Chương 1 Giải bài toán như thế nào Bài 1 Cách giải một bài toán 1.1.Tìm hiểu sơ bộ bài toán 1.2.Khai thác đề toán 1.3.Tìm tòi lời giải 1.4.Trình bày lời giải 1.5.Kiểm tra đánh giá lời giải, khai thác bài toán Bài 2 Các phương pháp suy luận thường gặp và năng lực tư duy cần có khi giải toán 2.1.Quy nạp và diễn dịch 2.2.Phương pháp suy diễn 2.3.Phương pháp phản chứng 2.4.Phân tích và tổng hợp 2.5.Tổng quát hóa và đặc biệt hóa 2.6.Tương tự hóa 2.7.Trừu tượng hóa và cụ thể hóa Thực hành giải toán chương 1 Bài tập chương 1
Các tập hợp số
Tập hợp số tự nhin
2.1.1 Nhac là i kếhi niemà số tự nhin
Trước hết, chúng ta cần nhận biết rằng mỗi tập hợp đều có một bản số, được ký hiệu là A hoặc Card(A) Hai tập A và B được coi là tương đương nếu chúng có cùng bản số, tức là A = B.
Bản số của màột tập h_u h_n được g_i là màột sô tự nhin Kếí hiệu tập tt c_ các số tự nhin là
ℕ Qua đây chúng ta thếy bản số là kếhi niemà mà_ rõong của “số làưng”.
Cho hai số tự nhiên a và b, giả sử A và B là hai tập hợp với a = A và b = B Nếu tồn tại một ánh xạ từ A đến B, ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu là a ≤ b Tập số tự nhiên ℕ với quan hệ "≤" là một tập sắp thứ tự Theo định nghĩa, luôn có một ánh xạ từ A đến B hoặc từ B đến A, và nếu cả hai đều tồn tại, A và B tương đương với nhau Do đó, quan hệ thứ tự trên ℕ là tồn phân Hơn nữa, tập số tự nhiên ℕ được chứng minh là tập sắp thứ tự tốt, vì mọi tập con không rỗng đều có phần tử nhỏ nhất.
2.1.3 Các pháp toán a) Pháp cong: Cho hai số tự nhin a,b Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn thế-a màn a = A ,b = B , A∩ B = F Ta g_i A∪ B là tổng của hai số tự nhin a,b Kếí hiệu a + b. b) Pháp nhân: hỗ hai số tự nhin a,b Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn thế-a màn a = A ,b = B Ta g_i A× B là tích của hai số tự nhin a,b Kếí hiệu ab. c) Pháp trợ.: hỗ hai số tự nhin a,b Nếu có số tự nhin c sao cho a + c = b thì ta nói c là hiệu của b và a Kếí hiệu b − a = c. ð_nh làí 2.1.1 (i) Pháp cong và pháp nhân có tính chât giữao hóẩn, nghĩa là a + b
= b + a, ab = ba với mà_i a,bỴℕ.
(ii) Pháp cong và pháp nhân có tính chât kếêt hợp, nghĩa là
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) với mà_i a,b, cỴℕ.
(iii) Phỏp nhõn cú tớnh chõt phõn phựụi ủụi với phỏp cong, nghĩa là: a(b + c) = ab + ac với mà_i a,b, cỴℕ.
(ivà) (ℕ,+), (ℕ*,.) (ℕ* = ℕ \{0} ) là các và_ nhómà giữao hóẩn thứa màn làuat giản ư_c, nghĩa là: a + c = b + c⇒a = b "a,b,cỴℕ, ac = bc⇒a = b "a,b,cỴN*.
Pháp cong và pháp nhân có tính chất bền vững trong quan hệ thứ tự, cụ thể là nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c và a ≤ b dẫn đến ac ≤ bc, với a, b, c thuộc tập số tự nhiên Hơn nữa, nếu a < b thì a + c < b + c và a < b cũng dẫn đến ac < bc, với a, b, c thuộc tập số tự nhiên.
(vi) Phỏp nhõn cú tớnh chõt phõn phựụi ủụi với phỏp trợ_, nghĩa là: a(b − c) = ab − ac với mà_i a,b, cỴℕ,b ³ c. dù) Pháp chia
Cho hai số tự nhiên a và b, với b khác 0, nếu tồn tại số tự nhiên c sao cho a = b × c, thì ta nói a chia hết cho b (ký hiệu a ⋮ b) hoặc b là ước số của a (ký hiệu b | a) Ký hiệu a : b = c thể hiện mối quan hệ giữa a và b Điều này cho thấy rằng trong các số tự nhiên, mỗi cặp số tự nhiên có thể có một ước số duy nhất.
(q, rõ) sao cho a = bq + rõ, 0 £ rõ < b.
Người ta lên làưt g_i q và rõ là thếương và sô dùư của pháp chia a cho b. e) LÀũy thế.a
Cho hai số tự nhiên a và n, với n ≥ 0, ta định nghĩa a^n = a × a × … × a (n lần) và đọc là "a lũy thừa n" Số a được gọi là cơ số, và n là số mũ của lũy thừa a Nếu a ≠ 0, ta quy ước a^0 = 1 Với các số a, b, m và n, ta có các quy tắc sau:
(i) n mà mà n ; a a a + (ii) n : mà n mà ( ); a a a n mà − = ³
Số nguyên…………………………………………………………………………… 10 2.3 Số hữu tự
2.2.1 Nhac là i cách xây dựng vấnh số nguyên ð_nh làớ 2.2.1 Tụn tựi màột màiờn nguyờn Z và màột ủơn nh f :ℕđZ sao cho
(i) f và_a là màột ủơn cõu n$a nhúmà cong, và_a là màột ủơn cõu n$a nhúmà nhân.
(ii) Các phân t$ c%a Z có dựng f (a) – f (b).
(iii) Cap (ℤ, f ) xc ủ_nh như Trờn là duy nhõt sai kếhỏc màột ủẩng cõu, nghĩa là nêu cap
Trong toán học, P được định nghĩa là một vế với g: ℕ → P, trong đó g và a là một nhóm cộng và a là nhóm nhân Nếu phân tách của P theo g(a) – g(b) thì tồn tại một nhóm j: Z → P sao cho j(f) = g Vế Z được xác định như trên là vế các số nguyên Hơn nữa, vế các số nguyên Z là vế có tính chất tiêu biểu, thể hiện mối quan hệ bao hàm, chứa tập hợp các số tự nhiên ℕ như một nhóm cộng và nhóm nhân Nói cách khác, vế các số nguyên Z chứa tập hợp các số tự nhiên ℕ như một nhóm cộng và nhóm nhân, với Z là trường với các vế (ngoại trừ một nhóm cộng vế).
Chúng ta sẽ nghiên cứu và tính thứ tự trên vành số nguyên Trước hết, cần nhắc lại một số khái niệm và kết quả về vành thứ tự Một vành thứ tự A được gọi là một vành thứ tự nếu A được trang bị một quan hệ thứ tự tồn tại và thỏa mãn hai điều kiện: 1) Đối với mọi a, b thuộc A, nếu a ≥ b thì a - b ≥ 0, và 2) Đối với mọi a, b thuộc A, nếu a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c.
(i) x ≥ y kếo thệo x + z ≥ y + z với mà_i x, y, zỴ A.
(ii) Với mà_i x, yỴ A, ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 kếo thệo xây ≥ 0.
Vấn đề về thứ tự trong toán học được định nghĩa là một vế sap thứ tự Arôchimaede nếu với mọi x, y và x > 0, tồn tại một số tự nhiên n để nx > y Một bờ phù hợp của vế sap thứ tự A được gọi là bị chẩn trên nếu tồn tại một phần tử a trong A sao cho a ≥ x (x ≥ a) với mọi x trong A Một bờ phù hợp của vế sap thứ tự được gọi là bị chẩn nếu nó và a bị chẩn trên, và a bị chẩn dưới.
Với A là màột vấnh sap thứ tự, thì dùo x + (–x) = 0 nên với màoi x ta có hoặc x ≥ 0 hoặc –x ≥ 0.
Trong toán học, ta có thể khẳng định rằng 2 ≥ 0 và với n > 0, ta có n.1 ≥ 1 > 0 Vấn đề sắp thứ tự liên quan đến các số tự nhiên có đặc điểm là số 0 Đối với mọi x ≠ 0, x sẽ luôn thuộc một trong hai trường hợp: x > 0 hoặc x < 0 Các số x > 0 được gọi là các số dương, trong khi các số y < 0 được gọi là các số âm Ký hiệu A+ và A− đại diện cho tập hợp các số dương và âm tương ứng của A Từ các lập luận trên, ta có thể thấy rằng A ∩ A+ − = ∅ và A ∪ A+ ∪ A− = {0}.
Ngồi rõ, bịi x(– y) = – xây, nên nếu xây > 0 và x > 0 thì y > 0 VÀay ta có hệ quả sau:
Trong vũ trụ thứ tự A, định nghĩa về trợ tuyệt đối của một phân tử A được thể hiện như sau: Trợ tuyệt đối của một phân tử A, ký hiệu |A|, được xác định bởi khoảng cách từ điểm 0 đến điểm A trong không gian.
DÙễ dùng chứng màinh các tính chất sau đây của trợ_ tuyet đối.
MÀenh đã 2.2.6 Cho a, b, c, dù là các phùẩn t$ c%a màột trợư_ng sap thứ tự với c ≠ 0, dù ≥ 0 Kếhi ủĩ ta cú:
Trong tập hợp Z, ta xác định quan hệ thứ tự ≥, trong đó với hai phần tử x và y thuộc Z, x lớn hơn y (x > y) nếu và chỉ nếu hiệu x − y thuộc tập hợp các số tự nhiên ℕ.
Mối quan hệ ≥ trên tập số nguyên Z được xác định là một quan hệ thứ tự toàn phần Định nghĩa này cho thấy rằng các số nguyên Z với quan hệ thứ tự này tạo thành một ván sắp thứ tự Arkhimède.
MÀenh đã 2.2.9 Nêu x > y thì x ≥ y + 1. ð_nh làý 2.2.10 MÀ_i bo phựẩn c%a vấnh cỏc sụ nguyờn Z bị chẩn Trờn, ủờu cú phân t$ là_n nhât.
MÀ_i bo phựẩn c%a vấnh cỏc sụ nguyờn Z bị chẩn dựư_i, ủờu cú phõn t$ nhỡn nhât.
2.2.2 LÀý thữuyết chia hết Trên vấnh số nguyên a) Quan hệ chia hết ð_nh nghĩa 2.2.11 Số nguyên a được g_i là chia hêt cho màột số nguyên b, hay b chia hêt cho a nếu tốn t#i màột số nguyên c sao cho a = bc Kếhi a chia hết cho b ta vit a⋮ b hoặc b | a và b được g_i là ư_c của a, cịn a được g_i là boi của b.
Nhận xét 2.2.12 Số nguyên a chia hết cho 0 kếhi và ch_ kếhi a = 0 DÙo đó boi của số 0 ch_ là 0.
Tuy nhin tập các ư_c của 0 lại là tồn bo Z.
Các tính chât cố bản:
(i) 1 | a với mà_i a ỴZˇ và a | a với mà_i a ỴZˇ.
(và) Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b
(vi) Quan hệ chia hết trong Z có tính phù_n x#, bac cầu, nhưng kếháông có tính đối x_ng.
Trong tập hợp số nguyên Z, quan hệ chia hết có tính đối xứng Đối với hai số nguyên a và b khác 0, luôn tồn tại một cặp số nguyên q và r, với 0 ≤ r < |b|, sao cho a = qb + r.
2.2.3 Ư1c chữung là1n nhất - Boi chữung nh2 nhất a) Ư1c chữung là1n nhất ð_nh nghĩa 2.2.14 Cho các số nguyên a1,…, ẩn ,dù.
(i) dù được g_i là màột ư_c chữung của các số 1, , n a … a nếu | , 1, , i dù a i = … n
(ii) dù được g_i là ư_c chữung là_n nhât của 1, , n a … a nếu dù chia hết cho mà_i ư_c chữung của chúng.
Ch ý 2.2.15 Cho các số nguyên 1, , n a … a
(i) Nếu 1, , n a … a kếháông đồng thứi bang 0 thì tập các ư_c chữung của 1, , n a
… a là hữu hạn và kếhác rõong Trong trợư_ng hợp này 1, , n a … a có hai ư_c chữung là_n nhất là hai số đối nhau.
Kếí hiệu ( 1, , n a a ) là số dùương trong hai số này DÙễ thếy rằng ( 1, , n a … a ) là số là_n nhất trong tt c_ các ư_c chữung của 1, , n a … a
(ii) Nếu ( ) 1, , 1 n a … a = thì 1 , , n a … a được g_i là nguyên tô cầng nhau. (iii) Cỏc số 1, , n a … a được g_i là nguyờn tụ snh ủơi, hay ủơi màộtừnguyờn tụ cầng nhau nếu
(vi) ( ) ( ) 1 1 1, , , 1, , , 1 n n a … a = − a … a (vii) ( ) (( ) ) 1 1 1 , , , , , n n n a a a a a − … = … Tính chất này ch_ rõ cách tìmà ư_c chữung là_n nhất của nhiều số được quáy và việc tìmà ư_c chữung là_n nhất của 2 số.
(viii) ( ) ( ) 1 1, , , , , n n kếa … kếa = kế a … a với mà_i kếỴℤ.
(ix) Nếu a = bc + dù thì (a,b) = (b,dù ) với mà_i a,b,c,dù Ỵℤ.
Thếuat toán Euclàidù: Giả sử a và b là hai số nguyên dùương với a ³ b và đặt 0 1 rõ = a, rõ = b.
Bang cách p dụng liên tiếp thếuat toán chia, ta được:
1 n n n n n n n rõ rõ q rõ rõ rõ q rõ rõ rõ q rõ rõ rõ q
Số 0 sẽ xuất hiện trong dãy pháp chia liên tiếp, vì dãy các số từ 1 đến n không thể lớn hơn b số Điều này cho thấy sự quan trọng của số 0 trong các phép toán và dãy số.
( ) 0 1 1 2 2 1 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,0) n n n n n n a b = rõ rõ = rõ rõ =⋯= rõ − rõ
Dù đó, ước chữung là số nguyên dương nhỏ nhất của a và b, không bằng 0, trong phép chia Định nghĩa 2.2.17: Cho các số nguyên a1, a2, , an và b1, b2, , bn, thì ước chữung của chúng là số nguyên dương nhỏ nhất x thuộc ℤ.
Hệ quả 2.2.17 (Bezout) Các sô nguyên 1, , n a … a nguyên tô cầng nhau nêu và ch) nêu tôn tựi
1. n j j j a x Σ Hệ quả 2.2.18 Nêu các sô nguyên 1, , n a … a cầng nguyên tô với màột sô nguyên a thì tích 1 n a ⋯a nguyên tô với a. ð_nh làớ 2.2.19 (Bo đó Euclàidự) Cho cỏc sụ nguyờn a, b, c Kếhi ủĩ nờu (a,b) =1 và a chia hêt cho bc thì a chia hêt cho c. b) Boi chữung nh2 nhất. ð_nh nghĩa 2.2.20 Cho các số nguyên 1, , n a … a Số nguyên mà được g_i là màột boi chữung của
1, , n a … a nếu mà chia hết cho tt c_ các số ai Số nguyên s được g_i là màột boi chữung nhỏ nhất của
1, , n a … a nếu s là boi chữung của các số ai và s chia hết mà_i boi chữung kếhác của 1, , n a … a Kếí hiệu
BC( ) 1, , n a … a là tập tt c_ các boi chữung, BCầNÊN( ) 1, , n a … a là tập các boi chữung nhỏ nhất,
[ ] 1, , n a … a là boi chữung nhỏ nhất kếháông mà của 1, , n a … a
Nhận xét 2.2.21 Cho các số nguyên 1, , n a … a
(i) Vì boi của 0 ch_ là 0, nên nếu 1, , n a … a kếháông kếhác 0 tt c_ thì BC( ) { } 1, , 0 n a … a = và
(ii) DÙo 1 n a ⋯a là màột boi chữung của 1, , n a … a , nờn BC( ) 1, , n a … a ạ F (iii) BCầNÊN( ) {[ ] [ ]} 1 1 1 , , , , , – , , n n n a … a = a … a a … a
Các kết quả dưới đây làm rõ cách tìm bội chung nhỏ nhất và mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất Định nghĩa 2.2.22: Cho a và b là hai số nguyên dương khác 0.
= ð_nh làớ 2.2.23 Cho 1, , n a … a là cỏc sụ nguyờn kếhỏc 0 Kếhi ủĩ ta cú:
(ii) Nờu a1,…,ẩn là cỏc sụ nguyờn tụ snh ủơi thỡ: [ ] 1 1 , , n n a … a = a ⋯a
Hệ quả 2.2.25 Cho a là boi chữung c%a n sụ nguyờn tựng ủơi màoi nguyờn tụ cầng nhau 1, , n a … a
Kếhi ủĩ a là boi c%a tớch 1 n a ⋯a
2.2.4 Số nguyên tố ð_nh nghĩa 2.2.26 MÀột số nguyên p được g_i là màột sô nguyên tô nếu p > 1 và p kếháông có màột ư_c số nguyên dùương nào kếhác 1 và chính nó MÀột số nguyên mà được g_i là màột hợp sô nếu |mà|
Số tự nhiên n được gọi là số chính phương nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho n = k^2 Ví dụ, số 1 là số chính phương vì 1 = 1^2 Hơn nữa, với các số nguyên tố p và các số nguyên tùy ý a, b, ta có thể áp dụng các tính chất của số chính phương để phân tích và giải quyết các bài toán liên quan.
(ii) Nêu mà > 1 thì làuơn tôn tựi màột ư_c nhìn nhât, là_n hơn 1 c%a mà và ư_c này là sô nguyên tô.
Số thức
2.4.1 Nhac là i cách xây dựng trợư&ng số thức a) DÙy cố bản ð_nh nghĩa 2.4.1 Cho A là màột vấnh con của màột trợư_ng sap thứ tự DÙy ( ) n n x Ỵℕ các phân tử của A được g_i là màột dùy hỗi t! trong A nếu làimà n x x x A ®+¥
Định nghĩa 2.4.2: Cho A là một tập con của một trường số thực Dãy (x_n) là dãy số tự nhiên được gọi là dãy hội tụ hay dãy Cauchy nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n₀ ∈ ℕ sao cho |x_n - x| < ε với mọi n ≥ n₀ Định nghĩa 2.4.3: Các dãy hội tụ trong ℚ có những tính chất đặc trưng.
(i) MÀoi dựy hỗi tự trong ℚ ủờu là màột dựy cố bản trong ℚ.
(ii) MÀ_i dựy cố bản trong ℚ ủờu bị chẩn.
(iii) Nêu ( ) n n x Ỵℕ , ( ) n n y Ỵℕ là những dùy cố bản trong ℚ thì ( ) , ( ) n n n n n n x y x y Ỵ Ỵ + − ℕ ℕ và
Dãy cố bản ( ) n n x Ỵℕ trong ℚ có thể không có giải hạn 0, điều này có nghĩa là dãy này có thể không hội tụ hoặc hội tụ và có một số kếhỏc khác 0.
(i) Tôn tựi aỴℚ,a > 0 và kế Ỵℕ sao cho |xn| > a với mà_i n > kế.
Tôn tựi kế Ỵℕ yêu cầu rằng xn > 0 với mà_i n > kế hoặc xn < 0 với mà_i n > kế Định nghĩa 2.4.5 cho biết một vầng con A của một trật tự sap thứ tự được gọi là một vầng ủõy ủ% nếu mà_i duy trì bản của A đầu hỗi t! trong A Định nghĩa 2.4.6 nêu rõ trật tự sap thứ tự ℚ là một trật tự sap thứ tự kếhỏụng ủõy ủ% Cuối cùng, cần xây dựng trật tự các số thức ℝ.
Tập X gồm tất cả các số thực cơ bản trong ℚ Giả sử, trong tập X, ta xác định hai phép toán cộng và nhân Với các phần tử n x và n y thuộc X, ta định nghĩa các phép toán này như sau:
Theo tính chất của duy cố bản, ta thấy ngay pháp công và pháp nhân trong hai pháp toán trong tập X Tập X cần với hai pháp toán xác định có các tính chất sau đây.
(i) X là màột vấnh giữao húẩn, cú ủơn và_.
(iii) Vấnh thếương X/I là màột trợư_ng. ð_nh nghĩa 2.4.8 Trợư_ng X/I xc đãịnh như Trên được g_i là trợư_ng các số thức được kếý hiệu là
ℝ MÀoi phân tử thữuộc ℝ được g_i là màột số thức.
Người ta thường bàieu dùien màoi số thức dùư_i dạng các số thếap phân vô hạn:
0 1 2 , n a a a …a … và 0 1 2 , n −a a a …a … trong đó { } 0 1 2 0; , , , , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 n a > a a … a …Ỵ MÀoi số thếap phân 0 1 2 , n a a a …a … thức chất _ng với dùy cố bản 1 2
⋯ và số thếap phân 0 1 2 , n −a a a …a … _ng với dùy cố bản 1 2
Ch ý 2.4.9 (i) MÀoi số thếap phân hữu hạn là màột số hữu tự, ta cũng nói chúng là các số thếap phân vô hạn tuần hỗàn với chữu kếì (0).
Mỗi số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc một số thập phân vô hạn tuần hoàn, với số 0 là số kế tiếp Tương tự, các số khác cũng có thể được biểu diễn như một số thập phân vô hạn tuần hoàn với số 9 là số kế tiếp.
Cho số thức kếháông mà a = a0 ,a1a2…ẩn… , 0 1 2 , n b = b b b …b … ðat
Thệo tính chất của Giải hạn, ta có sup{ | }, sup{ | } n n a = a nỴℕ b = b nỴℕ +) Nếu a ,b ³ 0, thì ta có sup{ | }, sup{ | } n n n n a +b = a +b nỴℕ ab = a b nỴℕ +) Nếu a ,b < 0, thì a +b = −(a + b ),ab = a b
+) Nếu a < 0,b ³ 0,a £ b , thì ta có a +b = b − a ,ab = −a b
+) Nếu a < 0,b ³ 0, b < a , thì ta có a +b = −(a − b ),ab = −a b
2.4.3 Quan hệ thứ tự ð_nh nghĩa 2.4.10 Với hai số thức ty ý ( ) n a = x và ( ) n b = y , ta nói ( ) ( ) n n x ³ y nếu làimà ( ) 0 n n x x y ®+¥
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến quan hệ thứ tự trong tập hợp số thực ℝ và số hữu tỷ ℚ Đầu tiên, chúng ta định nghĩa quan hệ ≥ và xác định rằng đây là một quan hệ thứ tự tồn tại trong ℝ, tạo nên một trật tự Tiếp theo, chúng ta xem xét một hàm số f: ℚ → ℝ sao cho với mọi a, b ∈ ℚ và a > b, ta có f(a) ≥ f(b), cho thấy ℚ là một tập con của ℝ Chúng ta cũng chỉ ra rằng các số thực ℝ tạo thành một trật tự Achimàedùễ Cuối cùng, chúng ta khẳng định rằng với mọi x, y ∈ ℝ và x > y, tồn tại a ∈ ℚ sao cho x > a > y, chứng minh tính chất của các số hữu tỷ trong việc tạo ra trật tự.
Hệ quả 2.4.16 cho thấy rằng mà_i dựy cố bản trong ℚ có thể được hiểu như một phần của hỗi tự trong ℝ Đồng thời, theo hệ quả 2.4.17, trợư_ng cỏc sụ thức ℝ cũng là trợư_ng sap thức tự, cho thấy tính chất của mà_i dùy cố bản trong ngữ cảnh này.
R ủờu hỗi tự trong ℝ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp Định nghĩa 2.4.18 cho biết rằng trong trường các số thực ℝ, mà_i tập kếhác rõong bị chẩn trên ủờu cú cận trên và mà_i tập kếhỏc rừong bị chẩn dưới ủờu cú cận dưới ủng.
[1] Hỗàng Kếỳ, Hỗàng Thếẩnh H (2009), _i sô số câp và Thức hnh Giải Toán, Nh xut bản ð#i học Sư phùạmà.
DÙ) CầU H,I, BÀI TậP, NỘI DÙUNG ƠN TậP VÀ Thảo Luận
Thức hnh Giải toán Chương 2
Giải và kếhai thỏc cỏc bài toỏn trong cỏc ch% ủiemà sau:
Bài toán 1: Tìmà số nguyên tố a biết 2a +1 là lập phương của màột số nguyên tố. Bài toán 2: Tìmà các số nguyên tố a,b, c biết abc = 3(a + b + c).
Bài toán 3: Cho p là màột số nguyên tố Chứng màinh rằng với mà_i số nguyên mà >1, ta có
A = (mà+1)(mà+ 2)⋯( pmà−1) pmà chia hết cho mà p mà kếháông chia hết cho mà
Bài toán 4: Cho p > 3 là số nguyên tố sao cho 4 p +1 cũng là số nguyên tố Chứng màinh rằng
Bài toán 5: Tìmà số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố.
Bài toán 1 chứng minh rằng nếu số nguyên k không chia hết cho 3 thì n² - 1 chia hết cho 3 Bài toán 2 chứng minh rằng với mọi số nguyên m, luôn có m³ - 13m chia hết cho 6 Bài toán 3 chứng minh rằng với mọi số nguyên m, luôn có m⁵ - m chia hết cho 5 Bài toán 4 chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p, q, luôn có q + p - 1 chia hết cho pq - p - q.
Bài toán 5: Chứng màinh rằng tốn t#i số nguyên kế sao cho 3kế 1 1000 − ⋮
Ch _ ủ i e mà 3: B o i và ư c của cỏc s ụ
Bài toán 1: Tìmà số tự nhin có hai ch số sao cho số đó chia hết cho tích các ch số của nó.
Bài toán yêu cầu tìm kích thước viên gạch hình vuông có diện tích tối thiểu để lát nền cho một căn phòng hình chữ nhật với chiều dài 6,25m và chiều rộng 4,75m Mục tiêu là xác định kích thước viên gạch sao cho số lượng viên gạch cần sử dụng là ít nhất, đồng thời đảm bảo rằng diện tích của viên gạch phải là một số nguyên.
Bài toán 3: T#i bn sống có 3 chic thếuyn Chic thứ nhất có 5 ngày lại cáp bn 1 lên, chic thứ hai có 7 ngày lại cáp bn 1 lên, chic thứ ba có 12 ngày lại cáp bn 1 lên Hôm nay, có
3 chic cầng kếhá_i hnh t bn sống H-i ít nhất sau bao nhiều ngy na chúng lại cầng cap bn sống này.
Bài toán 4: Tìmà nghiệm nguyên của phương trình 3x − 2xây + 2y −8 = 0.
Giải và kếhai thác các bài toán sau:
1) Tốn t#i hay kếháông số tự nhin có tích các ch số của nó bang 165.
2) Tìmà số chính phương có 4 ch số biết rằng nếu cong thêmà 1 vào tt c_ các ch số đó, ta cũng được màột số chính phương.
3) Chứng màinh rằng với mà_i số nguyên tố p > 7, ta làuơn có 3p 2p 1 42 − − ⋮ p
4) Cho hmà số f :ℚ® thế-a màn ℤ thế-a màn f (x + y) = f (x) + f ( y).
22 a) Chứng màinh rằng với mà_i số nguyên dùương n, ta làuơn có
5) Chứng màinh rằng trong 7 số nguyên bt kếì làuơn tốn t#i 4 số có tổng chia hết cho 4.
6) Tìmà nghiệm nguyên của các phương trình sau: a) 3x − 2xây + 5y −1 = 0 b) 2x −5y − 3 = 0 c) x − 3y + 5xây −1 = 0
7) Chứng màinh rằng với mà_i số tự nhin n, ta làuơn có 462n+1 296.132n+1 1947
8) Chứng màinh rằng với mà_i số tự nhin n,
+ là phân số tối giản.
9) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 2)4 − x4 = y3.
10) Chứng màinh rằng phương trình
+ + = ch_ có hữu hạn nghiệm nguyên dùương.
11) Chứng màinh rằng , là những tập có lọc làưng đãmà được.ℤ thế-a màn ℚ là những tập có lọc làưng đãmà được.
12) Biết là tập có lọc làưng vô hạn kếháông đãmà được, chứng màinh rằng tập các dùy
Tập hợp \( \mathbb{N} \) là một tập vô hạn có cấu trúc đặc biệt, được định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên Tập này không chỉ là vô hạn mà còn có tính chất kế thừa, cho phép xây dựng các số khác từ các số cơ bản trong tập.
ða thức- Phân thức h_u tự
ða thức
3.1.1 Các đãịnh nghĩa c%a đa thức
Giả sử A là một vấn đề giữ áo hởn, với G_i P là tập hợp các số 0 và 1 (a_1, a_2, , a_n) trong đó các a_i thuộc A với i thuộc và bằng 0, tạo thành một số hữu hạn Như vậy, ℕ là một tập vô hạn kế thừa, đã được xác định và có cường độ bản số.
P là một bộ phận của lý thuyết các AN, được xem là một tập vô hạn kế thừa và có cơ sở số Kế thừa đó, P là một vấn đề giữ vai trò quan trọng với các quy tắc và pháp nhân như sau:
+ = Σ = Phân tử kếháông của vấnh này là (0,0, ,0, ) , phân tử đơn và_ là
Mặt khác, xét đơn cầu vấn A® P, a(a, 0, , 0, ) Thực hiện đồng nhất phân tử a trong A với duy (a, 0, , 0) trong P, ta luôn có thể coi A là một vấn con của vấn P Do vậy, mọi phân tử của vấn P luôn được viết dưới dạng (a₁, a₂, , aₙ, 0, ), trong đó a₁, a₂, , aₙ thuộc A với aₙ > 0 Việc đồng nhất a trong A với duy (a, 0, , 0) trong P và việc đưa vào ký hiệu x cho phép ta biểu diễn.
Bàieu dùien này là duy nhất nếu kếháông kếể đến thứ tự của pháp cong.
Vành P được định nghĩa là vành của thức mà một bài toán x trên A, hoặc vành của thức của ẩn x trên A, ký hiệu P := A[x] Mỗi phần tử của P được xác định là một thức của bài toán x trên A.
0 1 2 ( ) n n f x = a + a x + a x + + a x Kếhi đó với màoi i = 0,1, ,n , ta lên làưt g_i i a và i i a x được g_i là hệ t$ và h_ng t$ bac i của đa thức f (x) , đặc biệt 0 a0x = a0 được g_i là h_ng t$ tự dùo.
(ii) ðơi kếhi, người ta cũng đãịnh nghĩa đa thức bàin x Trên A là màột tổng hình thức dạng
0 1 2 ( ) n n f x = a + a x + a x + + a x với 1 2 , , , n a a … a Ỵ A ð_nh nghĩa 3.1.3 Cho đa thức 2
Ta g_i n là bac của đa thức, kếí hiệu n := dùễg f (x) Hệ tử n a được g_i là hệ t$ cao nhât của f(x).
Ta quáy ư_c đa thức 0 kếháông có bac. ð_nh làý 3.1.4 Giả s$ f(x), g(x) là hai ủa thức kếhỏc 0 Kếhi ủĩ:
(i) Nờu dựễg f (x) ạ dựễg g(x) , thỡ ta cú f (x) + g(x) ạ 0 và dùễg[ f (x) + g(x)] = màax(dùễg f (x),dùễg g(x)).
(ii) Nờu dựễg f (x) = dựễg g(x) và f (x) + g(x) ạ 0 , thỡ ta cú dùễg[ f (x) + g(x)] £ màax(dùễg f (x),dùễg g(x)).
(iii) Nờu f (x)g(x) ạ 0 , thỡ ta cú dựễg[ f (x)g(x)] = dựễg f (x) + dựễg g(x).
Hệ quả 3.1.5 Nêu A là màiên nguyên thì A[x] là màiên nguyên.
3.1.2 Các pháp toán và các pháp bàin đội Trên các đa thức - Phương pháp hệ số bt đãịnh a) Các pháp toán và các pháp bàin đội Trên các đa thức
Phép cộng trên vành đa thức có các tính chất quan trọng như tính kết hợp, tính giao hoán và tồn tại phần tử không, trong đó phần tử không là đa thức 0 Mỗi đa thức đều có một đa thức đối, là đa thức có các hệ số đối nhau với các hệ số bậc tương ứng của đa thức đã cho.
Pháp nhân Trên vấnh đa thức có tính chất kết hợp, giữao hóẩn và phân phùơi đối với pháp cong.
Ngồi rõ trong vấnh đa thức cịn tốn t#i đa thức đơn và_ là 1.
Trong các bài toán liên quan đến đa thức, bên cạnh những định lý quen thuộc, còn có nhiều định lý khác liên quan đến một đa thức cụ thể Định lý 3.1.6 (Lagrange) cho biết rằng, cho f(x) là một đa thức bậc n trên trường A và 0 < x₁, x₂, , xₙ < A là n + 1 phân biệt, thì có thể áp dụng các định lý này để giải quyết các bài toán đa thức hiệu quả.
− Σ ð_nh làớ 3.1.7 (Taylàorừ) Cho f (x) là ủa thức bac n Trờn trợư_ng A và aỴ A
25 ð_nh làớ 3.1.8 (Newtổn) Cho f (x) là ủa thức bac n > 0 Trờn trợư_ng A và 1, , n a
… a Ỵ A Kếhi ủĩ tụn tựi duy nhõt 0 1 2 , , , , n là là là … là Ỵ A ủe:
Trong phần 3.1.9, các kế hoạch đã định trong ba định là trên vận động kế hi thế, trợ số thức hoặc trợ số phù thuộc bị một trợ số bậc kế có đặc số 0 Phương pháp hệ số bậc đã định được áp dụng để phân tích và xử lý các yếu tố này.
Phương pháp này dù_a Trên cố sở đãịnh nghĩa và đa thức kếháông và hai đa thức bang nhau C! thể ta có:
(i) ða thức kếháông là đa thức trong đó tt c_ các hệ tử đầu bang 0.
(ii) Hai đa thức bang nhau kếhi và ch_ kếhi các hệ tử tương _ng của chúng đầu bang nhau.
Trong nghiên cứu toán học, người ta sử dụng sự đồng nhất giữa hàm đa thức và đa thức trên các miền nguyên vô hạn để xác định hệ số của các đa thức kế tiếp, biết rằng chúng nhận các giá trị giống nhau trên miền nguyên đang xét.
Để biểu diễn đa thức f(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) + 5x + 4 dưới dạng chuẩn, ta nhận thấy đây là một đa thức bậc 3 với hệ số cao nhất là 1 và hệ số tự do là 10 Do đó, dạng chuẩn của nó có thể viết là f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 10 Khi thay x = 1 và x = 2 vào, ta có f(1) = 9, từ đó có thể tiến hành tính toán để xác định các hệ số a và b.
(2) ta được hệ phương trình:
Giải rõ ta được a = 0,b = −2 VÀay dạng thếu g_n là f (x) = x3 − 2x +10.
VÀí dù# 3.1.11 Bàieu dùien đa thức g(x) = (x2 −5x + 4)(x −1) dùư_i dạng làũy thế a của (x +1).
Hư_ng dùẩn: Ta có thể vit g(x) = (x2 −5x + 4)(x −1) = (x +1)3 + b(x +1)2 + c(x +1)
+ dù Lên làưt lày x = −1, x =1, x = 4 thếay vào hai và của hệ thức Trên ta được hệ phương trình: 20
Giải rõ ta được b = −9,c = 24,dù = −20 VÀay g(x) = (x +1)3 − 9(x +1)2 + 24(x +1)
3.1.3 LÀý thữuyết chia hết Trên vấnh đa thức màột bàin ða thức bt kếhá_ quáy a) Pháp chia đa thức ð_nh nghĩa 3.1.12 ða thức f ( x)Ỵ A[x]được g_i là chia hết cho đa thức g ( x)Ỵ
Trong không gian A[x], nếu tồn tại đa thức q(x) sao cho f(x) = g(x)q(x), thì A được coi là một trường Giả sử f(x) ≠ 0 và g(x) ≠ 0, sẽ luôn tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x) và r(x) trong A[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với điều kiện rằng bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x) và r(x) ≠ 0.
VÀí dù# 3.1.14 Cho A = ℚ là màột trợư_ng hữu tự Ta tìmà thếương và số dùư trong pháp chia của f ( x) = − x3 − 7x2 + 2x − 4 cho ( ) g x = − 2x2 + 2x −1
Ta thức hiện pháp chia
= − − + − = − + − + − = ð_nh nghĩa 3.1.15 ða thức rõ(x) nói Trên được g_i là dùư của pháp chia f ( x) cho g ( x). b) Nghiệm c%a màột đa thức ð_nh nghĩa 3.1.16 Cho cỴ A, 0 1 ( ) n [ ]. n f x = a + a x +⋯+ a x Ỵ A x Phân tử
Để tìm nghiệm của đa thức f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + + a_1 x + a_0 trong tập A, nếu f(c) = 0 thì c được coi là nghiệm của f(x) Quá trình tìm nghiệm này được gọi là giải phương trình bậc n Theo định lý Bezout, việc chia f(x) cho (x - c) sẽ cho kết quả là f(c).
Hệ quả 3.1.18 .a thức f ( x) nhận c làmà nghiệm kếhi và ch) kếhi f ( x) chia hêt cho ( x − c).
Thức hiện pháp chia đa thức 1 0 ( ) n ( 0) n n n f x a a x a x a − = + +⋯+ ạ cho đa thức (x − c) ta được đa thức thếương 1
0 0 1 , , 1, 2, 1 i i i b a b a cb i n − = = + " = − và dùư 1 ( ) n n rõ a cb f c − = + ðe táien cho việc tính toán người ta dùng bảng sau:
− trong đó 0 0 1 , , 1, 2, , 1 i i i b a b a cb i n − = = + " = … − Bảng này được g_i là là ư_ c ủụ Hỗocầne
VÀí dù# 3.1.19 ðe tìmà nghiệm của đa thức f (x) = x3 −12x +16, trước hết ta thếy f (2) = 0 DÙo đó x = 2 là màộtừnghiệm của đa thức Sử dụng làưc đãơ Hỗcầne ta được:
Hàm số f(x) = (x − 2)(x² + 2x − 8) có thể được viết lại dưới dạng f(x) = (x − 2)²(x + 4) Do đó, f(x) có hai nghiệm là x = 2 và x = −4 Đối với bài toán nghiệm bội, cho A là một trường hợp, với f(x) thuộc A[x], nghiệm bội c được xác định khi f(x) chia hết cho (x − c) và f(x) không chia hết cho (x − c) lần nữa.
(i) Nếu mà = 1 thì c được g_i là nghiệm đơn của f (x).
Nếu \( c \) là nghiệm kép của \( f(x) \), thì \( g_i \) cũng là nghiệm của \( f(x) \) Cho \( A \) là một trường, và nếu \( f(x) \) và \( g(x) \) là hai đa thức trong \( A[x] \), với \( f(x) = 0 \) và \( g(x) = 0 \), thì khi \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), nghiệm của \( g(x) \) cũng là nghiệm của \( f(x) \) Công thức Viete liên quan đến các nghiệm này.
− = + +⋯+ + có đây đủ n nghiệm là 1 2 , , , n x x … x Kếhi đó ta có công thức Vite sau đây:
⋯ e) Nghiệm nguyên và nghiệm h_u tự
Phân thức hữu tự
Hmà số và đãơ thứ
Kếhi niemà hmà số và đãơ thứ hmà số
4.1.1 Quan hệ ð_nh nghĩa 4.1.1 Cho X ,Y là hai tập hợp MÀột quan hệ hai ngơi t X đến Y là bo phùẩn S của tích ðcác X ×Y Phân tử xỴ X được g_i là có quan hệ S với yỴY nếu (x, y)ỴS Ta dùien tự đãiu này bịi kếí hiệu xSy.
Kếhi niệm về quan hệ giữa hai ngôi t X đến Y có mối liên hệ chặt chẽ với kếhi niệm tương ứng t X đến Y Mọi quan hệ giữa hai ngôi t X và Y đều xác định thứ tự của một tương ứng nào đó Trong trường hợp mà phân tử xỴ X luôn có quan hệ S với một phân tử yỴ Y, thì quan hệ giữa hai ngôi t X đến Y cũng xác định thứ tự của một nh x# t X đến Y.
4.1.2 Hmà, hmà số ð_nh nghĩa 4.1.3 Cho X ,Y là hai tập hợp MÀột hmà t X đến Y là quáy tac f cho _ng với màoi phân tử xỴ X với màột phân tử duy nhất yỴY Kếhi đó ta nói y là _nh của x và kếí hiệu y = f (x); x là màột tựo _nh của y và kếí hiệu x f 1( y); − Ỵ X được g_i là tập nguôn hay tập xc ủ_nh hoặc màiờn xc ủ_nh; Y được g_i là tập ủớch; tập cỏc _nh của tt c_ cỏc phõn tử xỴ X được g_i là tập gi trợ_ hay màiên gi trợ_ của hmà f
Kếí hiệu hmà f bịi f : X ®Y, x֏ y = f (x) hoặc f : X ®Y x֏ y = f (x) ð_nh nghĩa 4.1.4 Hmà f như Trên được g_i là màột hmà sô thức n bàiên nếu n X Í
Y Í ℝ Đơn giản và trong suốt, tái hiện rằng nếu không có thêm thông tin nào, thì đó chính là hàm số của một bài toán.
(i) T#i bac học phùỗ Thông, chúng ta ch_ Giải hạn kếhá_o st màột số dạng hmà số màột bàin thức.
(ii) ðơi với hmà hmà số màột bàin, kếhi nó là song nh, ta g_i nh x# ngưc của nó là hmà số ngưc của hmà số đã cho.
(iii) Ngồi kếí hiệu hmà như đã biết, để đơn giản người ta thường vit hmà số f : X ®Y dùư_i dạng y = f (x) (xỴ X ).
4.1.3 ðơ thứ ð_nh nghĩa 4.1.6 Cho hmà f : X đY Ta g_i tập{(x, f (x)) | xỴ X} là ủụ thứ của f ðơi với hmà số màột bàin số, để tăng tính trực quan người ta thường cố gắng màinh h_a đãơ thứ của hmà Trên màat phùẩng tựa độ đây cũng chính là màột yêu cầu của bài toán kếhá_o st hmà số t#i bac học phùỗ Thông.
Ch ý 4.1.7 ðơ thứ của hmà số đã cho và hmà số ngưc của nó đối x_ng với nhau qua đãư_ng phân gic thứ nhất (đãư_ng thếẩng y = x ).
MÀột vi pháp bàin đội đãơ thứ
Cho hệ trợ!c tựa độ Oxây và hmà số y = f (x) có đãơ thứ là đãư_ng cong (C) , điểm
Xét trong hệ trợ!c tựa độ mà_i X I Y (gơc I) MÀột cầu h-i đặt rõ là kếhi xét trong hệ trợ!c tựa độ mà_i
IXÂY, đãư_ng cong (C) là đãơ thứ của hmà số nào? Bang công thức đội hệ trợ!c tựa độ
ta thếu được màột hmà số mà_i Trên cố sở hmà y = f (x) đã cho:
0 0 Y = f (X + x ) − y Hmà số mà_i này cũng có đãơ thứ là (C) kếhi bàieu dùien trong hệ trợ!c tựa độ cũ
Hệ tọa độ Oxyz được xác định trên một mặt phẳng cố định, trong đó mỗi điểm trên mặt phẳng này đều có tọa độ tương ứng Đối với hệ tọa độ Oxyz, điểm I có tọa độ (0, 0, 0) Mỗi hệ tọa độ đều có cách xác định riêng, giúp người dùng dễ dàng xác định vị trí của các điểm trong không gian.
0 (x ; y ), nhưng nó lại có tựa độ (0; 0) đối với hệ trợ!c tựa độ IXÂY.
T những kếháẩng đãịnh Trên, ta rất rõ màột số đãịnh làí sau đây. ð_nh làớ 4.2.1 .ụ thứ c%a hmà sụ y = f (x) + b ủưc suy rừ tự ủụ thứ c%a hmà sụ y
= f (x) bang phỏp tựnh tỏiờn song song với trực tuầng màột ủồn bang b.
Khi áp dụng định lý này, cần lưu ý rằng nếu b > 0, thì sự dịch chuyển của hàm y = f(x) sẽ diễn ra lên phía trên; còn nếu b < 0, thì sự dịch chuyển sẽ diễn ra xuống phía dưới của hệ trục tọa độ Định lý 4.2.2 cho thấy sự dịch chuyển của hàm y = f(x + a) được suy ra từ sự dịch chuyển của hàm y = f(x).
= f (x) bang phỏp tựnh tỏiờn song song với trực hỗành màột ủồn bang −a.
Khi áp dụng định lý 4.2.1, cần lưu ý rằng với a > 0, tựnh táin sẽ được thực hiện sẵn bền vững; trong khi đó, nếu a < 0, tựnh táin sẽ được thực hiện sẵn nhưng phụ thuộc vào hệ trợt tọa độ.
4.2.2 Co dùn ð_nh làớ 4.2.3 (i) ụ thứ c%a hmà sụ y = kếf (x) với kế > 0 ủưc suy rừ tự ủụ thứ c
%a hmà sô y = f (x) bang pháp co (0 < kế 1) thệo t) sô kế dù_c thệo trực tuầng.
(ii) ụ thứ c%a hmà sụ y = f (kếx) với kế > 0 ủưc suy rừ tự ủụ thứ c%a hmà sụ y = f (x) bang pháp co ( kế >1) hay pháp dùn ( 0 < kế