;

k x

k x

π









 π

 =



2)

9

,

;

x k

k

x

= π





π

 =



2arccos4 k

6) x = 4arccos2 2 8

2

k

−

2

k

−

8) x =

k

+ 9) x =

k

+ ; 10) x =

12 2

k

4π, 4π, 4π, 4π, 4 4π π, , 4π

12) x =

k

k

+ ;

Bài 2) a) x =

k

+ ; b) [−1;1 \ 0] { }

CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx THEO tg

2x

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

1) tg2x + 3cotgx = 0;

2) sin2x + 3sinx = tg

2

x

; 3) (Bách khoa HN, khối A, D, 2001) sin2x + 2tgx = 3;

4) (SPHN, 2001, khối B, M, T) tgx + 2cotg2x = sin2x;

5) (QGHN, khối D, 2000) 1 + 3tgx = 2sin2x;

6) (Hàng hải, 2000) tgx

2 cosx + sin2x = 0;

15cot g 130sin x tg

cos x 6sin x.tg 4tgx.cot g

10) ( ĐH Thủy lợi 1999) tg2x + sin2x = 3

2cotgx

Bài 17 : Giải các phương trình sau :

1) 1 + tgx = 2 2sinx;

2) (Cao đẳng TCKT, HN, 2001) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0; 3) (ĐH Cảnh sát 2000) cos3

x + sin3x = sin2x + sinx + cosx; 4) (ĐH Đà Lạt, 2001) cos3

x – sin3x = cos2x – sin2x;

5) ( ĐH An ninh, 1999) cos3x + sin3x = 1;

4sin 3

sin

2

x

π

π

−

;

7) (ĐH Ngọai ngữ, HN, 2000) sin2 2 sin

4

x+ x−π

 = 1;

8) (ĐHQGHCM, 2000) cos3

x – sin3x = –1;

9) ( ĐH Nông nghiệp, HN, 2000) 1 + cos3x – sin3x = sin2x;

x

Đáp số :

1)

2 , 4 11

2 , 12

5

2 ; 12

π





 π







π



2)

2 ,

2 ; 2



 π

 = + π



x k

2

kπ

;

4)

2 ,

2 ; 2



 π

 = + π



x k

2 ,

2 ; 2



 π

 = + π



x k

, 4 , 8 5

; 8

π



= − + π



 π

 = − + π



 π



PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHƯƠNG TRÌNH PHẢN XỨNG

I Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

1) Định nghĩa Phương trình đối xứng theo sinx và cosx là phương trình

có dạng

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) trong đó a, b, c ∈R

2) Cách giải

Đặt t = sinx + cosx = 2sin x

4

π

+

 (điều kiện t ≤ 2)

⇒ t2 = (sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinxcosx

⇒ sinxcosx =

2

2

− (hay sin2x = t2 – 1)

Thay vào phương trình đã cho ta được một phương trình bậc hai

theo t Giải phương trình này và nhận nghiệm t thỏa t ≤ 2

Sau đó trở về ẩn x

F Nếu phương trình có dạng a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (1)

thì ta đặt t = sinx – cosx = 2sin x

4

π

−

 (điều kiện t ≤ 2))

⇒ sinxcosx =

2

1 t 2

− (hay sin2x = 1 – t2)

F Nếu phương trình có dạng a(cosx – sinx) + bsinxcosx + c = 0 (2)

thì ta viết (2) ⇔ – a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 và đưa về

dạng phương trình (1)

F Chú ý :

˜ sinx + cosx = 2sin x

4

π

+

  = 2cos x

4

π

−

 

˜ sinx – cosx = 2sin x

4

π

−

 = – 2cos x

4

π

+

 

˜ cosx – sinx = – 2sin x

4

π

−

 = 2cos x

4

π

+

 

Đáp số :

1)

π



= ± + π



 π





, 3

; 2

2) x = 2 π

3

k

; 3) x = π+2 π

4) x = ±π+ π

π

4 k ; 6) x = k π ; 7) x = ±2arctg5 2k ; + π 8)







x 2arctg3 2n ,

3

11

9) x = ± π+ π

π





 π

 = ± + π



, 2

6

PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a) 3 cos x + sin x = 2; b) 3sin3x – 3cos9x = 1 + 4sin33x;

c) cos7x cos5x – 3sin2x = 1 – sin7x sin5x;

d) (ĐH Kinh tế quốc dân Hà Nội, 1997)









∈

7

6

; 5

2

của phương trình cos7x – 3sin7x = – 2;

6 x 5 sin 5 6 x sin 4 3









+ +











+ +











f) (Cao đẳng Hải quan HCM, 1998)

4sin3x –1 = 3sinx – 3cos3x;

g) (Học viện Bưu chính Viễn thông , 2001)

4sin3x cos3x + 4cos3x sin3x + 3 3cos4x = 3;