Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

NGUYỄN VĂN GIANG

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU KHÔNG ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1.1 Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến 6

1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian 6

1.1.2 Toán tử đơn điệu 7

1.1.3 Phiếm hàm lồi 9

1.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 12

1.2.1 Phát biểu bài toán 12

1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 16

1.2.3 Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 16 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 21 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu 21

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm 21

2.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 24

2.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 28

2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ 28

2.2.2 Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ 33

Mở đầu

là toán tử đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm lồichính thường nửa liên tục dưới Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗnhợp (mixed variational inequality) được phát biểu như sau (xem [3]): với

và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bằng phươngpháp này O A Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên

của nghiệm hiệu chỉnh xτα của bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh củaLiskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết quả tương tự trongtrường hợp toán tử nhiễu đơn điệu được nghiên cứu trong [8] Nếu toán

(0.2) của Liskovets có thể không có nghiệm Trong trường hợp này, mởrộng kết quả với bất đẳng thức biến phân cổ điển của Liskovets, NguyễnThị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến

tử nhiễu không đơn điệu

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1giới thiệu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banachphản xạ thực X Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biếnphân hỗn hợp và bài toán thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợpđược trình bày ở phần cuối của chương

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thứcbiến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu không đơn điệu Cụ thể làtrình bày định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.3),

sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bấtđẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh khi toán tử A có tính chất ngược đơn điệu mạnh

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy,trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận

văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tinthuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thứccho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Người viết luận văn

Nguyễn Văn Giang

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

phi tuyến

liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, kí hiệu hx∗, xi

khái niệm và kết quả trong mục này chúng tôi tham khảo trong các tàiliệu [1], [3], [6] và [10]

1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặtcầu đơn vị S = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ Skéo theo kx + yk < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì mộtđoạn thẳng nào)

Ví dụ 1.1 Không gian Lp[a, b], 1 < p < ∞, là một không gian lồi chặt.Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu vớimọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãnkxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk = ε thì bất đẳng thức

kx + yk ≤ 2(1 − δ)

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach thực X được gọi là không gian

có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu

Ví dụ 1.2 Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S

1.1.2 Toán tử đơn điệu

hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A làGraA Theo định nghĩa ta có:

D(A) = {x ∈ X : Ax 6= ∅},

GraA := {(x, y) : y = Ax, x ∈ X}

Định nghĩa 1.4 Toán tử A được gọi là

(i) đơn điệu nếu

hAx − Ay, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);

(ii) đơn điệu ngặt nếu x 6= y thì

hAx − Ay, x − yi > 0, ∀x, y ∈ D(A);

(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với

t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hAx − Ay, x − yi ≥ δ kx − yk), ∀x, y ∈ D(A);

(iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn

(v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số mA > 0 thỏa mãn

Ví dụ 1.3 Cho toán tử A xác định trên R, A(x) = x với mọi x ∈ R.Khi đó A là toán tử đơn điệu Thật vậy, vì với mọi x, y ∈ R ta có:

Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian Banach phản xạ thực, D ⊆ X,

(i) hemi-liên tục tại x0 ∈ D nếu A(x0 + tnx) * Ax0 khi tn → 0 vớivéc tơ x tùy ý sao cho x0 + tnx ∈ D và 0 ≤ tn ≤ t(x0);

Nhận xét 1.1 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì liên tục trên X

demi-Định nghĩa 1.6 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach

X vào không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tạiđiểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ Nếu tồn tại, thì T được gọi làđạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A0(x) = T

tổng quát của X nếu

Us(x) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗kkxk, kx∗k = kxks−1}, s ≥ 2

tắc của X

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U được cho trong mệnh

ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu,

nó tồn tại trong mọi không gian Banach

(U x)(t) = kxk2−p|x(t)|p−2x(t), t ∈ Ω

tục Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơnđiệu chặt

Định nghĩa 1.9 Hàm ϕ được gọi là

(i) lồi trên D nếu với mọi x, y ∈ D và mọi λ ∈ [0, 1] ta có

n→∞inf(ϕ(xn));

gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu

ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx − y, x∗i, ∀y ∈ X

Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕtại x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là

Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) 6= ∅.

Định nghĩa 1.12 Phiếm hàm ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm

limλ→+0

ϕ(x + λy) − ϕ(x)

∗, yi, ∀y ∈ X,

x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ0(x)

Chú ý 1.1 Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì ϕ

Mệnh đề 1.2 (xem [3]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm khả vi

dưới vi phân của ϕ tại x và y Do đó:

hϕ0(x), y − xi + ϕ(x) ≤ ϕ(y),

hϕ0(y), x − yi + ϕ(y) ≤ ϕ(x)

Cộng hai vế với vế của các bất đẳng thức này ta được:

hϕ0(x) − ϕ0(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X,tức là ϕ0 là toán tử đơn điệu từ X vào X∗

φ(λ) = ϕ(x + λ(y − x))

Đặt x + λ(y − x) = xλ, suy ra

φ0(λ) = hϕ0(x + λ(y − x), y − xi

Mệnh đề 1.3 (xem [3]) Cho ϕ là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàmGâtaeux là A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:

Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đã được

sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật lý toán Lớpbài toán này được xuất hiện trong nhiều ứng dụng của toán học, phươngtrình phi tuyến, mô hình cân bằng trong kinh tế và kỹ thuật Trongmục này, chúng tôi phát biểu bài toán, các vấn đề có liên quan và ví dụthực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

1.2.1 Phát biểu bài toán

là một phiếm hàm lồi chính thường Bài toán bất đẳng thức biến phân

Chú ý rằng, nếu thêm giả thiết ϕ có dưới vi phân trên X thì bài toán(1.1) có thể viết lại dưới một dạng khác được cho trong mệnh đề sauđây

X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới

và có dưới vi phân trên X Khi đó bài toán (1.1) tương đương với bài

Mệnh đề 1.5 Cho F và ϕ : X → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chínhthường, nửa liên tục dưới, hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux

là A Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i) x0 là nghiệm của bài toán cực trị

min

(ii) hAx0, x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X;

(iii) hAx, x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X

Nếu giả thiết hàm ϕ cũng khả vi, thì từ Mệnh đề 1.4 ta suy ra ngay

f0(x0) = θ,với f (x) = F (x) + ϕ(x)



⇔ F (x0) + ϕ(x0) ≤ F

(1 − λ)x0 + λx1

+ ϕ

(1 − λ)x0 + λx1



Do tính lồi của ϕ nên

ϕ(1 − λ)x0 + λx1 ≤ (1 − λ)ϕ(x0) + λϕ(x1),

từ đó suy ra

F (x0) + ϕ(x0) ≤ F

(1 − λ)x0 + λx1

+ (1 − λ)ϕ(x0) + λϕ(x1)

Vì λ ∈ (0, 1) nên chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho λ ta được

1

λ

h

F (1 − λ)x0 + λx1
− F (x0)i+ ϕ(x1) − ϕ(x0) ≥ 0

Cho λ → 0, do F khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux là A nên suy ra

F1(x) − F1(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X

Do đó x0 ∈ minx∈XF1(x), hay x0 ∈ minx∈X{F (x) + ϕ(x)}

(ii) ⇔ (iii) Thật vậy, từ tính đơn điệu của A ta có:

Theo giả thiết ϕ là phiếm hàm lồi khả vi, x0 là nghiệm của bài toáncực trị (1.2), hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A suy ra

thì bài toán (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ

2) Khi K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân(1.3) có dạng phương trình toán tử

Ax = f

1.2.3 Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

Ví dụ 1.5 Bài toán cân bằng mạng giao thông (xem [5]):

Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn.Gọi:

• N : tập hợp các nút của mạng

• A : tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn đường)

Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = Mỗi phần tử của O đượcgọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗiđiểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếpcách cạnh (được gọi là một đường tuyến) Ký hiệu:

• fi

Đặt f là véc tơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợpcác phương tiện giao thông)

O × D Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau thỏa mãn:

p∈P w

điểm nguồn O và điểm đích D) Theo phương trình (1.4), thì nhu cầu sửdụng loại phương tiện i trên tuyến w bằng đúng tổng mật độ giao thôngcủa phương tiện trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích củatuyến đường đó Khi đó ta có:

fai = Xp∈P w

Như vậy, cip là một chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường

p Đặt d là véc tơ có các thành phần là diw (i ∈ I, w ∈ O × D) và đặt f làvéc tơ có các thành phần là dia (i ∈ I, a ∈ O × D) Một cặp (d∗, f∗) thỏamãn các điều kiện (1.4) và (1.5) được gọi là điểm cân bằng của mạnggiao thông nếu:

cpi(f∗)

(

= λiw(d∗) , khi xip > 0

> λiw(d∗) , khi xip = 0với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p Theo định nghĩa này, tại điểm cânbằng đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chiphí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó Trái lại, chiphí sẽ không phải thấp nhất

Đặt K = {(f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.4) và (1.5) đúng} Khi đó ta cóđịnh lý sau

bằng của mạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân sau: tìm (f∗, d∗) ∈ K sao cho

h(c(f∗)), λ(d∗)), (f, d) − (f∗, d∗)i ≥ 0 với ∀(f, d) ∈ K

Ví dụ 1.6 Bài toán kinh tế bán độc quyền (xem [4]):

mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công

Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, , n) là tập chiến lược của công ty i Lẽ dĩ nhiên,mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt đượclợi nhuận cao nhất Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cảcác công ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được Vì vậy người tadùng đến khái niệm cân bằng.

Một điểm x∗ = (x∗1, , x∗n) ∈ U := U1 × × Un được gọi là điểm cânbằng Nash nếu

fi(x∗1, , x∗i−1, y1, x∗i+1, , x∗n) ≤ fi(x∗1, , x∗n), ∀yi ∈ Ui, ∀i = 1, , n.Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuậncủa công ty là hàm affine có dạng

Chương 2

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến

phân hỗn hợp với toán tử nhiễu

không đơn điệu

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnhTikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễukhông đơn điệu Chương được chia làm 3 phần Phần thứ nhất trình bàyphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phânhỗn hợp Phần thứ hai sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳngthức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Các kết quảcủa chương này được tham khảo trong các tài liệu [7], [9]

đơn điệu

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach phản

chặt Để tiện cho việc trình bày, ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến

phân hỗn hợp đã được đề cập ở Chương 1: cho f ∈ X∗, hãy tìm phần tử

x0 ∈ X sao cho

và bị chặn, ϕ : D(ϕ) ≡ X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chínhthường, nửa liên tục dưới trên X

Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) đượctrình bày trong định lý sau (xem [6])

Định lý 2.1 Nếu tồn tại phần tử u ∈ dom ϕ thỏa mãn

limkxk→∞

(1 − t)hAxt − f, y − x0i + ϕ(tx0 + (1 − t)y) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀y ∈ X

Sử dụng tính lồi của hàm ϕ, từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra(1 − t)hAxt − f, y − x0i + tϕ(x0) + (1 − t)ϕ(y) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀y ∈ X

Từ đây suy ra,

hAxt − f, y − x0i + ϕ(y) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀y ∈ X

Cho t → 1 ta nhận được (2.1)

2Giả thiết tập nghiệm S của bất đẳng thức biến phân (2.1) là khácrỗng Khi đó ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.2 (xem [1]) Tập nghiệm S của bài toán (2.1) là tập lồi đóng

theo Bổ đề 2.1, ta có

hAx − f, x − x1i + ϕ(x) − ϕ(x1) ≥ 0, ∀x ∈ X,và

Do đó, y ∈ S và tính lồi của tập S được chứng minh

Bây giờ ta chỉ ra S là tập đóng Thật vậy, giả sử xn ∈ S và xn → x0.Khi đó,

Vì A là toán tử đơn điệu, h-liên tục trên X nên A là toán tử d-liên tục.Kết hợp với ϕ là phiếm hàm nửa liên tục dưới, cho n → ∞ trong (2.5)

các điều kiện sau:

(1) fδ ∈ X∗ : kfδ − f k ≤ δ, δ → 0;

X và

ở đây g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0;

tồn tại các hằng số dương cε và rε thỏa mãn

ϕε(x) ≥ −cεkxk với kxk > rεvà

ở đây d(t) có tính chất giống như g(t)

Theo các giá trị gần đúng được cho, ta đòi hỏi sự ổn định khi xấp xỉ

bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1), Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm

với kxταk > rε Do đó (2.2) được thỏa mãn với toán tử Ah+ αU và hàm

ϕε Vậy với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗ nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân (2.8) tồn tại

nhau của bất đẳng thức biến phân (2.8) Khi đó ta có

Do tính đơn điệu của Ah và tính đơn điệu chặt của U , bất đẳng trên chỉxảy ra khi x1 = x2.

2

k¯x − x∗k = min

x∈S kx − x∗k,được trình bày trong định lý sau

Định lý 2.2 (xem [7]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực

toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn với D(A) = X, ϕ : X → R là

xạ đối ngẫu của X thỏa mãn điều kiện

tập nghiệm S của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) khác rỗng Giả

sử các điều kiện (1)-(3) thỏa mãn, hơn nữa

limt→∞supd(t)

và

limα→0

(2.15)

Bất đẳng thức này tương đương với

αhU (xτα− x0), xτα− x0i ≤ αhU (x0 − x∗), x0 − xταi

+ hAhxτα− Ahx0 + Ahx0 − Ax0, x0 − xταi+ hf − fδ, x0 − xτα)i

Vì dãy {xτα} bị chặn và hội tụ yếu đến ¯x ∈ S, từ bất đẳng thức (2.21)

Thay x0 bởi t¯x + (1 − t)x0, t ∈ (0, 1) trong bất đẳng thức cuối cùng, sau

đó chia cả hai vế cho (1 − t) và cho t tiến đến 1 ta nhận được

hU (¯x − x∗), x0 − ¯xi ≥ 0, ∀x0 ∈ S

Từ bất đẳng thức này suy ra

hU (¯x − x∗), x0 − x∗i ≥ hU (¯x − x∗), ¯x − x∗i = k¯x − x∗k2, ∀x0 ∈ S.Hay, k¯x − x∗k ≤ kx0 − x∗k, ∀x0 ∈ S Vì tính lồi đóng của S, và tính lồi

toán (2.1)

2

nhiễu không đơn điệu

2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ

biến phân hiệu chỉnh (2.8) của Liskovets có thể không có nghiệm NguyễnThị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh: tìm phần tử xτα ∈ Xthỏa mãn

hAhxτα+ αUs(xτα− x∗) − fδ, x − xταi + ϕε(x) − ϕε(xτα)

của X (xem Định nghĩa 1.7)

Giả sử A, f , ϕ được cho xấp xỉ bởi Ah, fδ, ϕε thỏa mãn (1)-(3) với

thỏa mãn điều kiện sau:

tử đơn điệu, hemi-liên tục, bị chặn với D(A) = X và các điều kiện (2),(3) thỏa mãn Khi đó, bất đẳng thức (2.23) có nghiệm với mỗi α > 0 và



− cε, s ≥ 2,