Khoá luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Đại số Nguyên lý đếm

Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toá

KHOA TOÁN -

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô trong tổ Đại Số và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TH.S

Dươn T ị L ến đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong

suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận

Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng nhưng những vấn đề em trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có thể hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

N ễn T ị T ú

LỜI C M ĐO N

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô

giáo TH.S Dươn T ị Luyến cùng với sự cố gắng của bản thân Trong

quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp 3

1.1.1 Các khái niệm và định nghĩa 3

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 4

1.2 Hai nguyên lý đếm cơ bản 6

1.2.1 Nguyên lý cộng 6

1.2.2 Nguyên lý nhân 8

1.3 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 11

1.3.1 Hoán vị 11

a Hoán vị không lặp 11

b Hoán vị có lặp 13

c Hoán vị vòng tròn 15

1.3.2 Chỉnh hợp 16

a Chỉnh hợp không lặp 16

b Chỉnh hợp có lặp 19

1.3.3 Tổ hợp 22

a Tổ hợp không lặp 22

b Tổ hợp có lặp 24

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG TOÁN 26

2.1 Phương pháp chung giải các bài toán tổ hợp 26

2.1.1 Phương pháp đếm trực tiếp 26

2.1.2 Phương pháp đếm vị trí 26

2.1.3 Phương pháp đếm loại trừ 26

2.1.4 Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau 26

2.1.5 Phương pháp tạo vách ngăn 26

2.2 Các dạng toán thường gặp 28

2.2.1 Dạng 1 Bài toán đếm số 28

2.2.2 Dạng 2 Bài toán sắp xếp đồ vật 41

2.2.3 Dạng 3 Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước 45

2.2.4 Dạng 4 Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học 52

KẾT LU N 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

Toán tổ hợp là một lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như trong các ngành khoa học khác Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học…

Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo

và tư duy nhạy bén để học tốt các môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức

độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp Đặc biệt, các bài toán đếm được nghiên cứu từ thế kỉ 17, khi những câu hỏi về tổ hợp được đưa ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi Liệt kê, đếm các đối tượng có tính chất nào đó là phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp chúng ta cần phải đếm các đối tượng để giải nhiều bài toán khác nhau Em là người rất yêu thích toán tổ hợp vì vậy em lựa chọn đề tài: “NGUYÊN LÝ ĐẾM” với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đếm

Trong khóa luận này em đã hệ thống hóa,phân tích, diễn giải được một số khái niệm về hai nguyên lý đếm cơ bản cũng như một số khái

niệm của đại số tổ hợp có chứng minh Đồng thời thống kê đươc một số dạng toán điển hình của nguyên lý đếm, đặc biệt là các bài toán đếm Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và phân tích cách giải một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận

Khóa luận được chia thành 2 chương như sau:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Các dạng toán

Đề tài “NGUYÊN LÝ ĐẾM” là một đề tài hay và hấp dẫn Tuy nhiên, do thời gian và khả năng có hạn nên khóa luận của em không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong khoa toán, các thầy cô trong hội đồng phản biện và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp

1.1.1 Các khái niệm v địn n ĩa

Địn n ĩa 1 Tập các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần

tử của tập hợp Các tập hợp thường được kí hiệu bởi những chữ cái in hoa như A, B, X, Y…, các phần tử thuộc tập hợp hay được kí hiệu bởi các chữ cái in thường như a, b, c, u, v… Để chỉ a là phần tử của tập A ta viết a  A, trái lại nếu a không thuộc A ta viết a  A

Tập hợp không chứa bất kì phần tử nào được gọi là tập rỗng (kí hiệu

là ϕ)

Tập hợp A được gọi là bằng tập hợp B khi và chỉ khi chúng có chung các phần tử và được kí hiệu là A=B Ví dụ tập A={ 1, 3, 5} sẽ bằng tập B={ 3, 5, 1}

Địn n ĩa 2 Tập A được gọi là một tập con của tập hợp B và kí hiệu là

A  B khi và chỉ khi mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B

Từ định nghĩa trên chúng ta rút ra một số hệ quả sau:

- Tập rỗng ϕ là tập con của mọi tập hợp

- Mọi tập hợp là tập con của chính nó

- Nếu A  B và B  A thì A = B hay mệnh đề:

x (x A  xB) hoặc x (x B  xA) cho ta giá trị đúng

- Nếu AB và AB thì ta nói A là tập con thực sự của B và kí hiệu là AB

Địn n ĩa 3 Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không

tương đương với bất kì tập con thực sự nào của A Một tập không phải là tập hữu hạn thì được gọi là tập vô hạn

Nhận xét Khi tập hợp A là hữu hạn thì bản số của nó chính là số lượng

các phần tử Kí hiệu là |A| hoặc card A

Địn n ĩa 4 Cho tập hữu hạn X = {a1, a2, a3,…, an} và một số tự nhiên

k, kn Khi đó

(i) Bộ k phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X được gọi là bộ có thứ

tự nếu đổi vị trí các phần tử ta được một bộ mới Ngược lại ta được bộ (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij X là bộ không có tính thứ tự (ii) Bộ k phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X được gọi là bộ không lặp nếu aij  ail,  i, l  {1, 2,…, k}, j  l Ngược lại ta có bộ k phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij X là bộ có lặp

Địn n ĩa 5 Cho A và B là hai tập hợp Tích đề các của A và B được

ký hiệu là A  B, là tập hợp gồm tất cả các cặp (a, b) với aA, bB Hay có thể biểu diễn bằng biểu thức

bù trừ (Complement)…

Địn n ĩa 1 Cho A và B là hai tập hợp Hợp của A và B đƣợc kí hiệu

là AB, là tập chứa tất cả các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B Nói cách khác:

AB = { x | xA hoặc xB}

Địn n ĩa 2 Cho A và B là hai tập hợp Giao của A và B đƣợc kí hiệu

là AB, là tập hợp chứa tất cả các phẩn tử vừa thuộc A vừa thuộc B Nói cách khác:

AB = { x | xA và xB}

Địn n ĩa 3 Hai tập hợp đƣợc gọi là rời nhau nếu giao của chúng là

tập rỗng (AB = ϕ)

Địn n ĩa 4 Cho A và B là hai tập hợp Hiệu của A cho B là tập hợp

đƣợc kí hiệu là A\B hoặc CBA, có các phần tử thuộc tập hợp A nhƣng không thuộc tập hợp B Hiệu của A và B còn đƣợc gọi là phần bù của B đối với A Nói cách khác:

A\B = { x | x A và xB}

Địn n ĩa 5 Cho tập hợp A  B Ta gọi là phần bù của A trong B là một tập hợp bao gồm những phần tử không thuộc A hay = { x | xA}

Địn n ĩa 6 Hợp của các tập hợp A1, A2, …, An là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp Ai (i= 1,2, …, n) Kí hiệu

1.2 Hai nguyên lý đếm cơ bản

1.2.1 Nguyên lý cộng (tổng)

Giả sử có hai sự kiện T1, T2 rời nhau (loại trừ nhau: Nếu T1 xảy ra thì

T2 không xảy ra)

Nếu T1 xảy ra n cách

Nếu T2 xảy ra m cách

Thì sự kiện xảy ra hoặc T1 hoặc T2 là n + m cách

Nguyên lý cộng mở rộng: xét n sự kiện T1, T2, … , Tm đôi một loại trừ nhau Giả sử rằng

T1 xảy ra n 1 cách

T2 xảy ra n 2 cách

…

Tm xảy ra n m cách

Thì số cách của sự kiện tổng hoặc T1 hoặc T2 … hoặc Tm là

n 1 + n 2 + …+ n m cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

Vậy |X1  X2  … Xk  Xk+1| = |(X1  X2  … Xk )  Xk+1|

= |(X1  X2  … Xk )|  |Xk+1| =

k 1

i

i 1X





Suy ra (1.2) đƣợc chứng minh

Theo nguyên lý quy nạp toán học, quy tắc cộng là đúng với mọi n

1.2.2 Nguyên lý nhân (tích)

Giả sử ta có một công việc A tách ra làm hai công đoạn A1, A2

A

Giả sử A1 có thể làm bằng n 1 cách

A2 có thể làm bằng n 2 cách

Khi đó công việc A đƣợc tiến hành bằng n 1 n 2 cách

Quy tắc nhân mở rộng: Có một công việc A gồm A1, A2,…, An công đoạn

Các công đoạn này gối nhau (phụ thuộc nhau)

Khi đó, để thực hiện công việc A sẽ có m 1 m 2 ….m n cách tiến hành

Biểu diễn dưới dạng tập hợp

Nếu A1, A2, …, An là n tập hợp hữu hạn (n  1), khi đó số phần tử của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân cần chú ý là việc chọn một phần tử của tích đề các A1 A2 … An đƣợc tiến hành bằng cách chọn lần lƣợt 1 phần tử của A1, một phần tử của A2, …, một phần tử của An Theo quy tắc nhân ta nhận đƣợc đẳng thức: |A1 A2 …An| = |A1| A2| … |An|

Định lý 2 Giả sử có n tập hữu hạn Xi, (i = 1, n) với |Xi| = mi Chọn một

bộ gồm n phần tử (a1, a2, … , an) với ai  Xi Khi đó, số cách chọn khác nhau là |X1  X2  …Xn | và

|X1  X2  …Xn | =

n i

Chứng minh Ta chứng minh (1.3) bằng phương pháp quy nạp theo n,

Thật vậy, xét một phần tử bất kì (a1, a2, … , ak, ak+1) của tích đề các

X1  X2  …XkXk+1 Đặt  = (a1, a2, … , ak) Rõ ràng giữa tập hợp các

bộ có dạng (a1, a2, … , ak, ak+1) và tập hợp các cặp có dạng (, ak+1) có tương ứng 1-1 Vậy có bao nhiêu bộ (a1, a2, … , ak, ak+1) thì có bấy nhiêu cặp (, ak+1) Nếu ta kí hiệu tập hợp tất cả các  là X, thì ta có thể nói rằng tập hợp X1  X2  …Xk Xk+1 có bao nhiêu phần tử thì tập hợp

X  Xk+1 có bấy nhiêu phần tử, tức là

|X1  X2  …XkXk+1| = |X  Xk+1| Theo chứng minh cho trường hợp n = 2 ta có

|X  Xk+1| = |X| |Xk+1|

Theo cách dựng thì X chính là tích đề các X1  X2  …Xk Áp dụng giả thiết quy nạp ta có

|X  Xk+1| = |X| |Xk+1| = |X1  X2  …Xk |  |Xk+1| = m1.m2….mk.mk+1 Vậy |X1  X2  …XkXk+1| = m1.m2….mk.mk+1

Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức (1.3) đúng với mọi n

1.3 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1.3.1 Hoán vị

a Hoán vị không lặp

 Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp n phần tử này

thành một dãy theo thứ tự xác định gọi là một hoán vị của tập hợp A

Số các hoán vị của một tập n phần tử bằng số các phép thế của tập

Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân Xét công

việc xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu Công việc này đƣợc chia

Bước n Chọn vật còn lại cuối cùng: Chỉ có 1 cách duy nhất

Nhƣ vậy theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị, cũng

chính là số các hoán vị của n vật ban đầu, số các hoán vị này là n.(n-1).(n-2)…2.1 = n!

Ví dụ 4 Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho

không đứng cạnh nhau

Giải

Nếu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai Do vậy a

đứng ở vị trí n-1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí cho

nhau Với mỗi cách đó có (n-2)! Cách hoán vị các phần tử khác nhau Do

đó hoán vị a, b đứng cạnh nhau là 2(n-1).(n-2)! = 2.(n-1)! Vậy số hoán

vị hai phần tử đã cho khôg đứng cạnh nhau n! – 2.(n-1)! = (n-1)!.(n-2)

Ví dụ 5 Có thể lập đƣợc bao nhiêu số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 sao cho thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1 Mỗi chữ số đều có mặt 1 lần trong các số đƣợc lập

2 Chữ số 0 không đứng ở vị trí thứ nhất bên trái

Giải

Theo 1 Ta lập đƣợc 10! số, nếu số đầu tiên bằng 0 ta có 9! số

Do vậy để thỏa mãn cả hai điều kiện 1, 2 ta có

đầu, nếu ta hoán vị n1 phần tử này (có n1! Hoán vị nhƣ vậy) ta vẫn đƣợc hoán vị đó Chính vì vậy thực chất n1! Hoán vị kiểu này chỉ là một hoán

vị do đó số hoán vị thực sự khác nhau nếu có n1 phần tử loại 1 là

Ví dụ 7 Có bao nhiêu cách phân phối 7 chuyên gia trẻ vào 3 ban, theo

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp n phần tử này vào

n vị trí theo một đường tròn gọi là một hoán vị vòng tròn của tập hợp A

 Công thức xác định

Kí hiệu số hoán vị vòng tròn của n phần tử là P n-1

P n-1 = (n-1).(n-2)…2.1 = (n-1)!

Chứng minh Ta cố định 1 điểm trên đường tròn, sắp n-1 vật vào n-1 vị

trí còn lại như vậy chúng ta có (n-1)! số các hoán vị vòng tròn của n phần tử

Ví dụ 9

a, Có bao nhiêu cách xếp 6 người quanh 1 bàn tròn?

b, Có bao nhiêu đa giác nhận 6 điểm A, B, C, D, E, F làm đỉnh?

Giải

a Sắp xếp 6 người vào 6 vị trí quanh bàn tròn là hoán vị tròn của 6 phần tử: P5 = 5! = 120

b Tương tự trên, ta có P5 hoán vị tuy nhiên mỗi hoán vị này được lặp lại 2 lần do cách gọi tên của một đa giác chiều xuôi và chiều ngược lại là như nhau (VD: đa giác ABCDEF chính là đa giác AFEDCB) Như

vậy số đa giác nhận 6 điểm A, B, C, D, E, F làm đỉnh là P5 5! 60

Nhận xét (Nhìn theo quan điểm ánh xạ) Mỗi chỉnh hợp chập n của m

phần tử có thể xác định một đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n} đến tập m phần tử đó Chẳng hạn, chỉnh hợp chập 2 (a, c) của 3 phần tử a, b, c xác định đơn ánh từ tập {1, 2} đến tập chứa ba phần tử a, b, c như sau:

 Công thức tính

Kí hiệu A hoặc (m)mn n là số các chỉnh hợp chập n của m phần tử

n m

Cách 1 Để tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập n của m phần tử ta

làm nhƣ sau: Chọn một phần tử bất kỳ của A để xếp vào thành phần thứ nhất mà ta gọi là a1, sẽ có m cách chọn Sau đó chọn một phần tử bất kỳ trong các phần tử còn lại để xếp vào thành phần thứ hai mà ta kí hiệu là

a2, sẽ có m – 1 cách chọn Nhƣ thế ta có m.(m – 1) cách chọn hai phần tử khác nhau từ A để xếp vào hai thành phần đầu Tiếp tục quá trình trên, ta

sẽ có m – (n – 1) cách chọn một phần tử còn lại của A để xếp vào thành phần thứ n Nhƣ vậy có m.(m – 1).( m – 2)…(m – n + 1) cách lập bộ (a1,

a2, …, an) theo yêu cầu trên

bằng cách cho tương ứng n lần lượt với m – (n – 1) phần tử còn lại không phải ảnh của 1, 2, 3, …, n-1

Như vậy ta có

n m

A = [ m – (n – 1)] An 1m = (m – n + 1) An 1mLần lượt áp dụng công thức trên ta có :

Tập m - (n-1) phần tử của A không là ảnh của 1,2, , n-1

Giải

+ Số có 5 chữ số: Có 5! Cách lập số có 5 chữ số từ 5 số trên, trong

đó có 4! cách lập số có 5 chữ số mà bắt đầu bằng số 0 Do vậy, có 5! - 4! = 96 số

Suy ra theo nguyên lý cộng ta có 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số

thỏa mãn yêu cầu bài toán

A là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Ta có

k n

A = n k Chứng minh

Suy ra theo nguyên lý nhân

k n

A = nk

Cách 2 (Theo quan điểm ánh xạ)

Ta kí hiệu số ánh xạ từ tập tập {1, 2, … , k} đến tập X (có n phần tử) là

k

n

A ; Chẳng hạn

1 n

Ta thấy ngay

1 n

A = n

Để tìm công thức cho Akn ta tìm mối liên hệ giữa

k n

A và

k 1 n

A 

Ta thấy mỗi ánh xạ từ {1, 2, …, k-1} đến X có n cách mở rộng thành ánh xạ từ {1, 2, …, k-1, k} đến X bằng cách cho ứng phần tử k với lần lƣợt một trong n phần tử của X

Nhƣ vậy ta có: n.Ak 1n =

k n

A Đây là công thức truy hồi để từ đó tính ra

A  = n.n

k 2 n

A  = n.n.n

k 3 n

n  A = nk 1 n = nk

Ví dụ 11 Một số điện thoại gồm 8 chữ số, mà số đầu bên trái luôn luôn

là số 3 Hỏi có bao nhiêu số điện thoại chỉ gồm toàn số lẻ?

1 *

2 * … k-1*

k *

*

*

* …

*

X

Giải

Giả sử 3abcdxyz là một số điện thoại thỏa mãn yêu cầu bài toán Ta thấy mỗi chữ số a, b, c, d, x, y, z ta luôn có 5 sự lựa chọn (1, 3, 5, 7, 9) Vậy có 5.5.5.5.5.5.5 = 57 số điện thoại thỏa mãn yêu câu bài toán

Ví dụ 12 Tính xác suất lấy liên tiếp đƣợc 3 quả bóng đỏ ra khỏi bình kín

chứa 5 quả bóng đỏ, 7 quả bóng xanh nếu sau mỗi lần lấy 1 quả bóng ra lại bỏ nó trở lại bình

Giải

Số kết quả có lợi để ta lấy ra liên tiếp 3 quả bóng đỏ là 53 vì có 5 quả bóng đỏ ta phải lấy 3 quả (chú ý vì có hoàn lại) toàn bộ kết quả có thể lấy ra 3 quả trong bất kì 12 quả bóng là 123 Nhƣ vậy, xác suất để có thể lấy ra 3 quả bóng đỏ liên tiếp là

3 3

Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn không phân biệt thứ

tự k phần tử lấy từ n phần tử đã cho (mỗi phần tử không đƣợc lấy lặp lại)

 Công thức tính

Kí hiệu C là số tổ hợp chập k của n phần tử, 0 kn  k  n, ta có

k n

n!

C(n k)!k!

chọn một cách tùy ý thì tổ hợp ban đầu của chúng cũng không thay đổi,

+ Ckn Cn kn

+ Ckn Ck 1n 1 Ckn 1

Ví dụ 13 Lớp có 70 sinh viên, trong đó có 40 nam và 30 nữ, hỏi có bao

nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ đi dự đại hội sinh viên của trường?

Ví dụ 14 Cho 7 điểm phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng Từ 7

điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác?

Giải

Một tam giác gồm 3 đỉnh (không cần thứ tự) chọn trong 7 điểm như vậy để tạo ra một tam giác ta phải chọn ra 1 tập con gồm 3 phần tử trong số 7 phần tử

Suy ra Số tam giác là tổ hợp chập 3 của 7: 37  

Một tổ hợp lặp chập n của m phần tử cho trước là một bộ không có

thứ tự gồm n phần tử lấy từ m phần tử đã cho, mỗi phần tử có thể có mặt

nhiều lần

 Công thức tính

Kí hiệu số tổ hợp lặp chập n của m phần tử là

n m

Ta tiến hành chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Trước hết, với h tùy ý sao cho 1  h  m thì N(h, 1) = h = C1h

Giả sử, N(h, k) = Ckh k 1  , 1  h  m, ta cần chứng minh rằng

N(m, k+1) = Ck 1m k

Để tiện chứng minh ta hãy xét một thứ tự nào đó trên tập X, chẳng

hạn ta gán thứ tự sau: a1 a2 … am Khi đó mỗi tổ hợp lặp [ai1, ai2,…, ai(k+1)], aij  X, j = 1, k 1  , có thể viết duy nhất dưới dạng bộ

n-thứ tự (ai1, ai2,…, ai(k+1)) trong đó aij  aig khi i  g (tức là

ai1  ai2 … ai(k+1))

Ngược lại, với bộ n thứ tự như trên, ta xác định duy nhất một tổ hợp

lặp chập n của m phần tử đã cho Nói cách khác ta đã xác định được một

tương ứng 1-1 giữa tập hợp gồm tất cả các tổ hợp lặp chập n của m phần

Ví dụ 15 Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm

những tờ 1.000 đ, 2.000 đ, 5.000 đ,10.000 đ, 20.000 đ, 50.000 đ, 100.000

đ Giả sử thứ tự các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờtiền

cùng loại không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

Giải

Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi

lần lấy 1 từ trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính là

một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử Do đó số cần tìm là C57 5 1  = 462 tờ

Ví dụ 16 Một người vào một cữa hàng ăn uống chọn mua 7 phần ăn, mỗi

phần ăn sẽ chọn một trong 4 loại khác nhau: A, B, C, D Hỏi có bao

nhiêu cách chọn 7 phần ăn

Giải

Bài toán trên có thể được phát biểu dưới dạng tập hợp như sau: Cho

tập hợp X = { A, B, C, D} có 4 phần tử Giả sử ta cần chọn 7 phần tử từ tập

X, được phép chọn lặp lại và không phân biệt trình tự trước sau của việc

chọn mỗi cách chọn 7 phần tử như vậy là một tổ hợp lặp chập 7 của 4

Như vậy số cách chọn 7 phần ăn là C74 7 1  = 120 cách chọn

Nội dung: Đếm loại trừ theo hai bước

+ Bước 1 Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n 1

+ Bước 2 Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài

Chú ý Những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt

2.1.5 P ươn p áp tạo vác n ăn

+ Bước 1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn