Ánh xạ giả Aphin và ứng dụng

Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2014

Lời cám ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2014

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 8

1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn 9

1.1.2 Tập đóng, tập mở 10

1.1.3 Tập lồi 10

1.1.4 Tập aphin 10

1.1.5 Gradient 10

1.1.6 Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch 11

2 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 12 2.1 Định nghĩa ánh xạ giả aphin 12

2.1.1 Hàm giả lồi 12

2.1.2 Hàm giả tuyến tính 14

2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu 14

2.1.4 Ánh xạ giả aphin 15

2.2 Tính chất của ánh xạ giả aphin 16

2.2.1 Tính chất sơ cấp của ánh xạ giả aphin xác định trên toàn không gian 23 2.2.2 Tính chất của ánh xạ giả aphin trong không gian 3-chiều 27

2.3 Ứng dụng của ánh xạ giả aphin 36

2.3.1 Bất đẳng thức biến phân 36

2.3.2 Nghiệm duy nhất của bài toán chính quy 38

2.3.3 Tính giả đơn điệu trong không gian một chiều 44

2.3.4 Tính giả đơn điệu trong không gian có số chiều lớn hơn một 46

Mở đầu

Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu là một khái niệm cơ bản, cóvai trò quan trọng trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như:Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bấtđẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu (xem [5] và những tài liệu dẫntrong đó) Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu đượcnhững kết quả quan trọng về các ánh xạ đơn điệu suy rộng cùng ứngdụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các môn toán ứngdụng (xem [6], [7], [8], và những tài liệu dẫn trong đó) Với mong muốntìm hiểu sâu hơn những kiến thức đã học, mối quan hệ với những ứngdụng của toán giải tích, tôi chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin và ứngdụng" để làm luận văn tốt nghiệp

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bảnnhất về lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) và một

số ứng dụng của nó vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản

và quen biết sẽ dùng trong chương sau Chương 2 trình bày về ánh xạgiả aphin và ứng dụng của ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu bài toánbất đẳng thức biến phân

Bảng một số kí hiệu

T : X → Rm ánh xạ đi từ X vào Rm

dom(f ) miền hữu hiệu của f

∇f (x) gradient của f tại x

hx, yi hoặc xTy tích vô hướng của x và y

||.|| chuẩn trong không gian Rn

[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x và y

sp (x1; x2; ; xk) là không gian con sinh bởi (x1; x2; ; xk)sp(S) không gian con sinh bởi S

l(x; y) đường thẳng nối x và y

x + S = {x + y | y ∈ S} tổng của véc tơ x với tập S

R++ = (0; +∞) tập số dương

R++.S = tx | t ∈ R++; x ∈ S tích tập số dương với tập S

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản, giúp chúng ta tiếp cậnđịnh nghĩa ánh xạ giả aphin Đây cũng là cơ sở để chúng ta nghiên cứucác tính chất của ánh xạ giả aphin và các ứng dụng của nó ở chương sau

lập thành một không gian véc tơ thực n−chiều

Nếu x = (x1, , xn)T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ

i của x Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kíhiệu đơn giản là 0, vậy 0 = (0, , 0)T

Ta gọi hệ e1 = (1, 0, , 0)T, e2 = (0, 1, 0, , 0)T, en = (0, , 0, 1)T

là cơ sở chính tắc của không gian Rn

1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn

Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc h., i như sau: với x =(x1, , xn)T, y = (y1, , yn)T ∈ Rn,

n

X

i=1

(xi)2

và gọi là chuẩn Euclid của véc tơ x

Tích vô hướng chính tắc của x và y trong Rn còn được kí hiệu bởi

(iv) hx, xi ≥ 0 và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

Chuẩn Euclid có những tính chất sau:

1.1.2 Tập đóng, tập mở

Cho x0 ∈ Rn, ε > 0, ta gọi tập

B(x0, ε) := {x ∈Rn : kx − x0k < ε}

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính ε

Định nghĩa 1.1 Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu với mọi x0 ∈ U, tồntại ε > 0 sao cho B(x0, ε) ⊂ U

Định nghĩa 1.4 Cho A là tập con của Rn Hàm f : A → R biến

mỗi x = (x1; x2; ; xn) ∈ A thành f (x1; x2; ; xn) Khi đó Gradient

của hàm f là một véc tơ cột mà thành phần là đạo hàm theo các biếncủa f

ii) A (là đối xứng lệch) : A = −A∗

Định nghĩa 1.6 Hai véc tơ x; y ∈ Rn được gọi là cùng hướng nếutồn tại α > 0 sao cho x = αy Ánh xạ T : K → Rn được gọi là cóhướng không đổi trên K nếu nó đồng nhất bằng 0 trên K hoặc nóluôn khác 0 trên K và tồn tại e ∈ Rn sao cho

T (x) = kT (x)k e ∀x ∈ K

Kết luận

Chương 1 đã trình bày một số khái niệm sẽ dùng ở những phần sau

Chương 2

ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Định nghĩa ánh xạ giả aphin

Trong phần này chúng ta đi nghiên cứu ánh xạ giả aphin và ứng dụng vàonghiên cứu bất đẳng thưc biến phân Những nội dung trình bày trongchương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [2], [5], [7] và [8]

Trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm sau :

2.1.1 Hàm giả lồi

Định nghĩa 2.1 Cho K ⊂ Rn là tập mở, lồi Một hàm khả vi

f : K → R được gọi là giả lồi nếu với mọi x, y ∈ K ta có:

a(y − x) ≥ 0

Từ đây suy ra ay + b ≥ ax + b và ta có f (y) ≥ f (x)

Ví dụ 2.2 Hàm số f : Rn → R, f (x) = ex1 +x 2 + +x n với x =(x1, x2, , xn) ∈ Rn là một hàm giả lồi Thật vậy,

Bây giờ chúng ta sẽ đi xây dựng khái niệm ánh xạ giả aphin Trướctiên ta định nghĩa ánh xạ giả đơn điệu.

2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu

Một ánh xạ T : K → Rn được gọi là ánh xạ giả đơn điệu nếu với mọi

Ta có :

hT (x), y − xi = x21(y1− x1) ≥ 0 ⇒ y1 ≥ x1

⇒ y21(y1− x1) ≥ 0 ⇒ hT (y), y − xi ≥ 0

Vậy T là ánh xạ giả đơn điệu

Bây giờ chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ giả aphin

Chú ý 2.1 T là ánh xạ giả aphin khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ K ta

có sự tương đương sau đúng

T (0) = 0 ⇒ hT (x), xi = 0 (2.2)

Thật vậy, doT là ánh xạ giả aphin nên với0 ∈ K và với mọi x ∈ K ta có

hT (x), xi = hT (x), x − 0i = hT (0), x − 0i Mà hT (0), x − 0i = h0, xi = 0,suy ra hT (x), xi = 0

Nhận xét:

+) Một hàm khả vi f là giả lồi khi và chỉ khi ∇f là ánh xạ giả đơnđiệu

+) Một hàm f là giả tuyến tính khi và chỉ khi∇f là ánh xạ giả aphin

2.2 Tính chất của ánh xạ giả aphin

Trong phần này chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu ánh xạ giả aphin trêntoàn không gian, tức là ánh xạ giả aphin T : Rn → Rn

Chúng ta sẽ tìm dạng chung của ánh xạ giả aphin T : Rn →Rn.Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt T = ∇f với f là hàm giả tuyếntính

Định lý 2.1 Cho f : Rn →R là một hàm nửa liên tục dưới Khi đó

f là hàm nửa tuyến tính nếu và chỉ nếu nó có dạng

f (x) = h(hu, xi)

Ở đây u ∈ Rn, h là hàm nửa liên tục dưới và đơn điệu tăng

Định lý 2.2 Một hàm khả vi f : Rn → R là giả tuyến tính khi và

chỉ khi nó có thể viết dưới dạng f (x) = h(hu, xi) Với u ∈ Rn, h làhàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0

Chứng minh Giả sử f : Rn → R là hàm giả tuyến tính Vì f là hàmgiả tuyến tính nênf là hàm nửa tuyến tính Theo Định lý 2.1 thì f (x) =

h(hu, xi), với u ∈ Rn, hlà hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồngnhất bằng 0.

Ngược lại, nếu f (x) = h(hu, xi), với u ∈ Rn, h là hàm khả vi có đạohàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0

+ Nếu h0 = 0 tại một điểm suy ra ∇f = 0tại một vài điểm Suy ra f (x)

là hàm hằng, do đó h0 ≡ 0

+ Nếu h0 6= 0 tại mọi điểm thì hiển nhiên h0 > 0

Vậyh là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng0.Như vậy trong trường hợp đặc biệt T = ∇f với f là hàm giả tuyếntính thì ta có: f (x) = h(hu, xi) Với u ∈ Rn, hlà hàm khả vi có đạo hàmluôn dương hoặc đồng nhất bằng 0

Khi đó:

T (x) = ∇f (x) = h0(hu, xi) u

Bây giờ ta đi nghiên cứu trường hợp T và −T đơn điệu Ta xét định

Chứng minh Đặt u = T (0) và định nghĩa T0 :Rn 7→ Rn bởi công thức

T0(x) = T (x) − u Khi đó, vì T và −T đơn điệu ta có T0 và −T0 cũngđơn điệu.Do đó

∀x, y ∈ Rn : T0(y) − T0(x) , y − x= 0 (2.3)

T0(0) = 0 (2.4)

Từ đó suy ra với mọi x ∈ Rn; hT0(x) , xi = 0 Từ (2.3) suy ra

Định lý 2.4 Ánh xạ T : Rn → Rn là ánh xạ giả aphin nếu và chỉnếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A một véc tơ u vàhàm dương g : Rn →R sao cho

∀x ∈ Rn; T (x) = g (x) (Ax + u) (2.6)Chứng minh Điều kiện đủ : Giả sử A là ánh xạ tuyến tính đối xứnglệch, u là một véc tơ và g : Rn → R là hàm dương sao cho

Do A là ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch nên ta có

hAy, y − xi = − hA (y − x) , yi = − hAy, yi + hAx, yi

= − hAx, xi + hAx, yi = hAx, y − xi

Vậy hAy, y − xi = hAx, y − xi Thay vào(2.7) ta được

∀x ∈ Rn; T (x) = g (x) (Ax + u)

Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh điều kiện cần của định lý trongcác trường hợp n = 1 Thật vậy, một ánh xạ giả aphin trong R là mộthàm luôn dương hoặc luôn âm hoặc đồng nhất bằng 0 Do đó, chỉ cầnlấy A = 0, u = 1 hoặc u = −1 hoặc u = 0 thì ta có (2.6):

∀x ∈ R; T (x) = g (x) (Ax + u)

Vậy định lý được chứng minh với n = 1

Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh điều kiện cần của định lý 2.4 trongcác trường hợp n > 2 Quá trình chứng minh thông qua các mệnh đềsau:

Mệnh đề 2.1 ([4], Theorem 2.2) Cho K ⊆ Rn là tập mở, lồi và

T : K → Rn là ánh xạ giả aphin Nếu z1; z2 ∈ K sao cho T (z1) =

hT (z + tv) , tv + λ (z1 − z2)i + hT (z + tv) , tv + (z2 − z1)i = 0

Tương tự, sử dụng T (z2) = 0 ta chứng minh được

hT (z + tv) , z + tv − z2i = 0

xạ giả aphin Nếu z1; z2; zm ∈ K sao cho T (z1) = T (z2) = =

T (zm) = 0 thì T (z) = 0 với ∀z ∈ M ∩ K, trong đó M là không giancon sinh bởi z1; z2; ; zm

Theo mệnh đề trên, tập V = M ∩ K sao cho T (z) = 0; với mọi z ∈ V

là tập con đóng của K Do vậy tập W := K\V = {x ∈ K : T (x) 6= 0}

là tập mở

Mệnh đề 2.3 Cho K ⊆ Rn là tập mở, lồi và T : K → Rn là ánh xạgiả aphin Khi đó, ánh xạ S : W → Rn xác định bởi S (x) = kT (x)kT (x) ,

T (x n )

kT (x n )k ⇒ kS (xn)k = 1 và hình cầu đơn vị là compact trong Rn, bằngcách chọn dãy con nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng S (xn) → A,trong đó A 6= S (x) Để ý rằng, vì kAk = kS (x)k = 1 , véc tơ S(x) và

A không cùng hướng Do đó có thể chọn v ∈ Rn sao cho

hS (x) , vi < 0 < hA, vi

Chúng ta cũng có thể chọn v sao cho w := x + v ∈ K Vì S cũng làánh xạ giả aphin và hS (x) , vi = hS (x) , w − xi < 0, suy ra

hS (w) , w − xi < 0 (2.11)Mặt khác, 0 < hA, vi = hA, w − vi, suy ra tồn tại n0 ∈ N sao cho với

mọi n > n0 ta có

hS (xn) , w − xni > 0

Vì S là giả aphin suy ra hS (w) , w − xni > 0 Cho n → +∞ ta có

hS (w) , w − xi > 0, mâu thuẫn với (2.11) VậyS(x)liên tuc trên W.Mệnh đề 2.4 Cho K ⊆ Rn là tập mở, lồi và T : K → Rn là ánh xạgiả ạphin Khi đó, tồn tại một hàm dương g : K →R và một ánh xạ

giả aphin, liên tục T0 sao cho

Ta có T0(x) liên tục Hiển nhiên, T (x) = g (x) T0(x) với g : K → R là

một hàm dương xác định bởi :

g (x) =

 kT (x)k d(x,V ); x /∈ V1; x ∈ V

2.2.1 Tính chất sơ cấp của ánh xạ giả aphin xác định trên

toàn không gian

hAx, xi > 0 Khi đó với mỗiy ∈ Rn,hT0(tx), y−txi = htAx+u, y−txi =

−t2hAx, xi + t [hAx, yi − hu, xi] + hu, yi sẽ không âm với t đủ lớn Vì T0

là giả aphin, hT0(y), y − txi = hT0(y), yi − thT0(y), xi cũng sẽ âm với t

lớn, do đó hT0y + u, xi là không âm với mọi y Với y = tx, t ∈ R, suy rahAtx + u, xi ≥ 0 Cho t → −∞ và lưu ý rằng hAx, xi > 0 chúng ta điđến mâu thuẫn Tương tự hAx, xi < 0 cũng dẫn đến mâu thuẫn Vậy A

là đối xứng lệch

Nếu T là liên tục, thì tại bất kỳ x ∈ Rn sao cho T (x) 6= 0 suy ra rằng

g(x) = kAx+ukkT (x)k liên tục tại x

Mệnh đề 2.6 Cho V là không gian con của Rn, Pv là phép chiếutrực giao trên V, x0 ∈ Rn, M = V + x0 là một không gian aphin con

và T : Rn →Rn là một ánh xạ giả aphin Khi đó:

a) Phép tịnh tiến T1(x) = T (x − x0) là một ánh xạ giả aphin trên

Rn

b) Phép chiếu trực giao Pv(T ) là ánh xạ giả aphin trên M

Chứng minh Phần a) hiển nhiên

Vì M là siêu phẳng nên T (z) = 0

Mệnh đề 2.9 Cho T : Rn → Rn là ánh xạ giả aphin Nếu T cóhướng không đổi trên siêu mặt M thì nó có hướng không đổi trên Rn

Chứng minh Từ Mệnh đề 2.4, không giảm tổng quát chúng ta giả sử T

liên tục Nếu T triệt tiêu trên M thì kết quả đó suy ra được từ Mệnh đề2.8 Ngược lại, nếu T có dạng T (x) = kT xkevới kek = 1 Từ định nghĩacủa hướng không đổi suy raT không có không điểm trênM Không giảmtính tổng quát ta xét M là không gian con Lấy z /∈ M Xét hai trườnghợp

Trường hợp 1 Nếu e trực giao với M thì với mọi x ∈ M ta có

hT (x), z − xi = kT (x)khe, zi, do đó, hT (x), z − xi có dấu không đổi Từtính giả aphin, hT (z), z − xi có dấu không đổi Đặc biệt, với mọi x ∈ M,với mọi t ∈ R, hT (z), z − txi = hT (z), zi − thT (z), xi có dấu không đổi

và dấu đó là dương chỉ khi hT (z), xi = 0 Do đó T (z) cũng trực giao với

M kéo theo T (z) và e là phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 2.e không trực giao vớiM, Xét không gian conV = {y ∈

Rn : he, yi = 0} và siêu mặt M1 = z + V Vì V trực giao với e nên M1

giao với M tại siêu phẳng aphin con là M1 ∩ M có số chiều là n − 2.Lấy P là hình chiếu trực giao lên V Ánh xạ P T là giả aphin trên M1

và triệt tiêu trên M ∩ M1, vì với mọi x ∈ M, T (x) = kT (x)ke trực giaovới v Từ Mệnh đề 2.8 ta có P T triệt tiêu trên M1 Do đó T (z) và e làphụ thuộc tuyến tính

Từ hai trường hợp trên ta có với mọi z ∈ Rn ta có T (z) và e là phụthuộc tuyến tính Chú ý rằng T (z) không có không điểm, thật vậy theogiả thiếtT không có không điểm trênM NếuT (z) = 0 với z /∈ M thì vớimọi x ∈ M, hT (z), z −xi = 0và từ tính giả aphin ta cóhT (z), z −xi = 0,kéo theo he, z − xi = 0 với mọi x ∈ M Từ Mệnh đề 2.7, điều này có thểsuy ra e trực giao với z và M, điều này có thể vì e 6= 0 Vì T (z), z ∈ Rn

là bội của e và không bằng 0, tính liên tục của T kéo theo T (z) luôn có

hướng không đổi.

Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh điều kiện cần của định lý 2.4

khi n = 2 Như chúng ta đã lưu ý ở trên trong mệnh đề 2.4, ta luôn cóthể giả sử T là hàm liên tục

Định lý 2.5 Cho T : R2 → R2 là ánh xạ giả aphin, liên tục Khi

đó, tồn tại véc tơ u ∈ R2, một ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A vàmột hàm dương g :R2 → R sao cho

T (x) = g (x) (Ax + u)

Chứng minh Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1 :T (x) 6= 0; ∀x ∈ R2 Chol = y ∈ R2 : hT (0) , yi = 0 Khi đó do T là ánh xạ giả aphin nên ta có

Trường hợp 2 : Tồn tại duy nhất x0 ∈ R2 sao cho T (x0) = 0 Đặt

T0(x) = T (x + x0) Khi đó, T0 là ánh xạ giả aphin và T0(0) = 0 Theo(2.2), với mọi x ∈ R2 ta có hT0(x) , xi = 0 Lấy ánh xạ

A : R2 →R2(a; b) 7→ A (a; b) = (b; −a)

Ta có hAx, xi = 0với mọi x ∈ R2 Vậy ∀x ∈ R2\ {0} thì cả Ax vàT0(x)

đều trực giao với x Do đó chúng phụ thuộc tuyến tính Từ đó suy ra

tồn tại g1(x) 6= 0 sao cho

Nếu đặt g (x) = g1(x − x0) với x 6= x0, g (x0) = 1 and u = −Ax0 thì ta

có kết quả mong muốn (2.6):

Trong phần này chúng ta sẽ đi chứng minh điều kiện cần của Định lý

2.4 với n = 3 Trước tiên chúng ta thừa nhận định lý sau :

Định lý 2.6 ([2], Theorem 6.4) Giả sử T có ít nhất một khôngđiểm Khi đó tồn tại một hàm dương g, một ánh xạ tuyến tính đốixứng lệch A và véc tơ u ∈ Rn sao cho

T (x) = g (x) (Ax + u) ; ∀x ∈ Rn

Theo Định lý 2.6 thì điều kiện cần của Định lý 2.4 đúng khi T có ítnhất một không điểm Do đó ta có thể giả sử T luôn khác không