TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

Mục đích nghiên cứu Ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

học tập và làm luận văn lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Xin chân thành cảm ơn các thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp cùng với tất cả các thầy cô khác đã

trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này

TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008

Nguyễn Thị Mỹ Dung

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy

Khoái, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỷ cuối của thế kỷ

trước ( xem [2], [5] ) và ngay sau đó lý thuyết Nevanlinna p-adic đã được

mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều

và cho siêu mặt

Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết

Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic

Vì lý do đó, chúng tôi chọn đề tài: “ Tính duy nhất của hàm phân hình

p-adic ” nhằm mục đích tiếp cận một chuyên ngành toán học mới đang

phát triển

2 Mục đích nghiên cứu

Ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna p-adic và ứng dụng để nghiên cứu các hàm phân hình p-adic

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Luận văn đã trình bày được nội dung của lý thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic;

đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình

p-adic

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các trường số p-adic

Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các

chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p,

vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic p Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo

Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic

Trong chương này trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý

cơ bản của Nevanlinna

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna p-adic

Trong chương này chúng tôi đưa ra ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna

để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic;

đồng thời giới thiệu một số đa thức và các miền duy nhất của hàm phân

hình p-adic

Chương 1: CÁC TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho

các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic

p , vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic

p Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo

1.1 Chuẩn trên trường

1.1.1 Định nghĩa chuẩn trên trường

Cho F là một trường, ánh xạ : F  được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thỏa các điều kiện sau:

là một chuẩn trên trường F, chuẩn này được gọi là chuẩn tầm thường

Dễ thấy chuẩn trên F có các tính chất cơ bản sau:

Vậy là chuẩn tầm thường ■

1.1.2 Chuẩn tương đương

Cho F là trường và là chuẩn trên F Khi đó:

d: FxF 

(x,y) d(x,y) = x y

là một mêtric trên F, gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn

Khái niệm về chuẩn tương đương

Cho F là một trường và 1, 2 là hai chuẩn trên F

Ta nói 1 tương đương với 2 ( 1 2) nếu tôpô cảm sinh bởi 1 và

2 trùng nhau

Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn

Cho F là một trường và 1, 2 là hai chuẩn trên F Các phát biểu sau tương đương:

i/ 1 2

ii/  x F x: 1  1 x2  1

iii/ x F x: 1  1 x 2  1

iv/ Tồn tại c  sao cho: 2  1c

x x  x F v/  x n là dãy Cauchy đối với 1  x n là dãy Cauchy đối với 2

1.1.3 Chuẩn phi Archimedean

1.1.3.1 Định nghĩa

Cho F là một trường và là chuẩn trên F, gọi là chuẩn phi

Acsimet nếu nó thỏa điều kiện (III’) sau đây:

Với r *:r m

n

  , ta định nghĩa: ord r p( )=ord m p( ) - ord n p( )

Nếu biểu diễn r = 1

1

.m

p n

 với   ;( , ) 1;( , ) 1n p1  m p1  thì

i/ ord rs p( ) ord r p( ) ord s p( )

ii/ ord r s p(   ) minord r ord s p ; p ; r s, 

Ta định nghĩa chuẩn trên như sau:

:

0 , x = 0 , x 0

p p

ord x ord x

Khi đó : p là chuẩn phi Acsimet trên ( với 0    1)

1.1.3.3 Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet

Cho F là một trường và là chuẩn trên F Các khẳng định sau là tương đương:

ii/ Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn

iii/ B(a,r)- vừa đóng vừa mở

Chứng minh

Gọi n0là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0 1

Giả sử n0 không là số nguyên tố Khi đó:

Giả sử tồn tại q : q 1(q là số nguyên tố)

Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có :

1212

N N

M M

Vậy q 1 với mỗi số nguyên tố q khác p

Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng

Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác

p nên chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1 Vì thế:

1 ord x p

Vậy: p ■

1.2 Trường các số p-adic pvà vành p

Theo định lý Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimede p Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực Vậy làm đầy đủ theo p ta được một trường mới mà ta gọi là

trường các số p-adic p , là tương tự p-adic của trường số thực Ta sẽ

mô tả chi tiết hơn về cách xây dựng p dưới đây

1.2.1 Xây dựng trường các số p-adic p và vành p

Ký hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỷ theo p

Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:

Chuẩn p trong được mở rộng trong pnhư sau:

Cho  x n  p (  x n là dãy Cauchy trong ): x =  x n : p lim n p

1.2.2 Một số tính chất cơ bản của vành p, p

i/ p là vành chính, mọi iđêan của p có dạng là m (m )

p

ii/ p là tập compắc đối với chuẩn p

iii/ plà tập compắc địa phương

Chứng minh:

i/ Gọi I là một iđêan của p

Nếu I  0 thì I là iđêan sinh bởi 0

Nếu I  0 thì gọi a là phần tử thuộc I sao cho m( )

Từ (1) và (2) ta có m

p

I  p Vậy idean I của pđược sinh bởi phần tử p m và do đó p là vành

chính ii/ Giả sử  x n là một dãy tùy ý trong p và:

Xét các phần tử a 0n (n= 1, 2,…) ta thấy các phần tử này nhận các giá

trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1} Vậy phải tồn tại b0 0;1; 2; ;p 1

được nhận giá trị vô hạn lần

Lấy dãy con  x 0n của dãy  x n sao cho số hạng đầu tiên của mỗi phần

tử bằng b0

Trong dãy  x 0n các số hạng thứ hai: a 1n(n= 1, 2,…) nhận các giá trị

trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1} Vậy phải tồn tại b10;1;2; ;p1

được nhận giá trị vô hạn lần

Lấy dãy con   x1n của dãy   x0n sao cho số hạng thứ hai của mỗi

phần tử bằng b1

Như vậy, với mọi m , tồn tại dãy con  x m n, của dãy x m1,n sao

cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng b m0;1;2; ;p1

Đặt b = 0 1 m

m

Xét dãy các đường chéo   xmm với phần tử x0 có số hạng thứ nhất là

iii/ Do p là tập compắc nên với mọi a thuộc p, a + plà lân cận

compắc của a trong p Vậy plà tập compắc địa phương ■

1.3 Trường các số phức p-adic p

Làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường số thực ; trường số thực không đóng đại số, bao đóng đại số của là trường số phức

Làm đầy đủ theo p ta được trường các số p-adic p; pđầy đủ nhưng không đóng đại số Kí hiệu bao đóng đại số của plà p Giá trị tuyệt đối trên p được xây dựng như sau:

Với   pthì  là phần tử đại số trên p Do đó tồn tại một đa thức Irr( , p,x)= 1

Ta định nghĩa ptrên p như sau:

: n 0

Ta chứng minh được plà một giá trị tuyệt đối trên p và

p  ptrên p

Trường pđóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo pvừa xây dựng Nếu tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì ta sẽ được trường các số phức p-

adic, trường đó được ký hiệu là p  p 

Trường số phức p-adic pcó hai tính chất cơ bản sau: p đóng đại số, đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức

Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai

định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic.

2.1 Các hàm đặc trưng

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức có hệ số trong p:

Cho f M( p) và a  p   Khi đó, tồn tại f f0, 1Ar( p)

(0<r<  ) không có nhân tử chung trong vành Ar( p)sao cho 1

0

f f f

f z

 = m khi và chỉ khi:

0 0

( ) ( ) : a( ) ( )

:( )

0 : ( ) v ( ) 0

a f a

z k z

0 : ( )

a f a

f

z k z

N r( , )1

f - N r f( , )= log(r,f) – log(0,f) Công thức này còn được viết như sau:

1 ( , ) ( , )

1 1

1 1

1 1

2.2 Hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic

2.2.1 Định lý (định lý cơ bản thứ nhất)

Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong p 0,  (0<    )

Khi đó với mọi a thuộc p ta có:

Trước khi vào nội dung chính của định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết

Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :

Mặt khác bán kính hội tụ của (*) giống của f và thỏa:

f z h f z

a z h h

Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều đối với h Hiển nhiên ta có

thể lấy giới hạn từng số hạng, cho ta:

n

na z h

= 1 1

0

( )log ( ) ( ) log

log F z i( )  log(r,F i) = log(r, f1a f i 0)

(r,f )

 + log(r, f0)

= max{ 0 ; log(r,f)} + log(r, f0)

Vậy : log f z( ) = T(r;f) + log(0, f0)

logW z( )  log(r,W) = log(r, f f0 1'  f f0' 1) = N(r; 1

W ) + log(0,W) = N(r; 1

W ) + log(0,f’)+ 2 log(0, f0) Thêm vào đó :

N(r; f) +

1

1( ; ) ( ; ) log

f

dt t

(q1) ( ; )T r f  N r f( ; )+

1

1 ( ; ) ( ; ) log

Thật vậy:

1

1 ( , )

( , ) ( 1) ( , ) ( , ) limsup

( , ) ( 2) ( , ) limsup ( 2) 2

Chương 3: TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC

Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết

Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số các ứng dụng đó

3.1 Các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic

3.1.1 Định lý

Cho f và g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên pvà a a a a1; ; ;2 3 4

là bốn điểm khác nhau trong p   thỏa:  

Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trong p 0; (0<  ) Khi

đó với mọi số nguyên k > 0 ta có

k

k

f r

 

 Bây giờ ta bắt đầu chứng minh định lý:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng có một dãy

Cho f , g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên pvà ba giá trị

phân biệt a a a1; ;2 3  p  thỏa:

Cho f , g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên p; a a1, , ,2 a q là q

phần tử phân biệt trong p   và k j    (j=1;2;…q) thỏa:

 Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Giả sử f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên p và a a1; ; ;2 a q là

q phần tử phân biệt trong p   Khi đó, với mọi k j    

Với a a a1 ; ; ; 2 a q , k k k1 ; ; ; 2 k q, ta có:

( 1

( 1 ( 1

j k

 Bây giờ ta bắt đầu chứng minh định lý:

Giả sử f  g Từ giả thiết kéo theo:

1 ( ; ) log (1)

q k

1 ( ; ) log (1) ( ( ; ) ( ; ))

1

1

1 ( ; ) log (1)

1 ( ( ; ) ( ; )) log (1) (4)

3.2 Các đa thức duy nhất của hàm phân hình

m d

d i d j

Các đa thức được đề cập trong nội dung các định lý là :

Giả sử tồn tại z sao cho: h(z)=b

1 ( ; )

1

n

(do n3) Điều này vô lý Vì thế h là hàm hằng

Nếu h khác 1 thì do (*) ta suy ra g là hàm hằng Điều này trái với giả

S tính cả số bội

Nếu hai hàm f, gF thỏa E S f( ) E S g( ) thì ta nói rằng f và g chia sẻ tập

S không tính số bội

3.3.2 Bổ đề

Cho F và G là hai hàm phân hình trên pcùng chia sẻ tính cả số bội

và a1; ;a ( q q  2) là các phần tử phân biệt của p Khi đó một trong các trường hợp sau phải xảy ra:

Theo định lý cơ bản thứ hai ta có:

Áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho F và G ta có:

1 1

1 1

Nếu n 10thì G=AF+B (A,B p,A 0) và số các phần tử của tập

a a a1, ,2 3  Aa1B Aa, 2B Aa, 3B lớn hơn hoặc bằng 2 với

Ở đây: Q z1( )là đa thức bậc n-3, chỉ có 0-điểm đơn Với mọi

a  b b,  1, F n b, ( )z a chỉ có các 0-điểm đơn nên F.n b, có chính xác n phần tử

Do định lý 3.1.3.7 nên T r F( , n b, ( ))f nT r f( , ) O(1)

Vì thế: T(r,F) = ,

,

1 ( , ) ( , ( )) (1) ( , ) (1)

Vậy: 3 3 1 5 10

     (trái giả thiết)

Do đó, trường hợp ii/ của bổ đề 3.3.2 phải xảy ra, tức là: G=AF+B

1 ( , ) log (1)

Do f, g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên pnên tồn tại g g1, 2

và f f là những cặp hàm nguyên trên 1, 2 p không có nhân tử chung sao



( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (do (3)) ( , ) ( , )

1 ( , ) log (1) (do (1))

N r g T r g n

1 = (4 ) ( , ) log (1)

  (vô lý do n10) ii/ a2= 0:

f(0)+ 2

1

( ) 2

f j j

2 3

2 3

( )

( )( )

( )( )

n b

n b

F g là hàm nguyên trên pkhông có 0-điểm.Do đó:

,

,

( )( )

 ,   , 

1 ( ) ( )



 Q(f(z0)) = 2

0

1 ( ( ))f z n b

 Q( g(z0))

1

b c b b c b

(trái với giả thiết và giả sử của ta)

Vì thế ta có thể giả sử rằng một trong hai hệ trên không giải được, giả

sử đó là hệ (I) Khi đó:

2 1

nên:

( , )

nT r f + logr 3 ( , ) 3 ( , )T r f  T r g O(1) 6 ( , )  T r f (do (*))

Suy ra: n < 6 (vô lý vì n 6)

Do đó c =1 hayF n b, ( )f F n b, ( )g và hiển nhiên f =g do F n b, là đa thức duy nhất đối với A( p) (theo định lý 3.2.4)

KẾT LUẬN

Vì thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên trong luận văn này tôi giới thiệu chưa đầy đủ về các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna

trong việc chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình

p-adic; đồng thời tôi chỉ giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của

hàm phân hình p-adic

Trong luận văn này chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp chỉ bảo và đóng góp ý kiến

để luận văn này đạt chất lượng cao hơn

Xin chân thành cảm ơn và trân trọng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Boutabaa, A.,Theorie de Nevanlinna p-adique Manuscripta Math

67(1990), 251-269

2 Hà, Huy Khoái, On p-adic meromorphic, Duke Math J.50 (1983), 695-711

3 Hà, Huy Khoái, Théorie de Nevanlinna et problèmes Diophantiens,

Vietnam J.Math 23(1995) 57-81

4 Hà, Huy Khoái & Mỵ, Vinh Quang, On p-adic Nevanlinna theory, Lecture

Notes in Math 1351 (1988), 146-158, Springer-Verlag

5 Hu, P.C & Yang, C.C Value distribution theory of p-adic meromorphic

functions, Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk, Armenii (National Academy of Sciences of Armenia) 32 (3) (1997) 46-67

6 Hu, P.C & Yang, C.C , A unique range set of p-adic meromorphic

functions with 10 elements, Acta Math Viet 24 (1) (1999), 95-108

7 My, Vinh Quang, Some applications of p-adic Nevanlinna theory, Acta

Math Viet 14 (1) (1989)

8 Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions