Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

Nhñng Đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng đã xuat hi¾n tnđau the ký XX trong đó phái nói đen ket quá kinh đien “Nguyên lý ánh xa co Banach” 1922: Moi ánh xa co trongkhông gian metric đay đú

đe tác giá hoàn thành lu¤n văn này.

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sauđai hoc, các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành ToánGiái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tácgiá trong suot quá trình hoc t¤p và hoàn thành lu¤n văn totnghi¾p

Tác giá xin đưoc gni lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban

bè, ngưòi thân đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾nthu¤n loi cho tác giá trong quá trình hoc t¤p và hoàn thànhlu¤n văn

Hà N®i, tháng 6 năm 2013

Tác giá

Ma Quoc Hương

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói su hưóng dan cúa T.S Hà Đnc Vưong,lu¤n văn Thac sĩ chuyên ngành Toán Giái tích vói đe tài “Điembat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón” do tôi tulàm Các ket quá và tài li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc

Trong quá trình nghiên cnu thuc hi¾n lu¤n văn, tác giá đã kethna nhñng thành tuu cúa các nhà khoa hoc vói su trân trong vàbiet ơn

Hà N®i, tháng 6 năm 2013

Tác giá

Ma Quoc Hương

1.1 Không gian metric 51.2 Không gian metric đay đú 91.3 Không gian Banach 12

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t trong nhñng lĩnh vuc Toánhoc đưoc nhieu nhà Toán hoc quan tâm và nghiên cnu Ngưòi ta

đã tìm thay su nng dnng đa dang cúa lý thuyet điem bat đ®ng cátrong toán hoc lý thuyet và toán hoc nng dnng, v¤t lý, tin hoc

và các ngành khoa hoc khác Su phát trien cúa lý thuyet điembat đ®ng gan lien vói tên tuoi cúa các nhà Toán hoc lón nhưBrouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan,

Nhñng Đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng đã xuat hi¾n tnđau the ký XX trong đó phái nói đen ket quá kinh đien

“Nguyên lý ánh xa co Banach” (1922): Moi ánh xa co trongkhông gian metric đay đú đeu có điem bat đ®ng duy nhat Sau

đó rat nhieu nhà Toán hoc đã mó r®ng ket quá này sang cáclóp không gian khác

Năm 2007, các nhà toán hoc Trung Quoc: Huang Long Guang và Zhang Xian đã mó r®ng ket quá này sang lópkhông gian metric nón đưoc đăng trong bài báo: “Cone metricspace and fixed point theorems of contractive mappings” (xem[6]) Năm 2008 các nhà toán hoc Venezuela: José R Moralesand Edixón Rojas đã giói thi¾u m®t ket quá mói ve điem batđ®ng cúa ánh xa T- Co trong không gian metric nón Đây làm®t lĩnh vuc còn khá mói, đang thu hút su quan tâm cúanhieu nhà toán hoc trên the giói Do đó trong các năm ganđây đeu có các bài báo công bo ket quá ve điem bat đ®ng tronglóp

-không gian này [5], [9], [4].

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve điem bat đ®ng, điem batđ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón, đưoc su giúp

đõ và hưóng dan t¤n tình cúa TS Hà Đnc Vưong, tôi manh danchon đe tài nghiên cnu:

“Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón”.

2 Mnc đích nghiên cNu

Tong hop các ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trongkhông gian metric nón

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

H¾ thong các ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trongkhông gian metric nón

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cnu ve “Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón”.

5 Phương pháp nghiên cNu

•D%ch, đoc nghiên cnu tài li¾u

•Tong hop, phân tích, v¤n dnng kien thnc cho mnc đích nghiên

cnu

6 DN kien đóng góp

Đây là bài tong quan ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trongkhông gian metric nón Giúp ngưòi đoc hieu sâu hơn ve khônggian metric nón và điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong khônggian metric nón

Lu¤n văn đưoc trình bày gom hai chương n®i dung và m®tdanh mnc tài li¾u tham kháo

Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gianmetric, không gian metric đay đú, không gian Banach, Nguyên lýánh xa co Banach

Chương 2 trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, khônggian metric nón, và su h®i tn trong không gian metric nón.Phan cuoi là ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co cho lópkhông gian này

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơbán ve không gian metric, không gian metric đay đú, không gianBanach và cuoi cùng là nguyên lý ánh xa co Banach

1.1 Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là m®t t¤p hop X ƒ=

Ánh xa d goi là metric trên X

So d(x, y) goi là khoáng cách giña hai phan tn x và

y Các phan tn cúa X goi là các điem.

Không gian metric đưoc kí hi¾u là (X, d).

vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C [a,b]

Khi đó (C [a,b] , d) là m®t không gian metric

Chúng minh.

Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] nên x(t) − y(t) là

tai max x(t) y (t) hay d(x, y)

xác

a ™t™b

đ%nh trên C[a,b]

Ta kiem tra các đieu ki¾n ve metric

1 Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b], ta có

V¤y x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.

2 Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b]:

= d(y, x).

V¤y d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[a,b]

3 Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ∀z = z(t) ∈

V¤y d(x, y) ™ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C [a,b]

V¤y (C [a,b] , d) là m®t không gian metric

Q

Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {x n }

⊂

X, điem x0 ∈ X Dãy {x n } đưoc goi là h®i tn đen điem x0 khi

n → ∞ neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗, vói ∀n “ n0 thì d(x n , x0)

Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {xn } trong X.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy

{x n } ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy, neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈

n,m→∞ d (x n , x m ) = 0.

|x n (t) − x m (t)| ™ 1, ∀n, m ∈ N∗ , ∀t ∈ [0, 1].

1dt =

n

1

0 ™ d(x n , x m) ™

n .

Cho n → ∞ ta đưoc d(x n , x m ) = 0.

V¤y {xn } là m®t dãy Cauchy trong (C [0,1] , d ).

1.2 Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [1] Không gian metric (X, d) đưoc goi là không gian metric đay đú, neu moi dãy Cauchy đeu h®i tn trong X

Ví dn 1.2.1.

Không gian C[a,b] các hàm so liên tnc trên [a, b] vói metric d(x,

y ) = max x(t) y(t) là không gian metric đay đú

n→∞ x n (t) = x(t), t ∈ [a, b].

M¤t khác, vói ε > 0 cho trưóc, ton tai Nε sao cho ∀n, m “ Nε ,

Tnc là dãy {xn (t)} h®i tn đeu tói x(t), ∀t ∈ [a, b]

V¤y x(t) là liên tnc nên x(t) ∈ C [a,b]

V¤y C[a,b] là không gian metric đay đú

Q

Ví dn 1.2.2.

Cho X là t¤p hop tat cá các hàm so x (t) liên tnc trên khônggian metric R sao cho x (t) = 0 ngoài m®t đoan nào đó(đoan này phn thu®c tnng hàm so x (t)) Vói hai hàm so bat

kỳ x (t) , y (t) ∈ X ta đ¤t

d (x, y) = max |x (t) − y (t)|

∈

Khi đó (X, d) là m®t không gian metric không đay đú

Th¤t v¤y, ta xét dãy hàm {xn (t)} ⊂ X xác đ%nh như

d (x n +p , x n ) = max |x n +p (t) − x n (t)|

∈

t

M¤t

khác

= max

1

vói |t| ™ nvói n < |t| ™ n + p

V¤y {xn } là m®t dãy Cauchy trong X.

Bây giò ta chnng minh X là không gian metric không đay đú bang phán chnng

Giá sn X là không gian metric đay đú Dãy {xn } h®i tn đen x

hay ton tai x X sao cho lim

n→∞ d (x n , x) = 0

∈

X. M¤t khác, ta có: vói ∀t ∈ R,

+ d (x n , x )

1

0 ™ |x˜ (t) − x (t)| ™

X, mâu thuan vói giá thiet x (t) ∈ X

Mâu thuan trên chnng tó ton tai m®t dãy Cauchy trong khônggian (X, d) nhưng không h®i tn đen phan tn trong (X, d) Do

đó (X, d) là không gian metric không đay đú

1.3 Không gian Banach

∈

| n −

|

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [1] Cho X là không gian tuyen tính trêntrưòng K (thuc ho¤c phnc) M®t ánh xa " · " : X → R đưocgoi là m®t chuan neu

1 "x" “ 0, ∀x ∈ X.

"x" = 0 ⇔ x = θ.

2 "λx" = |λ| · "x", ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K

3 "x + y" ™ "x" + "y", ∀x, y ∈ X

So "x" đưoc goi là chuan cúa vectơ x

Đ%nh nghĩa 1.3.2 [1] Cho X là không gian tuyen tính trêntrưòng K (thuc ho¤c phnc) Không gian X cùng vói chuan " ·

" xác đ%nh trên X đưoc goi là không gian đ%nh chuan.

Kí hi¾u: Không gian đ%nh chuan (X, " · ")

"x k "2 “ 0, ∀x ∈ En

‚ n

,

"λx" = "λx k "

k=1

‚ n

"x k "2 + k=1 "y k "2

= "x" + "y".

Suy ra " · " là m®t chuan trên En

V¤y (En , " · ") là m®t không gian đ%nh chuan.

Đ%nh nghĩa 1.3.5 [1] Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là

không gian Banach, neu moi dãy Cauchy đeu h®i tn trong X

V¤y "x + y" ™ "x" + "y", ∀x, y ∈ C[a,b]

Do đó C[a,b] là không gian đ%nh chuan

Giá sn {x n (t)} là dãy Cauchy tùy ý trong C[a,b], tnc là vói moi

Suy

ra |x m (t) − x n (t)| < ε, ∀t ∈ [a, b]. (1.2)Bat đang thnc (1.2) chnng tó vói moi t co đ%nh thu®c đoan [a,

x (t) trên

C [a,b] nên x(t) ∈ C [a,b] V¤y C[a,b] là không gian đay đú

Do đó nó là không gian Banach

Q

Ví dn 1.3.3.

Không gian C[a,b] nhñng hàm liên tnc (có giá tr% thuc ho¤c phnc)trên m®t đoan [a, b] là không gian Banach Vói chuan trên C[a,b]đưoc xác đ%nh: f = max f (x)

" " |

|

Tính đay đú cúa R (ho¤c C) cho phép ta xác đ%nh:

f (x) = lim

n→∞ f n (x) , x ∈ [a, b]

Cho m → ∞ trong (1.4) ta đưoc

|f n (x) − f (x)| < ε, ∀n “ N0, ∀x ∈ [a, b] (1.5)Lay x0 ∈ [a, b] Khi đó f N0 là liên tnc trên [a, b], ton tai m®t so

δ > 0 sao cho, vói moi y ∈ [a, b] thóa mãn |x0 − y| < δ, ta

Do x0, ε tùy ý, v¤y f là hàm liên tnc

Cuoi cùng, tn (1.5) ta suy ra:

|f n (x) − f (x)| < ε, ∀n “ N0, ∀x ∈ [a, b]

nên dãy {fn } h®i tn đeu tói f

V¤y không gian C[a,b] là không gian Banach

2 +

2n

¸

1 2

do đó {xn (t)} là m®t dãy Cauchy De dàng thay rang dãy Cauchy

này không h®i tn tói m®t điem thu®c C[0,1 L

]

Th¤t v¤y, giá sn dãy {x n (t)} h®i tn tói m®t x(t) nào đó trong

|x n (t) − x (t)| dt = 0

1 2

Do tính duy nhat cúa giói han ta suy ra:

V¤y x(t) không liên tnc tai t =

Đ%nh nghĩa 1.4.1 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xa

T : X → X đưoc goi là ánh xa co neu ton tai so k ∈ [0, 1)

sao cho

d (T x, T y) ™ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Đ%nh lý 1.4.1 [1] Nguyên lý ánh xa co Banach

nó đeu có điem bat đ®ng duy nhat.

d (T x1, T x0) ™ kd(x1, x0).

d (T x ∗ , x ∗) ™ d(T x ∗ , x n ) + d(x n , x ∗)

= d(T x ∗ , T x n−1 ) + d(x n , x ∗)

™ kd(x ∗ , x n−1 ) + d(x n , x ∗ ), ∀n = 1, 2,

Do

nên ta suy

ra

lim

nghĩa là x∗ là điem bat đ®ng cúa ánh xa T

Bây giò ta chnng minh x∗ là điem bat đ®ng duy nhat cúa ánh xa

a ∈ [0, 1)) có nghi¾m duy nhat.

Chúng minh.

Viet lai phương trình dưói dang

x = π − a sin x.

Фt T x = π − a sin x, ta nh¤n đưoc ánh xa T tn không gianđay đú R vào chính nó Ta chnng minh sin t < t, ∀t > 0 Th¤t v¤y:

có điem bat đ®ng duy nhat, nghĩa là phương trình đã cho có nghi¾m duy nhat

Q

ve khái ni¾m metric nón, không gian metric nón và su h®i tntrong không gian metric nón Cuoi cùng chúng tôi trình bàyket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gianmetric nón.

Cho nón P ⊂ E Khi đó trên E ta xây dung quan h¾ thn tu

“™p”

xác đ%nh bói nón P như sau:

x ™p y neu và chí neu y − x ∈

P, x <p y neu x ™p

y và x ƒ= y,

x p y neu y − x ∈ int (P ),

trong đó int(P ) là phan trong cúa P

Nón P đưoc goi là chuan tac neu ton tai so K > 0 sao cho, vói moi x, y ∈ E, tn

Ta kiem tra 3 đieu ki¾n cúa nón

1 Hien nhiên P không rong, P đóng và P ƒ= {0};

Khi đó d đưoc goi là metric nón trên X và c¤p (X, d) đưoc goi

là không gian metric nón

V¤y (X, d) là không gian metric nón.

Sau đây chúng ta trình bày ve su h®i tn cúa dãy trong không gian metric nón

2.2 SN h®i tn trong không gian metric nón

Đ%nh nghĩa 2.2.1 [6] Cho (X, d) là m®t không gian metricnón,

{x n } là m®t dãy trong X và x thu®c X Dãy {x n } đưoc goi là

h®i tn tói x neu vói moi c thu®c E thóa mãn 0 p c, ton tai so

tu nhiên N sao cho

Đ%nh lý sau khang đ%nh su duy nhat cúa giói han dãy trong

không gian metric nón

Đ%nh lý 2.2.1 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón

m − q h®i tn tói −q trong E và P là

đóng nên −q ∈ P Suy ra q = 0 Khang đ%nh đưoc chnng minh

Vói moi c ∈ E, 0 p c và lim

, ∀n > N2 c

Đ%nh lý 2.2.2 [6] Cho (X, d) là m®t không gian metric nón,

Giá sn {xn } là m®t dãy trong X và x n → x ∈ X Vói moi ε >

0, chon c ∈ E sao cho 0 p c và K "c" < ε Khi đó, tn x n → x

Suy ra c − d(xn , x ) ∈ int(P ) Ta nh¤n đưoc d(x n , x) p c vói

moi

n > N, tnc là lim

n→∞ x n = x.

QĐ%nh lý sau nêu lên moi quan h¾ giña tính h®i tn cúa dãy và dãy con cúa nó

Đ%nh lý 2.2.3 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón và

{x n }

k→∞

x n k = x.

Q

Đ%nh lý 2.2.4 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón, P là

Chúng ta có

d (x n , y n) ™p d (x n , x ) + d(x, y) + d(y, y n)

™p d (x, y) + 2c, vói moi n > N,và

4K +

2

Đ%nh nghĩa 2.2.2 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón Dãy

{x n } đưoc goi là dãy Cauchy neu vói moi 0 p c thu®c E, ton

tai so tu nhiên N sao cho

d (x m , x n) p c, vói moi m, n > N

Đ%nh lý 2.2.5 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón, P

Đ%nh lý 2.2.6 [6] Neu {x n } là dãy h®i tn trong không gian

Chúng minh.

Giá sn lim

n→∞ x n = x, x ∈ X Khi đó, vói moi c ∈ E, 0 p c thì

tontai so tu nhiên N sao cho

d (x n , x)

p

c , vói moi n > N

Đ%nh nghĩa 2.2.3 [6] Không gian metric nón (X, d) đưoc goi

là đay đú, neu moi dãy Cauchy đeu h®i tn trong X

Đ%nh nghĩa 2.2.4 [6] Cho (X, d) là m®t không gian metric nón

{x n } là dãy bat kỳ trong X có dãy con {x n i } là h®i tn trong

X Thì X đưoc goi là không gian metric nón compact dãy.

Đ%nh nghĩa 2.2.5 [6] Cho (X, d) là không gian metric nón,

P là nón chuan tac vói hang so chuan tac K và T : X → X thì

2.T là h®i tn dãy vói moi dãy {y n } h®i tn thì dãy {T {y n }}

h®i

tn

3.T là h®i tn dãy con vói moi dãy {y n }, neu {T {y n }} là h®i

tn,

thì {y n } có dãy con {y n k } h®i tn

Đ%nh nghĩa 2.2.6 [6] Neu (X, d) là không gian metric nón com- pact dãy thì ánh xa T : X → X liên tnc và h®i tn dãy con

2.3 Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian

Theo cách xác đ%nh cho d(x, y) = |x − y|e t vói et ∈ E,

Đ%nh lý 2.3.1 [7] Cho (X, d) là m®t không gian metric

.d .T S n x0 , T S n+1x0.

Tn (2.4) ta có {T Sn x0} là dãy Cauchy trong X Vì X là không

gian đay đú suy ra ton tai y0 ∈ X sao cho

lim

n→∞ T S n x0 = y0. (2.5)

QBây giò ta chnng minh ket lu¤n 3 cúa đ%nh lý

Neu T h®i tn dãy con thì {Sn x0} có dãy con h®i tn Theo đ%nh

nghĩa h®i tn dãy con, {T Sn x0} h®i tn nên

Do T là liên tnc suy

ra

Tn (2.5) ta có

lim

Do tính duy nhat cúa giói han ta suy ra z0 là duy nhat

V¤y S có điem bat đ®ng duy nhat

Q

Ta chnng minh ket lu¤n 5 cúa đ%nh lý

T h®i tn dãy Ta đã có {T S n x0} h®i tn (2.5) V¤y {S n x0} h®i

n→∞

S n x0 = x ∗

T S n x0 = T x ∗

Vì T là song ánh ta có x∗ = z0 Hay dãy l¤p {S n x0} h®i tn

đen điem bat đ®ng z0 trong X Đ%nh lý đưoc chnng minh

Q

Đ%nh lý 2.3.2 [7] Cho (X, d) là m®t không gian metric

tac K S : X → X là m®t ánh xa co thì S có điem bat đ®ng

"d (x n , x m ) "

™

K "d (x1, x0)"

1 − k

do k ∈ [0, 1) và K là hang so chuan tac nên ta có

Vì v¤y x∗ là điem bat đ®ng duy nhat cúa ánh xa S

Dãy l¤p {Sn x0} h®i tn ve x ∗ chnng minh tương tu như ket lu¤n 5

Đ%nh lý 2.3.1 Đ%nh lý đưoc chnng minh

Q

Đ%nh lý 2.3.3 [7] Cho (X, d) là m®t không gian metric nón

Ta chí can chnng minh B (T x0, c) là đay đú và T Sx ∈

B (T x0, c) vói moi T x ∈ B (T x0, c ) Giá sn rang {yn } là

m®t dãy Cauchy trong

X. Bói tính đay đú cúa X, ton tai y ∈ X sao cho yn → y, n →

Đ%nh lý 2.3.4 [7] Cho (X, d) là m®t không gian metric nón

Ánh