LV chuyen nganh dai so cao cap

Iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan căn trong vành iđêan hóa.. Nagata sửdụng iđêan hóa để chứng minh một số kết quả cho môđun khi biết là chúngđúng cho các iđêan, bằng cách xe

HOÀNG VĂN THÔNG

IĐÊAN TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

HOÀNG VĂN THÔNG

IĐÊAN TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại 7

1.2 Độ cao và chiều 8

1.3 Các phép toán trên các iđêan 9

1.4 Căn lũy linh và căn Jacobson 11

1.5 Vành và môđun phân bậc 12

1.6 Môđun hữu hạn sinh 14

2 Iđêan trong vành iđêan hóa 15 2.1 Vành iđêan hóa 16

2.2 Iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan căn trong vành iđêan hóa 17

2.3 Iđêan thuần nhất trong vành iđêan hóa 21

Tài liệu tham khảo 29

với mọi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M R × M cùng với hai phép toán nói trên

là một vành giao hoán có đơn vị (1, 0) và hơn nữa nó là một R−đại số Vành

R × M được gọi là iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M

và được ký hiệu là RnM

Khái niệm iđêan hóa được M Nagata đưa ra năm 1962 trong [8] Một cáchđơn giản, có thể hiểu iđêan hóa môđun M nghĩa là đặt M vào R để M đượcchuyển thành một iđêan của vành iđêan hóa Mục đích của M Nagata sửdụng iđêan hóa để chứng minh một số kết quả cho môđun khi biết là chúngđúng cho các iđêan, bằng cách xem mỗi môđun là một iđêan của vành iđêanhóa Kỹ thuật này được ông sử dụng rất nhiều lần trong [8] Chẳng hạn, ôngchứng minh Bổ đề Artin Ress, Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan sau

đó mở rộng cho môđun bằng kỹ thuật iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêanhóa đã được một số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu như I Reiten (Pro.AMS, 1972), Y Aoyama (J Math Kyoto Univ., 1983), J A Huckaba (1988),

K Yamagishi (Math Proc Cambridge Phil Soc, 1988), S Goto, S Iai, M.Kim (Proc AMS, 2001), S Goto, S Haraikawa (Tokyo J Math., 2002), D.Anderson, M Winders (J Comm Algebra, 2009), B Olberding (J Algebra,

2012), N T H Loan, N Q Chinh (Bull Korean Math Soc, 2013), N T H.Loan (J Algebra and Its Applications, 2014), Các kết quả đạt được chothấy iđêan hóa cũng có nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các bài toán xácđịnh cấu trúc vành Ngoài ra trong rất nhiều công trình, iđêan hóa được sửdụng để làm ví dụ minh họa cho các vấn đề trong vành mà nếu điều này thựchiện trên các vành thông thường thì rất khó khăn Đặc biệt, N T Cường -L.

T Nhàn - M Morales [6] đã sử dụng iđêan hóa như là một công cụ hữu hiệu

để trả lời cho một câu hỏi mở của R Y Sharp

Cho I là một iđêan của vành R, M là một R−môđun, N là một môđuncon của M Khi đó I × N là iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N

Trong [7], J A Huckaba cho rằng mỗi iđêan của vành RnM đều có dạng

I × N Tuy nhiên, trong [3], D Anderson và M Winders đã chỉ ra rằng khôngphải iđêan nào của RnM cũng đều có dạng I × N Do đó, D Anderson và

M Winders [3] đã coi vành iđêan hóa RnM như là một vành phân bậc và

họ đã chứng minh được rằng iđêan của vành iđêan hóa RnM có dạng I × N

khi và chỉ khi chúng là iđêan thuần nhất Nội dung của luận văn là mô tả cáctính chất của iđêan trong vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảo chính

là bài báo [3] của D D Anderson-M Winders và một số tài liệu khác liênquan đến iđêan hóa

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chươngnày, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằmlàm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau.Chương 2: Iđêan trong vành iđêan hóa Trong chương này chúng tôi trìnhbày các tính chất của iđêan trong vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảochính là [3] và một số tài liệu liên quan khác, gồm những nội dung sau.2.1 Vành iđêan hóa

2.2 Iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan căn trong vành iđêan

2.3 Iđêan thuần nhất trong vành iđêan hóa

Trong toàn bộ luận văn, luôn ký hiệu R là một vành giao hoán có đơn vị

và M là một R−môđun

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắcđến Cô, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợicho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Caohọc 20 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủnhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu

- Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập tại Trường

Nghệ An, tháng 06 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiếnthức về Đại số giao hoán như: iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cựcđại, độ cao, chiều, các phép toán trên các iđêan, căn lũy linh, căn Jacobson,vành và môđun phân bậc, môđun hữu hạn sinh nhằm mục đích làm cơ sở choviệc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Các kết quả viếttrong chương này được tham khảo trong [2] và [5] Trong toàn bộ luận vănvành R luôn được giả thiết là giao hoán, có đơn vị; M là một R-môđun

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực

đại

1.1.1 Định nghĩa Cho I 6= R là một iđêan của vành R Khi đó

(i) Iđêan I được gọi là nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x /∈ I thì

Từ ví dụ trên ta thấy trong một vành có thể có nhiều iđêan cực đại Về

sự tồn tại iđêan cực đại ta có mệnh đề sau

1.1.3 Mệnh đề Giả sử R là vành có đơn vị Khi đó trong R có ít nhất mộtiđêan cực đại

Từ đó ta có hệ quả sau

1.1.4 Hệ quả Cho R là vành có đơn vị

(i) Giả sử I 6= R là một iđêan của R Khi đó I được chứa trong một iđêancực đại nào đó của R

(ii) Giả sử x là một phần tử không khả nghịch của vành R Khi đó tồn tạimột iđêan cực đại của R chứa x

1.1.5 Mệnh đề Cho I là một iđêan của vành R Khi đó

(i) I là là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thương R/I là miền nguyên.(ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương R/I là trường

Từ mệnh đề trên ta suy ra: m là iđêan cực đại ⇒ m là iđêan nguyên tố⇒

m là iđêan nguyên sơ; R là miền nguyên ⇔ iđêan 0 là iđêan nguyên tố.1.2 Độ cao và chiều

1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:

p0 ⊃ ⊃ pnđược gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Kí hiệu SpecR là tập các iđêan nguyên tố của R Cho p ∈ SpecR, cậntrên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p được gọi là độcao của p, kí hiệu là ht(p) Cho I là một iđêan của R Khi đó độ cao của I

được xác định bởi

ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR,p ⊇ I}

1.2.2 Định nghĩa Cận trên tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong

R được gọi là chiều Kull của vành R, kí hiệu là dim R

Cho M là một R - môđun Tập hợp

AnnRM = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

là một iđêan của vành R, AnnR(M ) gọi là linh hóa tử của môđun M

1.2.3 Định nghĩa dim(R/AnnRM ) được gọi là chiều Kull của môđun M,

kí hiệu là dimM

1.3 Các phép toán trên các iđêan

1.3.1 Định nghĩa (i) Cho I và J là các iđêan của vành R Khi đó

I + J = {a + b| a ∈ I, b ∈ J }

là một iđêan của R và được gọi là tổng của các iđêan I và J

(ii) Cho {Ij}j∈S là họ tuỳ ý các iđêan của R Khi đó

là một iđêan của R và được gọi là tổng của họ iđêan {Ij}j∈S

1.3.2 Định nghĩa Cho {Ij}j∈S là họ tuỳ ý các iđêan của R Khi đó T

j∈S

Ij

là một iđêan của R và được gọi là giao của họ iđêan {Ij}j∈S

Chú ý rằng hợp của hai iđêan của R có thể không phải là iđêan của R.1.3.3 Định nghĩa Cho I, J là các iđêan của vành R Kí hiệu IJ là iđêancủa R sinh bởi tất cả các phần tử dạngab, với a ∈ I và b ∈ J Iđêan IJ đượcgọi là tích của các iđêan I và J

1.3.4 Mệnh đề Cho vành R và I, J, K là các iđêan của vành R.

(i) Tính chất giao hoán:

1.3.6 Mệnh đề Cho vành R và I, J, K, {Ij}j∈S là các iđêan của vành R.Khi đó:

được gọi là iđêan căn

1.3.8 Mệnh đề Cho I, J là các iđêan của vành R Khi đó:

(i) p√

I = √

I.(ii) √

IJ = √

I ∩√

J.(iii) √

pn = p, ∀n ∈ N∗

1.4 Căn lũy linh và căn Jacobson

Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên

n sao cho xn = 0 Kí hiệu n(R) là tập tất cả các phần tử luỹ linh của vành

R Khi đó n(R) là một iđêan của vành R và vành thương R/n(R) không cóphần tử luỹ linh nào khác 0

Kí hiệuJ (R) là giao của tất cả các iđêan cực đại của vành R Khi đó J (R)

cũng là một iđêan của vành R

1.4.1 Định nghĩa (i) n(R) được gọi là căn luỹ linh của vành R.

(ii) J (R) được gọi là căn Jacobson của vành R

1.4.5 Mệnh đề x ∈ J (R) khi và chỉ khi 1 − xy khả nghịch trong vành R,

∀y ∈ R

1.5 Vành và môđun phân bậc

1.5.1 Định nghĩa (i) Một vành R được gọi là phân bậc nếu

R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕

là một tổng trực tiếp các nhóm aben với RiRj ⊆ Ri+j

(ii) Một môđun M trên vành phân bậcR được gọi là môđun phân bậc nếu

hoặc ax = 0

Từ định nghĩa ta suy ra R0 là một vành con của vành R và mỗi thànhphần phân bậc Mi (hoặc Ri) là một R0−môđun Nếu x ∈ M và

x = xi+ xi+1 + + xj,

với xk ∈ Mk, i ≤ k ≤ j; i, j ∈ Z thì xk (có thể xk = 0) được gọi là thànhphần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc bậc k của x Mỗi phần tử chỉ cómột biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc

1.5.2 Định nghĩa Cho M là một môđun phân bậc trên vành phân bậc R

và N là một môđun con của M Khi đó N được gọi là môđun con thuần nhấthay môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong những điều kiện tươngđương sau đây

(i) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất

(ii) Với mỗi x ∈ N, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N

1.5.3 Ví dụ Vành phân bậc hay gặp nhất là vành đa thức R = A[x], trong

đó A là một vành giao hoán co sđơn vị, với Ri là tổ hợp tuyến tính của cácđơn thức có bậc tổng thể là i và hệ số thuộc A Như vậy, đa thức thuần nhất

là tổng của các từ có bậc tổng thể bằng nhau

I là iđêan thuần nhất của R nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất.Chẳng hạn, mọi đơn thức là iđêan thuần nhất; (x3− y2z, x4yz − y5z + 6y2z4)

là iđêan thuần nhất của vành R[x, y, z]

Giả sử R là một vành phân bậc Cho I là một iđêan củaR Gọi I∗ là iđêansinh bởi các phần tử thuần nhất của I Khi đó I∗ ⊆ I và I∗ là iđêan thuầnnhất lớn nhất của R được chứa trong I

1.5.4 Mệnh đề Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành phân bậc R thì p∗cũng là iđêan nguyên tố Hơn nữa, nếu q là một iđêan p−nguyên sơ của R

thì q∗ là p∗−nguyên sơ

1.5.5 Mệnh đề Cho M là một R-môđun phân bậc và N1, N2 là các môđuncon thuần nhất của M Cho I là một iđêan thuần nhất của R Các phát biểusau là đúng:

là iđêan thuần nhất của R

1.6 Môđun hữu hạn sinh

1.6.1 Định nghĩa Một R-môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tạimột hệ sinh của M gồm hữu hạn phần tử

1.6.2 Mệnh đề M là R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại số tựnhiên n sao cho M đẳng cấu với thương của R-môđun tự do Rn

1.6.3 Bổ đề (Bổ đề Nakayama) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I

là iđêan của R sao cho I ⊆ J (R) Khi đó nếu IM = M thì M = 0

CHƯƠNG 2

IĐÊAN TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA

Khái niệm iđêan hóa được M Nagata đưa ra ở những trang đầu tiên củaquyển sách "Local rings" [8] xuất bản năm 1962 Một cách đơn giản, có thểhiểu iđêan hóa môđun M nghĩa là đặt M vào R để M được chuyển thànhmột iđêan của vành iđêan hóa Mục đích của M Nagata sử dụng iđêan hóa

để chứng minh một số kết quả cho môđun khi biết là nó đúng cho các iđêanbằng cách xem mỗi môđun là một iđêan của vành iđêan hóa Kỹ thuật nàyđược ông sử dụng rất nhiều lần trong [8] Chẳng hạn, ông chứng minh Bổ

đề Artin Ress, Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan sau đó mở rộng chomôđun bằng kỹ thuật iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêan hóa đã được một

số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Các kết quả đạt được cho thấy iđêanhóa cũng có nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các bài toán xác định cấu trúcvành Ngoài ra trong rất nhiều công trình, iđêan hóa được sử dụng để làm ví

dụ minh họa cho các vấn đề trong vành mà nếu điều này thực hiện trên cácvành thông thường thì rất khó khăn Đặc biệt, N T Cường -L T Nhàn -

M Morales [6] đã sử dụng iđêan hóa như là một công cụ hữu hiệu để trả lờicho một câu hỏi mở của R Y Sharp

Cho I là một iđêan của vành R, M là một R−môđun, N là một môđuncon của M Khi đó I × N là iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N

Trong [7], J A Huckaba cho rằng mỗi iđêan của vành RnM đều có dạng

I × N Tuy nhiên, trong [3], D Anderson và M Winders đã chỉ ra rằng khôngphải iđêan nào của RnM cũng đều có dạng I × N Do đó, D Anderson và

M Winders [3] đã coi vành iđêan hóa RnM như là một vành phân bậc và

họ đã chứng minh được rằng iđêan của vành iđêan hóa RnM có dạng I × N

khi và chỉ khi chúng là iđêan thuần nhất Trong chương này, chúng tôi mô

tả các tính chất của iđêan trong vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảochính là bài báo [3] của D D Anderson-M Winders

2.1 Vành iđêan hóa

2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 và M làmột R−môđun Trên tích Đêcac R × M,trang bị hai phép toán cộng và nhânnhư sau:

(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),

(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)

với mọi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M Khi đó R × M cùng với hai phép toánnói trên là một vành giao hoán có đơn vị là (1, 0) Vành R × M được gọi làiđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M và được ký hiệu là

iđêan hóa RnM đẳng cấu với vành ma trận T và có thể xem M như là mộtiđêan của RnM.

2.1.2 Nhận xét Phép chiếu chính tắc ρ : RnM → R xác định bởi

ρ((r, m)) = r và phép nhúng chính tắc σ : R → RnM xác định bởi

σ(r) = (r, 0) là các đồng cấu địa phương Do đó chúng ta có thể xem mỗi

R-môđun như một RnM-môđun và mỗi RnM-môđun như một R-môđunbởi các đồng cấu σ và ρ Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấuhợp thành ρσ chính là cấu trúc ban đầu

Cho  : M → RnM là phép nhúng chính tắc xác định bởi (x) = (0, x)

Khi đó ta có dãy khớp các RnM-môđun:

0 → M → RnM → R → 0

2.2 Iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan

căn trong vành iđêan hóa

2.2.1 Định lí Cho I là một iđêan của vành R và N là một môđun con của

M

(i) I × N là iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N

(ii) Giả sử I × N là iđêan của vành RnM Khi đó M/N là R/I−môđunvà

Suy ra IM ⊆ N.

(⇐:) Giả sử IM ⊆ N Chú ý rằng nếu M là một R−môđun và K là mộtiđêan của R sao cho K ⊆ Ann(M ) thì M có cấu trúc là một R/K−môđunvới phép nhân với vô hướng rx := rx Vì IM ⊆ N nên I(M/N ) = (IM +

N )/N = N/N = 0 Do đó I ⊆ Ann(M/N ) Ta có M/N là một R-môđun,

vì vậy M/N cũng có cấu trúc là một R/I−môđun

Xét ánh xạ

f : RnM → (R/I)n(M/N )(r, m) 7→ (r + I, m + N )

Dễ thấy f là một toàn cấu và

Từ đây ta cũng suy ra mỗi iđêan của RnM chứa 0 × M có dạng J × M với

J là một iđêan nào đó của R

Định lý 2.2.1 cho thấy, nếu I là một iđêan của vành R vàN là một môđuncon của M thì I × N là iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N Mộtcâu hỏi được đặt ra ở đây là có phải mọi iđêan của vành RnM đều có dạng

I × N hay không? Ví dụ sau đây sẽ cho thấy rằng không phải iđêan nào của

Định lý sau mô tả iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan căn trong vành

RnM Định lý này cũng cho thấy các iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêancăn đều có dạng I × N

2.2.3 Định lí (i) Mỗi iđêan cực đại của vành RnM có dạng m× M, trong

đó m là iđêan cực đại của vành R

(ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành RnM có dạng p × M, trong đó p làiđêan nguyên tố của vành R

(iii) Mỗi iđêan căn của RnM có dạng I × M, trong đó I là iđêan căn của