Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

28 2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón... Những Định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX trong đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý á

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giảhoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Ma Quốc Hương

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất độngcủa ánh xạ co trong không gian metric nón” do tôi tự làm Các kếtquả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Ma Quốc Hương

Bảng kí hiệu 1

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian metric đầy đủ 9

1.3 Không gian Banach 12

1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach 21

2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 25 2.1 Định nghĩa và ví dụ 25

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 28

2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 35

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán họcđược nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu Người ta đã tìmthấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toánhọc lý thuyết và toán học ứng dụng, vật lý, tin học và các ngànhkhoa học khác Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn liềnvới tên tuổi của các nhà Toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder,Kakutani, Tikhonov, Ky Fan,

Những Định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế

kỷ XX trong đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ coBanach” (1922): Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều

có điểm bất động duy nhất Sau đó rất nhiều nhà Toán học đã mởrộng kết quả này sang các lớp không gian khác

Năm 2007, các nhà toán học Trung Quốc: Huang Long - Guang

và Zhang Xian đã mở rộng kết quả này sang lớp không gian metricnón được đăng trong bài báo: “Cone metric space and fixed pointtheorems of contractive mappings” (xem [6]) Năm 2008 các nhà toánhọc Venezuela: José R Morales and Edixón Rojas đã giới thiệu mộtkết quả mới về điểm bất động của ánh xạ T- Co trong không gianmetric nón Đây là một lĩnh vực còn khá mới, đang thu hút sự quantâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Do đó trong các năm gầnđây đều có các bài báo công bố kết quả về điểm bất động trong lớp

không gian này [5], [9], [4].

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất độngcủa ánh xạ co trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướngdẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiêncứu:

“Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metricnón”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong khônggian metric nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong khônggian metric nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về “Điểm bất động của ánh xạ co trong khônggian metric nón”

5 Phương pháp nghiên cứu

• Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu

• Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiêncứu

6 Dự kiến đóng góp

Đây là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co trong khônggian metric nón Giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metricnón và điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

Luận văn được trình bày gồm hai chương nội dung và một danhmục tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric,không gian metric đầy đủ, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ coBanach

Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gianmetric nón, và sự hội tụ trong không gian metric nón Phần cuối làkết quả về điểm bất động của ánh xạ co cho lớp không gian này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach vàcuối cùng là nguyên lý ánh xạ co Banach

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X 6= ∅cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) > 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3 d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.

Ánh xạ d gọi là metric trên X

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Các phần tử của X gọi là các điểm

Không gian metric được kí hiệu là (X, d).

Ví dụ 1.1.1.

Cho C[a,b] là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt

d(x, y) = max

a6t6b|x(t) − y(t)|

với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b].

Khi đó (C[a,b], d) là một không gian metric

Ta kiểm tra các điều kiện về metric

1 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ta có

a 6t6b|x(t) − y(t)| = 0

Ta có

|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].

Vậy x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.

2 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b]:

d(x, y) = max

a 6t6b|x(t) − y(t)|

= max

a 6t6b|y(t) − x(t)|

= d(y, x).

Vậy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[a,b].

3 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ∀z = z(t) ∈ C[a,b],

Vậy d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C[a,b].

Vậy (C[a,b], d) là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂

X, điểm x0 ∈ X. Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến điểm x0 khi

n → ∞ nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, với ∀n > n0 thì d(xn, x0) < ε.Hay lim

n→∞d(xn, x0) = 0.

Ký hiệu lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0, n → ∞.

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} trong X.

Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric(X, d) Dãy{xn} ⊂

X được gọi là dãy Cauchy, nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m > n0thì

d(xn, xm) < εhay

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0.

Thật vậy:

Với mọi m > n ta có:

d(xn, xm) =

Z 1 0

|xn(t) − xm(t)|dt +

|xn(t) − xm(t)|dt +

|xn(t) − xm(t)|dt.

Vì

|xn(t) − xm(t)| 6 1, ∀n, m ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1].

Nên ta có

Z 12+n1

1 2

|xn(t) − xm(t)|dt 6

Z 12+1n

1 2

1dt = 1

n .Suy ra

0 6 d(xn, xm) 6 1

n .Cho n → ∞ ta được d(xn, xm) = 0.

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong (C[0,1], d).

1.2 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1 [1] Không gian metric(X, d) được gọi là khônggian metric đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b].

Mặt khác, vớiε > 0cho trước, tồn tại Nε sao cho∀n, m > Nε, ∀t ∈ [a, b] ta có

|xn(t) − xm(t)| < ε.

Cho m → ∞ ta được với ∀n, m > Nε, ∀t ∈ [a, b] :

|xn(t) − x(t)| < ε.

Tức là dãy {xn(t)} hội tụ đều tới x(t), ∀t ∈ [a, b].

Vậy x(t) là liên tục nên x(t) ∈ C[a,b]

Vậy C[a,b] là không gian metric đầy đủ



Ví dụ 1.2.2

Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x (t) liên tục trên không gianmetric R sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụthuộc từng hàm số x (t)) Với hai hàm số bất kỳ x (t) , y (t) ∈ X tađặt

d (x, y) = max

t∈R |x (t) − y (t)| Khi đó (X, d) là một không gian metric không đầy đủ

Thật vậy, ta xét dãy hàm {xn(t)} ⊂ X xác định như sau:

= max

|t|<n+p|xn+p(t) − xn(t)| Mặt khác

lim

n→∞d (xn+p, xn) = 0.

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong X

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằngphản chứng

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Dãy {xn} hội tụ đến x ∈ Xhay tồn tại x ∈ X sao cho lim

n→∞d (xn, x) = 0

0 6 | x (t) − x (t)|e 6 1

n2 + 1 + d (xn, x) (1.1)

Từ (1.1) cho n → ∞ ta được: | x (t) − x (t)| = 0, ∀t ∈e R, suy ra

x (t) = x (t) /e ∈ X, mâu thuẫn với giả thiết x (t) ∈ X

Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian(X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d) Do đó (X, d)

là không gian metric không đầy đủ

1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường

K (thực hoặc phức) Một ánh xạ k · k : X → R được gọi là mộtchuẩn nếu

1 kxk > 0, ∀x ∈ X.

kxk = 0 ⇔ x = θ.

2 kλxk = |λ| · kxk, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.

3 kx + yk 6 kxk + kyk, ∀x, y ∈ X.

Số kxk được gọi là chuẩn của vectơ x.

Định nghĩa 1.3.2 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường

K (thực hoặc phức) Không gian X cùng với chuẩn k · k xác địnhtrên X được gọi là không gian định chuẩn

Kí hiệu: Không gian định chuẩn (X, k · k)

Ví dụ 1.3.1

Cho không gian tuyến tính phức En = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈

C} và ánh xạ

k · k : En → R,xác định bởi: kxk = pPnk=1kxkk2.

Khi đó (En, k · k) là một không gian định chuẩn

Chứng minh

Ta kiểm tra các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1

1 Hiển nhiên

vuut

n

X

k=1

kxkk2 = 0.

Vậy (En, k · k) là một không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.3.3 [1] Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm{xn} ⊂ X. Dãy {xn} gọi là hội tụ tới x nếu

lim

n→∞kxn − xk = 0.

Kí hiệu lim

n→∞xn = x, hay xn → x, n → ∞.

Định nghĩa 1.3.4 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} ⊂

X được gọi là dãy Cauchy nếu

a6t6b|x(t)| là không gian Banach

Vậy kx + yk 6 kxk + kyk, ∀x, y ∈ C[a,b].

Do đó C[a,b] là không gian định chuẩn

Giả sử {xn(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong C[a,b], tức là với mọi

ε > 0, ∃ n0 ∈ N∗, ∀n, m > n0 :

kxm − xnk = max

a6t6b|xm(t) − xn(t)| < ε.

Suy ra

|xm(t) − xn(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b]. (1.2)Bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b], dãy{xn(t)} là dãy số Cauchy nên phải tồn tại giới hạn, ta có

lim

n→∞xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b].

Cho m → ∞ từ (1.2) ta có:

|xn(t) − x(t)| < ε, n > n0, ∀t ∈ [a, b] (1.3)Bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy số {xn(t)} hội tụ đều tới x(t) trên

C[a,b] nên x(t) ∈ C[a,b] Vậy C[a,b] là không gian đầy đủ

Do đó nó là không gian Banach



Ví dụ 1.3.3

Không gian C[a,b] những hàm liên tục (có giá trị thực hoặc phức) trênmột đoạn [a, b] là không gian Banach Với chuẩn trên C[a,b] được xácđịnh: kf k = max

a 6x6b|f (x)|.Chứng minh

Lấy {fn} là một dãy Cauchy trong C[a,b] Với ε > 0 tùy ý, tồn tại

N0 ∈ N sao cho

kfn − fmk < ε, ∀m, n > N0.Vậy ta có

kfn(x) − fm (x)k < ε, ∀m, n > N0, ∀x ∈ [a, b] (1.4)Suy ra {fn(x)} là một dãy Cauchy với mỗi x ∈ [a, b]

Tính đầy đủ của R (hoặc C) cho phép ta xác định:

f (x) = lim

n→∞fn(x) , x ∈ [a, b] Cho m → ∞ trong (1.4) ta được

|fn(x) − f (x)| < ε, ∀n > N0, ∀x ∈ [a, b] (1.5)

Lấy x0 ∈ [a, b] Khi đó fN0 là liên tục trên [a, b], tồn tại một số

δ > 0 sao cho, với mỗi y ∈ [a, b] thỏa mãn |x0 − y| < δ, ta có

|fN0 (x0) − fN0 (y)| < ε.

Suy ra

|f (x0) − f (y)| < |f (x0) − fN0 (x0)| + |fN0 (x0) − fN0 (y)|

+ |fN0 (y) − f (y)| < ε + ε + ε = 3ε.

Do x0, ε tùy ý, vậy f là hàm liên tục

Cuối cùng, từ (1.5) ta suy ra:

|fn(x) − f (x)| < ε, ∀n > N0, ∀x ∈ [a, b]

nên dãy {fn} hội tụ đều tới f

Vậy không gian C[a,b] là không gian Banach

|xn(t) − xm (t)| dt.

Vì

|xn(t) − xm (t)| ≤ 1nên

Thật vậy, giả sử dãy {xn(t)} hội tụ tới một x(t) nào đó trong CL

[0,1],tức là:

|xn(t) − x (t)| dt = 0.Nhưng ta lại có:

lim

n→∞

1 2

Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra:

[0,1].Vậy CL

[0,1] không là không gian Banach

1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.4.1 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ

T : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

n→∞d(xn+m, xn) = 0, ∀m ∈ N∗nghĩa là dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ(X, d).

6 kd(x∗, xn−1) + d(xn, x∗), ∀n = 1, 2, Do

lim

n→∞d(xn, x∗) = lim

n→∞d(xn−1, x∗) = 0,nên ta suy ra

d(T x∗, x∗) = 0 hay T x∗ = x∗,nghĩa là x∗ là điểm bất động của ánh xạ T

Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ

Đặt T x = π − a sin x, ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy

đủ R vào chính nó Ta chứng minh sin t < t, ∀t > 0 Thật vậy:Xét hàm số

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 [6] Cho E là không gian Banach thực, tập con

P của E được gọi là nón khi và chỉ khi

1 P không rỗng, P đóng và P 6= {0};

2 a, b ∈ R, a, b > 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P;

3 x ∈ P và −x ∈ P ⇒ x = 0 có nghĩa là P ∩ (−P ) = {0}.Cho nón P ⊂ E. Khi đó trênE ta xây dựng quan hệ thứ tự “6p”

xác định bởi nón P như sau:

x 6p y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P,

x <p y nếu x 6p y và x 6= y,

x p y nếu y − x ∈ int(P ),trong đó int(P) là phần trong của P.

Nón P được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại số K > 0 sao cho, vớimọi x, y ∈ E, từ

Ta kiểm tra 3 điều kiện của nón

1 Hiển nhiên P không rỗng, P đóng và P 6= {0};

2 a, b ∈ R, a, b > 0 và x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ P thì

ax + by = a(x1, x2) + b(y1, y2)

= ax1 + by1 + ax2 + by2 ∈ P ;

3 x = (x1, x2) ∈ P và −x = (−x1, −x2) ∈ P ⇒ x = 0 cónghĩa là P ∩ (−P ) = {0}.

Vậy P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} là một nón.

Từ đây, ta luôn xét P là một nón trong không gian Banach thực

E sao cho int(P) 6= ∅ và quan hệ thứ tự “6p” trên E xác định bởi

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|), ∀x, y ∈ X,trong đó α, β là các số thực dương cho trước Khi đó (X, d) là khônggian metric nón

Thật vậy, ta kiểm tra lần lượt 3 điều kiện

1 Ta có |x − y| > 0, ∀x, y ∈ X Do α, β > 0 nên

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|) p> 0 ∀x, y ∈ X.

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|) = 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x = y.

Vậy (X, d) là không gian metric nón.

Sau đây chúng ta trình bày về sự hội tụ của dãy trong không gianmetric nón

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.2.1 [6] Cho (X, d) là một không gian metric nón,{xn} là một dãy trong X và x thuộc X Dãy {xn} được gọi là hội

tụ tới x nếu với mọi c thuộc E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên

N sao cho

d(xn, x) p c, với mọi n > N.

Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy{xn}và ta ký hiệu lim

n→∞xn = xhoặc xn → x, n → ∞

Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn dãy trong khônggian metric nón.

Định lý 2.2.1 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón Nếudãy {xn} trong X hội tụ đến x và y thì x = y

Chứng minh

Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: nếu q thuộc P và q p εvới mọi ε thì q = 0. Thật vậy, cố định c thuộc P với 0 p c Khi

đó, từ giả thiết suy ra q p c

m với mọi số nguyên dương m. Do đóc

m − q ∈ P với mọi m Vì c

m − q hội tụ tới −q trong E và P làđóng nên −q ∈ P Suy ra q = 0 Khẳng định được chứng minh.Với mọi c ∈ E, 0 p c và lim

n→∞xn = x; lim

n→∞yn = y ta suy ratồn tại số tự nhiên N1, N2 sao cho

d(xn, x) p c

2 , ∀n > N1,và

d(xn, y) p c

2 , ∀n > N2.Suy ra c

Ta nhận được

d(x, y) 6 d(xn, x) + d(xn, y) p c, với mọi n > N.

Ta suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.

Ta đã biết đối với không gian metric (X, ρ) thì dãy {xn} trong

X hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ khi ρ(xn, x) → 0 Định lý sauđây trình bày một tính chất tương tự cho không gian metric nón.Định lý 2.2.2 [6] Cho (X, d) là một không gian metric nón, P

là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là mộtdãy trong X Khi đó, {xn} hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ khilim

n→∞d(xn, x) = 0 trong E.

Chứng minh

Giả sử {xn} là một dãy trong X và xn → x ∈ X Với mọi ε > 0,chọn c ∈ E sao cho 0 p c và Kkck < ε Khi đó, từ xn → x ∈ Xsuy ra tồn tại số tự nhiên N sao cho

Định lý 2.2.3 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón và {xn}

là một dãy trong X. Nếu {xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của

6p d(x, y) + 2c, với mọi n > N,và

d(x, y) 6p d(xn, x) + d(xn, yn) + d(yn, y) 6p d(xn, yn) + 2c.Suy ra

n→∞d(xn, yn) = d(x, y).

Bây giờ ta trình bày khái niệm dãy Cauchy trong không gianmetric nón

Định nghĩa 2.2.2 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón Dãy{xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0 p c thuộc E, tồn tại

số tự nhiên N sao cho

d(xm, xn) p c, với mọi m, n > N.