àa ph÷ìng hâa.. T½nh Artin v t½nh Noether... Ch¯ng h¤n, æng chùng minh Bê · ArtinRess, ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì cho i¶an sau â mð rëng cho mæunb¬ng kÿ thuªt i¶an hâa.. àa ph÷ìng hâa...
Trang 2L NH× HO
MËT SÈ TNH CHT
CÕA VNH I AN HÂA
Chuy¶n ng nh: I SÈ V LÞ THUYT SÈ
Trang 3MÖC LÖC
1.1 V nh Noether v v nh Artin 7
1.2 V nh v mæ un àa ph÷ìng hâa 8
1.3 V nh àa ph÷ìng ¦y õ theo tæpæ m-adic 11
1.4 V nh v mæ un ph¥n bªc 12
2 Mët sè t½nh ch§t cõa v nh i ¶an hâa 14 2.1 Kh¡i ni»m v nh i ¶an hâa 14
2.2 àa ph÷ìng hâa 16
2.3 I ¶an hâa cõa v nh v mæ un ph¥n bªc 21
2.4 T½nh Artin v t½nh Noether 23
Trang 4MÐ U
Trong to n bë luªn v«n, luæn kþ hi»u R l mët v nh giao ho¡n, câ ìn
và l 1 v M l mët R−mæ un Kh¡i ni»m i ¶an hâa ÷ñc M Nagata ÷a
ra n«m 1962 trong [8] nh÷ sau: tr¶n t½ch ¶cac R × M, trang bà hai ph²pto¡n cëng v nh¥n x¡c ành bði:
(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)vîi måi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R×M; R×M còng vîi hai ph²p to¡n nâi tr¶n l mët v nh giao ho¡n câ ìn và (1, 0) v hìn núa nâ l mët R− ¤i sè V nh
R × M ÷ñc gåi l i ¶an hâa cõa M ho°c mð rëng t¦m th÷íng cõa R bði M
v ÷ñc kþ hi»u l RnM N¸u R l v nh àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ¤i duynh§t m th¼ RnM công l mët v nh àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ¤i duy nh§t
m× M Chó þ r¬ng 0 × M l mët i ¶an cõa RnM v RnM/0 × M ∼= R.Ph²p chi¸u ch½nh tc ρ : RnM → R x¡c ành bði ρ((r, m)) = r v ph²p nhóng ch½nh tc σ : R → RnM x¡c ành bði σ(r) = (r, 0) l c¡c
çng c§u àa ph÷ìng Do â chóng ta câ thº xem méi R-mæ un nh÷ mët
RnM-mæ un v méi RnM-mæ un nh÷ mët R-mæ un bði c¡c çng c§u
σ v ρ Ngo i ra, c§u tróc R-mæ un c£m sinh bði çng c§u hñp th nh ρσch½nh l c§u tróc ban ¦u
Theo mët ngh¾a n o â, i ¶an hâa mæ un M ngh¾a l °t M v o v nhgiao ho¡n RnM sao cho c§u tróc cõa M nh÷ mët R-mæ un cì b£n l gièngnh÷ mët RnM-mæ un, ngh¾a l , gièng nh÷ mët i ¶an cõa v nh RnM Möc
Trang 5½ch ban ¦u cõa M Nagata l sû döng i ¶an hâa º chùng minh mët sèk¸t qu£ cho mæ un, khi bi¸t i·u â óng cho c¡c i ¶an, b¬ng c¡ch xemméi mæ un l mët i ¶an cõa v nh i ¶an hâa Kÿ thuªt n y ÷ñc M Nagata
sû döng r§t nhi·u l¦n trong [8] Ch¯ng h¤n, æng chùng minh Bê · ArtinRess, ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì cho i ¶an sau â mð rëng cho mæ unb¬ng kÿ thuªt i ¶an hâa V· sau, kh¡i ni»m i ¶an hâa ¢ ÷ñc mët sè nh to¡n håc quan t¥m, nghi¶n cùu C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc cho th§y i ¶an hâacông câ nhi·u ùng döng, °c bi»t l trong c¡c b i to¡n x¡c ành c§u tróc
v nh Ngo i ra trong r§t nhi·u cæng tr¼nh, i ¶an hâa ÷ñc sû döng º l mv½ dö minh håa cho c¡c v§n · trong v nh, n¸u i·u n y thüc hi»n tr¶n c¡c
v nh thæng th÷íng th¼ r§t khâ kh«n °c bi»t, N T Cuong - L T Nhan
- M Morales [6] ¢ sû döng i ¶an hâa nh÷ l mët cæng cö húu hi»u º tr£líi cho mët c¥u häi mð cõa Sharp
Nëi dung cõa luªn v«n düa v o t i li»u tham kh£o ch½nh l b i b¡o [3]cõa D D Anderson- A Winders v mët sè t i li»u kh¡c li¶n quan ¸ni ¶an hâa º tr¼nh b y v· c¡c t½nh ch§t cõa v nh i ¶an hâa nh÷: i ¶an hâa,bao ¦y õ theo tæpæ m × M-adic, i·u ki»n º v nh RnM l Noether,Artin,
Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, nëi dung cõa luªnv«n ÷ñc chia th nh hai ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trongch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð cõa ¤i sè giaoho¡n nh¬m l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ðch÷ìng sau Ch÷ìng 2: Mët sè t½nh ch§t cõa v nh i ¶an hâa Trong ch÷ìng
n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa v nh i ¶an hâa düa v o t ili»u tham kh£o ch½nh l [3] v mët sè t i li»u li¶n quan kh¡c, gçm nhúngnëi dung sau
2.1 V nh i ¶an hâa
2.2 àa ph÷ìng hâa
Trang 62.3 I ¶an hâa cõa v nh v mæ un ph¥n bªc.
Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong Bëmæn ¤i Sè, c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y lîp Caohåc ¤i Sè; T¡c gi£ công xin c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa, c¡c th¦y cægi¡o trong Khoa To¡n, Pháng o t¤o Sau ¤i håc, Tr÷íng ¤i håc Vinh.T¡c gi£ xin gûi lði c£m ìn s¥u sc tîi gia ¼nh, tê To¡n - Tin còng to nthº gi¡o vi¶n tr÷íng THPT Di¹n Ch¥u 4 v lîp cao håc khâa 20 ¢ luæn
ëng vi¶n, v t¤o i·u ki»n º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc
Ngh» An, th¡ng 06 n«m 2014
T¡c gi£
Trang 7câ ìn và; M l mët R-mæ un.
1.1 V nh Noether v v nh Artin
1.1.1 ành ngh¾a V nh R ÷ñc gåi l v nh Noether (t÷ìng ùng v nhArtin) n¸u måi d¢y t«ng (t÷ìng ùng gi£m) c¡c i ¶an cõa R ·u døng,ngh¾a l n¸u
Trang 8(ii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c i ¶an cõa R ·u câ ph¦n tû cüc ¤i theoquan h» bao h m;
(iii) Måi i ¶an cõa R ·u húu h¤n sinh
1.1.3 M»nh · C¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:
1.2 V nh v mæ un àa ph÷ìng hâa
Cho S l tªp nh¥n âng cõa v nh R Tr¶n t½ch ·-c¡c
l tªp th÷ìng cõa R × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼
Tr¶n RS trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v nh¥n (.) nh÷ sau:
r/s + r0/s0 = (rs0+ sr0)/(ss0)
Trang 9r/s.r0/s0 = (rr0)/(ss0)vîi måi r/s, r0/s0 ∈ RS; chó þ r¬ng hai ph²p to¡n n y khæng phö thuëc v ovi»c chån ph¦n tû ¤i di»n Khi â RS trð th nh mët v nh v gåi l v nhc¡c th÷ìng cõa R theo tªp nh¥n âng S Chó þ r¬ng v nh c¡c th÷ìng RS
công th÷íng ÷ñc kþ hi»u l S−1R
Méi i ¶an cõa v nh c¡c th÷ìng RS ·u câ d¤ng S−1I, trong â I l i ¶an cõa v nh R Ta câ S−1I = S−1R ⇔ I ∩ S 6= φ Do â S−1I l i ¶anthüc sü cõa RS khi v ch¿ khi I ∩ S = φ
Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R
V nh RS trong tr÷íng hñp n y l v nh àa ph÷ìng, k½ hi»u l Rp, vîi i ¶ancüc ¤i duy nh§t l pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} n¶n ÷ñc gåi l v nh àaph÷ìng hâa cõa v nh R t¤i i ¶an nguy¶n tè p
Gi£ sû S l tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû khæng l ÷îc cõa khæng cõa v nh R.Khi â S l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R Trong tr÷íng hñp n y v nhc¡c th÷ìng RS ÷ñc gåi l v nh th÷ìng to n thº cõa R (total quotient ring
of R) v kþ hi»u l T (R) N¸u R l mët mi·n nguy¶n th¼ v nh th÷ìng to nthº cõa R l mët tr÷íng v ÷ñc gåi l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R Chó þr¬ng, do S khæng chùa ÷îc cõa khæng n¶n ¡nh x¤ tü nhi¶n R → T (R) l
ìn c§u V¼ th¸ v nh th÷ìng to n thº T (R) l mët mð rëng cõa v nh R.Cho S l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R Khi â tªp hñp
S = {a ∈ R | ∃b ∈ R, ab ∈ S}
÷ñc gåi l b¢o háa cõa S (saturation of S) Chó þ r¬ng S công l mët tªpnh¥n âng cõa v nh R Do ÷îc cõa mët ph¦n tû kh£ nghàch l mët ph¦n
tû kh£ nghàch n¶n tø ành ngh¾a cõa v nh c¡c th÷ìng ta suy ra RS = RS
v S l cüc ¤i trong sè c¡c tªp T º cho RS = RT D¹ th§y r¬ng
S = {a ∈ R | a/1 kh£ nghàch trong RS}
Trang 10Cho M l mët R-mæ un Tr¶n t½ch ·-c¡c M × S ta x²t quan h» haingæi
(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0
D¹ th§y ∼ l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S Khi â M × S ÷ñcchia th nh c¡c lîp t÷ìng ÷ìng Vîi méi ph¦n tû (m, s) ∈ M × S, k½ hi»um/s l lîp t÷ìng ÷ìng chùa (m, s), tùc l
(m/s) = {(m0, s0) ∈ M × S | (m0, s0) ∼ (m, s)}
= {(m0, s0) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0}.K½ hi»u MS l tªp th÷ìng cõa M × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼, tùc l :
Trang 11Cho p ∈ SpecR èi vîi tªp nh¥n âng S = R\p ta vi¸t Rp thay cho RS
v vi¸t Mp thay cho MS Mæ un Mp ÷ñc gåi l mæ un àa ph÷ìng hâa cõa
M t¤i i ¶an nguy¶n tè p
1.3 V nh àa ph÷ìng ¦y õ theo tæpæ m-adic
Cho (R,m) l mët v nh àa ph÷ìng Ta x²t R nh÷ mët v nh tæpæ vîi
cì sð l¥n cªn cõa ph¦n tû 0 l c¡c i ¶an mt, vîi t = 0, 1, 2, Chó þ r¬ng
cì sð l¥n cªn cõa mët ph¦n tû tòy þ r ∈ R gçm c¡c lîp gh²p r +mt vîi
t = 0, 1, 2, Khi â v nh ¦y õ theo tæpæ m-adic cõa R ÷ñc k½ hi»u bði
b
R ÷ñc ành ngh¾a b¬ng c¡ch thæng th÷íng theo ngæn ngú d¢y Cauchy nh÷sau: Mët d¢y Cauchy trong R l mët d¢y (rn) c¡c ph¦n tû cõa R sao chovîi måi t > 0, tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 º rn− rm ∈ mt vîi måi n, m > n0.D¢y (rn) ÷ñc gåi l hëi tö v· d¢y khæng n¸u vîi måi t > 0 tçn t¤i sè tünhi¶n n0 º rn− 0 = rn ∈ mt vîi måi n > n0
Hai d¢y Cauchy (rn) v (sn) ÷ñc gåi l hai d¢y t÷ìng ÷ìng, k½ hi»u
l (rn) ∼ (sn) n¸u d¢y (rn− sn) l d¢y khæng Khi â quan h» ∼ tr¶n tªpc¡c d¢y Cauchy l quan h» t÷ìng ÷ìng Ta k½ hi»u Rb l tªp c¡c lîp t÷ìng
÷ìng cõa c¡c d¢y Cauchy
Chó þ r¬ng n¸u (rn) v (sn) l c¡c d¢y Cauchy th¼ c¡c d¢y (rn + sn),(rnsn) công l c¡c d¢y Cauchy v lîp t÷ìng ÷ìng cõa c¡c d¢y (rn + sn),(rnsn) l khæng phö thuëc v o vi»c chån c¡c ¤i di»n cõa c¡c lîp t÷ìng
÷ìng cõa c¡c d¢y (rn) v (sn), tùc l n¸u (rn) ∼ (r0n) v (sn) ∼ (s0n) th¼(rn+ sn) ∼ (rn0 + s0n) v (rnsn) ∼ (rn0s0n) V¼ th¸ Rb ÷ñc trang bà hai ph²pto¡n hai ngæi + v çng thíi còng vîi hai ph²p to n n y, Rb lªp th nhmët v nh Méi ph¦n tû r ∈ R câ thº çng nh§t vîi lîp t÷ìng ÷ìng cõad¢y Cauchy m t§t c£ c¡c ph¦n tû trong d¢y ·u l r V¼ th¸ ta câ mët
ìn c§u tü nhi¶n giúa c¡c v nh
R −→ Rb
Trang 12r 7−→ (r),trong â (r) l d¢y m t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa nâ ·u l r çng c§u tünhi¶n n y l mët çng c§u ho n to n ph¯ng.
Chó þ r¬ng tø ành ngh¾a tr¶n ta th§y R = limb
← (R/mn)
1.4 V nh v mæ un ph¥n bªc
1.4.1 ành ngh¾a (i) Mët v nh R ÷ñc gåi l ph¥n bªc n¸u
R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕
l mët têng trüc ti¸p c¡c nhâm aben vîi RiRj ⊆ Ri+j
(ii) Mët mæ un M tr¶n v nh ph¥n bªc R ÷ñc gåi l mæ un ph¥n bªcn¸u
M = M0 ⊕ M1 ⊕ M2 ⊕ x²t nh÷ nhâm cëng v RiMj ⊆ Mi+j vîi måi i, j
i, k½ hi»u deg(x) = i Ta quy ÷îc bªc cõa ph¦n tû 0 l mët sè nguy¶ntòy þ Nh÷ vªy, n¸u a ∈ R v x ∈ M l c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t th¼deg(ax) = deg(a) + deg(x) ho°c ax = 0
Tø ành ngh¾a ta suy ra R0 l mët v nh con cõa v nh R v méi th nhph¦n ph¥n bªc Mi (ho°c Ri) l mët R0−mæ un N¸u x ∈ M v
x = xi+ xi+1 + + xj,vîi xk ∈ Mk, i ≤ k ≤ j; i, j ∈ Z th¼ xk (câ thº xk = 0) ÷ñc gåi l th nhph¦n thu¦n nh§t ho°c th nh ph¦n ph¥n bªc bªc k cõa x Méi ph¦n tû ch¿
câ mët biºu di¹n duy nh§t th nh têng cõa c¡c th nh ph¦n ph¥n bªc
Trang 131.4.2 ành ngh¾a Cho M l mët mæ un ph¥n bªc tr¶n v nh ph¥n bªc
R v N l mët mæ un con cõa M Khi â N ÷ñc gåi l mæ un con thu¦nnh§t hay mæ un con ph¥n bªc n¸u nâ thäa m¢n mët trong nhúng i·u ki»nt÷ìng ÷ìng sau ¥y
(i) N ÷ñc sinh bði c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t
(ii) Vîi méi x ∈ N, måi th nh ph¦n thu¦n nh§t cõa nâ thuëc N
(iii) N = ⊕∞
i=0
(N ∩ Mi)
N¸u I l i ¶an thu¦n nh§t cõa v nh ph¥n bªc R th¼ v nh th÷ìng R/I
l công l v nh ph¥n bªc Công vªy, n¸u N l mæ un con thu¦n nh§t cõa
M th¼ M/N l R-mæ un ph¥n bªc
1.4.3 V½ dö V nh ph¥n bªc hay g°p nh§t l v nh a thùc R = A[x],trong â A l mët v nh giao ho¡n câ ìn và, vîi Ri l tê hñp tuy¸n t½nhcõa c¡c ìn thùc câ bªc têng thº l i v h» sè thuëc A Nh÷ vªy, a thùcthu¦n nh§t l têng cõa c¡c tø câ bªc têng thº b¬ng nhau
I l i ¶an thu¦n nh§t cõa R n¸u nâ sinh bði c¡c a thùc thu¦n nh§t.Ch¯ng h¤n, måi ìn thùc l a thùc thu¦n nh§t; (x3−y2z, x4yz−y5z+6y2z4)
l i ¶an thu¦n nh§t cõa v nh R[x, y, z]
Cho S l mët v nh con cõa v nh R (khæng nh§t thi¸t ph¥n bªc) Khi âng÷íi ta cán gåi R l mët S- ¤i sè N¸u a1, , an ∈ R, kþ hi»u S[a1, , an]
l tªp c¡c tê hñp tuy¸n t½nh tr¶n S cõa c¡c ph¦n tû ap 1
Ri l v nh Noether khi v ch¿ khi R0
l v nh Noether v R l mët R0- ¤i sè húu h¤n sinh
Trang 14CH×ÌNG 2
MËT SÈ TNH CHT CÕA VNH I AN HÂA
Trong ch÷ìng n y, düa v o b i b¡o [3] cõa D D Anderson and M.Winders, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa v nh i ¶an hâa RnM,vîi R l mët v nh giao ho¡n câ ìn và v M l mët R-mæ un
2.1 Kh¡i ni»m v nh i ¶an hâa
2.1.1 ành ngh¾a Cho R l mët v nh giao ho¡n, câ ìn và l 1 v M l mët R−mæ un Tr¶n t½ch ¶cac R × M, trang bà hai ph²p to¡n cëng v nh¥n nh÷ sau:
(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)
vîi måi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M Khi â R × M còng vîi hai ph²p to¡nnâi tr¶n l mët v nh giao ho¡n câ ìn và l (1, 0) V nh R × M ÷ñc gåi l i ¶an hâa cõa M ho°c mð rëng t¦m th÷íng cõa R bði M v ÷ñc kþ hi»u
l RnM
2.1.2 Chó þ (1) Chó þ r¬ng RnM công l mët R− ¤i sè Gi£ sû R
l mët v nh giao ho¡n cè ành Khi â i ¶an hâa c£m sinh mët h m tû
IR : R − mod →R Alg tø ph¤m trò c¡c R-mæ un R − mod ¸n ph¤m tròc¡c R- ¤i sè RAlg, vîi IR(M ) = RnM v n¸u f : M → N l mët R- çng
Trang 15c§u th¼ IR(f ) : IR(M ) → IR(N ) l mët çng c§u R- ¤i sè x¡c ành bði
(3) Ph²p chi¸u ch½nh tc ρ : RnM → R x¡c ành bði ρ((r, m)) = r v ph²p nhóng ch½nh tc σ : R → RnM x¡c ành bði σ(r) = (r, 0) l c¡c
çng c§u àa ph÷ìng Do â chóng ta câ thº xem méi R-mæ un nh÷ mët
RnM-mæ un v méi RnM-mæ un nh÷ mët R-mæ un bði c¡c çng c§u
σ v ρ Ngo i ra, c§u tróc R-mæ un c£m sinh bði çng c§u hñp th nh ρσch½nh l c§u tróc ban ¦u
Cho : M → RnM l ph²p nhóng ch½nh tc x¡c ành bði (x) = (0, x).Khi â ta câ d¢y khîp c¡c RnM-mæ un:
0 → M → RnM → R → 0
2.1.3 M»nh · Cho R l mët v nh giao ho¡n v M l mët R-mæ un.(i) Tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa v nh RnM l U(RnM ) = U (R)×M,trong â U(R) l tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa v nh R
(ii) Tªp c¡c ph¦n tû lôy ¯ng cõa v nh RnM l Id(RnM ) = Id(R) × 0,trong â Id(R) l tªp c¡c ph¦n tû lôy ¯ng cõa v nh R
Trang 16Chùng minh (i) gi£ sû (r, m) ∈ U(RnM ) Khi â tçn t¤i (s, n) ∈ RnMsao cho (r, m)(s, n) = (1, 0) Do â rs = 1, tùc l r ∈ U(R) Suy ra(r, m) ∈ U (R) × M Ng÷ñc l¤i, gi£ sû (r, m) ∈ U(R) × M Khi â, do
r ∈ U (R) n¶n tçn t¤i s ∈ R sao cho rs = 1 Suy ra (r, 0)(s, 0) = (1, 0), tùc(r, 0) kh£ nghàch M°t kh¡c, do (r, m) = (r, 0) + (0, m) m (0, m) lôy linhn¶n suy ra (r, m) kh£ nghàch (chó þ r¬ng n¸u u l mët ph¦n tû kh£ nghàch
v x l mët ph¦n tû lôy linh cõa v nh R th¼ u+x l ph¦n tû kh£ nghàch cõa
R Thªt vªy, do x lôy linh n¶n x ∈ n(R) ⊆ J(R) Suy ra 1 − xy kh£ nghàchvîi måi y ∈ R Do â u(1 − xy) kh£ nghàch vîi måi y ∈ R Chån y = −u−1
ta câ u+x kh£ nghàch) Vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc U(RnM ) = U (R)×M.(ii) Rã r ng r¬ng n¸u e ∈ R l lôy ¯ng th¼ (e, 0) l lôy ¯ng Do âId(R) × 0 ⊆ Id(RnM ) Ng÷ñc l¤i, gi£ sû (r, m) ∈ Id(RnM ) Khi â ta
câ (r, m) = (r, m)2 = (r2, 2rm) Suy ra r = r2 hay r ∈ Id(R) M°t kh¡c,
ta công câ m = 2rm n¶n rm = 2r2m = 2rm Suy ra rm = 0 V¼ th¸
m = 2rm = 0 Suy ra Id(RnM ) ⊆ Id(R) × 0 Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh
÷ñc Id(RnM ) = Id(R) × 0
2.1.4 Nhªn x²t Theo m»nh · tr¶n tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa v nh
RnM l U(RnM ) = U (R) × M n¶n tªp c¡c ph¦n tû khæng kh£ nghàchcõa RnM l (R \ U(R)) × M ⊇ 0 × M Suy ra khi M 6= 0, tçn t¤i ph¦n
tû kh¡c khæng m khæng kh£ nghàch V¼ th¸ v nh i ¶an hâa RnM, trongtr÷íng hñp M 6= 0 khæng bao gií l mët tr÷íng
2.2 àa ph÷ìng hâa
Kþ hi»u Z(R) v Z(M) t÷ìng ùng l tªp c¡c ÷îc cõa khæng cõa R v
M M»nh · sau x¡c ành tªp c¡c ÷îc cõa khæng Z(RnM )cõa v nh RnM.2.2.1 M»nh · Cho R l mët v nh giao ho¡n v M l mët R−mæ un
Trang 17Do â (r, m) = (r, 0) + (0, m) ∈ Z(RnM ) Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc
{(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M } ⊆ Z(RnM )
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû (r, m) ∈ Z(RnM ) Khi â tçn t¤i (0, 0) 6= (s, n) ∈
RnM sao cho (0, 0) = (r, m)(s, n) = (rs, rn + sm) N¸u s 6= 0, do rs = 0suy ra r ∈ Z(R) N¸u s = 0 th¼ n 6= 0, do sm = 0 n¶n rn = 0 suy ra
r ∈ Z(M ) Trong c£ hai tr÷íng hñp ta ·u câ r ∈ Z(R) ∪ Z(M) Do â
Z(RnM ) ⊆ {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M }
Vªy tø nhúng chùng minh tr¶n ta nhªn ÷ñc
Z(RnM ) = {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M }
Tø m»nh · tr¶n ta câ ngay h» qu£ sau ¥y
2.2.2 H» qu£ Tªp c¡c ph¦n tû ch½nh qui (khæng l ÷îc cõa khæng) cõa
Trang 18Mët tªp con S cõa mët v nh R ÷ñc gåi l b¢o háa (saturated) n¸u nâ
âng k½n èi vîi ph²p l§y th÷ìng, ngh¾a l , vîi måi x, y ∈ R n¸u xy ∈ S th¼
x, y ∈ S Nâi c¡ch kh¡c, tªp con S cõa v nh R ÷ñc gåi l b¢o háa n¸u vîimåi x, y ∈ R m x ∈ S v y | x th¼ y ∈ S Theo Kaplansky [7], tªp con Scõa v nh R vøa l tªp nh¥n âng vøa l b¢o háa khi v ch¿ khi S l ph¦n
bò cõa hñp c¡c i ¶an nguy¶n tè Nhc l¤i r¬ng, vîi méi tªp nh¥n âng S,b¢o háa cõa S (saturation of S) l tªp hñp
S = {a ∈ R | ∃b ∈ R, ab ∈ S}
Rã r ng S ⊇ S v S công l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R (xem Möc1.2) M»nh · sau ¥y mæ t£ tªp nh¥n âng b¢o háa trong v nh RnM.2.2.4 M»nh · Cho R l v nh giao ho¡n v M l mët R-mæ un
(i) Câ mët t÷ìng ùng 1-1 giúa c¡c tªp nh¥n âng b¢o háa cõa v nh R
v c¡c tªp nh¥n âng b¢o háa cõa v nh RnM, x¡c ành bði S ↔ S × M.(ii) N¸u S l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R v N l mët mæ un concõa M th¼ S × N l tªp nh¥n âng cõa v nh RnM vîi S × N = S × M.Chùng minh (i) V¼ tªp nh¥n âng b¢o háa l ph¦n bò cõa hñp c¡c i ¶annguy¶n tè n¶n ¡nh x¤ R \ ∪pα ↔ (R \ ∪pα)nM = RnM \ ∪(pαnM ) s³ x¡c
ành mët t÷ìng ùng 1-1 giúa c¡c tªp nh¥n âng b¢o háa cõa v nh R v c¡c tªp nh¥n âng b¢o háa cõa v nh RnM
(ii) D¹ kiºm tra th§y r¬ng n¸u S l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R v
N l mët mæ un con cõa M th¼ SnN l tªp nh¥n âng cõa v nh RnM.Gi£ sû S × N = T × M vîi T l mët tªp nh¥n âng b¢o háa cõa R Khi
â S ⊆ T Do â S ⊆ T Do â S × N ⊆ S × M ⊆ T × M = S × N v
S × M l tªp nh¥n âng b¢o háa n¶n S × N = S × M
2.2.5 ành l½ Cho R l mët v nh giao ho¡n v M l mët R-mæ un