Luận văn Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ 2ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN

Luận văn Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ 2ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN. Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu vành và môđun nội xạ cũng như mở rộng khái niệm nội xạ nhờ tiêu chuẩn Baer.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUẾ, 2013

MỤC LỤC

Bảng kí hiệu ii

Mở đầu iii

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về vành và môđun 1

1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu - Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 1

1.2 Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số môđun khác 4

1.3 Căn và đế của vành và môđun - Phần tử lũy linh và phần tử lũy đẳng 6

1.4 Vấn đề linh hóa tử - Vành nửa địa phương - Vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh 9

1.5 Môđun liên tục - Vành QF - Vành Kasch 13

1.6 Vành nội xạ cực tiểu 16

1.7 Vành nội xạ chính và vành nội xạ đơn 30

1.8 Mở rộng tầm thường 32

Chương 2 Về vành nội xạ 2-đơn và một số vành liên quan 33

2.1 Định nghĩa và ví dụ 33

2.2 Tính chất 36

2.3 Vành nội xạ 2-đơn và vành Kasch 38

2.4 Một số kết quả liên quan đến các vành khác 42

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

E(MR) Bao nội xạ của MR

rR(X) Linh hóa tử phải của X

lR(X) Linh hóa tử trái của X

N ≤ M N là môđun con của M

N < M N là môđun con thực sự của M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu (lớn) của M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M

N  M N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M

N ≤max N là môđun cực đại của M

M(I) Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

MI Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

M∗ HomR(MR, R)

length(M ) Độ dài của dãy hợp thành của môđun M

End(M ) Vành các tự đồng cấu của môđun M

c·, ·c Phép nhân trái (phải) bởi phần tử c

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đangđược phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học Một trong cáchướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu vành và môđun nội xạ cũngnhư mở rộng khái niệm nội xạ nhờ tiêu chuẩn Baer

Trước hết, chúng tôi xin đề cập đến vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius, viết tắt

là QF ) Vành QF được Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đến năm 1951, Ikeda đãđặc trưng vành này thông qua vành Artin (hoặc Nơte) phải (hoặc trái), và tự nội xạphải (hoặc trái) Sở dĩ Ikeda đặc trưng được như vậy, một phần là nhờ vào việc Baer

đã giới thiệu khái niệm môđun nội xạ (injective module) vào năm 1940 Tiêu chuẩnBaer về môđun nội xạ phát biểu rằng: “Một R-môđun phải M là nội xạ khi và chỉkhi với mọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → M đều có thể mở rộngthành đồng cấu từ RR → M , nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ M ”

Từ khái niệm nội xạ ban đầu, nhiều khái niệm mới đã được hình thành và nghiêncứu Chẳng hạn, nếu RR là môđun nội xạ phải thì vành R được gọi là tự nội xạ phải(right self-injective) Trong tiêu chuẩn Baer, nếu γ(I) là đơn thì vành R được gọi

là nội xạ đơn (simple injective) Nếu với mỗi môđun con hữu hạn sinh K của mộtR-môđun phải tự do F , với mọi đồng cấu từ K → MRđều có thể mở rộng thành đồngcấu từ FR → MR thì MR được gọi là môđun F P -nội xạ phải (right F P -injective).Vành R được gọi là F P -nội xạ phải nếu RR là môđun F P -nội xạ phải

Bây giờ, với n ∈ N∗, trong tiêu chuẩn Baer, ta chọn I là iđêan n-sinh thì lúc đómôđun MR được gọi là n-nội xạ phải (right n-injective) và vành R được gọi là vànhn-nội xạ; nếu lấy I là những iđêan phải chính thì ta có khái niệm môđun P -nội xạphải (right principally injective) và vành tương ứng là vành P -nội xạ [5] Rõ ràng,vành P -nội xạ phải chính là vành 1-nội xạ phải

Tiếp theo, trong [4], S.B Nam, N.K Kim và J.Y Kim đã định nghĩa rằng, vành

R được gọi là nội xạ chính suy rộng phải (right general principally injective), gọi tắt

là GP -nội xạ phải, nếu với mỗi 0 6= a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương n sao cho

an 6= 0 và mỗi R-đồng cấu phải từ anR vào R đều mở rộng được thành tự đồng cấucủa R Vành GP -nội xạ xác định như trên còn được gọi là vành Y J -nội xạ [8] Vành

R được gọi là AGP -nội xạ phải nếu với mỗi 0 6= a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương

n sao cho an 6= 0 và Ran là một hạng tử trực tiếp của l(r(an)) Vành R được gọi lànội xạ cực tiểu phải nếu với mọi iđêan phải cực tiểu I của R, với mỗi R-đồng cấu từ

I vào R đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của R Liên quan đến các khái niệmvành mở rộng ở trên, chúng ta có một số kết quả chính sau đây:

tự nội xạ phải ⇒ nội xạ đơn phải và F P -nội xạ phải

F P -nội xạ phải ⇒ 2-nội xạ phải ⇒ P -nội xạ phải ⇒ GP -nội xạ phải ⇒ AGP -nội

xạ phải và nội xạ cực tiểu phải

Chiều ngược lại của các kết quả trên nói chung không đúng

Trong dãy kết quả trên, vành 2-nội xạ và vành nội xạ đơn cũng như các mối quan

hệ của chúng với vành QF được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Năm

2010, trên tạp chí toán học International Journal of Algebra, số 4, hai nhà toán họcZhu Zhanmin và Chen Jianlong đã đưa ra khái niệm “Vành nội xạ 2-đơn”, được kếthợp từ hai vành nói trên Lớp vành này rộng hơn lớp các vành nội xạ đơn và 2-nội

xạ Trong bài báo đó, các tác giả đã đưa ra một số đặc điểm, tính chất, điều kiện vàmối liên hệ giữa vành này với vành QF

Vì quan tâm đến vành này nên chúng tôi chọn đề tài “Về vành nội xạ 2-đơn

và một số vành liên quan” để tiến hành nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểusâu hơn về các tính chất của chúng

Mục tiêu của luận văn là hệ thống, tổng hợp, làm rõ một số kết quả liên quanđến vành nội xạ 2-đơn và các vành có liên quan Đặc biệt, đưa ra thêm những ví dụ

để làm rõ hơn một số tính chất

Với nội dung này và mục tiêu như vậy, luận văn được chia làm hai chương:Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun và vành QF cũng nhưmột số vành có liên quan: vành nửa địa phương, vành nửa hoàn chỉnh, vành hoànchỉnh, vành QF , vành Kasch, vành nội xạ cực tiểu, vành nội xạ chính, vành nội xạđơn

Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính chất, ví dụ của vànhnội xạ 2-đơn cũng như một số vành có liên quan Mối liên hệ giữa vành nội xạ 2-đơn,tựa nội xạ 2-đơn với căn và đế của môđun, với linh hóa tử, vành Kasch, vành có chiềuhữu hạn,

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khótránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn.

Huế, Ngày 15 tháng 9 năm 2013Học viên thực hiện

Trần Quang Thạnh

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN

Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn và vành kết hợp có đơn vị và cácR-môđun đều unita

1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

- Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

1.1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

Định nghĩa 1.1 (Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu) 1) Một môđuncon K của môđun M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu K ≤e M , nếu

K ∩ X 6= 0 với mỗi môđun con X 6= 0 của M

2) Một môđun con K của môđun M được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M , kíhiệu K  M , nếu K + X = M với X là môđun con của M thì X = M

Bổ đề 1.1.1 ([6], Lemma 1.1) Cho M là một môđun

1) Nếu K ≤ N ≤ M thì K ≤e M khi và chỉ khi K ≤e N và N ≤e M

2) Nếu K ≤e N ≤ M và K0 ≤e N0 ≤ M thì K ∩ K0 ≤e N ∩ N0

3) Nếu α : M → N là R-đồng cấu và K ≤e N thì α−1(K) ≤e M , trong đó

α−1(K) = {m ∈ M : α(m) ∈ K}

4) Gọi M ⊕i∈I Mi là tổng trực tiếp các môđun con Mi của M và với mỗi i, xét

Ki ≤ Mi Lúc đó ⊕i∈IKi ≤e M khi và chỉ khi Ki ≤e Mi với mọi i

1.1.2 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.2 (Môđun nội xạ) Một môđun ER được gọi là nội xạ nếu với mỗiR-đơn cấu α : N → M , với mỗi R-đồng cấu β : N → E đều tồn tại R-đồng cấu

γ : M → E sao cho β = γ ◦ α Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:

Bổ đề 1.1.2 ([6], Lemma 1.2) Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi R-đồng cấu

β : K → R đều mở rộng được thành R-đồng cấu γ : M → E, trong đó K ≤ M Chứng minh (⇒) Hiển nhiên

(⇒) Giả sử α : N → M là R-đơn cấu Xét đồng cấu α0 : α(N ) → N xác định bởi

α0(α(N )) = n với n ∈ N Lúc đó, theo giả thiết, nếu β : N → E thì đồng cấu

β ◦ α0 : α(N ) → E có thể mở rộng thành γ : M → E và tất nhiên ta có α ◦ α = β.

Bổ đề 1.1.3 (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun phải E là nội xạ khi và chỉ khi vớimọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → E đều có thể mở rộng thành đồngcấu từ RR→ E, nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ E

Chứng minh “Điều kiện cần” là hiển nhiên Để chứng minh “điều kiện đủ”, ta xét

K là môđun con của M và β : K → E Đặt F là tập gồm tất cả các cặp (K0, β0) saocho K ≤ K0 ≤ M và β0 : K0 → E là mở rộng của β Theo Bổ đề Zorn, ta có thể chọn(K00, β”) là phần tử cực đại của F Ta sẽ chứng tỏ rằng K00= M , bằng phản chứng.Thật vậy, giả sử K00 6= M , lúc đó tồn tại m ∈ M \K00 Đặt T = {r ∈ R|mr ∈ K00} làmột iđêan phải và xét γ : T → E xác định bởi γ(r) = β00(mr) Theo giả thiết, tồntại ˆγ : R → E là mở rộng của γ và ta xác định được ˆβ : K00+ mR → E cho bởiˆ

β(y + mr) = β00(y) + ˆγ(r), trong đó y ∈ K00và r ∈ R Ánh xạ này hoàn toàn có nghĩa,bởi vì nếu y + mr = 0 thì mr ∈ K00 và ˆγ(r) = λ(r) = β00(mr) = β00(−y) = −β00(y)

Vì ˆβ là R-đồng cấu và từ cách xây dựng, ta có ˆβ là mở rộng của β00, điều này mâuthuẫn với tính cực đại của (K00, β00) trong F Do đó K00 = M 

là toàn cấu chính tắc Vì P là xạ ảnh nên tồn tại P → Pα 0 sao cho π ◦ α = φ Với

φ là toàn cấu thì P0 = α(P ) + Ker(π), do đó P0 = α(P ) bởi vì Ker(π)  P0 Mà

P −→ Pα 0 là chẻ ra vì P0 xạ ảnh, do đó tồn tại β : P0 → P sao cho α ◦ β = 1P0 Suy ra

P = Ker(α)⊕β(P0) Hơn nữa, vì π◦α = φ nên Ker(α) ≤ Ker(φ) = K, do đó β(P0)∩K

là bé trong β(P0) Vì β : P0 → β(P0) là một đẳng cấu nên ta có β(Ker(π))  β(P0).Mặt khác, φ◦β = π ◦α◦β = π ◦1P 0 = π nên β(Ker(π)) = β(P0)∩Ker(φ) = β(P0)∩K

Để kết thúc chứng minh, ta đặt Q = Ker(α) và P0 = β(P0)

(2) ⇒ (1) Vì P = K + P0 nên ánh xạ hạn chế của φ từ P0 → P/K là toàn ánh

và có hạt nhân là P0∩ Ker(φ) = P0∩ K, là bé trong P0 Do đó P/K có một phủ xạ

Hệ quả 1.1.6 ([6], Corollary B.18) Nếu K ≤ P là các môđun với P xạ ảnh thì P/K

có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi K = Q + X, trong đó Q ≤⊕ P và X  P

Chứng minh Nếu P/K có một phủ xạ ảnh thì đặt X = K ∩ P0 như trong Bổ đềBass, ta có ngay kết quả Ngược lại, nếu K = Q + X với Q ≤⊕ P và X  P thì đặt

P = Q ⊕ P1 và xác định φ : P1 → P/K xác định bởi φ(p1) = p1+ K, lúc đó φ là toànánh bởi vì P = K + P1, và Ker(φ) = P1∩ K Ta chứng minh rằng P1∩ K  P1 Thậtvậy, nếu (P1∩ K) + Y = P1 thì P = Q + [(P1∩ K) + Y ] ≤ K + Y = Q + X + Y ≤ P

Mà X  P nên P = Q ⊕ Y với Y ≤ P1; do vậy Y = P1 Trong Hệ quả 1.1.6, lấy P = R, ta có kết quả thường được sử dụng sau đây

Hệ quả 1.1.7 ([6], Corollary B.19) Cho T là iđêan phải của vành R Lúc đó, R/T

có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi T = eR + X, trong đó e2 = e ∈ R và X là iđêan phảichứa trong J

1.2 Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số

môđun khác

1.2.1 Môđun đối ngẫu

Định nghĩa 1.6 Cho hai R-môđun M, N Một đồng cấu R-môđun từ M vào N làmột ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện

φ(x + y) = φ(x) + φ(y)φ(rx) = rφ(x)với mọi x, y ∈ M, r ∈ R

Một đồng cấu R-môđun được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không cần thiết phảichỉ rõ vành cơ sở

Định nghĩa 1.7 Đối với một đồng cấu môđun φ : M −→ N , ta kí hiệu

Imφ = φ(M ),Kerφ = {x ∈ M |φ(x) = 0} = φ−1(0)

và gọi Imφ, Kerφ lần lượt là ảnh và hạt nhân của φ

Cho MR và kí hiệu HomR(MR, R) là tập gồm tất cả các đồng cấu R-môđun từ

MR → RR

Mệnh đề 1.2.1 HomR(MR, R) cùng với hai phép toán cộng và nhân môđun xác địnhnhư sau trở thành R-môđun trái

(α + β)(m) := α(m) + β(m),(rα)(m) := rα(m),

với mọi m ∈ M , r ∈ R và α, β ∈ HomR(MR, R)

Định nghĩa 1.8 R-môđun trái HomR(MR, R) và gọi là môđun đối ngẫu của môđun

MR, kí hiệu là M∗, các phần tử của M∗ gọi là các dạng tuyến tính trên M Môđunđối ngẫu của M∗, kí hiệu: M∗∗ = HomR(M∗, R), là một R-môđun phải và được gọi

là môđun song đối ngẫu của M

Bổ đề 1.2.2 ([6], Lemma 2.28) Nếu M = mR là một R-môđun phải xyclic và

T = r(m) thì M∗ ∼= l(T ) = lr(m) như một R-môđun trái

Chứng minh Nếu b ∈ l(T ) thì ánh xạ λb : M → R cho bởi λb(mr) = br luôn xácđịnh Lúc đó b 7→ λb là một đơn cấu lT → M∗ giữa các R-môđun trái và nó là toànánh, vì nếu λ ∈ M∗ thì λ = λb, trong đó b = λ(m) ∈ l(T ) 

1.2.2 Môđun có chiều hữu hạn - Môđun Artin - Môđun suy

biến - Một số vành liên quan

Định nghĩa 1.9 (Môđun có chiều hữu hạn) Môđun MRđược gọi là có chiều (Goldie)hữu hạn (has finite (Goldie) dimension) nếu M không chứa một tổng trực tiếp vôhạn các môđun con Vành R được gọi là có chiều (Goldie) hữu hạn nếu RR là môđun

có chiều Goldie hữu hạn Vành R được gọi là Goldie phải (right Goldie) nếu RR cóchiều hữu hạn và thỏa ACC trên các linh hóa tử phải

Định nghĩa 1.10 (Môđun Artin) Môđun MR được gọi là môđun Artin nếu mỗi tậpkhác rỗng các môđun con của nó đều có phần tử cực tiểu Điều này tương đương với

MR thỏa DCC đối với tập các môđun con Vành R được gọi là vành Artin phải nếu

RR là môđun Artin

Định lý 1.2.3 (Jordan - H¨older - Schreier) Bất kỳ hai dãy hợp thành của một môđun

có độ dài hữu hạn đã cho đều đẳng cấu với nhau

Chứng minh Xem [[1]], Theorem 11.3 Định nghĩa 1.11 (Môđun suy biến - Vành suy biến) Cho MR.

1) Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến phải (right singular element)của M nếu iđêan phải r(m) ≤e RR

2) Z(MR) = {m ∈ M |r(m) ≤e RR} ≤ M là tập tất cả các phần tử suy biến phảicủa M và được gọi là môđun con suy biến phải của M

3) Môđun MR được gọi là suy biến (singular) nếu Z(MR) = MR và được gọi làkhông suy biến (nonsingular) nếu Z(MR) = 0

4) Vành R được gọi là vành suy biến (không suy biến) phải nếu RR là môđun suybiến (không suy biến) Kí hiệu: Zr = Z(RR), Zl = Z(RR)

Định nghĩa 1.12 1) Một môđun khác không MR được gọi là đơn nếu nó không

có môđun con không tầm thường nào

2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn; tức là

i∈I

Mi, trong đó (Mi)i∈I là một họ các môđun con đơn của M

3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) (right (left) semisimple) nếu RR (RR)nửa đơn

4) Vành R được gọi là địa phương (local) nếu nó chỉ có một iđêan phải (trái) cựcđại duy nhất

5) Vành R được gọi là nửa địa phương (semilocal) nếu R/J là (Artin) nửa đơn

1.3 Căn và đế của vành và môđun - Phần tử lũy

linh và phần tử lũy đẳng

1.3.1 Căn và đế của vành và môđun

Định lý 1.3.1 ([3], Theorem 9.1.1) Cho M = MR Khi đó

trong đó B là môđun con cực đại của M và NR là môđun nửa đơn tùy ý.

trong đó B là môđun con đơn của M và NR là môđun nửa đơn tùy ý

Định nghĩa 1.13 (Căn và đế của vành) 1) Môđun con của M thỏa mãn (1.3.1)được gọi là căn của M , kí hiệu rad(M )

2) Môđun con của M thỏa mãn (1.3.2) được gọi là đế của M , kí hiệu soc(M ).Định lý 1.3.2 ([3], Theorem 9.3.2) Đối với một vành R bất kì, rad(RR) = rad(RR)

và thường kí hiệu chung là J (R) hoặc J

Định nghĩa 1.14 Căn của vành R là rad(R) := rad(RR) = rad(RR) Để đơn giản,đôi khi ta kí hiệu rad(R) là J (R) hoặc J , một cách không nhầm lẫn

Ví dụ 1 rad(ZZ) = 0 do 0 là iđêan cốt yếu duy nhất của Z và soc(ZZ) = 0 do Zkhông có iđêan cực tiểu nào

1.3.2 Phần tử lũy linh và lũy đẳng

Định nghĩa 1.15 1) Iđêan A của vành R được gọi là nil nếu với mọi a thuộc A,tồn tại số nguyên dương n sao cho an = 0

2) Iđêan A của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho

An = 0

3) Phần tử a thuộc iđêan A của vành R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại

số nguyên dương n sao cho an = 0

4) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J là nửa đơn và J là lũy linh

5) Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e2 = e

6) Hai phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao nếu ef = f e = 0.7) Phần tử lũy đẳng e được gọi là địa phương nếu eRe là vành địa phương

8) Cho I là iđêan của vành R và g + I là một lũy đẳng của R/I Ta nói lũy đẳngnày có thể nâng được (đến e) môđulô J nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho

g + I = e + I Ta nói rằng các lũy đẳng nâng được môđulô I trong trường hợpmọi lũy đẳng trong R/I có thể nâng được đến một lũy đẳng trong R

9) Phần tử a ∈ R được gọi là chính quy nếu tồn tại phần tử b ∈ R sao cho a = aba.Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều chính quy

Bổ đề 1.3.3 ([7], McCoy’s Lemma) Cho R là một vành và a, c ∈ R Nếu b = a − aca

1) e là lũy đẳng địa phương

2) eR có duy nhất một môđun con cực đại

3) eJ là môđun con cực đại duy nhất của eR

4) eR/eJ là đơn

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử M ≤max eR và T ≤max eR Nếu M 6= T thì M +T =

eR, do đó ta có thể biểu diễn e = m + t, m ∈ M, t ∈ T Lúc đó e = me + te ∈ eRe; màeRe là vành địa phương nên một trong hai phần tử me và te phải khả nghịch trongeRe Suy ra e ∈ M hoặc e ∈ T , điều này mâu thuẫn Vậy M = T

(2) ⇒ (3) Nếu K là môđun con cực đại duy nhất của eR thì K  eR; suy ra

K  RR Điều này có nghĩa là K ≤ J , do vậy K ≤ eJ Mà (eR)/K là đơn nên

eJ ≤ K Vậy K = eJ

(3) ⇒ (4) Rõ ràng

(4) ⇒ (1) Xét a ∈ eRe\eJ e Lúc đó a /∈ eJ nên theo (4), ta có eJ + aR = eR.Nếu e = ex + ab, x ∈ J, b ∈ R thì a(ebe) = e − exe là khả nghịch trong vành eRe, suy

ra tồn tại c ∈ eRe sao cho ac = e Ta lại có c /∈ eJe nên chứng minh tương tự, ta có

d ∈ eRe sao cho cd = e, suy ra e là lũy đẳng địa phương 

Mệnh đề 1.3.5 ([1], Proposition 7.1) Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trựctiếp của RR khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR Hơn nữa, nếu

e là một phần tử lũy đẳng của R thì 1 − e cũng là một phần tử lũy đẳng của R và(1 − e)R là phần phụ của eR, tức là RR = eR ⊕ (1 − e)R

1.4 Vấn đề linh hóa tử Vành nửa địa phương

-Vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh

1.4.1 Vấn đề về linh hóa tử

Ngay từ khi định nghĩa môđun, chúng ta đã gặp đồng cấu vành unita

λ : R −→ Endτ(M ),trong đó M là nhóm aben, xác định cho ta một cấu trúc R-môđun phải trên M, kíhiệu là MR Lúc đó, đặt K = Kerλ = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ M } là một iđêan haiphía và nó chính là linh hóa tử của M trong R

Định nghĩa 1.16 Cho một môđun phải MR

1) Giả sử X ≤ M Linh hóa tử phải (right annihilator) của X trong R là

rR(X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}

2) Giả sử A ≤ R Linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong M là

lM(A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}

Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR(x), lM(a) Với những linh hóa tử trên R,nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu gọn là l, r

Mệnh đề 1.4.1 ([1], Proposition 2.15) Cho RM là R-môđun trái, X, Y là các tậpcon của M và A, B là các tập con của R Khi đó,

1) Nếu X ≤ Y thì lR(Y ) ≤ lR(X) và nếu A ≤ B thì rM(B) ≤ rM(A);

2) X ≤ rMlR(X) và A ≤ lRrM(A);

3) lR(X) = lRrMlR(X), rM(A) = rMlRrM(A).

Sau đây là một số bổ đề về vành R có ACC trên các linh hóa tử phải (t.ứ trái)

Bổ đề 1.4.2 (Mewborn - Winton) Nếu R có ACC trên các linh hóa tử phải thì Zr

là lũy linh

Chứng minh Để thuận tiện cho chứng minh, ta viết Z = Zr Xét dãy Z ⊇ Z2 ⊇ ,

ta có dãy linh hóa tử phải tương ứng r(Z) ≤ r(Z2) ≤ Theo giả thiết, tồn tại nsao cho r(Zn) = r(Zn+1); chúng ta sẽ chứng tỏ rằng Zn = 0 Ngược lại, giả sử tồntại a ∈ R\r(Zn), lúc đó, chọn r(b) là phần tử cực đại từ tập {r(b) : Znb 6= 0} Nếu

z ∈ Z thì r(z) ≤e RR, do đó r(z) ∩ bR 6= 0, suy ra tồn tại r ∈ R sao cho zbr = 0 khi

br 6= 0 Như vậy r(b) < r(zb) Do tính cực đại của r(b), ta có Znzb = 0 Mà z ∈ Z làtùy ý, nên Zn+1b = 0, suy ra b ∈ r(Zn+1) = r(Zn) 

Bổ đề tiếp theo thường được sử dụng trong chứng minh một vành nửa nguyên sơ

là Artin trái

Bổ đề 1.4.3 ([6], Lemma 3.30) Cho R là vành nửa nguyên sơ có ACC trên các linhhóa tử phải sao cho Sr = Sl là các R-môđun trái có chiều hữu hạn Lúc đó R là Artintrái

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo chỉ số lũy linh n của J , tức là số nguyênnhỏ nhất n sao cho Jn = 0 Nếu n = 1 thì J = 0 và R là nửa đơn và Artin Giả

sử n ≥ 2 Ta có Sr = l(J ) và Sl = r(J ) (vì R là nửa địa phương) Đặt R = R/A,trong đó A = l(J ) = Sr = Sl = r(J ) Vì RA là Artin nên ta chỉ cần chứng minh rằng

RR =RR là Artin

Vì A = l(J ) là linh hóa tử trái nên vành R cũng có ACC trên các linh hóa tửphải Hơn nữa, J (R) = (J + A)/A = J , do vậy R/J ∼= R/(J + A) là nửa đơn và

Jn−1 ≤ (Jn−1 + A)/A = 0 bởi vì Jn−1 ≤ r(J) = A Suy ra R là nửa nguyên sơ và J

có chỉ số lũy linh là n − 1, do đó theo giả thiết quy nạp ta chỉ cần chứng minh rằngsoc(RR) = soc(RR) có chiều hữu hạn như một R-môđun trái

Thật vây, nếu x ∈ soc(RR) = rR(J ), chúng ta có J x = 0, do đó J x ≤ A = l(J ),suy ra J xJ = 0 Như vậy xJ ≤ r(J ) = A, do vậy xJ = 0 và x ∈ lR(J ) = soc(RR),hay soc(RR) ≤ soc(RR) Chứng minh tương tự, ta cũng có soc(RR) ≤ soc(RR).Cuối cùng, bởi vì R có DCC trên các linh hóa tử trái nên l(J ) = l{b1, , bm} với

{b1, , bm} ≤ J Lúc đó θ : R → Rmcho bởi θ(r+A) = (rb1, , rbm) là xác định mộtđơn cấu giữa các R-môđun trái Hơn nữa, θ(soc(RR)) = θ(socRR) ≤ soc(RRm) = Slm,

do vậy soc(RR) là có chiều trái hữu hạn Vậy R là Artin trái hay R là Artin trái 

Bổ đề 1.4.4 ([2], Lemma 3) Nếu R có ACC trên các linh hóa tử phải và l(X) làiđêan hai phía của R thì R/l(X) có ACC trên các linh hóa tử phải

1.4.2 Vành nửa địa phương - Vành nửa hoàn chỉnh và vành

hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.17 1) Iđêan một phía A của vành R được gọi là T -lũy linh phải(right T -nilpotent) nếu với mọi dãy a1, a2 từ A, ta có anan−1 a2a1 = 0với n ≥ 1 và A được gọi là T -lũy linh trái (left T -nilpotent) nếu chúng ta có

2) Nếu R là nửa Artin phải thì mọi R-môđun phải khác không đều có đế cốt yếu.Định nghĩa 1.18 1) Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh (semiperfect) nếuR/J là nửa đơn và các lũy đẳng nâng được môđulô J

2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (right perfect) nếu R là nửa hoànchỉnh và J là T -lũy linh phải

Vành hoàn chỉnh có một số đặc trưng rất đẹp đã được nghiên cứu bởi các nhàtoán học Bass, Bj¨ork, nhưng vì phép chứng minh khá phức tạp nên sau đây, chúngtôi chỉ nêu ra định lý mà không chứng minh

Định lý 1.4.5 ([6], Theorem B.39) Các điều kiện sau là tương đương đối với mộtvành R:

1) R là hoàn chỉnh phải.

2) (Bass) R có DCC trên các iđêan trái xyclic

3) (Bj¨ork) R có DCC trên các iđêan trái hữu hạn sinh

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nêu lên một định lý quan trọng, cho chúng ta cácđặc trưng vành nửa địa phương, đó là Định lý Camps-Dicks Chứng minh của định

lý này có thể tìm thấy ở tài liệu [6]

Định lý 1.4.6 ([6], Camps-Dicks Theorem) Các điều kiện sau tương đương đối vớimột vành R:

1) R là nửa địa phương

2) Tồn tại một đồng cấu vành ϕ : R → S, trong đó S là nửa đơn Artin và a là khảnghịch trong R sao cho ϕ(a) khả nghịch trong S

3) Tồn tại một song môđun SMR sao cho dim(SM ) là hữu hạn và lM(a) = 0, a ∈

R, suy ra a là khả nghịch trong R

4) Tồn tại một song môđun SMR sao cho

(a) {lM(a)|a ∈ R} có ACC trên các hạng tử

(b) lM(a) = 0 suy ra a là khả nghịch trong R

5) Tồn tại số nguyên n ≥ 0 và hàm d : R → {0, 1, 2, , n} sao cho

(a) d(a − aba) = d(a) + d(1 − ab) với a, b ∈ R

(b) d(a) = 0 và từ đó suy ra a khả nghịch trong R

6) Tồn tại một quan hệ thứ tự trên R sao cho

(a) (R, ≤) có DCC

(b) Nếu 1 − ab không khả nghịch thì a > a − aba

Hệ quả 1.4.7 ([6], Corollary C.3) Nếu môđun SM là có chiều hữu hạn và các đồngcấu trong EndSM là toàn cấu thì EndSM là nửa địa phương

Chứng minh Đặt R = End(SM ) thì song môđunSMR thỏa mãn điều kiện (3) trong

1.5 Môđun liên tục - Vành QF - Vành Kasch

1.5.1 Môđun liên tục

Định nghĩa 1.19 (Môđun liên tục) Cho M là một R-môđun

1) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C1 (điều kiện CS) nếu mọi môđun con của

M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

2) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi môđun con mà đẳng cấu với mộthạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M

3) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu với N, K là hai hạng tử trực tiếp bất

kỳ của M thì N ⊕ K cũng vậy

4) Vành R được gọi là C1 (tương ứng C2, C3) nếu RR có tính chất tương ứng Cácmôđun C1 còn được gọi là các môđun CS và vành R được gọi là vành CS phảinếu RR là môđun CS

5) M được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện C1, C2 Vành

R được gọi là liên tục phải nếu môđun RR là liên tục

6) M được gọi là môđun min-CS nếu mọi môđun con đơn của M đều cốt yếutrong một hạng tử trực tiếp của M Vành R được gọi là min-CS phải nếu RR

Để thuận tiện, chúng ta gọi một iđêan phải T của một vành R là mở rộng đượcnếu mỗi R-đồng cấu α : T → R đều có thể mở rộng từ R → R, nghĩa là, α = a· làphép nhân trái bởi một phần tử a ∈ R.

Bổ đề 1.5.1 ([6], Lemma 1.36) Cho T và T0 là các iđêan phải của vành R

at = (b − d)t = bt = α(t), với mọi t ∈ T và at0 = (c − d0)t0 = ct0 = α(t0) với mọi

1.5.3 Vành Kasch

Định nghĩa 1.21 (Sinh và đối sinh) 1) Môđun CRđược gọi là sinh ra (generate)

M hay (M được sinh bởi C) nếu tồn tại toàn cấu C(I) −→ M −→ 0 với I làtập chỉ số nào đó Nếu I là tập hữu hạn thì M gọi là được sinh hữu hạn bởi C.2) Môđun CR được gọi là đối sinh ra (cogenerate) M (hay M được đối sinh bởiC) nếu tồn tại đơn cấu 0 −→ M −→ C(I) với I là tập chỉ số nào đó Nếu I làtập hữu hạn thì M gọi là được đối sinh hữu hạn bởi C

Định nghĩa 1.22 (Vật sinh - Vật đối sinh) 1) Môđun CR được gọi là vật sinh(generator) của phạm trù các R-môđun phải nếu nó sinh ra mọi môđun phải;hay nói cách khác, với mọi môđun phải MR, luôn tồn tại toàn cấu C(I) −→ M 2) Môđun CR được gọi là vật đối sinh (cogenerator) của phạm trù các R- môđunphải nếu nó đối sinh ra mọi môđun phải; hay nói cách khác, với mọi môđunphải MR, luôn tồn tại đơn cấu M −→ C(I)

Bổ đề 1.5.2 ([6], Lemma 1.42) Cho ER là môđun nội xạ Khi đó, E là vật đối sinhkhi và chỉ khi mọi môđun phải đơn đều có thể nhúng được vào trong E.

Định nghĩa 1.23 (Vành Kasch phải) Một vành R được gọi là Kasch phải (rightKasch) nếu mọi R-môđun phải đơn K đều nhúng được vào RR, điều này tương đươngvới RR đối sinh ra K

Ví dụ 3 Mọi vành nửa đơn đều là vành Kasch (phải, trái)

Mệnh đề 1.5.3 ([6], Proposition 1.44) Các điều sau đây là tương đương cho mộtvành R:

1) R là Kasch phải

2) Hom(MR, R) 6= 0 với mọi R- môđun phải M hữu hạn sinh

3) l(T ) 6= 0 với mỗi iđêan phải thực sự T của R

4) rl(T ) = T với mỗi iđêan phải cực đại T của R

5) E(RR) là một đối sinh

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử MR là một môđun phải hữu hạn sinh bất kỳ của R.Khi đó MR có môđun con cực đại N Do đó M/N là đơn và α : M −→ M/N là mộtphép chiếu hay α(M ) là môđun đơn Theo giả thiết R là vành Kasch phải nên tồntại đơn cấu 0 6= β : α(M ) −→ RR Như vậy βα : M −→ RR là một đồng cấu khác 0hay Hom(M, RR) 6= 0

(2) ⇒ (3) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Khi đó R/T là một iđêanphải hữu hạn sinh Từ giả thiết (2) suy ra tồn tại đồng cấu 0 6= γ : R/T −→ RR Đặtγ(1 + T ) = a, lúc đó a 6= 0 và aT = γ(1 + T ).γ(0) = γ(0) = 0 Do đó a ∈ l(T ) Vậyl(T ) 6= 0

(3) ⇒ (4) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Khi đó ta luôn có T ≤ rl(T ).Mặt khác, theo giả thiết (3) ta có l(T ) 6= 0 do đó rl(T ) 6= R Vì T là iđêan cực đạinên ta suy ra T = rl(T )

(4) ⇒ (5) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R Theo giả thiết (4) ta córl(T ) = T , suy ra l(T ) 6= 0 Do đó tồn tại 0 6= a ∈ l(T ) suy ra rl(T ) ≤ r(a) hay T ≤r(a) 6= R Mà T là cực đại nên T = r(a) Xét tương ứng α : R/T −→ R xác

định bởi α(r + T ) = ar Dễ thấy α là một ánh xạ và là một R-đồng cấu Ta cóKerα = {r ∈ R|α(r + T ) = 0} = {r ∈ R|ar = 0} = r(a) = T Do đó α là đơn cấuhay R/T ,→ R ≤ E(R) Theo Bổ đề 1.5.2, ta có E(RR) là vật đối sinh.

(5) ⇒ (1) Giả sử KR là một môđun đơn bất kỳ của R Từ giả thiết (5) ta suy

ra tồn tại đơn cấu α : K −→ E(R) Vì R ≤e E(R) và 0 6= α(K) ≤ E(R) nên

R ∩ α(K) 6= 0 Do đó α(K) ≤ R tức là KR được nhúng trong RR Vậy R là vành

Mệnh đề 1.5.4 ([6], Proposition 1.46) Cho R là một vành Lúc đó

R là vành Kasch trái =⇒ R là vành C2 phải =⇒ Zr ≤ J(R)

Chứng minh Giả sử R là Kasch trái Nếu aR đẳng cấu với một hạng tử của R, a ∈ R,điều này có nghĩa là Ra ≤⊕ RR (lúc đó a là phần tử chính quy nên aR ≤⊕ RR) Bởi

vì aR là xạ ảnh, đặt r(a) = (1 − e)R, e2 = e Lúc đó a = ae, suy ra Ra ≤ Re và tacần chứng tỏ Ra = Re Nếu Ra 6= Re thì xét M sao cho Ra ≤ M ≤max Re Vì R làvành Kasch nên gọi σ : Re/M → RR là đơn cấu và viết c = (e + M )σ Lúc đó ec = c

và (bởi vì ae = a ∈ M ) c ∈ r(a) = (1 − e)M Điều này chứng tỏ rằng c = ec = 0 vàsuy ra e ∈ M , bởi vì σ là đơn cấu Điều này mâu thuẫn, do đó Ra = Re

Bây giờ, giả sử rằng R là vành C2 và gọi a ∈ Zr Vì r(a)∩r(1−a) = 0 nên r(1−a) = 0,khi đó (1 − a)R ∼= R Từ giả thiết (1 − a)R ≤⊕ R, suy ra R(1 − a) ≤⊕ R, nghĩa làR(1 − a) = Rg, g2 = g Từ đó suy ra 1 − g ∈ r(1 − a) = 0, do đó R(1 − a) = R Mặt

Ví dụ 4 Vành đa thức R[x] là nội xạ cực tiểu trái và phải

Bổ đề 1.6.1 ([6], Lemma 2.1) Các điều kiện sau là tương đương:

1) R là nội xạ cực tiểu

2) Nếu kR là đơn, k ∈ R, thì lr(k) = Rk

3) Nếu kR là đơn và r(k) ≤ r(a); k, a ∈ R, thì Ra ≤ Rk

4) Nếu kR là đơn và γ : kR → R là R-đồng cấu, k ∈ R, thì γ(k) ∈ Rk

Định lý 1.6.2 ([6], Theorem 2.21) Cho R là vành nội xạ cực tiểu phải và k, m ∈ R.1) Nếu kR là iđêan phải đơn thì Rk là iđêan trái đơn

2) Nếu kR ∼= mR là đơn thì Rk ∼= Rm; nghĩa là Rk = (Rm)u, với u là phần tửnào đó thuộc R

3) Sr ≤ Sl

Chứng minh (a) và (c) Nếu kR là đơn và 0 6= ak ∈ Rk, xác định γ = a· : kR →akR, thì γ là đẳng cấu và do đó, khi R là vành nội xạ cực tiểu, đặt γ−1 = c·, c ∈ R.Như vậy, k = γ−1(ak) = cak ∈ Rak, nên Rk là iđêan trái đơn

Bây giờ, với x ∈ Sr, lúc đó x ∈ k1R ⊕ ⊕ knR, trong đó mỗi kiR là đơn Suy ra

J = l(Sr) = Zr là lũy linh

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng R = R/I là chính quy Xét a = a + J là phần tử kháckhông của R Vì J = Zr nên tồn tại iđêan phải I của R sao cho r(a) ∩ I = 0 Mặtkhác, Sr ≤e RR nên tồn tại iđêan phải cực tiểu bR ≤ I Hơn nữa, R là nội xạ cực tiểu

và abR là iđêan phải cực tiểu nên Rb = Rab Như vậy, tồn tại c ∈ R sao cho b = cab.

Do đó, b ∈ r(a − aca)\r(a) Nếu a − aca ∈ J thì a là phần tử chính quy Ngược lại,đặt a1 = a − aca Lý luận tương tự như đối với a, ta thu được ak+1 = ak− akckak với

ck ∈ R và r(ak) chứa trong r(ak+1), với k = 1, 2, Vì R có ACC trên các linh hóa

tử phải nên tồn tại m nguyên dương sao cho am ∈ J Theo Bổ đề 1.3.3, a là phần tửchính quy của R

Cuối cùng, ta chứng tỏ rằng R là nửa địa phương Vì J = l(Sr) là iđêan hai phíacủa R và R có ACC trên các linh hóa tử phải nên theo Bổ đề 1.4.4, R có ACC trêncác linh hóa tử phải Mà R chính quy nên mỗi iđêan phải hữu hạn sinh của R là mộthạng tử trực tiếp của R Như vậy R là nửa đơn, suy ra R là nửa địa phương Định lý 1.6.4 ([6], Theorem 2.29) Các điều sau là tương đương đối với một vànhR:

1) R là nội xạ cực tiểu phải

2) M∗ là đơn hoặc bằng không với mọi R-môđun phải đơn MR

3) l(T ) là đơn hoặc bằng không với mọi iđêan phải cực đại T của R

4) K∗ là đơn với mọi iđêan phải đơn K của R

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử MR là đơn Nếu M∗ = 0 thì điều cần chứng minh là

rõ ràng Ngược lại, gọi 0 6= δ ∈ M∗; chúng ta sẽ chứng minh rằng M∗ = Rδ Trước hết,nhận thấy rằng δ : M → δ(M ) là đẳng cấu Lấy γ ∈ M∗ ta có δ(M ) δ

(3) ⇒ (4) Nếu K = kR là một iđêan phải đơn, ta viết T = r(k), lúc đó T là cựcđại, do vậy K∗ ∼= l(T ) và đơn hoặc bằng không, do (3) và Bổ đề 1.2.2 Mà K∗ 6= 0

vì nó chứa ánh xạ nhúng từ K → R Vậy K∗ là đơn

(4) ⇒ (1) Xét γ : K → R, trong đó K = kR là iđêan phải đơn, đặt ι : K → R làphép nhúng tự nhiên Lúc đó, theo (4), ta có K∗ = Rι, do vậy γ = cι với c ∈ R Như

Mệnh đề 1.6.5 ([6], Example 2.4) Nếu R là vành có Sr là iđêan trái đơn thì R lànội xạ cực tiểu phải.

Vào năm 1952, M Ikeda đã chứng minh được kết quả sau, nói lên mối liên hệ giữavành QF với vành nội xạ cực tiểu Artin

Định lý 1.6.6 (Ikeda, [6], Theorem 2.30) Các điều kiện sau là tương đương đối vớimột vành R:

1) R là tựa-Frobenius

2) R là nội xạ cực tiểu hai phía và Artin hai phía

1.6.2 Điều kiện Kasch

Trong Định lý 1.6.4, chúng ta đã chứng tỏ rằng một vành nội xạ cực tiểu phải khi

và chỉ khi M∗ là đơn hoặc bằng không với mọi môđun phải đơn MR Theo Mệnh đề1.5.3, một vành là Kasch phải khi và chỉ khi linh hóa tử trái của mọi iđêan phải cựcđại là khác không Kết hợp mệnh đề này với Định lý 1.6.4, chúng ta có kết quả sauđây đối với vành nội xạ cực tiểu phải và Kasch phải

Định lý 1.6.7 ([6], Theorem 2.31) Các điều sau là tương đương đối với một vànhR:

1) R là nội xạ cực tiểu phải và Kasch phải

2) M∗ là đơn với mọi R-môđun phải đơn M

3) l(T ) là đơn với mọi iđêan phải cực đại T của R

Trong trường hợp này, mỗi linh hóa tử trái khác không của R chứa một iđêan tráiđơn

Chứng minh Kết quả tương đương giữa (1), (2) và (3) được suy ra từ Mệnh đề1.5.3 và Định lý 1.6.4

Bây giờ, giả sử rằng 0 6= L = l(X) là một linh hóa tử trái, trong đó X ≤ R Ta

có thể giả sử thêm rằng X là một iđêan phải, và như vậy, khi X 6= R, gọi T là iđêanphải cực đại của R sao cho X ≤ T Lúc đó l(T ) ≤ l(X) = L và từ (3) suy ra l(T )

Định lý 1.6.8 ([6], Theorem 2.32) Cho R là vành nội xạ cực tiểu, Kasch phải vàxét ánh xạ θ : T 7→ l(T ) từ tập các iđêan phải cực đại T của R đến tập các iđêan tráicực tiểu của R Lúc đó, ta có các kết luận sau:

1) θ là đơn ánh

2) θ là một song ánh khi và chỉ khi lr(K) = K với mọi iđêan trái cực tiểu K của

R Trong trường hợp này, ánh xạ ngược cho bởi K 7→ r(K)

Chứng minh (1) Nếu T là iđêan phải cực đại thì theo Định lý 1.6.7, l(T ) là đơn,

do đó θ được xác định Vì T ≤ rl(T ) 6= R và T là iđêan cực đại nên T = rl(T ) Vậy(1) được chứng minh

(2) Nếu θ là song ánh thì mỗi iđêan trái cực tiểu K là một linh hóa tử, do đólr(K) = K Ngược lại, giả sử lr(K) = K với mọi iđêan trái cực tiểu K Trướchết chúng ta chứng minh rằng, nếu K là một iđêan trái cực tiểu thì r(K) là cựcđại Thật vậy, gọi T là iđêan cực đại của R sao cho r(K) ≤ T , lúc đó, vì giả thiếtKasch phải, nên K = lr(K) ⊇ l(T ) 6= 0 Mà K là đơn nên K = l(T ) Như vậyr(K) = rl(T ) ⊇ T , suy ra r(K) = T

Từ chứng minh trên, ta có ánh xạ ϕ xác định bởi K 7→ r(K) là ánh xạ ngược của

θ Thật vậy, do (1), ta có ϕ ◦ θ cho ta T 7→ l(T ) 7→ rl(T ) = T và do giả thiết, ta có

θ ◦ ϕ cho ta K 7→ r(K) 7→ lr(K) = K Vậy (2) được chứng minh 

1.6.3 Vành nội xạ cực tiểu và vành nửa hoàn chỉnh

Nếu R là một vành nửa hoàn chỉnh thì 1 = e1+ + en, trong đó ei là các phần tửlũy đẳng địa phương, trực giao Các định lý trong phần này nói lên mối liên hệ giữavành nội xạ cực tiểu và vành nửa hoàn chỉnh Đặc biệt, định lý tiếp theo ngay sauđây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một vành nửa hoàn chỉnh là nội xạ cực tiểuphải Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.6.9 ([6], Lemma 3.1) Cho e là một phần tử lũy đẳng trong vành R Lúc đó1) (eR/eJ )∗ ∼= l(J )e.

2) Nếu R là nửa địa phương thì (eR/eJ )∗ ∼= S

re

Chứng minh Ta có eR/eJ = mR, trong đó m = e + eJ , do vậy (theo Bổ đề 1.2.2)

ta có (eR/eJ )∗ ∼= l(T ), trong đó T = r(m) Suy ra T = J + (1 − e)R, do vậyl(T ) = l(J ) ∩ Re = l(J )e Như vậy (1) và (2) được chứng minh, bởi vì Sr = l(J )

Định lý 1.6.10 ([6], Theorem 3.2) Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh Lúc đó R

là nội xạ cực tiểu phải khi và chỉ khi Sre là đơn hoặc bằng 0, với mỗi lũy đẳng địaphương e ∈ R

Chứng minh Gọi MR là một môđun đơn Vì R là nửa hoàn chỉnh nên M e 6= 0, vớimọi lũy đẳng địa phương e, do đó me 6= 0 với m ∈ M Lúc đó ánh xạ x 7→ mex từ

eR → M là một R-đẳng cấu eR/eJ → M (theo Mệnh đề 1.3.4) Suy ra môđun MR

là đơn khi và chỉ khi MR ∼= eR/eJ , với e là lũy đẳng địa phương của R Hơn nữa,theo Bổ đề 1.6.9, vì R là nửa địa phương nên ta có (eR/eJ )∗ = Sre Áp dụng Định

Trong trường hợp R vừa là vành nửa hoàn chỉnh, vừa là vành nội xạ cực tiểu phải,chúng ta sẽ có một số kết quả đẹp đẽ hơn Trước hết, ta xét bổ đề:

Bổ đề 1.6.11 ([6], Lemma 3.6) Một lũy đẳng e của vành R là địa phương khi và chỉkhi J + R(1 − e) là iđêan trái cực đại duy nhất của R chứa R(1 − e) Hơn nữa, trongtrường hợp này ta được

1) Sr là một R-môđun trái Artin và nửa đơn

2) Nếu 0 6= k ∈ soc(eR), trong đó e2 = e là địa phương, thì Rk là đơn

3) Nếu R là Kasch phải thì các điều kiện sau tương đương: