Mở rộng định lý forell cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein.. Cụthể ông đã chứng minh định lý sau: Giả sử f : Bn → C là hàm sao cho f chỉnh hình ở trên gia

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THẮM

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ FORELLI CHO

ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Lê Tài Thu

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quátrình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thắm

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Lê Tài Thu, luận văn Thạc

sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Mở rộng định lý Forellicho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức” được hoàn thànhbởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thắm

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình 5

1.1 Hàm chỉnh hình 5

1.2 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình 12

Chương 2 Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức 20

2.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực 20

2.1.1 Hàm đa điều hòa dưới 20

2.1.2 Tập đa cực 24

2.2 Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein 24

2.3 Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức 33 Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàmxác định trên một miền trong Cn, chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thìchỉnh hình trên cả miền đó Về trực giác hình học, điều này có nghĩa lànếu một hàm chỉnh hình trên giao của miền với từng đường thẳng songsong với trục tọa độ thì sẽ chỉnh hình trên cả miền đó Một vấn đề rất

tự nhiên được đặt ra là nếu chúng ta thay họ đường thẳng song songvới trục tọa độ bởi họ đường thẳng kiểu khác thì định lý Hartogs có cònđúng không? Nói cách khác có hay không những định lý Hartogs đối vớinhững họ đường thẳng không nhất thiết song song với trục tọa độ?Xuất phát từ những ý tưởng trên vào cuối những năm bảy mươi của thế

kỷ hai mươi F Forelli đã chứng minh một định lý đẹp đẽ nói rằng định

lý Hartogs vẫn còn đúng đối với họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ Cụthể ông đã chứng minh định lý sau: Giả sử f : Bn → C là hàm sao cho

f chỉnh hình ở trên giao của Bn với mỗi đường thẳng phức ` đi qua gốctọa độ, và f là hàm lớp C∞ trong một lân cận của điểm gốc Thế thì fchỉnh hình trong Bn Lưu ý một điều rằng điều kiện f là nhẵn trong mộtlân cận của điểm gốc là không thể bỏ được

Một vấn đề được đặt ra là xem xét định lý Forelli nói trên cho lớp ánh

xạ chỉnh hình vào không gian phức Thật vậy vấn đề này là hoàn toàn

1

rất tự nhiên bởi lẽ đã có nhiều kết quả của các nhà toán học trên thế giới

đề cập đến việc mở rộng định lý Hartogs cổ điển cho lớp ánh xạ chỉnhhình vào không gian phức Năm 2003 Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai

đã chứng tỏ định lý Forelli vẫn còn đúng đối với lớp ánh xạ chỉnh hìnhvào không gian phức kiểu Stein

Với những lý do trên và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý Forelliđược sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Mở rộngđịnh lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức”

để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyênngành Toán giải tích

Nội dung chính của luận văn là mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạchỉnh hình vào không gian phức tùy ý

Đề tài đã chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f làchỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu Trong đề tài này, chúngtôi đưa vào lớp không gian phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằngnhững không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli Đồng thờikhẳng định ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨ahler lồichỉnh hình Một phản ví dụ được cho sau đó chỉ ra rằng điều kiện K¨ahler

là không thể bỏ được

Cuối cùng, chúng tôi muốn bình luận đôi điều về sự so sánh giữa haiđịnh lý Hartogs và định lý Forelli Chúng ta thấy, trong định lý Hartogsthì hàm đã cho chỉnh hình trên họ các đường thẳng song song với trụctọa độ Ta cũng có thể xem họ đường thẳng này cùng đi qua điểm vô

cùng Điều này cũng tương đồng với giả thiết về tính chỉnh hình củahàm trên họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong định lý Forelli Mặtkhác khó khăn cơ bản trong chứng minh định lý Hartogs là ta không cóđược tính liên tục của hàm đã cho Bù lại họ các đường thẳng song songvới trục tọa độ là rất nhiều Trong định lý Forelli thì ngược lại, tính liêntục tại gốc tọa độ của hàm đã được giả thiết nhưng họ đường thẳng điqua gốc tọa độ thì không nhiều Trong định lý Forelli nhờ vào tính nhẵncủa hàm tại gốc nên cách chứng minh là không khó như trong định lýHartogs.

Đề tài này gồm hai chương:

Chương 1 dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kếtquả đã biết về hàm biến số phức và các kết quả có liên quan tới đề tài.Phần cuối của chương dành cho việc nhắc lại một số kết quả đã biết vềđịnh lý cổ điển của Hartogs

Chương 2 dành cho việc mở rộng định lý Forelli từ lớp hàm chỉnh hìnhlên lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

2 Mục đích nghiên cứu

Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phứctùy ý

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển;

- Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình;

- Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phứctùy ý

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forellicho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý Phạm vi nghiên cứucủa luận án là lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

5 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linhhoạt các kết quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến

6 Đóng góp mới của luận văn

Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển Mở rộng định lýForelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý Luận vănchỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f là chỉnh hìnhngoài một tập đa cực trên mặt cầu Chúng tôi đưa vào lớp không gianphức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểuHartogs đều có tính chất Forelli

Chương 1 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh

hình

Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụcho chương sau Nội dung của chương trình bày một số kiến thức về hàmchỉnh hình, tiếp sau trình bày về định lý Hartogs cổ điển, hàm đa điềuhòa dưới và tập đa cực trong mặt phẳng phức

D(a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r}

5

Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp

¯D(a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r}

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm R2n-khả vi

Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω Hàm

f : Ω −→ C gọi là R2n-khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại viphân

Sau đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm Cn-khả vi

Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω Hàm

f : Ω −→ C gọi là Cn-khả vi tại điểm a nếu f là hàm R2n-khả vi tại a

và tại điểm này

∂f

∂ ¯zν = 0, ν = 1, , n, (1.2)

vi trong Ω.

Ta cũng nhớ lại khái niệm hàm chỉnh hình qua định nghĩa dưới đây.Định nghĩa 1.3 Hàm Cn-khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó củađiểm z0 ∈ Cn, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 Hàm chỉnh hìnhtại mỗi điểm của tập mở Ω nào đó được gọi là chỉnh hình trên Ω

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnhhình nhiều biến

Kí hiệu:

Hàm f liên tục trong miền D ⊂ Cn theo tập hợp các biến và tại mỗiđiểm z0 ∈ D hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ (*)Chú ý rằng, sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính chấtliên tục của hàm f được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến

Mệnh đề 1.1 Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (*) trong U = {z ∈ Cn :

|zν − aν| ≤ rν}, thì tại mỗi điểm z ∈ U hàm f được biểu diễn dưới dạngtích phân bội Cauchy

Chứng minh Với bất kì z ∈ U gọi 0z và0U tương ứng là hình chiếu trongkhông gian Cn−1 của z và U, ta có 0z ∈ 0U

Hàm f (z) = f (0z, zn) chỉnh hình theo biến zn trong hình tròn {|zn−

an| ≤ r} Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến tathu được

f (z) = 1

2πiZ

γ n

f (0z, ζn)(ζn− zn)dζn.Với ζn ∈ γn và 0z ∈ 0U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễnbởi tích phân Cauchy theo biến zn−1 Hơn nữa, do f liên tục theo tậphợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích

γn−1 × γn Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z1 ta thu đượccông thức (1.3)

Mệnh đề 1.2 Nếu hàm f liên tục trong đa tròn đóng U ⊂ Cn theo tậpcác biến và tại mỗi z0 ∈ U , chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tại mỗi điểm

z ∈ U hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa

Z

Γ

f (ζ)(ζ − a)k+1dζ,trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên

γν = {|ζν− aν| = rν}, k = (k1, , kn), kν ≥ 0, ν = 1, , n và (z − a)k =(z1 − a1)k1 (zn− an)kn

Chứng minh Từ công thức tích phân Cauchy (1.3), ta có thể viết dưới

dạng đơn giản hơn

∂|k|f

∂zk

z=a

trong đó k! = k1! kn!

Mệnh đề 1.4 (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trong

đa tròn đóng U = {|zν − aν| ≤ rν} và |f | ≤ M trên khung Γ của nó,thì các hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn các bấtđẳng thức

|ck| ≤ M

rk,trong đó rk = rk1

1 rkn

n Định lý 1.1 Hàm f bất kì chỉnh hình trong tích các vòng tròn Q ={z ∈ Cn : rν|zν − aν| < Rν} có thể biểu dễn trong Q dưới dạng chuỗiLaurent

Z

Γ

f (ζ)dζ(ζ − a)k+1

trong đó Γ là tích các vòng tròn γν = {ζν = aν + ρνeit} ν = 1, , n;

rνρν < Rν, 0 ≤ t ≤ 2π

Chứng minh Giả sử z0 là điểm tùy ý của D, khi đó đa tròn ¯U = {|zν −

aν| ≤ |z0

ν− aν|} ⊂ D Áp dụng Mệnh đề 1.3, hàm f biểu diễn được trong

U bởi khai triển Taylor tâm a Các hệ số của chuỗi này tính được quacác đạo hàm của f tại điểm a, tức là trùng với các ck Tức là ta nhậnđược khai triển

Định lý 1.2 (Tính duy nhất) Nếu f chỉnh hình trên tập mở liên thông

Ω ⊂ Cn, và f triệt tiêu cùng với mọi đạo hàm riêng tại điểm z0 nào đócủa miền Ω, thì f (z) = 0 với mọi điểm z ∈ Ω

Chứng minh Giả sử z0 ∈ Ω là điểm tùy ý Khi đó, mọi hệ số khai triểnTaylor của f tại z0 bằng 0 Do đó, f ≡ 0 trong lân cận nào đó của điểm

o

E ≡ 0

Định lý 1.3 (Liouville) Nếu f chỉnh hình trong Cn và |f | là hàm bịchặn thì f là hàm hằng trên Cn

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1, định lý

đã được chứng minh cho hàm một biến Giả sử định lý đúng cho hàm(n − 1) biến Ta chọn các điểm tùy ý a, b ∈ Cn, do theo giả thiết quy nạpnên hàm f (0z, an) là hàm hằng Do đó, f (a) = f (0b, an) Mặt khác, hàm

f (0b, an) cũng là hằng số, như vậy f (0b, an) = f (b) Do đó f (a) = f (b),nghĩa là định lý đúng cho hàm n biến

Định lý 1.4 (Nguyên lý môdun cực đại) Nếu f chỉnh hình trên tập mởliên thông Ω ⊂ Cn, và |f | đạt cực đại tại điểm a ∈ D nào đó, thì f làhàm hằng trong Ω

Chứng minh Xét đường thẳng giải tích tùy ý

`(ζ) = a + ωζ

đi qua a Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm

ϕω(ζ) = f ◦ `(ζ),

hàm này chỉnh hình trong hình tròn {|ζ| < ρ} nào đó, còn |ϕω| chỉ đạtcực đại khi ζ = 0 Theo nguyên lý môdun cực đại đối với hàm một biếnphụ thuộc vào hằng số ω,

ϕω(ζ) = c(ω)

Mặt khác, ϕω(0) = f (a) không phụ thuộc vào ω, nên c(ω) =const tronglân cận của điểm a Áp dụng Định lý 1.2 ta có f =const trong D

Định nghĩa 1.4 (Tách chỉnh hình) Giả sử Ω là một tập mở trong

Cn, n ≥ 2 Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theomỗi biến khi ta cố định các biến còn lại

λ : z → r · z − z0

r2 − ¯z0z.

Với λ−1 là ánh xạ ngược U → Ur và xét hàm

ϕ = 1

Mϕ ◦ λ

−1.Hàm này thỏa mãn các điều kiện của bổ đề Schwarts thông thường, dođó

Bổ đề 1.2 Giả sử hàm f chỉnh hình theo mỗi biến zv trong đa tròn

U = U (a, r) và giới nội trong U thì nó liên tục tại mỗi điểm của U theotập hợp biến

Chứng minh Giả sử z0, z ∈ U là các điểm tùy ý Ta viết tách số gia của

f như tổng của các số gia theo các tọa độ riêng biệt

khi z → z0 Do đó f liên tục tại z0 và do z0 tùy ý trong U nên ta cókhẳng định của bổ đề.

Bổ đề 1.3 Biểu diễn đa tròn U = {z ∈ Cn : |zv| < R} như tích của

0U = {0z ∈ Cn−1 : |zv| < R} với hình tròn Un = {zn ∈ C : |zn| < R} Nếuhàm f (0z, zn) liên tục theo 0z trong 0U đối với zn ∈ Un tùy ý và liên tụctheo zn trong Un đối với 0z ∈ 0U tùy ý thì tồn tại đa tròn W = 0W × Un

trong U, trong đó f giới nội

Chứng minh Với 0z ∈ 0U cố định, ta kí hiệu

Ta thấy rằng, tồn tại Em chứa miền 0G ⊂ 0U nào đó Thật vậy, giả

sử trái lại, mọi Em là không đâu trù mật, nhưng khi đó trong 0U tồn tạihình cầu ¯B0 ⊂ ¯Cn−1 không chứa các điểm của E1, trong B1 tồn tại hìnhcầu ¯B2 không chứa các điểm của E2, , cứ tiếp tục lập luận như trên

ta xây dựng được dãy các hình cầu ¯Bk ⊂ Cn−1 và chúng có điểm chung

là 0z0 ∈ 0U và điểm này không thuộc vào bất kì một Em nào

Như vậy, tồn tại miền 0G trong đó |f (0z, zn)| ≤ M đối với zn ∈ Un tùy

ý Bây giờ ta chọn trong 0G đa tròn 0W = {0z : |zν − z0

ν| < r}, và khi đótrong W =0 W × Un ta có |f | ≤ M

Bây giờ ta sử dụng các kí hiệu 0V = U (0a, R),0W = U (0a, r), r < R,

Un = {|zn| < R}, V = 0V × Un, W =0W × Un

Bổ đề 1.4 Giả sử hàm f (0z, zn) chỉnh hình theo 0z trong 0V với zn ∈ Untùy ý và chỉnh hình theo z trong W thì nó chỉnh hình trong toàn đa tròn

V

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta coi 0a =0 0 Đối với zn ∈ Un

cố định tùy ý và 0z ∈ 0V tùy ý, do hàm f chỉnh hình theo biến 0z nên fbiểu diễn được bởi chuỗi lũy thừa hội tụ

ck(zn) = 1

k!

∂|k|f (00, zn)(∂0z)k

chỉnh hình trong hình tròn Un, vì ck là đạo hàm của hàm chỉnh hìnhtheo zn với điểm (00, zn) ∈ W Do đó, các hàm

1

|k|ln |ck(zn)|

điều hòa dưới trong Un

Chọn số ρ < R tùy ý, với zn ∈ Un tùy ý ta có

|ck(zn)|ρ|k| → 0

khi |k| → ∞, nên với zn ∈ Un tùy ý, ta tìm được |k| bắt đầu từ nó ta có

1

|k|ln |ck(zn)| + ln ρ ≤ 0,tức là

|ck(zn)|σ|k| ≤ 1

Như vậy, chuỗi (1.11) hội tụ đều trong đa tròn tùy ý U (0, σ0), σ0 < σ,nhưng các số hạng của chuỗi này liên tục theo z nên cả tổng f của nócũng liên tục, và do đó f bị chặn trong U (0, σ0) Đa tròn này có thể gần

V tùy ý nên f bị chặn, tức là f chỉnh hình trong V

Định lý 1.5 (Hartogs) Giả sử hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền

D ⊂ Cntheo mỗi biến zv thì nó chỉnh hình trong D

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của f tại điểm

z0 ∈ D tùy ý, đồng thời không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

z0 = 0 Như vậy, giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U (0, R)đòi hỏi chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn nào đó tâm 0

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số

Trường hợp một biến là hiển nhiên

Giả thiết định lý đúng với các hàm (n − 1) biến, và kí hiệu 0U =

U (00, R

3) Từ giả thiết suy ra rằng, hàm f (

0z, zn) liên tục theo 0z trong

0U đối với zn ∈ Un = {|zn| ≤ R} tùy ý và theo zn trong Un đối với

0z ∈ 0U tùy ý Theo Bổ đề 1.3, f bị chặn, tức là f chỉnh hình trong đatròn nào đó ¯W = ¯0W × Un trong đó 0W (0a, r) ⊂ 0U

Bây giờ ta xét đa tròn V = 0V × Un, trong đó 0V = U (0a,2

3R) Rõràng V ⊂ U (0, R), do đó f chỉnh hình theo 0z trong 0V đối với zn ∈ Untùy ý, mà theo điều vừa chứng minh, nó chỉ chỉnh hình theo z trong W

Từ đó f chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm z = 0 Như vậy,khẳng định đã được chứng minh với hàm n biến

Định lý 1.6 (Hartogs, [2, Định lý 2.10.1 p 75]) Giả sử Ω là một lâncận mở của đa giác đóng K trong Cn với n ≥ 2 Nếu f ∈ Hol(Ω \ K)thì tồn tại một hàm chỉnh hình ˜f trên Ω sao cho ˜f |Ω\K = f

Chứng minh Ta kí hiệu z = (z1, , zn) ∈ Cn khi z0 = (z1, , zn−1).Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng K = ¯P (0, 1) Chọn r > 1 saocho ¯P (0, r) ⊂ Ω Ta chỉ cần tìm hàm ˜f ∈ Hol(P (0, r)) mà mở rộng f Tachú ý rằng, nếu ta cố định z0 ∈ ¯P (00, r) thì hàm zn 7−→ f (z0, zn) chỉnhhình trong một lân cận của hình vành khăn ¯D(0n, r) \ ¯D(0, 1) Do đó,

các hệ số cj của chuỗi Laurent

cj(z0) = 1

2πiZ

|ζ|=r

f (z0, ζ)

Nếu 1 < |z0| < r, hàm zn 7−→ f (z0, zn) là chỉnh hình trong đĩa D(0n, r)

Từ đó cj(z0) = 0 với j < 0 Theo nguyên lý đồng nhất (Định lý 1.2) ta

|cj(z0)znj| ≤ M |zn|

r

j

,trong đó M = kf kP (0¯ 0 ,r)×∂D(0 n ,r) Do đó chuỗi hội tụ đều địa phương

Do đó, theo Định lý Weierstrass hàm ˜f là chỉnh hình Vì ˜f trùngvới hàm f trên một tập con mở không rỗng của P (0, r) \ ¯P (0, 1), theonguyên lý đồng nhất ta thu được ˜f là mở rộng của hàm f

Từ định lý Hartogs cổ điển, chúng ta thấy ngay các khái niệm hàmchỉnh hình theo nghĩa Riemann và Weierstrass là tương đương Trongđó

Định nghĩa 1.5 i) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ Cn theo nghĩaRiemann, nếu f chỉnh hình theo mỗi biến zν trong đa tròn U (a, r) nàođó;

ii) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ Cn theo nghĩa Weierstrass,nếu f có thể khai triển trong một đa tròn U (a, r) nào đó thành chuỗi lũythừa

Chương 2 Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh

hình vào không gian phức

Nội dung chính của chương này là trình bày mở rộng định lý Forelli cholớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý Chúng tôi đã chỉ rađược rằng, trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f chỉnh hình ngoàimột tập đa cực trên mặt cầu (Định lý 2.9) Chúng tôi cũng đưa vào lớpkhông gian có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phứckiểu Hartogs đều có tính chất Forelli (Định lý 2.12) Đồng thời khẳngđịnh ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨ahler lồi chỉnhhình (Định lý 2.13) Một phản ví dụ được đưa ra sau đó chỉ ra rằng điềukiện K¨ahler là không thể bỏ được (Mệnh đề 2.3)

2.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực

2.1.1 Hàm đa điều hòa dưới

Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 2.1 Giả sử Ω là tập mở trong C Hàm u : Ω −→ [−∞, +∞)gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu hàm u nửa liên tục trên trên Ω, u 6= −∞trên bất kì một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thứcdưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại ς > 0 sao cho

20

Chương Định lý Forelli ánh xạ chỉnh< /h3>

hình vào khơng gian phức< /h3>

Nội dung chương trình bày mở rộng định lý Forelli cholớp ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức tùy ý... tổng quát ánh xạ f chỉnh hình ngoàimột tập đa cực mặt cầu (Định lý 2.9) Chúng tơi đưa vào lớpkhơng gian có tính chất Forelli chứng tỏ không gian phứckiểu Hartogs có tính chất Forelli (Định lý 2.12)...

Do đó, theo Định lý Weierstrass hàm ˜f chỉnh hình Vì ˜f trùngvới hàm f tập mở không rỗng P (0, r) \ ¯P (0, 1), theonguyên lý đồng ta thu ˜f mở rộng hàm f

Từ định lý Hartogs cổ điển,