Về điểm bất động của ánh xạ có tính lipschitz

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -VŨ THỊ THƠM VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CÓ TÍNH LIPSCHITZ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH... Các kế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ THƠM

VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CÓ TÍNH LIPSCHITZ

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội – Năm 2015

MỞ ĐẦU 2

1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính

1.1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian Hilbert 5

1.1.3 Phép chiếu metric 6

1.2 Điểm bất động của ánh xạ co 7

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 14

1.4 Điểm bất động của ánh xạ giả co, giả co mạnh 19

2 Các phương pháp lặp tìm điểm bất động 23 2.1 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động 23

2.2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 24

2.3 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co 30

3 Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân 34 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 34

3.1.1 Phát biểu bài toán 34

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm 35

3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân 37

Tài liệu tham khảo 41

Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích là lý thuyết điểmbất động Các định lý điểm bất động liên quan đến các điều kiện về sự tồn tạicủa một điểm x∗ trong C sao cho T x∗= x∗ với T : C → C Điểm x∗ như vậy gọi

là điểm bất động của ánh xạ T

Một số định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong

đó phải kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) và định lý ánh xạ coBanach (1922) Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và khônggian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tậphợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bất động Trong lý thuyết này,ngoài các định lý tồn tại, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp cácđiểm bất động, xấp xỉ điểm bất động và ứng dụng của chúng

Mục đích của luận văn này nhằm trình bày các định lý về tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ có tính Lipschitz, về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ khônggiãn, ánh xạ giả co trong không gian metric, không gian Hilbert và áp dụng định

lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Dưới sựhướng dẫn của GS TSKH Lê Dũng Mưu, tác giả đã hoàn thành luận văn với

đề tài

"Về điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz"

Luận văn được chia làm ba chương:

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tínhLipschitz

• Chương 2: Các phương pháp lặp tìm điểm bất động

• Chương 3: Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gianmetric, không gian Hilbert, phép chiếu metric Các định nghĩa về ánh xạ co, ánh

xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh Các định lý về sự tồn tại điểm bất

động của ánh xạ co mà trọng tâm là định lý ánh xạ co Banach, định lý về sựtồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh trongkhông gian metric và không gian Hilbert.

Trong chương 2, chúng tôi trình bày các khái niệm về dãy lặp Mann, dãy lặpIshikawa, dãy lặp Halpern Các phương pháp lặp như phương pháp lặp Mann

- Halpern, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn,phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động của ánh xạ giả co trong khônggian Hilbert

Trong chương 3, chúng tôi trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân, định

lý Brouwer về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Áp dụngđịnh lý ánh xạ co Banach để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệumạnh

Qua luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê DũngMưu ( Viện Toán học Việt Nam), người Thầy đã truyền cho tôi có niềm say mênghiên cứu toán học Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, KhoaToán-Cơ-Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội,quý thầy cô giảng dạy lớp cao học khóa 2013 -2015 đã mang đến cho tôi nhiềukiến thức bổ ích trong khoa học và trong cuộc sống

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè trong lớp cao học khóa

2013 -2015, lãnh đạo và đồng nghiệp trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật NamĐịnh đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luậnvăn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ýcủa quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Thơm

Kiến thức chuẩn bị và điểm bất

động của ánh xạ có tính Lipschitz

Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian metric, khônggian Hilbert, phép chiếu metric, nhằm trang bị những kiến thức cần thiết choviệc trình bày về điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ giả

co và giả co mạnh Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tàiliệu [1], [2], [7] và [8]

1.1 Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Một hàm d có giá trị thực được xác định với mọi cặp phần

tử x, y của một tập hợp X, được gọi là metric trênX nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau ( mọi x, y, z thuộc X)

1 d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

2 d(x, y) = d(y, x);

3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ( bất đẳng thức tam giác)

Một tậpX cùng với metric xác định như trên được gọi là một không gian metric

và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y

Các phần tử của không gian metric (X, d) được gọi là điểm

Định nghĩa 1.2 Giả sửx1, x2, , xn, là dãy các điểm trong không gian metric

(X, d) Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến điểm x thuộc X nếu:

lim

n→∞ d(xn, x) = 0

Ta kí hiệu

lim

Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric (X, d) và (Y, ρ) Một ánh xạ T từ

X vào Y được gọi là liên tục tại x0∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao chovới mọix ∈ X mà d(x, x0) < δ kéo theo ρ(T x, T x0) < ε Ánh xạT được gọi là liêntục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.4 Ta nói dãy {xn} là dãy Cauchy hay dãy cơ bản trong khônggian metric X nếu với mọi ε > 0, tồn tại nε sao cho d(xn, xm) < ε với mọi

X được gọi là ánh xạ Lipschitz

Số nhỏ nhất trong các số M như thế được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ

T và kí hiệu là L(T )

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.7 Cho H là không gian tuyến tính trên R Một tích vô hướngtrên H là một ánh xạ, kí hiệu h., i : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau:

1.1.3 Phép chiếu metric

Định nghĩa 1.9 Cho C khác rỗng và y là vectơ bất kỳ không thuộc C, đặt

dC(y) = inf

x∈C ||x − y||;

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC(y) = ||π − y|| thì ta nói π là hình chiếu của y trên

C Ta ký hiệu hình chiếu của y trên C là PC(y)

Thông thường sẽ ký hiệu π = PC(y) hoặc đơn giản hơn là P (y) nếu không cầnnhấn mạnh đến tập chiếu C

Chú ý rằng, nếuy ∈ C thìdC(y) = 0 NếuC 6= ∅ thìdC(y)hữu hạn vì0 ≤ dC(y) ≤

||y − x|| với mọi x thuộc C

Định nghĩa 1.10 Cho C là tập con, khác rỗng của không gian Hilbert H, ánh

xạ P : H → C Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử P x ∈ C sao cho

||x − P x|| = d(x, C);

Ánh xạ P như vậy được gọi là phép chiếu metric trên C

Định nghĩa 1.11 Một tập C ⊆ H được gọi là nón nếu

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C;

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi

Định nghĩa 1.12 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là

NC(x), được xác định bởi công thức

4 PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là

hPC(x) − PC(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H.

Mệnh đề 1.2 (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1).Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng,khác rỗng Khi đó với mọi y ∈ H, hình chiếu PC(y) của y trên C luôn tồn tại vàduy nhất

1.2 Điểm bất động của ánh xạ co

Định nghĩa 1.13 Ánh xạT từ không gian metric (X, d)vào không gian metric

(Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y);

với mọi x, y thuộc X, (k là hệ số co)

Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ coBanach (1922) Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ

Định lý ánh xạ co Banach (xem [2], Chương 1) Cho (X, d) là không gianmetric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co với hằng số Lipschitz k ∈ (0, 1) Khi đó,tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có Tnx0→ x∗

Do đó{xn} là một dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ và xn → x∗ ∈ X.Với mỗi n ta có

Vậy điểm bất động là duy nhất

Định lý 1.1 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.3) Cho (X, d) là không gian metricđầy đủ và

B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}

trong đó x0 ∈ X và r > 0 Giả sử rằng T : B(x0, r) → X là ánh xạ co (nghĩa là,

d(T (x), T (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ B(x0, r), với 0 ≤ L < 1 ) và

d(T (x 0 ), x 0 ) < (1 − L)r

Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong B(x0, r)

Chứng minh Giả sử tồn tại r0 thỏa mãn 0 ≤ r0 < r, khi đó d(T (x0), x0) < (1 − L)r0 Ta sẽ chỉ ra T : B(x0, r0) → B(x0, r0) Để hiều điều này, ta chú ý rằngnếu x ∈ B(x0, r0) thì

tồn tại δ(ε) > 0 sao cho nếu d(x, T (x)) < δ(ε), thì T (B(x, ε)) ⊆ B(x, ε), trong đó

B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε};

Nếu với mỗi u ∈ X, ta có

lim

n→∞ Tn(u) , Tn+1(u)
= 0

thì dãy {T n (u)} hội tụ tới một điểm bất động của T

Chứng minh Với mỗi u ∈ X, ta lấy un = Tn(u) Ta chứng minh {un} là dãyCauchy

Với ε > 0 cho trước, chọn δ(ε) > 0 như trên Ta chọn N đủ lớn sao cho

d(un, un+1) < δ(ε), ∀n ≥ N Từ đó d(uN, T (uN)) < δ(ε) và T (B(uN, ε)) ⊆ B(uN, ε)

Vì T (uN) = uN +1 ∈ B(uN, ε), Tk(uN) = uN +k ∈ B(uN, ε), ∀k ∈ {0, 1, 2, };

Do đó

d(uk, ul) ≤ d(uk, uN) + d(uN, ul) < 2ε, ∀k, l ≥ N.

Do vậy un là dãy Cauchy Hơn nữa, tồn tại y ∈ X sao cho lim

Do đó T (y) ∈ B(un, γ/3) Điều này mâu thuẫn

d(T (y), un) ≥ d(T (y), y) − d(un, y) > γ − γ/3 = 2γ/3.

Vì vậy d(y, T (y)) = 0

Định lý 1.3 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.6).Cho (X, d) là không gian metricđầy đủ và

Chứng minh Giả sử t ≤ φ(t), t > 0 Khi đó φ(t) ≤ φ(φ(t)) và do đó t ≤ φ2(t).Theo quy nạp, ta có t ≤ φn(t), ∀n ∈ {1, 2, }.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó φ(t) < t, ∀t > 0

Ví dụ 1.1 Cho X = [a, b] và T : X → X là khả vi và thỏa mãn |T0(x)| ≤ k < 1

với mọi x ∈ (a, b) Khi đó nếux, y thuộc X, tồn tại ξ nằm giữa x và y sao cho

n, tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi t ∈ [−n, n] ta đều có

|T (t, u1) − T (t, u2)| ≤ Lku1− u2k.

Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình vi phân với điều kiện ban đầu có một và chỉ mộtnghiệm x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng thực.

Thật vậy, vì hàm T liên tục nên phương trình vi phân với điều kiện ban đầutương đương với phương trình vi phân

dn(x, z) = max|t|≤ne−λL|t−t0 | |x(t) − y(t) + y(t) − z(t)|

≤ max|t|≤ne−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)| + max|t|≤ne−λL|t−t0 | |y(t) − z(t)|

= dn(x, y) + dn(y, z)

Do đó dn là một không gian metric trong Cn

Mặt khác, ta có d(x, y) = max|t|≤n|x(t) − y(t)| với x, y ∈ Cn thì

e−λLAd(x, y) ≤ dn(x, y) ≤ d (x, y) ;

với A = max {n − t0, n + t0}

Tức là các không gian metric d và dn là tương đương đều với nhau, mà (Cn, d)

cũng là một không gian metric đầy đủ Vậy (Cn, dn) là một không gian metric

Vì vậy hàm x(t) = xn(t) khi |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R, và là nghiệm

duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực

Nhận xét 1.1 Như vậy, ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz vàhiển nhiên là liên tục.

Có nhiều tác giả đã chứng minh được rằng định lý ánh xạ co vẫn còn đúngnếu ta thay hằng sốk < 1 bằng một hàm số với biến làd(x, y), nhận giá trị trong

[0, 1) và thỏa mãn một điều kiện nào đó Kết quả mạnh nhất theo hướng nàythuộc về Meir và Keeler mà chúng tôi giới thiệu sau đây, nhưng trước hết chúng

ta nghiên cứu định nghĩa sau

Định nghĩa 1.14 Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được gọi là (ε, δ)

- co nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho: nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì

Định lý 1.4 (Meir - Keeler, 1969) (xem [2], Chương 1) Cho(X, d)là một khônggian metric đầy đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)-co trong X Khi đó, T có điểm bấtđộng duy nhất x∗ và với mọi x0 ∈ X, ta có Tnx0 → x∗ khi n → ∞

Chứng minh Lấy x 0 ∈ X tùy ý, đặt x n+1 = T x n và c n = d(x n , x n+1 ) , n =0,1,2, Có thể giả thiếtc n > 0 Vì T là ánh xạ co yếu nên c n là dãy không âm vàgiảm, do dó c n → ε ≤ 0 Nếu ε > 0thì tồn tạiδ > 0sao cho nếuε ≤ d(x, y) < ε + δ

thì d(T x, T y) < ε Chọn k ∈ N sao cho nếu n ≤ k thì cn < ε + δ Do đó ta có

cn+1 < ε là điều vô lý Vậy ε = 0, tức là cn → 0

Ta sẽ chứng minh xn là dãy Cauchy bằng phản chứng Giả sử có ε > 0 sao chovới mọi k ∈N, tồn tại n, m ≤ k mà d(xn, xm) ≤ 2ε Chọn k sao cho nếu i ≥ k thì

ci < α

4 với α = min {δ, ε} Chọn m > n ≥ k để cho d(xn, xm) ≥ 2ε và xét các số

d(xn, xn+1), d(xn, xn+2), , d(xn, xm) Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là

Điều này mâu thuẫn vớid(xn.xj) ≥ ε+α

2 Vậy{xn}là dãy Cauchy vàxn → x∗ ∈ X

Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có

d(x∗, T x∗) ≤ d(x∗, x n+1 ) + d(x n+1 , T x∗)

= d(x∗, xn+1) + d(T xn, T x∗)

≤ d(x∗, x n+1 ) + d(x n , x∗).

Cho n → ∞ ta được d(x∗, T x∗) = 0, tức là x∗ = T x∗

Vì T là ánh xạ co yếu nên x∗ là điểm bất động duy nhất

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.15 Ánh xạT từ không gian metric (X, d)vào không gian metric

(z, ρ) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có

ρ(T x, T y) ≤ d(x, y).

Nhận xét 1.2 Như vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn Điểm bất động củaánh xạ không giãn có thể không duy nhất Ánh xạ không giãn không nhất thiếtphải có điểm bất động

Ví dụ 1.3 Ký hiệuB là hình cầu đơn vị đóng trongC0 (không gian của các dãyhội tụ đến 0 với chuẩn sup ) Với mỗix = (x1, x2, ) ∈ Bta đặtT x = (1, x1, x2, ).Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B Tuy nhiên T không có điểm bất động.Thật vậy, nếu có x∗= T x∗ thì ta có

(x∗1, x∗2, x∗3, ) = (1, x∗1, x∗2, ).

Nhưng khi đó ta có x∗i = 1 với mọi i, nên x∗ không thuộc Co.

Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất ( Chẳng hạn xétánh xạ đồng nhất)

Định lý 1.5 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.3) Cho H là không gian Hilbert,với u, v ∈ H, cho r, R là các hằng số với 0 ≤ r ≤ R Nếu tồn tại x ∈ H với

Định lý 1.6 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.4) Cho H là không gian Hilbert,

C ⊆ H là tập bị chặn và T : C → C là ánh xạ không giãn Giả sử x ∈ C, y ∈ C

và a = x + y

2 ∈ C Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và cho ε ≤ δ(C) sao cho

||x − T (x)|| ≤ ε và ||y − T (y)|| ≤ ε Khi đó

là ánh xạ không giãn Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 0 ∈ C, T (0) 6= 0, vớimỗi n = 2, 3, ta đặt

Khi đó r : H → Br là ánh xạ không giãn.

Chứng minh Ta có, với ∀u, v 6= 0, thì

(a, r(x) − r(y)) = −(x − r(x), r(y) − r(x)) − (y − r(y), r(x) − r(y)) ≥ 0

nên ||x − y|| 2 ≥ ||r(x) − r(y)|| 2

Định lý 1.8 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.5) Cho H là không gian Hilbertthực và Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0 Mỗi ánh xạ không giãn T : Br → H có

ít nhất một trong hai tính chất sau đây

Định lý 1.9 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.6) Cho H là không gian Hilbertthực, Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0 Ánh xạ không giãn T : Br → H Giả sử

∀x ∈ Br, một trong bốn điều kiện thỏa mãn

1 ||T (x)|| ≤ ||x||,

2 ||T (x)|| ≤ ||x − T (x)||,

3 ||T (x)|| 2 ≤ ||x|| 2 + ||x − T (x)||2,

4 hx, T (x)i ≤ ||x|| 2

Khi đó T có điểm bất động trên Br

Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý với điều kiện (2) Nếu T không

có điểm bất động, thì theo Định lý 1.8, tồn tại z ∈ B r và λ ∈ (0, 1), sao cho

Do đó 1 ≤ 1 − λ Điều này mâu thuẫn

1.4 Điểm bất động của ánh xạ giả co, giả co mạnh

Định nghĩa 1.16 Cho H là không gian Hilbert, ánh xạ T với miền xác định

D(T ) và miền giá trị R(T ) trong H được gọi là ánh xạ giả co nếu tồn tại mộthằng số k dương thỏa mãn

||x − y|| ≤ ||(1 + t)(x − y) − kt(T x − T y)||

với mọi x, y ∈ D(T ) và t > 0

Với k = 1 thì ánh xạ T trên là ánh xạ giả co mạnh

Chú ý 1.1 Ánh xạ không giãn (co) là ánh xạ giả co (giả co mạnh ) Nhưngngược lại không đúng

Chúng tôi đưa ra ví dụ sau chứng tỏ ánh xạ giả co không là ánh xạ khônggiãn

Ví dụ 1.4 Cho H =R2 là không gian Hilbert Nếux = (a, b) ∈ H, ta định nghĩa

x⊥= (b, −a) ∈ H Ta có

x, x⊥= 0, ||x⊥|| = ||x||.

Với ∀x, y ∈ C, đặt Γ(x, y) := ||x − y||2− hT x − T y, x − yi Vì vậy để chỉ ra T là ánh

xạ giả co, ta cần chứng minh Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C Ta xét các trường hợp sau:Trường hợp 1 Nếu x, y ∈ C1: Hiển nhiên Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C