Luận văn Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

Luận văn Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé. Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé qua định nghĩa và một số các tính chất của vành này. Chúng tôi cũng đã trình bày các định lí liên quan đến vành QF, PF từ vành nội xạ bé.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN ĐĂNG BÁU

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu

và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tácgiả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trìnhnào khác

Họ tên tác giảNguyễn Đăng Báu

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo sư tiến sĩ

Lê Văn Thuyết, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thànhtốt luận văn này

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy côgiáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn

Huế, ngày 15 tháng 09 năm 2013Học viên thực hiện

Nguyễn Đăng Báu

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục 1

Bảng kí hiệu 2

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun 6

1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và một số vành nội xạ 11 1.3 Một số lớp vành liên quan 15

Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé 24

2.1 Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé 24

2.2 Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính 31

2.3 Môđun nội xạ bé hữu hạn và vành nội xạ bé hữu hạn 34 2.4 Vành FJ-nội xạ đơn 41

Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé 44

3.1 Một số mở rộng của môđun nội xạ bé 44

3.2 Mối liên hệ giữa vành nội xạ bé và vành PF, QF 48

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

E(MR) bao nội xạ của MR

rR(X) linh hóa tử phải của X

lR(X) linh hóa tử trái của X

N ≤ M N là môđun con của M

N < M N là môđun con thực sự của M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu của M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M

N  M N là môđun con bé của M

N ≤max N là môđun cực đại của M

M(I) Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

MI Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun MEnd(M ) Vành các tự đồng cấu của môđun M

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp

đã và đang được phát triển khá mạnh mẽ Việc nghiên cứu sâu về môđun vàvành hiện nay của nhiều tác giả đã làm cho hướng nghiên cứu này có điềukiện phát triển hơn Đặc biệt, với hướng nghiên cứu dùng phạm trù Mod-R

để đặc trưng vành, ta chú trọng đến các môđun nội xạ và xạ ảnh Chính vìthế việc mở rộng nội xạ đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc, trong đó phải kể đến Wisbauer R, Faith C, Nicholson W K và Yousif

M F Và một trong những hướng mở rộng nội xạ khá phổ biến đó là dựavào tiêu chuẩn Baer Từ việc mở rộng đó, người ta đã thu được các kết quả

về đặc trưng nhiều lớp vành quan trọng khác, chẳng hạn như vành PF, vànhQF

Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuẩnBaer là lớp môđun nội xạ bé (small injective module) Trong đó các kháiniệm môđun nội xạ bé hữu hạn phải (right small finitely injective, viết gọn làSF-nội xạ) và nội xạ bé chính phải (right small principally injective, viết gọn

là SP nội xạ) là rất quan trọng Môđun MR được gọi là nội xạ bé nếu mọiđồng cấu từ một iđêan phải bé của R vào MR có thể mở rộng được thành mộtR-đồng cấu từ RR vào MR Vành R được gọi là nội xạ bé phải nếu môđunphải RR là nội xạ bé Môđun MR được gọi là nội xạ bé hữu hạn (small finitelyinjective, viết gọn là SF-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé vàhữu hạn sinh vào MR có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR vào MR.Môđun MR được gọi là nội xạ bé chính (small principally injective, viết gọn

là SP-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và chính vào MR có thể

mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR vào MR Vành R được gọi là SF-nội

xạ phải (tương ứng SP-nội xạ) nếu RR là SF-nội xạ (tương ứng SP-nội xạ).Ngoài ra, chúng ta cũng có thể xét đến một lớp các môđun thỏa mãn điều

kiện sau: ∀B ∈ M od − R, ∀A ≤e B mọi đồng cấu f : A −→ M có thể mởrộng thành đồng cấu từ B vào M

Việc nghiên cứu vành nội xạ bé được biết đến với Shen L và Chen J vàonăm 2005 Năm 2009, thông qua việc khảo sát một số tính chất của môđun

và vành nội xạ bé, Lê Văn Thuyết và Trương Công Quỳnh đã đưa ra một sốkết quả, đồng thời cũng đã mở rộng một số kết quả của Chen và Ding.Năm 1966 Faith đã chứng minh R là QF nếu và chỉ nếu R là tự nội xạ phải

và thỏa mãn điều kiện dãy tăng đối với các linh hóa tử phải Năm 1970 Bjork

đã chứng minh được rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là F-nội xạ phải và thỏamãn điều kiện dãy tăng đối với linh hóa tử phải Năm 2009 Lê Văn Thuyết

và Trương Công Quỳnh đã chứng minh rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là nửachính quy và SF-nội xạ phải thỏa ACC đới với các linh hóa tử phải cũng như

R là vành SF-nội xạ thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải và Sr ≤e RR.Trong luận văn này chúng tôi tổng quan lại một cách hệ thống các kếtquả liên quan đến vành nội xạ bé, môđun SF-nội xạ cùng với vành SF-nội

xạ, môđun SP-nội xạ cùng với vành SP-nội xạ, áp dụng các kết quả trongcác trường hợp đặc biệt đồng thời chứng minh tường minh nhiều kết quả màtrong các bài báo [13], [14], [15] được viết ngắn gọn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành ba chương trong đó nội dung chính được trình bày ở chương hai vàchương ba

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về vành

và môđun nhằm phục vụ cho những chứng minh của các chương sau

Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé

Trong chương hai, chúng tôi nêu lên các định nghĩa, tính chất đặc trưngcủa vành nội xạ bé và một số mối liên quan với các lớp vành khác như vànhnội xạ cực tiểu, vành linh hóa tử cực tiểu, vành F-nội xạ, vành P-nội xạ

Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé.

Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé quađịnh nghĩa và một số các tính chất của vành này Chúng tôi cũng đã trìnhbày các định lí liên quan đến vành QF, PF từ vành nội xạ bé

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bàykhó tránh khỏi các sai sót, mong độc giả góp ý thêm để luận văn được hoànthiện hơn

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụngtrong các chương sau, bao gồm một số khái niệm và kết quả cơ bản về vành

và môđun, về môđun nội xạ và các lớp vành liên quan

1.1 Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun

Trong luận văn này, vành được cho là vành có đơn vị và môđun được xét

là môđun unita

1.1.1 Vấn đề linh hóa tử

Định nghĩa 1.1 Cho môđun phải MR

(a) Giả sử X ⊆ M Linh hóa tử phải (right anihilator) của X trong R là

rR(X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}

(b) Giả sử A ⊆ R Linh hóa tử trái (left anihilator) của A trong M là

lM(A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}

Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết gọn rR(x), lM(a) Với những linh hóa

tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu l, r cho gọn

Mệnh đề 1.1.1 ([1], MĐ 1.2.3, p.153) Cho RM X, Y ≤ M, A, B ≤ RR Lúcđó:

i) A ≤ B ⇒ rM(A) ≥ rM(B)

ii) X ≤ rMlR(X), A ≤ lRrM(A)

iii) lR(X) = lRrMlR(X), rM(A) = rMlRrM(A)

Mệnh đề 1.1.2 ([1], MĐ 1.2.4, p.153) ChoRM và (Kα)α∈A, (Iα)α∈A lần lượt

là các nhóm con của nhóm cộng M và R tương ứng Khi đó:

là căn của M , kí hiệu là rad(M )

ii) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (ii) được gọi là đế của M ,

iii) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trongR]

iv) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R]

1.1.3 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun

Trong lí thuyết môđun, ta không chỉ nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phântích nó thành những môđun đơn giản mà còn xây dựng những môđun mới từcác môđun đã cho Đó chính là các cấu trúc của tích trực tiếp và tổng trựctiếp các môđun

Định nghĩa 1.3 (Tích trực tiếp) Cho một họ những R-môđun phải Aii∈Ivới I 6= ∅ Khi đó tích Descartes Q

i∈I

Ai = {(ai)i | ai ∈ Ai} cùng với phép cộng

và phép nhân vô hướng theo thành phần:

(ai)i∈I + (bi)i∈I = (ai+ bi)i∈I;r(ai)i∈I = (rai)i∈I

là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp (direct product) của họ {Ai}i∈I.Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu Q

i∈I

Ai = A(I).Với mỗi j ∈ I, đồng cấu ηj : Aj −→ L

i∈I

Ai xác định bởi aj −→ (ai)i∈I =( , 0, aj, 0, ) là một phép nhúng

Định nghĩa 1.6 (Tổng trực tiếp trong) Một R-môđun phải M được gọi

là tổng trực tiếp trong của họ {Mi}i∈I những môđun con của nó nếu

Định nghĩa 1.7 (Hạng tử trực tiếp) Một môđun con K của M được gọi

là hạng tử trực tiếp (direct summand) của M , kí hiệu K ≤⊕ M nếu tồn tạimột môđun con H của M sao cho K ⊕ H = M Khi đó H được gọi là môđuncon phụ của K trong M

Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng (idempotent) của R nếu e2 = e.Mệnh đề 1.1.6 ([1], MĐ 4.3.4, p.191) Iđêan phải I của vành R là một hạng

tử trực tiếp của RR khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.Hơn nữa, nếu e là một phần tử lũy đẳng của R thì 1 − e cũng là một phần tửlũy đẳng của R và (1 − e)R là phần phụ của eR, tức là RR = eR ⊕ (1 − e)R.Định nghĩa 1.8 (Vành đơn - Vành nửa đơn)

i) Vành R khác không được gọi là đơn nếu R chỉ có hai iđêan là 0 và R.ii) Vành R được gọi là nửa đơn nếu RR có một phân tích nửa đơn, nghĩa

là RR có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của một tập các môđun conđơn của nó

Bổ đề 1.1.7 ([5], Corollary 2.16) Vành R/J là nửa đơn nếu nó không chứatập vô hạn các lũy đẳng trực giao

1.1.4 Iđêan nil, lũy linh và T -lũy linh

Định nghĩa 1.9 Iđêan nil, lũy linh và T -lũy linh

i) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là nil nếu ∀a ∈ A, ∃ n ∈

N | an = 0

ii) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là lũy linh nếu ∃ n ∈

N | An = 0

iii) Tập con I của vành R là T-lũy linh trái nếu mọi dãy a1, a2, , trong

I tồn tại một số n sao cho an a1 = 0

Bổ đề 1.1.8 ([7], Brauer’s Lemma 10.22, p.172) Cho U là một iđêan tráicực tiểu của vành R Khi đó U2 = 0 hoặc U = Re với e là phần tử lũy đẳngnào đó thuộc U

Chứng minh

Giả sử U2 6= 0 Khi đó U.a 6= 0 với a ∈ U , suy ra U.a = U Chọn e ∈ Usao cho a = ea Tập I = {x ∈ U | xa = 0} là iđêan trái chứa thực sự trong

U vì e /∈ I Do đó I = 0 Mặt khác ta có e2− e ∈ U và (e2− e)a = 0, suy ra

e2− e = 0 Vì RU là cực tiểu ta suy ra U = Re 

Bổ đề 1.1.9 ([10], Lemma 3.29, p.70) Nếu R là vành thỏa ACC đối với cáclinh hóa tử phải thì Zr lũy linh

Chứng minh

Đặt Z = Zr Ta có Z ≥ Z2 ≥ nên ta có r(Z) ≤ r(Z2) ≤ Do R thỏaACC đối với các linh hóa tử phải nên tồn tại n sao cho r(Zn) = r(Zn+1) Tacần chứng minh Zn = 0 tức là chứng minh r(Zn) = R

Giả sử Zna 6= 0 với a ∈ R, chọn r(b) là cực đại trong {r(b) | Znb 6= 0}.Với z ∈ Z thì r(z) ≤e RR, do đó r(z) ∩ bR 6= 0 Suy ra 0 6= br, zbr = 0 Do

đó r(b) < r(zb), theo cách chọn ta có Znzb = 0 Vì z ∈ Z tùy ý nên ta có

Zn+1b = 0, khi đó b ∈ r(Zn+1) = r(Zn) (mâu thuẩn) Vậy Zna = 0 suy ra

1.1.5 Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu

Định nghĩa 1.10 Môđun con cốt yếu - đối cốt yếu

i) Môđun con K của M được gọi là cốt yếu (essential) trong M , kí hiệu

K ≤e M , nếu với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 ⇒ L = 0 Khi đó

ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của K.ii) Môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu (hoặc bé) (coessential)trong M , kí hiệu K  M , nếu với mọi môđun con L ≤ M, K + L =

M ⇒ L = M

Mệnh đề 1.1.10 ([2], MĐ 8.21, tr.92) Cho MR và K ≤ N ≤ M, H ≤ M Khi đó:

1 K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M

2 H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M

Mệnh đề 1.1.11 ([2], BĐ 8.2.4, tr.193) Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong

M khi và chỉ khi với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K.Định nghĩa 1.11 (Môđun suy biến) Cho MR

Z(MR) = {m ∈ M | r(m) ≤e RR} ≤ M là tập tất cả các phần tử suybiến phải của M và được gọi là môđun con suy biến phải của M

i) Môđun phải MR được gọi là môđun nội xạ (injective) nếu với mọi đơncấu f : AR−→ BR và với mỗi đồng cấu g : BR −→ MRsao cho g = hf , nghĩa

là sơ đồ sau giao hoán

BR −→ CR và với mỗi đồng cấu β : NR −→ CR luôn tồn tại một đồng cấu

γ : NR −→ BR sao cho β = αγ, tức là sơ đồ sau giao hoán

N

γ

~~ β

B α //C //0

Mệnh đề 1.2.1 (Tiêu chuẩn Baer) Một môđun phải MR là nội xạ khi vàchỉ khi với mỗi iđêan phải U ≤ RR và mỗi đồng cấu f : U −→ M luôn tồntại đồng cấu u : RR −→ M sao cho f = uv với v là phép nhúng U vào R.

1.2.1 Vành tự nội xạ

Định nghĩa 1.13 (Vành tự nội xạ) Vành R được gọi là vành tự nội

xạ phải (right self-injective ring) nếu môđun phải RR là nội xạ Một cáchtương đương, vành R được gọi là vành tự nội xạ phải nếu mọi R-đồng cấu

α : I −→ R đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của R, trong đó I là mộtiđêan phải của R Hay nói cách khác, α = a· là phép nhân trái tác động bởiphần tử a ∈ R

Iđêan phải I trong định nghĩa trên được gọi là iđêan mở rộng được tensive ideal)

(ex-Nhận xét 1 Từ định nghĩa ta suy ra được:

i) Mọi vành nửa đơn đều là vành tự nội xạ phải

ii) Nếu R là vành tự nội xạ phải thì E(RR) = RR

Định nghĩa 1.14 (Vành F-nội xạ) Vành R được gọi là vành F-nội xạphải nếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh đều mở rộng được

Bổ đề 1.2.2 ([10], Lemma 1.36, p.21) Cho T và T’ là các iđêan phải củavành R Khi đó nếu l(T ∩ T0) = l(T ) + l(T0) và α : T + T0 −→ R là R-đồng cấusao cho α|T : T −→ R và α|T0 : T0 −→ R đều có thể mở rộng thành R −→ Rthì α cũng mở rộng thành đồng cấu từ R −→ R

Chứng minh

Do α|T : T −→ R và α|T0 : T0 −→ R đều có thể mở rộng thành R −→ Rnên ta có thể giả sử α = b· trên T và α = c· trên T0 tức là α(t) = bt, ∀t ∈ T

và α(t0) = ct0, ∀t0 ∈ T0 Với mọi y ∈ T ∩ T0 suy ra y ∈ T và y ∈ T0 Do đó

α(y) = by = cy hay (b − c)y = 0 ⇒ b − c ∈ l(T ∩ T0) = l(T ) + l(T0) Từ đó ta

f : K −→ M đều được cho bởi phép nhân trái f = m·, với m ∈ M.ii) Vành R được gọi là nội xạ cực tiểu phải nếu RR là môđun nội xạ cựctiểu Tức là mọi iđêan đơn phải là mở rộng được

Nhận xét 2 Mọi vành R có đế phải bằng 0 (Sr = 0) đều là vành nội xạ cựctiểu phải

Ví dụ 1 (i) Vành các số nguyên Z là vành nội xạ cực tiểu phải (Do trong

Z không có iđêan phải cực tiểu nào nên soc(ZZ) = 0)

(ii) Mọi vành đa thức R[x] đều là vành nội xạ cực tiểu trái và phải (Do

cả đế phải và đế trái của R[x] đều bằng không)

Định lý 1.2.3 ([10], Threorem 2.21, p.46) Cho R là vành nội xạ cực tiểuphải, giả sử k ∈ R

i) Nếu kR là một iđêan phải đơn thì Rk là một iđêan trái đơn

ii) Sr ≤ Sl

Chứng minh.

i) Nếu kR là đơn và 0 6= ak ∈ Rk, ta xác định tương ứng γ = a· : kR −→akR Khi đó γ là một R-đồng cấu và cũng là một song ánh nên γ là một đẳngcấu Mặt khác do R là vành nội xạ cực tiểu phải nên γ−1 = c·, c ∈ R Do đó

k = γ−1(ak) = cak ∈ Rak Suy ra Rk là đơn

ii) Giả sử x ∈ Sr, x = k1R ⊕ ⊕ knR với mỗi kiR là đơn Khi đó theo(i) mỗi Rki cũng là đơn nên x ∈ Sl Vậy Sr ⊆ Sl 

1.2.3 Vành nội xạ chính

Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuấnBaer là lớp các môđun nội xạ chính (principlally injective module, viết tắt làmôđun P-nội xạ)

Định nghĩa 1.16 (Môđun P-nội xạ và vành P-nội xạ)

i) Môđun MR được gọi là môđun nội xạ chính (principlally injective ule, viết tắt môđun P-nội xạ) nếu mọi đồng cấu α : aR −→ M, a ∈ Rđều có thể mở rộng thành R-đồng cấu β : R −→ M Nói cách khác, MR

mod-là P-nội xạ nếu α = m· mod-là phép nhân trái tác động bởi phần tử m ∈ M.ii) Vành R được gọi là vành nội xạ chính (right principlally injective ring,viết tắt là vành P-nội xạ) nếu RR là một môđun P-nội xạ, tức là mọiR-đồng cấu α : aR −→ R, a ∈ R đều có thể mở rộng thành R-đồng cấu

β : R −→ R Hay nói cách khác α = m· trong đó m là một phần tử nào

đó của R

Nhận xét 3 Từ định nghĩa ta suy ra:

i) Nếu MR là môđun nội xạ thì MR cũng là môđun P-nội xạ

ii) Mọi vành tự nội xạ phải (trái) đều là vành P-nội xạ phải (trái)

iii) Mọi vành P-nội xạ phải (trái) đều là vành nội xạ cực tiểu phải (trái)

Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ vành Z các sốnguyên là nội xạ cực tiểu phải nhưng không là vành P-nội xạ phải.

Bổ đề dưới đây sẽ cho chúng ta biết các đặc trưng quan trọng của vànhP-nội xạ phải

Bổ đề 1.2.4 ([9], Lemma 11) Các khẳng định sau là tương đương đối vớivành R:

i) R là P-nội xạ phải

ii) lr(a) = Ra với mọi a ∈ R

iii) Nếu r(a) ≤ r(b) với a ∈ R, b ∈ R suy ra Rb ≤ Ra

iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra với mọi a ∈ R, b ∈ R

v) Nếu γ : aR −→ R, a ∈ R là một R-đồng cấu thì γ(a) ∈ Ra

1.3.1 Vành Kasch

Định nghĩa 1.17 (Vật sinh - Vật đối sinh)

i) Môđun CR được gọi là vật sinh (generator) của phạm trù các R-môđunphải nếu nó sinh ra mọi môđun phải Hay nói cách khác, với mọi môđunphải MR, luôn tồn tại toàn cấu C(I) −→ M

ii) Môđun CR được gọi là vật đối sinh (cogenerator) của phạm trù cácR-môđun phải nếu nó đối sinh ra mọi môđun phải Hay nói cách khác,với mọi môđun phải MR, luôn tồn tại đơn cấu M −→ C(I).

Bổ đề 1.3.1 ([10], Lemma 1.42, p.23) Cho ER là môđun nội xạ Khi đó E

là vật đối sinh khi và chỉ khi mọi môđun phải đơn đều nhúng vào trong E.Định nghĩa 1.18 (Vành Kasch) Vành R được gọi là vành Kasch phải nếumọi môđun đơn phải K đều nhúng được trong R hay nói cách khác RR đốisinh ra K

Mệnh đề 1.3.2 ([10], Proposition 1.44, p.24) Các khẳng định sau là tươngđương đối với vành R đã cho:

i) R là vành Kasch phải

ii) Hom(M, RR) 6= 0 với mọi R-môđun phải hữu hạn sinh M

iii) l(T ) 6= 0 với mọi iđêan phải cực đại T của R

iv) rl(T ) = T với mọi iđêan phải cực đại T của R

v) E(RR) là vật đối sinh

Chứng minh

(i ⇒ ii) Giả sử MR là một môđun phải hữu hạn sinh bất kỳ của R Khi

đó MR có môđun con cực đại N Do đó M/N là đơn và α : M −→ M/N

là một phép chiếu hay α(M ) là môđun đơn Theo giả thiết R là vành Kaschphải nên tồn tại đơn cấu 0 6= β : α(M ) −→ RR Như vậy βα : M −→ RR làmột đồng cấu khác 0 hay Hom(M, RR) 6= 0

(ii ⇒ iii) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Khi đó R/T là mộtiđêan phải hữu hạn sinh Từ giả thiết (ii) suy ra tồn tại đồng cấu 0 6= γ :R/T −→ RR Đặt γ(1 + T ) = a, lúc đó a 6= 0 và aT = γ(1 + T ).γ(0) = γ(0) =

0 Suy ra a ∈ l(T ) Vậy l(T ) 6= 0

(iii ⇒ iv) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Khi đó ta luôn có

T ≤ rl(T ) Mặt khác theo giả thiết (iii) ta có l(T ) 6= 0 do đó rl(T ) 6= R Vì

T là iđêan cực đại nên ta suy ra T = rl(T )

(iv ⇒ v) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Theo giả thiết (iv)

ta có rl(T ) = T , suy ra l(T ) 6= 0 Do đó tồn tại 0 6= a ∈ l(T ) suy rarl(T ) ≤ r(a) hay T ≤ r(a) 6= R Mà T là cực đại nên T = r(a) Xét tươngứng α : R/T −→ R xác định bởi α(r + T ) = ar Dễ thấy α là một ánh xạ và

là một R-đồng cấu Ta có kerα = {r ∈ R | α(r + T ) = 0} = {r ∈ R | ar =0} = r(a) = T Do đó α là đơn cấu hay R/T ,→ R ≤ E(R) Theo bổ đề 1.3.1

ta có E(RR) là vật đối sinh

(v ⇒ i) Giả sử KR là một môđun đơn bất kỳ của R Từ giả thiết (v) tasuy ra tồn tại đơn cấu α : K −→ E(R) Vì R ≤e E(R) và 0 6= α(K) ≤ E(R)nên R ∩ α(K) 6= 0 Do đó α(K) ≤ R tức là K được nhúng trong RR Vậy R

Bổ đề 1.3.3 ([10], Lemma 1.49, p.26) Cho R là vành tự nội xạ phải, nửahoàn chỉnh và thỏa Sr ≤e RR Khi đó R là vành Kasch phải và Kasch trái.Mệnh đề 1.3.4 ([10], Corollary 7.32, p.182) Cho R là vành CS phải, Kaschphải Khi đó R có đế phải cốt yếu và hữu hạn sinh

1.3.2 Một số lớp vành khác

Định nghĩa 1.19 Vành R được gọi là CS cực tiểu trái (left min-CS) nếumọi iđêan cực tiểu trái là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của RR.Định nghĩa 1.20 (Vành chính quy) Vành R được gọi là vành chính quy(von Neumann) nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử chính quy, tức là vớimọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = aba

Bổ đề 1.3.5 ([11], Lemma 2.2) Cho R là vành, a, c ∈ R Nếu b = a − aca làphần tử chính quy của R thì a cũng là phần tử chính quy

Chứng minh

Vì b là phần tử chính quy nên tồn tại phần tử d ∈ R sao cho b = bdb.Khi đó a − aca = bdb hay a = aca + bdb = aca + (a − aca)d(a − aca) Suy ra

a = a[c + (1 − ca)d(1 − ac)]a Do đó a là phần tử chính quy Định nghĩa 1.21 (Vành I-nửa chính quy phải) Cho I là một iđêan củavành R Vành R được gọi là vành I-nửa chính quy phải (right I-semiregular)nếu với mọi a ∈ I, aR = eR ⊕ T với e2 = e, T ≤ IR

Định lý 1.3.6 ([10], Theorem B.58, p.283) Cho R là vành I-nửa chính quyphải Khi đó với mọi iđêan phải hữu hạn sinh T ≤ R, T = eR ⊕ S với

I Vì g ∈ L nên g = (1 − f )a2r + + (1 − f )anr suy ra f g = 0, do đó đặt

e = f + g − gf thì e ∈ T và e2 = e Lúc đó ta có (1 − e) = (1 − g)(1 − f ) và(1 − f )L = L (vì (1 − f )(1 − f ) = 1 − f ) Suy ra

T ∩ (1 − e)R = (1 − e)T ≤ (1 − g)(1 − f )a1R + (1 − f )(1 − g)L

≤ (1 − g)I + (1 − g)L ≤ I

Ta chọn S = T ∩ (1 − e)R ta được T = eR ⊕ S Trong trường hợp I = J vành J-nửa chính quy còn được gọi là vành nửachính quy

Định nghĩa 1.22 (Vành nửa chính quy) Vành R được gọi là nửa chínhquy (semiregular ring) nếu R/J là chính quy và các lũy đẳng nâng được lênmôdulô J

Định lý 1.3.7 ([10], Theorem B.51, p.280) R là vành nửa chính quy nếu vàchỉ nếu mọi I iđêan phải hữu hạn sinh của R thì R = H ⊕ K với H ≤ I và

Nhận xét 4 Từ định nghĩa suy ra: Mọi vành nửa hoàn chỉnh đều là vànhnửa chính quy và nửa địa phương

Bổ đề 1.3.9 ([10], Lemma 4.1, p.79) Cho R là vành Kasch trái với r(L) cốtyếu trong một hạng tử của RR với mọi iđêan trái cực đại L của R, khi đó R

là nửa hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.26 (Vành nửa nguyên sơ) Vành R được gọi là nửa nguyên

sơ (semiprimary ring) nếu R/J là nửa đơn và J là lũy linh

Bổ đề 1.3.10 ([11], Lemma 2.10) Cho R là vành thỏa ACC đối với các linhhóa tử phải, giả sử l(S) là iđêan phải và trái của R Khi đó R/l(S) thỏa ACCđối với các linh hóa tử phải

Bổ đề 1.3.11 ([11], Lemma 2.11) Cho R là vành nội xạ cực tiểu phải thỏaACC đối với các linh hóa tử phải, Sr ≤e RR Khi đó R là nửa nguyên sơ.Chứng minh.

Vì R là vành nội xạ cực tiểu phải nên theo Định lí 1.2.3 ta có Sr ≤ Sl.Mặt khác ta luôn có J Sl ≤ rad(Sl) suy ra J Sr ≤ rad(Sl) = 0 ⇒ J ≤ l(Sr).Theo giả thiết ta có Sr ≤e RR nên l(Sr) ≤ Zr Mặt khác do R thỏa ACC đốivới các linh hóa tử phải nên Zr lũy linh (theo Bổ đề 1.1.9) Suy ra Zr ≤ J.Vậy J = l(Sr) = Zr nên J là lũy linh

Tiếp theo ta chứng minh R/J chính quy Thật vậy với a 6= 0, vì J = Zrnên Zr không cốt yếu trong RR, do đó tồn tại iđêan phải I ≤ RR sao chor(a) ∩ I = 0 Mà Sr ≤e RR nên tồn tại iđêan phải cực tiểu bR ≤ I sao chor(a) ∩ bR = 0 Khi đó ánh xạ

f : abR −→ bRabr 7−→ f (abr) = br, ∀r ∈ R

là một R-đồng cấu Do f là nội xạ cực tiểu phải và abR là iđêan phải cựctiểu phải nên tồn tại c ∈ R sao cho f (abr) = cabr với mọi r ∈ R Do đó

b = cab ⇒ ab = acab do đó b ∈ r(a − aca)\r(a)

Nếu a − aca ∈ J thì a là chính quy Nếu a không chính quy, ta giả

sử a1 = a − aca lúc đó tồn tại phần tử a2 = a1 − a1c1a1 với c1 ∈ R vàr(a1) < r(a2) Lập lại quá trình trên ta có dãy tăng ngặt r(a1) < r(a2) (mâu thuẩn) Vậy R chính quy Ngoài ra do J = l(Sr) nên R/J = R/l(Sr) vàR/l(Sr) là thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải do đó R/J là nửa đơn Vậy

Bổ đề 1.3.12 ([9], Lemma 3.30, p.70) Cho R là vành nửa nguyên sơ với dãytăng các linh hóa tử phải, Sr = Sl là R-môđun trái hữu hạn chiều Khi đó R

là Artin trái

Định nghĩa 1.27 Vành R được gọi là vành đối xứng cực tiểu phải (right

minsymmetric) nếu với k ∈ R nếu kR là iđêan phải cực tiểu của R thì Rk làiđêan trái cực tiểu của R.

ii) Vành R được gọi là vành giả Frobenius phải (Pseudo-Frobenius, viết tắt

là PF) nếu mọi R-môđun phải trung thành là một vật sinh của phạmtrù các R-môđun phải

Định lý 1.3.13 ([10], Threorem 1.56, p.32) Utumi Theorem) Cho R là một vành Những khẳng định sau là tươngđương:

(Azumaya-Kato-Osofsky-i) R là vành PF phải

ii) Mọi vật đối sinh phải là vật sinh

iii) R là tự nội xạ phải với đế phải Sr là hữu hạn sinh và cốt yếu trong RR(tức là Sr ≤e R)

iv) R là tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu

v) R là vật đối sinh, Kasch trái

1.3.4 Vành QF

Định nghĩa 1.30 (Vành QF) Vành R được gọi là vành tựa Frobenius(Quasi-Frobenius, viết tắt là QF) nếu R là tự nội xạ phải và trái, Artin phải

và trái

Như vậy mọi vành nửa đơn đều là vành QF và mọi vành QF đều là vành

PF phải và trái Đây là lớp vành rất quan trọng và được nhiều nhà toán họcquan tâm Người ta thu được nhiều điều kiện yếu hơn nhưng vẫn tương đươngđịnh nghĩa của vành QF

Định lý 1.3.14 ([10], Threorem 1.50, p.27) Các khẳng định sau là tươngđương đối với vành R đã cho:

i) R là QF

ii) R là tự nội xạ phải hoặc trái và Noether phải hoặc trái

iii) R là tự nội xạ phải hoặc trái và Artin phải hoặc trái

iv) R là tự nội xạ phải hoặc trái và thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải.v) R là Noether phải và trái, rl(T ) = T với mọi iđêan phải T và lr(L) = Lvới mọi iđêan trái L

Định lý 1.3.15 ([10], Threorem 2.30, p.50) (Ikeda’s Theorem) Nhữngkhẳng định sau là tương đương đối với vành R:

i) R là vành QF

ii) R là nội xạ cực tiểu hai phía và Artin hai phía

Định lý 1.3.16 ([10], Threorem 3.31, p.71) Cho R là vành nửa địa phương,nội xạ cực tiểu phải và trái với dãy tăng các linh hóa tử phải, Sr ≤e RR Khi

đó R là QF

Chứng minh

Do R là nội xạ cực tiểu nên Sr = Sl Với mọi a ∈ J ta có Sr ≤ r(J) ≤ r(a).

Vì Sr ≤e R nên J ≤ Zr Do R thỏa điều kiện dãy tăng đối với các linh hóa

tử phải nên Zr là lũy linh (theo Bổ đề 1.1.9), do đó J là lũy linh Mặt khác

R là nửa địa phương nên R/J là nửa đơn Vậy R là nửa nguyên sơ

Đặc biệt R là vành nửa hoàn chỉnh và nội xạ cực tiểu phải nên với ei làlũy đẳng địa phương trong R và 1 = e1+ e2 + + en thì Sr = P

C Faith cũng đã chứng minh R là QF nếu và chỉ nếu R là tự nội xạ phải

và thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải Ngoài ra J E Bj¨ork đã chứng minhđược định lí mở rộng hơn sau:

Định lý 1.3.17 ([4], Threorem 4.1) Cho R là vành F-nội xạ trái, thỏa ACCđối với các linh hóa tử trái Khi đó R là QF

CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ

Trong chương này, chúng tôi sẽ nêu lên những đặc trưng cơ bản của cácvành nội xạ bé, nội xạ bé hữu hạn và nội xạ bé chính, sau đó chuyển quanhững tính chất của các vành đó Từ đó sẽ giúp tìm hiểu thêm mối liên hệvới các vành khác ở chương sau

2.1 Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé

Định nghĩa 2.1 (Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé)

i) Một môđun MR được gọi là nội xạ bé nếu mọi đồng cấu từ một iđêanphải bé đến MR có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR đến MR.ii) Một vành R được gọi là nội xạ bé phải nếu môđun RRlà nội xạ bé Tức

là mọi R-đồng cấu từ một iđêan phải bé đến RR đều có thể mở rộngthành R-đồng cấu từ RR đến RR

Nhận xét 5 Từ định nghĩa ta suy ra:

i) Mọi vành nửa nguyên thủy (J = 0) đều là vành nội xạ bé phải và trái.ii) Mọi vành tự nội xạ phải (trái) đều là vành nội xạ bé phải (trái) Tuynhiên điều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 2 Vành Z các số nguyên là vành nội xạ bé phải, nhưng không là vành

tự nội xạ

Thật vậy giả sử I =



2n 0

i) R là nửa nguyên thủy

ii) Mọi R-môđun phải (hoặc trái) đều là nội xạ bé

iii) Mọi R-môđun phải (hoặc trái) đơn đều là nội xạ bé

Chứng minh

(i ⇒ ii) Do R là nửa nguyên thủy nên J = 0 do đó R là nội xạ bé

(ii ⇒ iii) Hiển nhiên

(iii ⇒ i) Giả sử J 6= 0, 0 6= a ∈ J sao cho aR  RR

Giả sử J +r(a) < R khi đó tồn tại iđêan cực đại I của R sao cho J +r(a) ≤

I Do I là cực đại nên R/I là đơn Theo giả thiết R/I là nội xạ bé Ta xácđịnh tương ứng ϕ như sau:

ϕ : aR −→ R/I

ar 7−→ ϕ(ar) = r + I

Khi đó ϕ là ánh xạ, R-đồng cấu Mặt khác do R/I là nội xạ bé nên tồn tại

c ∈ R sao cho 1 + I = ca + I Suy ra 1 − ca ∈ I Do ca ∈ J ≤ I nên 1 ∈ I(mâu thuẩn) Do đó J + r(a) = R Vì J  RR suy ra r(a) = R Vì vậy a = 0(mâu thuẩn) Do đó J = 0 hay R là vành nửa nguyên thủy 

Mệnh đề 2.1.2 ([13], Proposition 2.5) Tích trực tiếp của các vành R = Q

Định lý 2.1.3 Cho R là vành nửa địa phương, I là iđêan phải của R Khi

đó mọi đồng cấu từ một iđêan phải đến I có thể mở rộng thành một tự đồng