XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC Chuyên ngành ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số.. Trong luận văn này trình bày

LỜI NÓI ĐẦU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-oOo -

CAO TRẦN TỨ HẢI

XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI NÓI ĐẦU

Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng

40 năm trở lại đây Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi tiếng

Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L-hàm p-adic”

Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s  2

Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 Đại số và giải tích p-adic Trình bày các bước xây dựng trường số p-adic p, nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic

Chương 2 Hệ số Bernoulli và L-hàm phức Bao gồm hai §

§1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet

§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của F(z)zn1 tại z = 0, công thức

n

B )

, n (

§

§1 Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một dãy số p-adic trong p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic

§2 L-hàm p-adic Như ta đã biết    Bn, 

n  là các số đại số trên  nên ta xem chúng thuộc  Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p

p-adic f sao cho Bn,

n không phải là dãy nội suy p-adic Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một

chút để có được dãy nội suy p-adic Trong § này chúng tôi chứng minh dãy

b  1 1 , n  n là dãy nội suy p-adic Do

đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả

n

b n

p( 1  ,)   được gọi là L- hàm p-adic liên kết với đăc trưng 

§3 Toán tử – biến đổi Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó

– biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàm

p-adic tại các điểm nguyên dương

§4 Công thức tính Lp(1,) Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm

p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1

§5 Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương Xây dựng

chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại

các số nguyên s  2

Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót

Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng

nghiệp

Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư

phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá

trình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang đã

trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu

Người thực hiện

CHƯƠNG 1

ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC

Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giải tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3)

iii) x y max x , y ,     x,y

Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu x  y thì x y max x , y    ”

Chú ý rằng trên trường  với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy

đủ Ta xây dựng được trường bao đủ  của  , chuẩn trên p  là sự mở rộng pchuẩn trên 

Mỗi phần tử trong  đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng p

x a p m m   a0a p a p1   n n với 0 a i   , i  - m, p 1 am  0được gọi là biểu diễn p-dic của x, khi đó x p m

Trường  có các tính chất đặc trưng sau đây p

i)  chứa p 

ii)  trù mật trong  p

iii)  đầy đủ p

Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất Trường  được gọi là p

Vành p xp: x 1   được gọi là vành các số nguyên p-adic Đây là p

vành địa phương với ideal tố đại duy nhất *  

p p p

p   x : x 1  là ptập compact nên  compact địa phương Các tập p  , , m  m p 1   trù mật trong  với tôpô cảm sinh từ p  p

Trường kp/ pp / pFp được gọi là trường thặng dư của  Tập p

Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M  0 là số p-dic cho trước

a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu a b  M Kí hiệu

a b ( mod M ) Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo modulo M là một quan hệ tương đương

Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=a x + +a x an n 1  0, với

1.1.2 Căn của đơn vị và đại diện Teichmuller

Căn bậc n của đơn vị trên trường F là nghiệm nào đó của đa thức xn  Tập 1các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n Căn của đơn vị là một căn bậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó  được gọi là căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số nguyên dương m < n sao cho  là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác  có cấp là

n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay  là phần tử sinh

b là nghiệm của đa thức F(x) và b a (mod p) ”

Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường  , phương trình p

p

x   luôn có p nghiệm phân biệt x 0 a ,a , ,a0 1 p 1 thoả ai i (mod p) Các nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,1, ,p 1 Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, , p -1 là các căn bậc p -1 của đơn vị Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, , p -1 không là

  được gọi là đại diện Teichmuller của a Khi đó

có thể kiểm tra được (ab)  (a) (b) và  (a p) (a) Đặt

 , khi đó U là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch

và D là nhóm con của U chứa tất cả các phần tử dạng 1 qa , a  Đặt p

Gọi    là trường gồm tất cả các số phức đại số trên  Do  nên p

trong    (nếu p = 2) Vì vậy ta có thể xem p (a) , (a) đại số trên  Khi đó ánh xạ : a  (a) từ    được gọi là đăc trưng Teichmuller Trên trường  , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi p

n = p –1, nghĩa là căn đơn vị trong  chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác pkhông, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc – 1 Trên trường  đóng pđại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau

§2 CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC

 hội tụ nếu x r , phân kỳ nếu x r Nếu

tồn tại x0 K, x 0  sao cho r n 0n

 hội tụ ( hoặc phân kỳ )  x K, x  r

Xét chuỗi luỹ thừa n n n

1.2.2 Đại số Banach các hàm chỉnh hình P K

Gọi K là trường mở rộng hữu hạn của  sao cho p K   Khi đó K là ptrường compact địa phương với tôpô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimade trên K Gọi K[[x]] là đại số của tất cả các chuỗi hàm luỹ thừa hình thức của x Với mỗi

n n

( , )P K là đại số Banach trên trường K

Chứng minh Giả sử  A là dãy Cauchy bất kỳ trong k (P , ) , K

(k) (l)

n n n

log(xy) = logx + logy ,  x,y D

và logex x, elogx x trong đó 

n! Bây giờ ta thác triển hàm logarithm p-adic từ log : D p thành

khi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm x và là hàm chỉnh hình trên p

*p Đồng thời hàm này có các tính chất sau :

iii) logex x, elogx x trong đó 

n! iv) logp = 0

v) log :*p p là toàn ánh

CHƯƠNG 2

HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC

Chương này không liên quan gì với p-adic Chúng tôi trình bày những kiến thức

về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet Một vài kết quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng minh Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]

§1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI

t.eF(t)

e 1 tại t =0.Tức là F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ thừa của

n n

n 0

tF(t,x) B (x)

n!





  (2.2) Khi đó Bn(x) được gọi là đa thức Bernoulli thứ n  0 Vì F(t,x) = F(t).etx nn

2.1.3.1 Cho f l số nguyn dương,   l nhĩm nhn gồm tất cả lớp cc số nguyn / f *

tố cng nhau với f theo modulo f Mỗi đồng cấu nhóm : / f * từ *

  đến nhóm nhân các số phức khác không / f *  được gọi là một đặc trưng *Dirichlet theo modulo f  biến đơn vị thnh đơn vị nn (1 f  ) = 1

R rng ảnh của  chỉ chứa những căn của đơn vị trong  , do đó ảnh của  chỉ gồm các số phức đại số trên 

Cho  là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f Khi đó ta có thể định nghĩa ' :

  xác định bởi

(a f ) khi (a,f)=1'(a)

i) '(a) '(a f), a    ;

ii) '(ab) = '(a) '(b), a,b    ;

iii) '(a)  0 khi v chỉ khi (a,f) = 1

Ngược lại với mỗi ánh xạ ' : thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được đặc trưng Dirichlet  theo modulo f :  (a f )  '(a),  a f / f * Do

đó ta có thể xem đặc trưng Dirichlet  theo modulo f l nh xạ : thỏa mn

ba tính chất như trn

Cho ’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f Khi đó ánh xạ : được xác định

là đặc trưng Dirichlet theo modulo f Ta nói đặc trưng  được cảm sinh từ đặc

trưng ’ Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn

tại đặc trưng ’ theo modulo n với n < f sao cho  được cảm sinh từ ’ Khi đó f

được gọi là conductor của 

Cho p l số nguyn tố,  a , (a)p  là đại diện Teichmuller của a

Dễ dàng chứng minh được ánh xạ : là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy

với conductor 

 



4 khi p = 2q

p khi p > 2 và được gọi là đặc trưng Teichmuller

Cho 1, 2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là f1, f2 Khi

đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy  với conductor f chia hết f1f2 sao

cho (a) = 1(a)2(a) , a thoả (a, f1f2)=1  được gọi là đặc trưng tích của 1

và 2, kí hiệu  = 1.2 Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng với

phép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với

+ Đặc trưng đơn vị 0 thoả 0(0) = 1, a   \{0} được gọi là đặc trưng tầm

(a) (N) (N) (a)    (N) (aN) 

Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ  với conductor f = f > 1, xét tổng f

a 1



 , do  là đặc trưng không tầm thường nên tồn tại a0 sao cho

(a0)  1, khi đó  / f a+f a=1,2, ,f   a a f a=1,2, ,f0   nn

2.1.3.2 Bổ đề

Cho  là đặc trưng Dirichlet với conductor f > 1, p > 1 là một ước số của f

Khi đó tồn tại x sao cho  

f

0 khi (a, ) 1

p'(a) (a) khi (a,f) = 1

Nếu (a, )> f 1

f'(a) 0 '(a )

p Nếu (a,f) > (a, ) 1f 

p thì     

f'(a) 1 '(a )

p Nếu (a,f) = 1 thì tồn tại x,y sao cho ax + fy = 1 Ta có

'(a) (a)    f(a) (1 x )

Tóm lại '(a)    f'(a )

p , x hay ' thỏa i) ' thỏa ii), iii) là hiển nhiên Vì vậy  được cảm sinh từ đặc trưng ' theo modulo f

p< f Điều này mâu thuẫn với tính nguyên thủy của 

2.1.4 Hệ số Bernoulli tổng quát Đa thức Bernoulli tổng quát

2.1.4.1 Cho đặc trưng  với conductor f = f Khai triển Taylor của hàm số

at f

là ( ) = ( (1), (2), , (f)) ) Rõ ràng    Bn,( ) là số đại số trên  nên

a f x (1 )ft

2.2.1 Khái niệm hàm zeta và L–hàm

Với mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi số s

n 1

1(s)

n





   hội tụ đồng thời (s)chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1 Hàm  có thể thác triển thành (s)hàm phân hình trên mặt phẳng phức

q P

s

1(s)

11q

( ) 2 L(1 n, )L(n, )

f2i

(n)( 1)

Thế (2.13) vào ta được

B   ,0 Bn,  nếu n  0  (mod 2) và Bn,  nếu n  0  (mod 2)

Cho  là đặc trưng khác đơn vị với conductor f, người ta chứng minh được công thức

a 1 (a,f) 1

e



  (2.15)

3, đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong lý thuyết số Trong chương này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L–hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L–hàm p-adic này tại s = 1 và tại các điểm nguyên dương khác

§1 PHÉP NỘI SUY HÀM PHÂN HÌNH p-DIC

Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa là tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào

đó sao cho f(n) = b với n  b ,n 0n  là dãy số p-dic trong  cho trước Nếu tìm pđược hàm phân hình p-adic thỏa điều kiện như trên thì dãy  b ,n 0n  gọi là dãy nội suy p-adic Trong § này chúng ta tìm điều kiện của dãy  b ,n 0n  để tồn tại hàm nội suy p-adic Trước hết chúng tôi xin nêu các bổ đề sau

3.1.1 Bổ đề

Cho x  , x được biểu diễn + x a0a p a p với   1   N N 0 a i p 1 ,

0  i  N, a N 0 Đặt s x a0 a a (1  N s là tổng các chỉ số trong biểu x diễn p-dic của x) Khi dó 

Nếu a0   , x+1 có biểu diễn p-dic là p 1 (a0  1) a p a p1   N N nên

Cho hai chuỗi luỹ thừa hình thức A(x),B(x) K[[x]] hội tụ trong lân cận của

0   với K là trường mở rộng hữu hạn của  p p Giả sử A( )n B( )n với

   , giả sử phản chứng A(x) B(x) , khi

đó ta gọi n0 min n  cn 0 ( do giả sử phản chứng nên n luôn tồn tại) 0

Cho dãy số p-adic  b , đặt n n n n k k

nên  

 

n n

n n

n

f q Do đó f và f sai khác một thừa số là luỹ thừa của p tức là n fn p fm với

m  Với mọi a , (a, p) = 1, ta có (a,f ) (a,f)n  , n(a)  (a) (a)n

Gọi Kp( ) là trường mở rộng của trường  bởi tất cả các số p(a), a

  Vì (a)  p, a  và tập (a) a chỉ gồm hữu hạn 

phần tử nên K là mở rộng hữu hạn của p trong  p

Như ta đã biết    Bn, 

n  là các số đại số trên  nên ta xem chúng thuộc  Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p-adic f sao cho p

3.2.1 Định lý (Định lý xây dựng L – hàm p-adic)

Tồn tại duy nhất hàm phân hình p-dic L s p( , ) thoả mãn các tính chất sau :

i) L s p( , ) có thể được khai triển thành chuỗi hàm luỹ thừa

1

n 0

h h

n i i h

h i 0 a 1

(a,p) 1

n1

h a 1 i 0

(a,p) 1

n1

clim

a 1 (a,p) 1

h 1

1 a q   f và (a,p) = 1, khi đó a được viết dưới dạng a u q fv  h với

h

1 u q f, 0 v < q   Vì a u mod qf   nên (a) (u), (a) (u)và

(u,p) 1 suy ra    a (a) a1  (u) (u q fv) u1  h    q f (u) vh  1 suy

a 1 (a,p) 1

v 0 u 1 (u,p) 1

c  q f q 

3.2.4 Chứng minh định lý 3.2.1

§3 TOÁN TỬ – BIẾN ĐỔI

Trong § này chúng tôi xây dựng toán tử – biến đổi, một công cụ quan trọng để

tính giá trị của L – hàm p-adic tại các điểm nguyên dương

Dễ dàng thấy d(n)n 1,d(n)m  với 0  m < n và 0 d(n)m nd(n)m 1 nd(n 1)m 1 Nên

bằng quy nạp theo m suy ra được d n!(n)m  với mọi m, n Do đó

d(n)m  n! (3.9)

3.3.1.2 Anh xạ  : pp  p