Ren luyen tu duy thuat giai trong day hoc giai toan dai so 10

Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạngtoán có thuật giải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì học sinhlĩnh hội tri thức một cách dễ dàng hơn.. Qua việc tìm

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 4

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

6 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 5

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Một số vấn đề về tư duy 7

1.1.1 Khái niệm 7

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 7

1.1.3 Các thao tác tư duy 10

1.1.4 Một số loại hình tư duy toán học 11

1.2 Tư duy thuật giải 12

1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 12

1.2.2 Tư duy thuật giải 23

-1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông 26

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong môn Toán 27

1.4.1 Thực hiện thuật giải 27

1.4.2 Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải 32

-1.4.3 Tư duy thuật giải được rèn luyện, phát triển khi dạy học những tình huống điển hình 33

học Toán ở trường phổ thông 39 1.5.2 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạyhọc Toán - 40 -1.6 Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho họcsinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 10 nói riêng (khảo sát tạimột số trường Trung học phổ thông ở Nghệ An) - 42 -1.7 Kết luận chương 1 - 44 -

-CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG KHI DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI

SỐ 10 45

-2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 10 trong Chương trình môn ToánTrung học Phổ thông - 45 -2.1.1 Chương trình Toán 10 (nâng cao) được quy định theo khung chương trìnhcủa Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoa Đại số 10 - 45 -2.1.2 Chương trình Toán 10 (Cơ bản) được quy định theo khung chươngtrình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoaĐại số 10 - 46 -2.2 Một số quan điểm chủ đạo nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giảicho học sinh trong dạy học Đại số 10 - 47 -2.2.1 Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức toán học cần quan tâmxây dựng các quy trình dạy học - 47 -2.2.2 Quan điểm 2: Chú ý thích đáng việc truyền thụ những tri thứcphương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyệncác hoạt động - 69 -

2.2.4 Quan điểm 4: Chú ý sử dụng hợp lí hình thức dạy học phân hóa

trong quá trình rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh………… -

1152.4 Kết luận chương 2 124

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 125

3.1 Mục đích thực nghiệm 125

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 125

3.3 Tổ chức thực nghiệm……… 125

3.4 Nội dung thực nghiệm 126

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 131

3.5.1 Về phương pháp và khả năng lĩnh hội của học sinh 131

3.5.2 Về kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm sư phạm 132

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm 133

KẾT LUẬN 134

Công trình đã công bố……… 135

-TÀI LIỆU THAM KHẢO -

136-MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Với sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộccông nghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm Để đáp ứng được yêucầu đặt ra cần có nguồn nhân lực có đủ khả năng, trình độ làm chủ công cụ laođộng trong nền sản xuất tự động hóa Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấphành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêugiáo dục – đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tựchủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà gópphần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước” Trước tình hình đó, ngànhgiáo dục cần thay đổi phương pháp đào tạo để phù hợp trong giai đoạn hiệnnay Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sảnViệt Nam (khóa VIII, 1997): “Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lốitruyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từngbước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quátrình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu…”

Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp vớiđặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả nănglàm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Cho thấyviệc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm raphương pháp hoạt động thích hợp để giải quyết vấn đề

1.2 Ở trường phổ thông, việc tìm và vận dụng phương pháp để học sinhđơn giản hóa cách nhìn nhận vấn đề là hết sức cần thiết đặc biệt là bộ môn toán

Môn toán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp,góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làmchủ tập thể Môn toán có vai trò rất quan trọng, nó giúp học sinh có được cơ sởcần thiết để học tốt các môn học khác Vì vậy việc dạy học Toán có hiệu quả sẽquyết định đến chất lượng chung của ngành giáo dục Toán học là khoa học suydiễn, mang tính trừu tượng cao Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh tính

tự giác, tích cực, sáng tạo cần rèn luyện cho học sinh những thao tác, cách thứcgiải quyết vấn đề theo quy trình, có tính thuật giải là rất cần thiết

1.3 Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng Trường phổ thông đặc biệttrong dạy học toán Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờthuật giải, tựa thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạngtoán có thuật giải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì học sinhlĩnh hội tri thức một cách dễ dàng hơn Thông qua các bước hoạt động, yêu cầubài toán được giảm dần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là định hướng đểhọc sinh giải quyết bài toán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán,từng dạng toán, sẽ góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác chohọc sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơnnữa, còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thậnchi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khámphá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp cẩn thận,tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc… Mặt khácqua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đấtnước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêu cầu củacon người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ thông tin,tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống

Tuy nhiên ở Trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển tưduy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự phát,chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện Do đó, giáo viênchưa thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy họcnhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.

Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nộidung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bàitập, các nội dung khác có liên quan

1.4 Số các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật giải còntương đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sĩ của

Vương Dương Minh: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông”(1998); luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị: “Vận dụng tư duy thuật toán vào việc xác định hình để giải các bài toán hình học không gian ở trường phổ thông trung học”(1996); luận văn thạc sĩ của Chu Hương Ly: “Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình"7 (2007); luận văn thạc sĩ của Dương Văn Kha:“Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học hình học không gian lớp 11”(2009)

Các công trình đã đề cập đến nội dung kiến thức: Hệ thống số, hình họckhông gian, phương trình mà chưa đề cập đến nội dung kiến thức Đại số 10

Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn là: “Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học giải Toán Đại số 10”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận văn là rèn luyện tư duy thuật giải cho họcsinh khi dạy học chủ đề Đại Số 10 Trung học phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Tư duy thuật giải là gì? Tại sao cần phải phát triển tư duy thuật giảicho học sinh?

3.2 Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc rèn luyện tư duy thuật

giải cho học sinh Trung học phổ thông khi dạy học giải toán Đại số 10 thông

qua một số quan điểm chủ đạo thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ

năng, năng lực giải toán, nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở Trường phổthông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán,các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học, Sách giáo khoa, Sách giáo viên, cáctài liệu tham khảo có liên quan để làm điểm tựa đề xuất các biện pháp rèn luyện

tư duy thuật giải cho học sinh

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

+ Điều tra chất lượng học sinh trước và sau khi thử nghiệm

+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về việc rèn luyện tư duy thuậtgiải của giáo viên và học sinh.

+ Trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về vấn đề phát triển và rènluyện tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quanđiểm chủ đạo mà luận văn đề ra về rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

6 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Hệ thống cơ sở lý luận cho việc phát triển tư duy toán học cho học sinh 6.2 Xây dựng các quan điểm chủ đạo nhằm phát triển và rèn luyện tưduy thuật giải cho học sinh trong việc giải toán Đại số 10

6.3 Kết quả nghiên cứu của luận văn là tài liệu tham khảo cho giáo viêntoán trung học phổ thông

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần Mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.2 Tư duy thuật giải

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Trunghọc phổ thông

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán

1.5 Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán ởtrường phổ thông

1.6 Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải chohọc sinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 10 nói riêng (khảo sát tạimột số trường Trung học phổ thông ở Nghệ An)

1.7 Kết luận chương 1

Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học giải toán Đại số 10

2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 10 trong Chương trình mônToán Trung học Phổ thông

2.2 Một số quan điểm chủ đạo nhằm rèn luyện và phát triển tư duy

thuật giải cho học sinh trong dạy học Đại số 10

3 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Một số khái niệm cơ bản liên quan đến việc phát triển và rèn luyện tưduy, tư duy thuật giải

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm

“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mốiquan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưabiết” (Trần Thúc Trình 1998, tr.1)

Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ởgóc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thờigian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giácquan cái đang tác động Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính, trên cơ

sở của nhận thức cảm tính Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, nhữngmối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều

mà con người chưa biết cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản sau:

- Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàncảnh, những tình huống “có vấn đề” Tức là những tình huống chứa đựng mộtmục đích một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũkhông đủ sức giải quyết Để đạt được mục đích mới đó con người phải tìm cáchthức mới để giải quyết nghĩa là phải tư duy Nhưng hoàn cảnh có vấn đề đóphải được cá nhân nhận thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cánhân, tức là cá nhân phải xác định cái gì đã cho, cái gì cần tìm và phải có động

cơ tìm kiếm các yếu tố đó

- Tính gián tiếp của tư duy: Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy, nhờngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức(quy tắc công thức, quyluật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, kháiquát,…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng Nhờ

đó mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:

Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà cókhả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cábiệt cụ thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiệntượng Từ đó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tínhbản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù Tính trừu tượng vàkhái quát của tư duy giúp con người không những giải quyết được nhiệm vụ ởhiện tại mà còn có thể giải quyết được nhiệm vụ ở tương lai

- Tư duy và ngôn ngữ:

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau Nếu không cóngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được Ngôn ngữ

cố định lại các kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.Ngược lại nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vônghĩa Muốn phát triển tư duy phải gắn với trao dồi ngôn ngữ Tuy nhiên ngônngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: X.L.Rubinsteinkhẳng định “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồnhư làm thành chỗ dựa cho tư duy” (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 9)

Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tìnhhuống có vấn đề”

Tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năngphản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác

mang tớnh lựa chọn, tớnh ý nghĩa Ph.Angghen đó viết: “Nhập vào với con mắtcủa chỳng ta chẳng những cú cỏc cảm giỏc khỏc mà cũn cú cả hoạt động tư duycủa ta nữa”.

- Tư duy là một quỏ trỡnh: tư duy được xột như một quỏ trỡnh, nghĩa là tưduy cú nảy sinh, diễn biến và kết thỳc Quỏ trỡnh tư duy bao gụ̀m nhiều giaiđoạn kế tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đụ̀ (do K K Plantụnụv đưa ra):

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Sơ đồ 1

(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 10)

- Quỏ trỡnh tư duy là một hành động trớ tuệ: quỏ trỡnh tư duy được diễn ra

bằng cỏch chủ thể tiến hành những thao tỏc trớ tuệ nhất định Cú rất nhiều thaotỏc trớ tuệ tham gia vào một quỏ trỡnh tư duy cụ thể với tư cỏch một hành độngtrớ tuệ: phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, trừu tượng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ,

1.1.3 Các thao tác tư duy

Về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ

để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra

1.1.3.1 Phân tích – tổng hợp

Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thànhnhững “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng

để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn

Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã đượcphân tích

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhautạo thành sự thống nhất không tách rời được

Ví dụ 1: Để tìm công thức tính diện tích của hình bình hành, ta chia hình

bình hành đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó Tổng diệntích hai tam giác là diện tích hình bình hành Như vậy việc phân tích hình bìnhhành thành hai tam giác sau đó tổng hợp lại đi đến công thức tính diện tích hìnhbình hành là tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng

1.1.3.2 So sánh

So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khácnhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhaugiữa các đối tượng nhận thức

Ví dụ 2: So sánh hai khái niệm: Đường tròn và mặt cầu.

Giống nhau: Gồm các điểm M sao cho OM = R

Khác nhau: Đường tròn: Các điểm M cùng thuộc một mặt phẳng Mặt cầu: Các điểm M thuộc không gian

1.1.3.3 Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, nhữngthuộc tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố

cần thiết để tư duy Ví dụ: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là đa

giác, đỉnh và các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính cụthể như hình chóp đều, hình chóp tam giác, …

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khácnhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định

Ví dụ 3: Từ các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông

nội tiếp trong đường tròn, có thể khái quát hóa điều kiện để tứ giác nội tiếptrong đường tròn

Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chiphối và bổ sung cho nhau như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ởmức độ cao hơn

1.1.4 Một số loại hình tư duy toán học

Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Trong toán học có một

số loại hình tư duy sau:

- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;

- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;

- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;

- Tư duy thuật giải;

1.2 Tư duy thuật giải

1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

1.2.1.1 Thuật giải

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đếnphức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tảquá trình giải Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trựcgiác về thuật giải

“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn nhữngchỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước vàđem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thànhthông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó”(Nguyễn Bá Kim 2009, tr 376 - 377)

Còn theo (Vương Dương Minh 1996, tr 12) thì: “Thuật giải là một quytắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theomột trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn nhữngthao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”

Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có nhữngtính chất cơ bản và quan trọng sau:

* Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phảiđơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trêncùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tínhhình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tựđộng thực hiện thuật giải thay thế con người

Ví dụ 1: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất: 

c by ax

Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’

Bước 2: Tính các định thức:

D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0

Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5

Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0

Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;

Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm

Bước 5: Kết luận:

Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (Dx Dy; )

D D Trong Ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong mỗi bước nếu tacho lần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của cáchọc sinh là như nhau

Xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Quy trình 4 bước để giải một bài toán.

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 Tìm đường lối giải toán

Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán

Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình này không phải là một thuật giải vì tính đơn trị bị vi phạm.Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta cóthể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật giải Bất

kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quảchứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sứcquan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuậtgiải, làm một số công việc thay thế cho con người

* Tính dừng

Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện cácthao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn.

Tính dừng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải cóbao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toánnhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi

Ví dụ 3: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất của hai số x, y.

Bước 1: Phân tích x, y ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất

Bước 3: Kiểm tra xem trong số thứ hai xem thừa số nào bằng thừa số nhỏnhất của số thứ nhất không?

Nếu có chuyển sang bước 4

Nếu không chuyển sang bước 5

Bước 4: Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số

Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất

Bước 6: Kiểm tra trong thừa số thứ nhất còn lại thừa số nào chưa xoá không?Nếu còn thì trở lại: Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4Bước 5 Bước 6

Nếu không chuyển sang bước 7

Bước 7: Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng Tích của các số đó chính làước chung lớn nhất của hai số x và y

Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một sốhữu hạn các thừa số nguyên tố

Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một

số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào Khi đó thuật giải thuđược kết quả mong muốn

* Tính đúng đắn

Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đềđặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật giải không cho phép kếtquả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp.

Ví dụ 4: Giải phương trình ax + b = 0.

Bước 1: Xác định các số a, b

Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b

Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a

Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x = 2a b (kết thúc).Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải Nó khôngđầy đủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0 Khi đó, ta không chia hai vế được cho a Tacần có bước kiểm tra trường hợp a = 0

* Tính phổ dụng

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc vớinhững dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra nhữngthuật giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

Ví dụ 5: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất áp dụng cho mọi cặp số

nguyên (x,y), thuật giải phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a  0) áp dụngcho mọi phương trình bậc 2

* Tính hiệu quả

Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu đượchiểu là:

+ Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

+ Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.+ Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn Đặc biệt trong điều kiện hiện naykhi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải

* Các hình thức biểu diễn thuật giải

Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau Trong môn toán vàtrong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏngtrình và các ngôn ngữ lập trình.

Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax2+ bx +c = 0 (a  0) để minhhoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải

Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Biểu diễn thuật giải theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học người

ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước củathuật toán Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật giải hayngười đọc thuật giải phải nắm các quy tắc Tuy nhiên cách biễu diễn thường dàidòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật giải, thường gây hiểu nhầm hay khó hiểucho người đọc

Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c)

Bước 2: Tính  = b2 - 4ac

Bước 3:

+ Nếu  = 0 thì kết luận phương trình có nghiệm kép x = 2a b

+ Nếu  < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm

+ Nếu  > 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Dạng 2: Sơ đồ khối

Sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật giải Biểu diễnthuật giải bằng sơ đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường

hợp và quá trình xử lý của thuật giải Phương pháp sơ đồ khối thường đượcdùng trong những thuật giải có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý.

Để biểu diễn thuật giải theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thaotác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện.Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điềukiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai

a = b

* Điểm cuối.

Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật giải, được biểu diễnnhư sau:

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật giải có sơđồ khối lớn

Sơ đồ thuật giải phương trình bậc hai

§

Bắt đầu

Kết thúc

Có 2 nghiệm phân biệt

Bắt đầu

Nhập a,b,c

Pt có 2 nghiệm phân biệt :

x =(-b -)/(2a)x= (-b+)/(2a)

Kết thúc

-Sơ đồ 2

Sơ đồ mô tả thuật giải một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khiphải mô tả những thuật giải phức tạp Một phương pháp khác để biểu diễn thuậttoán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình

Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợpcủa thuật giải nhưng lại cồng kềnh Để mô tả thuật giải nhỏ ta phải dùng mộtkhông gian rất lớn Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựachọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật giải còn có các lặp

Biểu diễn thuật giải bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vaymượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++, ) để thể hiện thuật giải Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọingười, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào nhữngquy ước chi tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máytính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa

Ví dụ 6: Thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình.





Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm

End

Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL

Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏngtrình như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn nhưPASCAL

1.2.1.2 Quy tắc tựa thuật giải

Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quyđịnh nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ Tuy nhiên trong quátrình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số trong cácđặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải toán

 Khái niệm quy tắc tựa thuật giải

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số qui tắc chưa mang đủ đặcđiểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏrõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó chỉ là những qui tắc

có thể coi là tựa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫnthực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của mộtlớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó

Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãyhữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biếnđổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớpbài toán đó” (Nguyễn Bá Kim 2009, tr 377)

Ví dụ 7: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là x Tính số gia của hàm số:

Bước 3: Tính giới hạn: Δx0x 0lim x y





.Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tạiđiểm x Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, cácbước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x Tuy nhiên có những chỉdẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 vềviệc tìm limΔx0x 0lim x y





Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự trênnhưng vẫn không tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn nàytồn tại

Ví dụ 8: Xét tính chẵn lẻ của một hàm số f(x).

+ Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x).

+ Bước 2: Xét xem D có đối xứng qua 0 hay không (tức x  D  x D)?

Nếu đúng, chuyển sang bước 3

Nếu sai, kết luận hàm số f(x) không chẵn, không lẻ

+ Bước 3: Tính f(x).

+ Bước 4: Xét xem f(x) = f(x) với mọi x  D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số chẵn

Nếu sai, chuyển sang bước 5

+ Bước 5: xét xem f(x) =  f(x) với mọi x  D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số lẻ

Nếu sai, kết luận f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ

Rõ ràng, trong các bước 4 và bước 5, không có một chỉ dẫn nào cho biết

cách thức kiểm tra f(x) =  f(x) hoặc f(x) =  f(x) với mọi x  D được haykhông Vì thế, có nhiều trường hợp các bước này không thực hiện được nên bàitoán đặt ra ta không giải được

Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;

+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị;

+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuậtgiải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạtđộng và giải toán

1.2.2 Tư duy thuật giải

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người pháttriển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng:Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập tronghoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạtđộng giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn họctập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thôngtin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Họcsinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông quahoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tậpmột cách tự giác, tích cực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên

hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho họcsinh một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt độngthành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hànhnhững hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặcbiệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình

hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó

có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậcnhững hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quátrình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quanđiểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạyhọc, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng Nội dung của quan điểm này đượcthể hiện một cách tóm tắt qua những Tư tưởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt độngtương thích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, nhưphương tiện và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.(Nguyễn Bá Kim 2009, tr 124)

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt động sau:T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mộtthuật giải

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theomột trình tự xác định

T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻthành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải

Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải Cả 5hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải

Như vậy có thể phát biểu rằng: “Tư duy thuật giải là phương thức tư duybiểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”(Vương Dương Minh 1996, tr 28).

Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợpvới những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Tác giảMonakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chấtngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứngdụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phầnhình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh(dẫn theo Vương Dương Minh 1996, tr 28 - 29)

Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển cáchoạt động tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững,củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông

Trong điều kiện ngày nay, sự hiểu biết của con người luôn đổi mới để

đáp ứng tốc độ phát triển của xã hội Tăng cường rèn luyện kỹ năng, kỹ xảotoán học cần thiết trong thực tiễn, giải quyết vấn đề với phương pháp hợp lý,ngắn gọn, tiết kiệm thời gian, tư duy Vai trò của việc phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh trong dạy học toán ở học sinh phổ thông là rất quan trọng và

cần thiết, góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học.Tác giả Nguyễn Bá Kim đã khẳng định sự cần thiết của việc phát triển tư duythuật giải như sau:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được tự động hóa trongnhững lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sựngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy đượcnền tảng của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuầntúy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyểngiao một số chức năng của con người cho máy thực hiện

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khigiải bài toán bằng máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất

cơ bản của việc lập trình Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiệntốt khâu đó

- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhàtrường phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho họcsinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trênnhững tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…

- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chungnhư phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…và hình thành những phẩm chất củangười lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tựkiểm tra …(Nguyễn Bá Kim 2009, tr 382)

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong môn Toán

Tư duy thuật giải được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy họcthực hiện, xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải Qua các tình huốngđiển hình trong dạy học toán Tư duy thuật giải có mặt ở các cấp học, các môntrong bộ môn toán: Khi học môn số học, học sinh được biết các thuật giải tìmước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất … Khi học các Hệ thống số, các quy

tắc tính toán, so sánh thường mang tính thuật giải Trong Đại số, học sinh đượchọc các thuật giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc 2, thuật giải hệphương trình bậc nhất …Trong dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức cóthể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học sinhphát hiện , xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giải một số bàitoán, dạng toán (dạng toán này sẽ được trình bày ở Chương 2).

1.4.1 Thực hiện thuật giải

Trong Chương trình toán phổ thông, học sinh được học, thực hiện nhiềuthuật giải như: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuậtgiải phương trình, hệ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phươngtrình bậc nhất với sinx và cosx: asinx + bcosx = c,…

Ví dụ 1: Ở chương trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải

phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0, (a  0), giáo viên có thể cho học sinhnêu các bước giải phương trình bậc hai như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c

Bước 2: Tính biệt thức  = b2- 4ac

Bước 3: Xét dấu 

+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 =  2b a

+ Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm

a

b x

2

2

2 1

Bước 4: Trả lời

Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của

tư duy thuật giải cho học sinh

Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau

Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phươngtrình sau:

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1)

Do đó cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêutrong quy tắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình,phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc Tiến hành nhấtquán như vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắcgiải phương trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiệnthuật giải

Ví dụ 2: Dạy học sinh quy tắc giải phương trình: ax + b = 0.

Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêucầu học sinh giải bài tập sau:

Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng sẽ gặp lúng túngkhi giải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra nhữngcâu hỏi gợi ý như sau:

+ Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trườnghợp, đó là những trường hợp nào?

(Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm).+ Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong từngtrường hợp?

(Có nghiệm duy nhất khi a  0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vônghiệm khi a = 0, b  0)

+ Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?

Bước 1: xác định a, b

Bước 2 Nếu a  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  b a

Nếu a = 0, b 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Dạy học khái quát hóa như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trườnghợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm) Một phương án khác

để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trường hợp riêng Trườnghợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóatừ đó Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm làmột tình huống sư phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo phương án đóthì có thể hình thành quy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau:

Ví dụ 3: Khi dạy nội dung phương trình, bất phương trình quy về bậc hai,

đối với học sinh khá, giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0; b x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0;

c x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0

Đứng trước bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì họcsinh mới chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương Giáo viên có thể hướng dẫnhọc sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a)

+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không?

+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 Nêu đặc điểm củaphương trình mới nhận được?

Ta mong đợi học sinh trả lời: (a) 2 2 3 16 3 22 0

Phương trình mới có đặc điểm: 1 1 2

2 2

+ Để giải phương trình ta làm thế nào?

Ta mong đợi học sinh trả lời: Đặt 1 1 2 2

2 2

Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và cácphương trình còn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằmgiúp học sinh giải bài toán tổng quát như sau:

+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phương trình?

Ta mong học sinh trả lời: phương trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ

số (-16), phương trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c)các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4)

+ Từ đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng quát?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Phương trình dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, với a ≠ 0

+ Từ cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giảiphương trình trên?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 và biến đổi phươngtrình về dạng

0 1

1

2 2

a x

b c bx

2 2

Bước 4: Giải phương trình: at2 + bt - 2a + c = 0, được nghiệm t0

Bước 5: Giải phương trình: 0

1

t x

x  Bước 6: Trả lời

Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho họcsinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) của tư duy thuật giải Để củng cố các hoạtđộng này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0; b 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0

Bài tập 3 Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó

Các Ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện các hoạt động của tư duy

thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách

ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của cáchoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khigiải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:

+ Cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuậtgiải tạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự các bướccủa thuật giải đó

+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tựxác định tuy nhiên, cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu.Nếu học sinh không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộccác quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫnkhông giải quyết được yêu cầu của công việc.

1.4.2 Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, học sinh cũng cầnđược rèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải Đặc biệt,trong giải toán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựathuật giải sẽ giúp học sinh sử dụng chúng thực hiện tốt, nhanh gọn, chính xácyêu cầu của bài toán

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC sao

cho MN cắt BC Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD)

 K chính là giao điểm của BC và MN

* Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích quá trình tìm điểm K.

* Từ phân tích trong ví dụ trên, giáo viên giúp học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài toán 2: Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Quy tắc tựa thuật giải:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q)

Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b.

Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm

- Dạy học quy tắc, phương pháp;

- Dạy học giải bài tập toán học

1.4.3.1 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học khái niệm

Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố

và vận dụng khái niệm Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động cơbản để củng cố, vận dụng khái niệm Trong nhiều trường hợp ta có thể xâydựng thuật giải để nhận dạng khái niệm

Ví dụ 2: Nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số.

Nội dung của khái niệm hàm số là hội của hai điều kiện như sau:

 Điều kiện P1:

Với mỗi phần tử x  R đều tồn tại một phần tử tương ứng y R

 Điều kiện P2:

Với mỗi phần tử x  R thì phần tử tương ứng y là duy nhất

Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng kháiniệm hàm số:

+

Sơ đồ 3

Trường hợp tổng quát

Khi tính chất đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện thì địnhnghĩa có cấu trúc:

xA(x)  B1(x)B2(x) …Bn(x)

Ta có thể hướng dẫn học sinh dùng thuật giải sau để nhận dạng khái niệm:

Sơ đồ 4

1.4.3.2 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học định lý

Các định lí và các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môntoán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suyluận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩmchất và đạo đức cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp học sinh nắmđược hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó học sinh cókhả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn

đề trong thực tiễn

Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp học sinh xây dựng được các thuậtgiải, quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt đểhọc sinh tiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán

Ví dụ 3: Khi dạy học định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể hướng dẫn,

giúp học sinh xây dựng quy tắc thuật giải thể hiện định lí để xét dấu của tamthức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a0) như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và dấu của a

Bước 2: Tính biệt số = b2 – 4ac

Bước 3: Áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai:

1.4.3.3 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học giải bài tập toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Bởi lẽ, nó khôngchỉ yêu cầu học sinh tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện,các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán, các hoạt động trí tuệ chung,…mà còntrực tiếp liên hệ thuật giải và qui tắc tựa thuật giải Thông qua giải bài tập cóthể rèn luyện, phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Mặc dù không có thuật

giải tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán tuy nhiên, trong quá trình giảitoán và tìm tòi, xây dựng những thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cho một số lớpcác bài toán sẽ giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức, hệ thống kiếnthức và giúp học sinh có những tri thức phương pháp trong giải toán.

Ví dụ 4: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài

toán: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD từ bài toán cụ thểsau:

Cho hình chóp đều S.ABCD: AB = a, SA = 2a Xác định tâm mặt cầungoại tiếp hình chóp

* Phân tích:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do IA = IB = IC = ID nên

I  d trong đó, d là đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại tâm O của đườngtròn ngoại tiếp đáy ABCD (d gọi là trục của đường tròn tâm O) Tứ giác ABCD

là hình vuông nên O là giao của AC và BD

Mặt khác: IA = IB = IC = ID = IS nên I  (P) trong đó (P) là mặt phẳngtrung trực của một cạnh bên Từ đó ta có I là giao của (P) và d

Như vậy ta cần:

 Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD

 Tìm d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

 Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

 Tìm giao điểm I của d và (P)

* Từ bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn xây dựng qui tắc tựa thuật giải cho bài toán:

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bước 1: Kiểm tra đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp

Bước 2: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 3: Xác định đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy