Điểm bất động của ánh xạ co t kannan trong không gian metric nón

Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón.. Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón.. Các tác giả đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Hà Đức Vượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giảhoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Phạm Văn Lâm

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất độngcủa ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” do tôi tự làm.Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Phạm Văn Lâm

Bảng kí hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian Banach 17

1.3 Điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng 22

Chương 2 Không gian metric nón 30

2.1 Định nghĩa và ví dụ 30

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 33

Chương 3 Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón 40

3.1 Định nghĩa và ví dụ 40

3.2 Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón 42

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Cho một tập hợp M tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M → M.Nếu tồn tại x0 ∈ M mà T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất độngcủa ánh xạ T trên tập hợp M Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vựcnày đã hình thành nên lí thuyết điểm bất động (fixed point theory)

Lý thuyết điểm bất động phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhàtoán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov,Sadovski, Ky Fan,

Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu kháiniệm metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metricbởi một nón định hướng trong không gian Banach thực Các tác giả

đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và tính đầy đủ của không gian.Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớpánh xạ co trong không gian này

Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bấtđộng trong không gian metric nón đã lần lượt được công bố

Năm 2010 Jose R.Morales và Edixon Rojas đã công bố kết quả vềđiểm bất động cho lớp ánh xạ co T-Kannan trong không gian nàyqua bài báo “cone metric spaces and fixed point theorems

of T-Kannan contractive mappings”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ coT-Kannan trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ, hướng dẫntận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

"Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong khônggian metric nón".

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong khônggian metric nón

3 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannantrong không metric nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về “không gian metric nón và điểm bất động của ánh

xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” nội dung chính dựavào hai bài báo:

1 H Long-Guang and Z Xian (2007), cone metric spaces andfixed piont theorems of contractive mappings

2 R Morales and Edixon Rojas (2010), Cone metric spaces andfixed point Theorems of T-Kannan contractive mappings

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

xạ Kannan trong không gian metric suy rộng.

Trong chương 2 chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nónchuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong khônggian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metricnón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón.Trong chương 3 chúng tôi trình bày các kết quả về điểm bất độngcủa ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ coBanach, không gian Banach và cuối cùng là định lý điểm bất độngcủa ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X 6= ∅

cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) > 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, (tiên đề đồngnhất);

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng );

3 d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác).Ánh xạ d gọi là metric trên X

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Các phần tử của X gọi là các điểm

Không gian metric được kí hiệu là (X, d).

Ví dụ 1.1.1 Cho C[a,b] là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn

[a, b], ta đặt

d(x(t), y(t)) = max

a 6t6b|x(t) − y(t)|, ∀x(t), y(t) ∈ C[a,b].

Khi đó (C[a,b], d) là không gian metric

Chứng minh

∀x(t), y(t) ∈ C[a,b] thì x(t) − y(t) là hàm liên tục ∀t ∈ [a, b], khi

đó tồn tại max

a 6t6b|x(t) − y(t)| hay d(x(t), y(t)) xác định trên C[a,b]

Ta kiểm tra các điều kiện về metric

Do đó d(x(t), y(t)) = d(y(t), x(t)), ∀x(t), y(t) ∈ C[a,b].

{xn} ⊂ X, điểm x0 ∈ X. Dãy điểm {xn} được gọi là hội tụđến điểm x0 trong không gian X, nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, với

∀n > n0 thì d(xn, x0) < ε

Kí hiệu lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} trong không gian X

Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ của một dãy hàm trong không gian C[a,b]

tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn

Suy ra

|xn(t) − x (t)| < ε, ∀n > n0, ∀t ∈ [a, b] (1.1)Các bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ dãy hàm số liên tục {xn(t)} hội

tụ đều tới hàm số x (t) trên đoạn [a, b]

Ngược lại, giả sử dãy hàm số {xn(t)} ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm số

x (t) trên đoạn [a, b]

Khi đó x (t) liên tục trên đoạn [a, b], nghĩa là x (t) ∈ C[a,b] Theođịnh nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì

Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy điểm

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) trong X, nếu

|x(t) − y(t)|dt.

|xn(t) − xm(t)|dt +

|xn(t) − xm(t)|dt +

|xn(t) − xm(t)|dt 6

Z 14+1n

1 4

dt = 1

n .

Ví dụ 1.1.4 Cho không gian Rk với metric xác định bởi:

d(x(n), x(m)) =

vuut

Giả sử x(n) = x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k , (n=1, 2, ) là dãy Cauchy tùy

ý trong không gian Euclide Rk Theo định nghĩa dãy Cauchy với

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m > n0, thì

d(x(n), x(m)) < ε,

vuut

là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn

lim

n→∞x(n)j = xj, (j = 1, 2, , k)

Đặt x = (x1, x2, , xk), ta nhận được dãy x(n) ⊂ Rk đã cho hội

tụ theo tọa độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide Rktương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nên dãy Cauchy x(n) đãcho hội tụ tới x trong không gian Rk

Vậy không gian Euclide Rk là không gian metric đầy đủ



Ví dụ 1.1.5 Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x (t) liên tụctrên R sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụthuộc từng hàm số x (t)) Với hai hàm số bất kỳ x (t) , y (t) ∈ X

Ta thấy {xn} là dãy các hàm liên tục và bằng 0 ngoài đoạn [−n, n].Với mọi n, p ∈ N, ta có

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong X

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằngphản chứng

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X

hay tồn tại x ∈ X sao cho lim

n→∞d (xn, x) = 0

Suy ra x (t) = x (t) /e ∈ X, mâu thuẫn với giả thiết x (t) ∈ X.

Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian

(X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d)

Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho hai không gian metric (X, d1) và

(Y, d2) Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại

Chứng minh.

Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ, T : X → X là ánh

xạ co Ta lấy điểm x0 bất kỳ, x0 ∈ X và lập dãy lặp

nghĩa là dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ

Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T

Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ

Ví dụ 1.1.6 Chứng minh phương trình x + b sin x − π = 0 (b làhằng số, b ∈ (0, 1)) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Ta viết lại phương trình dưới dạng

x = π − b sin x.

Đặt T x = π − b sin x, ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy

đủ R vào chính nó Ta chứng minh sin t < t, ∀t > 0



1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường

K (thực hoặc phức) Một ánh xạ k · k : X → R được gọi là một

chuẩn nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

1 6i6n|xi| hoàn toàn xác định

Ta kiểm tra các điều kiện của Định nghĩa 1.2.1

1 Hiển nhiên

kxk = max

Suy ra k · k là một chuẩn trên Rn.

Vậy (Rn, k · k) là không gian định chuẩn



Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm

{xn} ⊂ X gọi là hội tụ tới x ∈ X, nếu

lim

n→∞kxn − xk = 0.

Kí hiệu lim

n→∞xn = x, hay xn → x khi n → ∞.

Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản), nếu

Ví dụ 1.2.2 Cho không gian véctơ l2 Đối với véctơ bất kỳ x = (xn) ∈ l2 ta đặt

kxk =

vuut

Do đó l2 là không gian định chuẩn.

Bây giờ ta chứng minh l2 là không gian định chuẩn đầy đủ

∞

X

k=1

x(n)k − x(m)k

2

< ε.

là dãy Cauchy nên nó tồn tại giới hạn, giả sử

p

X

k=1

∞

X

k=1

... 2

Khơng gian metric nón< /h2>

Trong chương chúng t? ?i trình bày khái niệm nón, nónchuẩn t? ??c xây dựng quan hệ thứ t? ?? xác định nón khơnggian Banach thực Sau chúng t? ?i trình bày khái niệm metricnón,... không gian metric

Do (X, d) khơng gian metric

Ta chứng minh T< /h3> có điểm b? ?t động