Bất đẳng thức biến phân với biến số rời rạc

Trờng Đại học Vinh Khoa toán  Đoàn Văn Tùng Bất đẳng thức biến phân Với biến số rời rạc Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học Toán Vinh - 2004 Trờng Đại học Vinh K

Trờng Đại học Vinh

Khoa toán



Đoàn Văn Tùng

Bất đẳng thức biến phân Với biến số rời rạc

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học Toán

Vinh - 2004 Trờng Đại học Vinh

Khoa toán



Đoàn Văn Tùng

Bất đẳng thức biến phân

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chơng 2. Về bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc 18

Mở đầuBài toán bất đẳng thức biến phân có vị trí rất quan trọng trong toán học Dotính đa dạng và phong phú của bài toán mà nội dung bao gồm nhiều lĩnh vựcnghiên cứu khác nhau Bài toán bất đẳng thức biến phân ngày càng khẳng địnhnhững giá trị về mặt lý thuyết cũng nh những ứng dụng trong các chuyênngành Đại số, Giải tích, Hình học, Điều khiển

Do đòi hỏi của khoa học kỹ thuật và thực tiễn mà bất đẳng thức biến phân

có nhiều dạng khác nhau Khoá luận này nghiên cứu về bài toán “Bất đẳng thức biến phân với biến số rời rạc” với hy vọng thể hiện một phơng pháp và

ứng dụng cho lớp bài toán đặc biệt của chuyên ngành điều khiển tối u Chúngtôi đã tham khảo các tài liệu có trong tay, đã rút ra đợc các trờng hợp đặc biệtcủa bài toán và nêu thuật toán giải đa thức cho bài toán hai chiều và Định lý2.3.3.1 về độ phức tạp tính toán của thuật toán

Khoá luận đợc chia làm 2 chơng

Chơng 1: Một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi

Chơng 2: Về bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc

Để hoàn thành khoá luận này, tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình củathầy giáo TS Trần Xuân Sinh Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến thầy giáo Đồng thời tôi xin gửi đến các thầy giáo, cô giáo thuộc tổ

Điều khiển, khoa Toán đã động viên giúp đỡ tôi nhiều trong quá trình học tập,rèn luyện và thực hiện đề tài khoá luận Vì năng lực và thời gian có hạn, chắcchắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, tôi thành thật mong nhận đ-

ợc sự góp ý chân thành của các thầy giáo, cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 4/2004

Tác giả

đợc gọi là đoạn thẳng nối hai điểm đã cho.

Chú ý: Nếu kí hiệu λ1 = λ, λ2 = 1- λ thì λ∈ [0, 1] và đoạn thẳng nối x1, x2

sẽ là [x1, x2] = {x ∈R n : x = λ x1 + (1- λ) x2, 0 ≤λ≤ 1} Đoạn thẳng [x1, x2] đợcgọi là thuộc (hay nằm trọn trong) tập hợp M nếu điểm x ∈ [x1, x2] thì x ∈

Nhận xét: Từ định nghĩa có thể trực tiếp nhận đợc các kết quả sau đây:

a Tập M lồi khi và chỉ khi tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm thuộc M

cũng thuộc M.

b Giao của các tập hợp lồi là tập hợp lồi

c Cho C, D là các tập lồi thuộc R n, a ∈ Rn, λ ∈ R Khi đó các tập: C + D,

C - D, a + D và λD là lồi.

1.1.4 Điểm cực biên

Cho tập lồi M ⊂R n Điểm x ∈M đợc gọi là điểm cực biên của M nếu không

tồn tại x1, x2 ∈M mà

x = λ x1 + (1- λ) x2, 0 < λ < 1

Nghĩa là x không thể là điểm trong của một đoạn thẳng nào bất kì thuộc M.

1.1.5 Siêu phẳng, siêu phẳng tựa

Cho c ∈R n và số thực α Tập hợp

S = {x ∈R n : 〈c, x〉 = α}

đợc gọi là siêu phẳng trong R n

Tập hợp {x ∈ R n : 〈 c, x〉 ≤ α} đợc gọi là nửa không gian giới hạn bởi siêu

phẳng {x ∈R n : 〈x, c 〉 = α}

Cho tập lồi M và siêu phẳng S = {x∈ R n: 〈c, x〉 = α} Nếu tồn tại x0∈ M mà

〈c, x0〉 = α và 〈c, x〉≤α, ∀x ∈ M thì ta nói rằng S là siêu phẳng tựa đối với M.

Tập hợp

M = {x ∈ R n : 〈a j, x〉≤b i , i = 1, , m, a j = (a ij) ⊆R n}

là một tập hợp lồi và đợc gọi là tập lồi đa diện

1.1.6 Bao đóng, bao lồi của tập hợp

Cho hợp M bất kì thuộc R n, tập đóng nhỏ nhất thuộc R n chứa M đợc gọi là bao đóng của M và kí hiệu M

Cho tập M ∈R n, tập lồi nhỏ nhất thuộc R n chứa M đợc gọi là bao lồi, kí hiệu

là convM.

Nhận xét:

a) Bao đóng của M là bằng giao của tất cả các tập đóng chứa M.

b) Bao lồi của M là bằng giao của tất cả các tập lồi chứa M.

1.1.7 Nón lồi

Tập con K của R n đợc gọi là một nón nếu với x ∈ K, λ > 0 thì λx ∈ K.

Điểm gốc O có thể thuộc hoặc không thuộc K

Cho A là tập lồi thuộc R n, khi đó nón lồi nhỏ nhất chứa A đợc gọi là nón lồi sinh bởi A, ký hiệu là K A Chúng ta cũng có thể chứng minh đợc rằng

K A = {λx : x ∈A, λ > 0}.Cho M là tập lồi thuộc R n, vectơ z ≠ 0 đợc gọi là hớng lùi xa của M nếu với

mọi x ∈ M và mọi λ≥ 0, ta có x + λz ∈ M.

Từ định nghĩa, có thể kiểm tra thấy rằng: Tập K tất cả các hớng lùi xa của tập hợp lồi M là một nón lồi Nón K đợc xác định nh vậy gọi là nón lùi xa của M.

1.2 Các tính chất quan trọng của tập lồi

1.2.1 Định nghĩa Cho tập lồi M ⊂ R n, v ∈ R n, ta gọi p là hình chiếu trên

M, kí hiệu p = p(v) nếu p ∈M và

σ = ||p - v|| = xinf∈M ||x - v|| (1.1)Khi đó σ đợc gọi là khoảng cách từ v tới M

〈x - p, p - v〉≥ 0, hay là 〈x - p, v - p〉≤ 0

Hệ quả 〈x - v, x - p〉≥||x - p||2 và || x - p|| ≤||v - p||

1.2.2.3 Định lý (Định lý tách điểm) Nếu M là tập lồi thuộc R n với mọi

điểm v nằm ngoài bao đóng của M, tồn tại siêu phẳng

P = {x ∈R n : 〈c, x〉 = λ}

sao cho 〈c, v〉 = λvà 〈c, x〉 < λ, với ∀x ∈M.

Chứng minh Kí hiệu p là hình chiếu của v trên M , xét siêu phẳng

1.2.2.6 Định lý (Định lý biểu diễn) Bất kì điểm x ∈ M lồi, đóng, giới nội

đều biểu diễn đợc dới dạng tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm cực biên của

M Nghĩa là với x ∈M thì tồn tại hữu hạn điểm cực biên x1, x2, , x k sao cho

Định nghĩa: Tập M ⊆ R n đợc gọi là giới nội nếu nó chứa trong một hình

cầu nào đó tâm O (tức là tồn tại r đủ lớn để với ∀x ∈ M, ||x|| ≤r).

Một tập hợp con F của một tập lồi C đợc gọi là diện của nó nếu F là tập lồi

và bất cứ đoạn thẳng nào của C chứa một điểm x ∈ F làm điểm trong đều nằm

trọn trong F, nghĩa là

x ∈F, x = λy + (1- λ)z , y, z ∈C, 0 < λ < 1 thì y, z ∈F.

1.2.2.7 Định lý Giao của một tập hợp lồi C với một siêu phẳng tựa P của

nó là một diện của C.

Chứng minh Hiển nhiên C ∩P là một tập lồi.

Mặt khác, nếu một đoạn [y, z] ⊂ C chứa một điểm x ∈ C ∩ P làm điểm

trong thì chỉ có thể là {y; z} ⊂ P (do đó {y; z} ⊂ C ∩ P) Vì nếu trái lại siêu

phẳng P sẽ tách hẳn y với z và không còn là siêu phẳng tựa của C nữa.

1.2.2.8 Định lý Cho C là một tập hợp lồi đóng, không giới nội.

i) Tại mỗi điểm x ∈ C có ít nhất một nửa đờng thẳng phát xuất từ x và nằm trọn trong C.

ii) Hợp tất cả các nửa đờng thẳng này là một nón lồi đóng có dạng G(x) =

Ct + {x} trong đó G là một nón lồi đóng không phụ thuộc vào x, có mũi tại O iii) Nón G là nhọn khi và chỉ khi C có ít nhất một đỉnh G gọi là nón các ph-

Thật vậy, nếu K là nón lồi thì với x ∈ K, ta có λx ∈ K (theo định nghĩa của

nón) Hơn nữa K là tập lồi nên với x, y ∈ K thì 21 (x + y) ∈ K Khi đó chọn

Trong trờng hợp ngợc lại

Trong trờng hợp nếu

f[αx + (1- α)y] ≥αf(x) + (1- α)f(y) (1.4)

thì hàm f(x) đợc gọi là hàm lõm.

Hàm f(x) xác định trên tập lồi M đợc gọi là hàm lồi mạnh nếu tồn tại hằng

số p > 0 sao cho với mọi x, y ∈ M và α ∈ [0, 1] ta có

f[αx + (1- α)y] ≤αf(x) + (1- α)f(y) - k,

trong đó k = α(1- α)p||x - y||2

Chú ý: - Hàm f(x) lồi mạnh thì f(x) là hàm lồi.

- Hàm tuyến tính và tuyến tính afin là hàm vừa lồi vừa lõm

- Nếu hàm f(x) là hàm lõm thì g(x) = - f(x) là hàm lồi.

1.3.2 Các tính chất quan trọng của hàm lồi ([3], [5]).

1.3.2.1 Định lý

i) Hàm f liên tục trên tập lồi M là hàm lồi khi và chỉ khi

iii) Tổng hữu hạn các hàm lồi là hàm lồi.

iv) Cho f i(x), i = 1, 2, , k là các hàm lồi Khi đó

f(x) = max{f i(x), x ∈M}là hàm lồi.

v) Nếu f là hàm lồi thì f(αx + (1- α)y] ≤max{f(x), f(y)}, 0 ≤α ≤ 1

1.3.2.2 Định lý Cho f(x) là hàm lồi trên tập lồi M và số thực α cố định Khi đó tập Mα = {x ∈R n : f(x) ≤α}là tập lồi.

Chứng minh Lấy bất kỳ x, y ∈ Mα Khi đó f(x), f(y) ≤α

1.3.2.5 Định lý Cho hàm số f(x) xác định liên tục, có đạo hàm cấp 2 trên

(a, b) Khi đó f(x) lồi trên [a, b] nếu f”(x) ≥ 0, với mọi x ∈ [a, b].

Chứng minh Lấy x1, x2∈ [ a, b] (giả sử x1 < x2)

Giả sử λ1 > 0, λ2 > 0 và λ1 + λ2 = 1

Ta phải chứng minh:

1 2

2 1

(

x x x

x f x x

f

−+

−

+λλ

λλ

= ( )

1 1

1 2

2 1 1

1

)(

x x x

x f x x

f

−

−+

−

+λλ

λλ

= ( )

( 1)( 2 1)

1 2

2 1 1

1

)(

x x

x f x x

λλ

(a)Xét đoạn [λ1x1 + λ2x2; x2]

Cũng theo định lý Lagrăng tồn tại ξ2, λ1x1 + λ2x2 < ξ2 < x2 sao cho

2 2 1 1 2

2 2 1 1 2

x x

x

x x

f x f

λλ

1 2

2 2 1 1 2

x x

x x

f x f

λλ

x x

x x

f x f

−

+

−λ

λλ

(b)

Vì f”(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] nên f’(x) là hàm đồng biến trên [a, b] do ξ1 < ξ2, tacó

2 1 1

1

)(

x x

x f x x

λλ

( 1 2)

1

2 2 1 1 2

x x

x x

f x f

−

+

−λ

λλ

Nhận xét: Từ định lý 1.3.2.5, trực tiếp cho ta các hàm sau đây là lồi:

• Hàm số y = x k với x > 0, k = 1, 2, là hàm lồi.

• Hàm số y = a x, a >1 là hàm lồi.

• Hàm số y = - log a x với a > 1, x > 0 là hàm lồi.

1.3.2.6 Định lý Nếu f lồi, khả vi trên tập lồi M thì

〈∇f(x), y - x〉 ≤f(y) - f(x), với ∀x, y ∈ M, trong đó ∇f(x) = f’(x) = ( f x′1, f x′2, , f x′n)

1.3.2.7 Định lý Nếu tập lồi đa diện M ≠φ và bị chặn thì M là đa diện lồi.

1.3.2.8 Định lý Đa diện lồi D có số điểm cực biên là hữu hạn gồm x1,

Định nghĩa Cho hàm f xác định trên tập hợp lồi M Điểm x0 ∈ M đợc gọi

là điểm cực tiểu địa phơng của f trên M nếu tồn tại lân cận W sao cho f(x x0 0) ≤

f(x), với ∀x ∈ M ∩W x0

Nếu M ∩W = M thì ta nói x x0 0 là điểm cực tiểu tuyệt đối của f trên M.

1.3.2.9 Định lý Cực tiểu địa phơng của hàm lồi f trùng với cực tiểu tuyệt

đối trên tập lồi M.

Chứng minh Giả sử x0 ∈ M là điểm cực tiểu địa phơng của f trên M Khi

đó tồn tại lân cận W sao cho x0

Điểm x0∈ M lồi đợc gọi là điểm trong của M nếu với mỗi x ∈M thì tồn tại

Hệ quả Cho f là hàm lồi xác định trên tập hợp M Khi đó cực đại của f

(nếu có) sẽ đạt tại điểm cực biên của M.

1.3.2.11 Định lý Cho hàm lồi f khả vi xác định trên tập hợp lồi M ⊂ R n

điều kiện cần và đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn cục tại x *∈ M là

1.3.2.12 Định lý Cho hàm lồi f xác định trên tập hợp lồi M ⊂R n điều kiện cần và đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn cục tại x * ∈M là ∇f(x *) = 0.

Chơng 2

Về bài toán bất đẳng thức

biến phân rời rạcChơng này nghiên cứu một số tính chất của bài toán bất đẳng thức biếnphân rời rạc và nêu thuật toán đa thức giải bài toán xét trong không gian R2,dựa trên thuật toán tìm bao lồi của một số hữu hạn điểm trong mặt phẳng

2.1 Phát biểu bài toán

Hàm F đợc gọi là liên tục nếu mỗi hàm F i là liên tục

Trong [1] đã chứng minh đợc định lý sau đây:

2.1.1.1 Định lý (Định lý Brower) Giả sử X là tập lồi, compact thuộc không

gian R n và F : X → X liên tục Khi đó F tồn tại điểm bất động, nghĩa là tồn tại

x ∈ X, sao cho F(x) = x.

2.1.1.3 Bất đẳng thức

〈F(x), y - x〉≥ 0, với x, y ∈ X (2.1)

đợc gọi là bất đẳng thức biến phân.

Việc tìm x ∈ X, sao cho (2.1) thoả mãn với mọi y ∈ X gọi là bài toán bất

đẳng thức biến phân Nghĩa là bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng: tìm

x ∈ X sao cho

〈F(x), y - x〉≥ 0, với mọi y ∈X (2.2)

2.1.1.4 Định lý Giả sử X là tập compact và lồi thuộc R n và F liên tục Khi

đó tồn tại x ∈X sao cho thoả mãn (2.2), nghĩa là

〈F(x), y - x〉≥ 0, với mọi y ∈X Chứng minh: Ta có

〈F(x), y - x〉 = 〈x + F(x) - x, y - x〉 =

= 〈x, y - x〉 + 〈F(x) - x, y - x〉 = 〈x, y - x〉 - 〈x - F(x), y - x〉.Vì vậy để chứng minh tồn tại x ∈ X thoả mãn (2.2), ta chỉ cần chứng minh

tồn tại x ∈X thoả mãn bất đẳng thức

〈x, y - x〉 - 〈x - F(x), y - x〉≥ 0 (2.5)Thật vậy, ta ký hiệu

x - F(x) = (I - F)x

trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên X, tức là Ix = x Đồng thời ký hiệu p(I - F)

là tích của phép lấy hình chiếu p với (I - F).

Dựa theo ký hiệu trên, do F giả thiết liên tục nên p(I - F) cũng liên tục.

Vì X lồi, compact, theo định lý 2.1.1.1 (định lý Brower) thì p(I - F) tồn tại

điểm bất động x ∈X, nghĩa là tồn tại điểm x ∈X mà

Đó là điều phải chứng minh

2.1.2 Về bài toán bất đẳng thức biến phân

Xét trở lại bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(F, X): tìm vectơ

x *∈ X sao cho

〈F(x *), x - x *〉≥ 0, với mọi x ∈ X , (2.2)

trong đó ta giả thiết X là tập hợp lồi, compact và F là hàm liên tục.

Chú ý rằng giả thiết bị chặn của tập X là cần thiết đối với bài toán bất đẳng

thức biến phân VIP(F, X)

Ví dụ Lấy X = R, khi đó bất đẳng thức biến phân

〈F(x), y - x〉 = f(x)(y - x) ≥ 0, với mọi y ∈R,

là không có nghiệm đối với f(x) = e x

Bây giờ chúng ta xét tập lồi, đóng X Lấy hình cầu đóng Ωr ⊂ R n, với bánkính r, chứa điểm gốc O ∈ R n Ký hiệu X r = X ∩Ωr Lúc này, ta có tập X r làcompact và nếu X r ≠ φ thì theo định lý 2.1.1.7 cho ta nghiệm của bài toánVIP(F, X r), nghĩa là tồn tại x r∈X r sao cho

VIP(F, X) thì x là nghiệm của (2.6), với cách chọn r thoả mãn || x r|| < r.

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử rằng tồn tại x r ∈ X r thoả mãn(2.6) Ta cần chứng minh x r thoả mãn (2.2) Thật vậy từ || x r|| < r và lấy y ∈ X r

〈F(x *), x〉≥ 0, với mọi x ∈ R n.Bất đẳng thức đúng với mọi x ∈ R n, nên cũng đúng với - x ∈ R n, tức là cũng

có đợc

〈F(x *), - x〉≥ 0, với mọi x ∈R n.Hay

Thật vậy, vì X ≡R n+ nên x * ≥ 0, đồng thời trong (2.2) ta thay x := x * + e i , với

e i là vectơ toạ độ đơn vị thứ i của R n, ta có

Trong trờng hợp này VIP(F, X) trở thành bài toán “Tìm vectơ x * ∈ X thoả

mãn 〈∇f(x *), x - x *〉 ≥ 0 ∀x ∈ X ” Do X là tập lồi và f(x) là hàm lồi nên bất

đẳng thức trên đã cho thấy f(x) ≥ f(x *), với ∀x ∈ X, nghĩa là x * là lời giải củabài toán quy hoạch lồi: min{f(x), x ∈ X}

Đây là bài toán chúng ta đã thấy trong chơng 1

2.1.2.5 Trờng hợp 5 X ⊂R n là một tập lồi đa diện và F(x) ≡c ∈R n , c

là một vectơ cố định, với mọi x ∈ X Khi đó VIP(F, X) là bài toán quy hoạch

tuyến tính quen thuộc: min{〈c, x〉: x ∈X }

2.1.2.6 Trờng hợp 6 X gồm một số hữu hạn điểm Khi đó ta có bài toán bất

đẳng thức biến phân với biến rời rạc, gọi tắt là bài toán bất đẳng thức biên phân rời rạc, ký hiệu là DVIP(F, X).

2.2 Một số tính chất đơn giản của bài toán bất đẳng thức biến phân rời rạc

hình học, bài toán này thực ra là tìm một điểm x k ∈ X (nếu có) sao cho mọi

điểm của x thuộc X đều nằm về một phía theo hớng pháp tuyến F(x *) của siêuphẳng vuông góc với F(x k) tại x k

Rõ ràng nếu có x k ∈ X thoả mãn F(x k) = 0 thì đơng nhiên x k là nghiệm củabài toán đã cho Vì thế không giảm tổng quát ta giả thiết F(x i) ≠ 0 đối với mọi

i = 1, 2, , p.

Ký hiệu C = convX (bao lồi của X) và C = vertC (tập đỉnh của C), nh ta đã

biết C là đa diện lồi và C = C ∩X, nghĩa là mọi đỉnh của C đều thuộc X, ta có.

2.2.2 Tính chất

2.2.2.1 Định lý Giả sử x k là nghiệm của bài toán DVIP(F, X) và F(x k) ≠ 0

Khi đó x k phải ở trên biên của C.

là siêu phẳng tựa của C tại x k và là một diện của C [5] Vậy với x k ∈H ∩ C thì

x k không thể là một điểm trong của C

• Định lý 2.2.2.1 nêu trên cho thấy để tìm nghiệm của bài toán ta chỉ cầntìm trong số các điểm biên của C Để ý rằng định lý 2.2.2.1 cũng đúng với bài

toán VIP(F, X).

• Giả sử điểm x k ∈ X ở trên biên của C = convX Kí hiệu D là diện thứ

nguyên nhỏ nhất của C chứa x k và D là tập đỉnh của D Nh đã biết mỗi đỉnh

của D cũng là một đỉnh của C, nghĩa là phải thuộc X Khi đó ta có:

2.2.2.2 Định lý Nếu 〈F(x k), x k〉≤〈F(x k), x〉, ∀x ∈D  và mọi x là đỉnh của

C kề với một đỉnh nào đó thuộc D thì x k là nghiệm của bài toán DVIP(F, X) Chứng minh Nếu x k thoả mãn điều kiện nêu trên thì x k là điểm cực tiểu

địa phơng của hàm tuyến tính 〈F(x k), x〉 trong lân cận của W k∩C, do đó x k làcực tiểu của hàm này trên toàn C

Từ định lý 2.2.2.1 và định lý 2.2.2.2 thì bài toán đặt ra có thể giải trực tiếpbằng cách thực hiện p ì p phép so sánh các giá trị hàm 〈F(x k), x k〉 và 〈F(x k), x i〉