Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần

Một hướng nghiên cứu chính của Lý thuyết điểm bất động là điểm bất động của lớp ánh xạ co, mở đầu bởi nguyên lý ánh xạ co Banach 1922: Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Hà Đức Vượng, thầy

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận

văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn

thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,

Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và

giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành

luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Xuân

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luận văn

chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Điểm bất động của ánh xạ co yếu

trong không gian metric từng phầndo tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Xuân

Mục lục

1.1 Không gian tôpô 8

1.2 Không gian metric 12

2 Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y (X, p) Không gian metric từng phần

Mở đầu

Lí do chọn đề tài

Xét ánh xạ f : M → M với M là một tập tùy ý, không rỗng Nếu cóđiểm xo ∈ M thỏa mãn f (xo) = xo thì xo được gọi là điểm bất động củaánh xạf trên tậpM

Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên "Lý thuyết

điểm bất động" (fixed point theory) gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán

học lớn như Banach, Brouwer, Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan,

Một hướng nghiên cứu chính của Lý thuyết điểm bất động là điểm bất

động của lớp ánh xạ co, mở đầu bởi nguyên lý ánh xạ co Banach (1922):

Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm bất động duy

nhất [1] Tức là cho(X, d)là không gian metric đầy đủ, ánh xạf : X → X

thỏa mãn: d(f x, f y) 6 kd(x, y), ∀x, y ∈ X Trong đó k là hằng số thỏamãn:0 6 k < 1 Khi đó f có điểm bất động duy nhất trên X

Sau đó nhiều nhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này và hằng số k

được mở rộng thành các hàm, với từng điều kiện cụ thể đã hình thành nên

các lớp ánh xạ co khác nhau Ta gọi chung là lớp ánh xạ co yếu

Kết quả mạnh nhất của lớp ánh xạ co yếu là định lý Meir – Keeler

(1964)

Năm 1994, Matthews đã đưa ra khái niệm metric từng phần (partial

metric) và không gian metric từng phần được định nghĩa như sau:

Năm 2013, H P Mashiha, F Sabetghadam là hai nhà toán học người

Iran cùng với N Shahzad người Saudi Arabia đã công bố các kết quả về

điểm bất động của các ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần

trong bài báo: "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an

Application" [3]

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của lớp ánh xạ co,

dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

"Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không metric từng phần"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động trong không gian metric từng phần, các

kết quả mở rộng về điểm bất động trong không gian metric từng phần

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric từng phần Các định lý điểm bất động

trong không gian metric từng phần

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các định lý điểm bất động trong không gian metric từng

phần dựa trên hai bài báo:

- "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application"

(2013) của H P Masiha, F Sabetghadam, N Shahzad [3]

- " Partial metric topology " (1994) của S G Matthews [4].

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, vận dụng một số phương pháp của giải tích hàm để

phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Qua đề tài này chúng tôi xây dựng luận văn là một bài tổng quan về các

điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần

Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về điểm bất động trong không gian

metric từng phần cho lớp ánh xạ co yếu

Luận văn gồm hai chương nội dung:

Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày

một số kiến thức cơ bản về không gian tôpô, không gian metric, không

gian metric đầy đủ cùng với ví dụ và phản ví dụ minh họa Cuối cùng,

chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach

Chương 2, Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric

từng phần Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niềm về metric

từng phần, không gian metric từng phần (partial metric space ), sự hội tụ

trong không gian metric từng phần Cuối cùng, chúng tôi trình bày về định

lý điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không

gian tôpô, cơ sở lân cận trong không gian tôpô, không gian metric, không

gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ minh họa Cuối cùng,

chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và ví dụ minh họa cho

một ứng dụng của định lý

1.1 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 [1] ChoX là một tập hợp khác rỗng, một họ τ các tậpcon của X đóng kín với phép giao hữu hạn, hợp tùy ý các tập hợp Tức là

Họ τ được gọi là một tôpô trên tập hợpX

Khi đó (X, τ ) là một không gian tôpô Mỗi phần tử x ∈ X được gọi làmột điểm, mỗi tập hợpG ∈ τ là một tập mở ( hay τ- mở)

Ví dụ 1.1.1 ChoX 6= ∅ là một tập hợp tùy ý.

Khi đó τ = {∅, X}là một tôpô trên X ( tôpô thô).

Thật vậy, hiển nhiên∅ ∈ τ, X ∈ τ và∅ ∪ X = X ∈ τ, ∅ ∩ X = X ∈ τ

Ví dụ 1.1.2 Họ τ gồm tất cả các tập hợp con của X là một tôpô trên X

Định nghĩa 1.1.2 [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X

A được gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở G ∈ τ sao cho x0 ∈ Gvà

Một tập con V(x) của U (x) các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của xnếu với mỗi U ∈ U (x)đều tồn tại V ∈ U (x)sao cho V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.3 [1] ChoX là một không gian vectơ trên trường K (thựchoặc phức) Một tôpô trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại sốcủa X nếu các phép toán cộng hai vectơ, nhân vô hướng với một vectơtrong X là liên tục

Chứng minh. Thật vậy R là không gian vectơ thực Họ các khoảng trên R

là một tôpô trên R Tôpô này được gọi là tôpô tự nhiên

Phép cộng các số thực, phép nhân các số thực là liên tục nên tôpô tự nhiên

tương thích với cấu trúc đại số trên R Do đó R là không gian vectơ tôpôthực (hay không gian tuyến tính tôpô thực)

Định nghĩa 1.1.4 [1] ChoX, Y là hai không gian tôpô Ánh xạT : X →

Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G mà

G ∩ T x0 đều tồn tại một lân cận U củax0 sao cho

Nhận xét 1.1.2 Ánh xạF : X → R, X là một không gian tôpô nào đó và

x0 ∈ X F gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu ∀ > 0, tồn tại lân cận U

của x0 sao cho ∀x ∈ U ta có F (x) > F (x0) − 

Như vậy, hàm sốF là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi tập mức dưới

{x ∈ X : F (x) ≤ α, α ∈ R}

Nhận xét 1.2.1 Cho(X, d) là một không gian metric Khi đó ta có:

Chứng minh. Ta kiểm trad lần lượt thỏa mãn định nghĩa 1.1.1.

nên (1.1) đúng

Trường hợp 2: x = y 6= z thì d(x, y) = 0 Ta có 0 < d(x, z) + d(z, y) nên(1.1) đúng

nên 2|x−y| + 2|z−y| > 2|x−y|.

Vậyd là một metric và cặp(X, d) là một không gian metric

Nhận xét 1.2.2 Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định các metric khác

nhau để được các không gian metric khác nhau Chẳng hạn trên cùng tập hợp Rk, ngoài metric Eukleides, ta có thể xác định các metric sau đây: Với hai phần tử bất kỳ x = (x1, x2, , xk) , y = (y1, y2, , yk) thuộc Rk,

Metric d sinh ra một tôpô τ (d) trên X mà có cơ sở lân cận gồm họ các hình cầu mở{Bd(x, ) : x ∈ X}.

Ta gọi τ (d)là tôpô sinh bởi metric d (hay ngắn gọn là tôpô metric ).

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho(X, d)là một không gian metric, dãy{xn}gồmcác phần tử trong X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X

Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian metric(X, d) Dãy {xn} ⊂ X được

gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu

lim

n,m→∞d (xn, xm) = 0

Tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xn, xm) < ε

Nhận xét 1.2.4 Cho(X, d)là một không gian metric Mọi dãy hội tụ trong

X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử (X, d) là một không gian metric, dãy {xn} ⊂ X là dãyhội tụ, tức là lim

n→∞xn = x0 Ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy

Vì lim

n→∞xn = x0 nên tồn tại số tự nhiênn0 sao cho

d(xn, x0) < ε

2, ∀n ≥ n0.d(xm, x0) < ε

Vậy{xn} là dãy Cauchy

Định nghĩa 1.2.4 [1] Không gian metric(X, d)gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.2 Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên[a, b],

kí hiệu C[a,b], với metric

d(x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y(t)|

là không gian metric đầy đủ.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn(t)} là một dãy Cauchy tùy ý trongkhông gian C[a,b]

Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0

d(xn, xm) = max

a≤t≤b|xn(t) − xm(t)| < ε (1.2)Với mỗitcố định, dãy {xn(t)}là dãy số thực Cauchy, nên nó hội tụ tức làphải tồn tại giới hạn lim

n→∞xn(t).Giả sử

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b]

Vậy hàm số x(t)xác định trên [a, b]

Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi

m → ∞, ta được:

|xn(t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (1.3)

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy {xn(t)}hội tụ đều đến hàm số x(t)

trên[a, b] nên x(t) ∈ C[a,b]

Do đó dãy Cauchy{xn(t)}hội tụ đến x(t)trong không gian C[a,b]

Vậy không gianC[a,b] là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.2.3 Cho C[0,1]L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1] Khi đóC[0,1]L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định như sau

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ánh xạdđược xác định bởi (1.4) làmột metric.

Vậyd là một metric trên C[0,1]L Do đóC[0,1]L là một không gian metric.

Ta chứng minhC[0,1]L là không gian metric không đầy đủ Tức là tồn tại dãyCauchy không hội tụ trong C[0,1]L

Thật vậy, với n ≥ 3xét dãy hàm {xn} ⊂ C[0,1]L như sau

Nếum ≥ n thì

d (xm, xn) =

1 2

Z

1 2

|m − n|

t − 12

dt +

1

2 + 1 n

Z

1

2 + 1 m

... niệm không gian metric phần, không gian metric

phần đầy đủ Cuối chúng tơi trình bày định lý điểm bất động

trong không gian metric phần ví dụ minh họa cho định lý

2.1 Không. .. class="page_container" data-page="29">

Chương 2

Điểm bất động ánh xạ co yếu trong< /b>

không gian metric phần< /b>

Khái niệm không gian metric. .. không gian metric phần nhà toán học Matthews

giới thiệu năm 1994 Sau đó, điểm bất động ánh xạ khơng

gian metric phần nhiều người quan tâm, nghiên cứu

kết công bố Trong chương