K dạng vi phân với giá trị véc tơ

Các k - dạng vi phân với giá trị thực đã đ-ợc trình bày trong nhiều tàiliệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại.. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày cách xây dựng và khảo

Lời nói đầu

K - dạng vi phân với giá trị thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựcVật lí và các ngành khác nhau của Toán học nh-: giải tích, hệ động lực, hìnhhọc - tôpô K - dạng vi phân là một công cụ để nghiên cứu các bài toán vềbiến phân thể tích của các miền compact trên đa tạp Riemann Vì vậy nó đ-ợcnhiều nhà Toán học trong và ngoài n-ớc quan tâm

Các k - dạng vi phân với giá trị thực đã đ-ợc trình bày trong nhiều tàiliệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày cách xây dựng và khảo sát một

số tính chất của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ t-ơng tự nh- trong việckhảo sát các k - dạng vi phân thực Luận văn đ-ợc trình bày trong 2 ch-ơng:

Ch-ơng 1: ánh xạ k - tuyến tính phản xứng

Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian

Rn, tr-ờng véc tơ tiếp xúc trên Rn, về ánh xạ k - tuyến tính, ánh xạ k - tuyếntính phản xứng và các tính chất của ánh xạ k - tuyến tính phản xứng với giá trịvéc tơ Ch-ơng 1 gồm những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày củach-ơng sau

Ch-ơng 2: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ.

Ch-ơng 2 là nội dung chính của luận văn ở đây, bằng cách t-ơng tự nh- cáchxây dựng k-dạng vi phân thực, chúng tôi trình bày về k - dạng vi phân với giátrị véc tơ, tích ngoài của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ theo một dạng songtuyến tínhxác định, về vi phân ngoài của k - dạng vi phân Ngoài ra, chúngtôi cũng trình bày ph-ơng pháp tìm nguyên hàm của các dạng đóng trên mộttập sao trong Rn, và mối quan hệ giữa độ cong, độ xoắn đối với với các k-dạng vi phân

Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tại Khoa sau Đại học tr-ờng Đại họcVinh, với sự h-ớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin đ-ợc

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự h-ớng dẫn tận tình của Thầy

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy,cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán,khoa đào tạo Sau đại học, tr-ờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo

điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH tr-ờng THCS

Đông Vĩnh, phòng GD Thành phố Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã

động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận vănnày

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Ch-ơng 1

ánh xạ k - tuyến tính phản xứng

Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày về không gian R n , tr-ờng véc tơ tiếp xúc trên R n , về ánh xạ k- tuyến tính, ánh xạ k - tuyến tính phản xứng và các tính chất của chúng.

I Không gian R n:

Nh- ta đã biết (Xem [4]) : Rn = { x = (x1,x2, ,xn) | xi R, i =1, ,n } Vàcùng với hai phép toán trên Rn:

(1, 0, , 0 ) (0,1, , 0)

(0, 0, ,1)

n

e e e

1.1 Mệnh đề Mọi không gian ơclít n- chiều đều đẳng cấu trực giao với Rn

Chứng minh: Ta chọn mục tiêu trực chuẩn trong Engồm gốc mục tiêu I và cácvéc tơ uuri : En: = { I ; uuri } (1)

Rn: = { 0 ; ei

uur

} (2)

Dễ thấy: là ánh xạ tuyến tính và bảo tồn tích vô h-ớng

 là đẳng cấu trực giao.Suy ra f cũng là đẳng cấu trực giao

Vậy En đẳng cấu trực giao với Rn.

Bây giờ ta kí hiệu :

Tập B(x,r) ={ yRn| d(x,y) <r } (hình cầu mở tâm x, bán kính r)Tập B[x,r] ={ yRn| d(x,y) r }(hình cầu đóng tâm x, bán kính r)

i, Nếu UT thì U đ-ợc gọi là tập mở trong Rn.

ii, Nếu Rn\U Tthì U đ-ợc gọi là tập đóng trong Rn

1.4 Mệnh đề.(Xem [4]): Rn với tôpô tự nhiên là không gian chuẩn tắc

, pRn ,thì X đ-ợc gọi là tr-ờng véc tơ song song

ứng với vectơ auur

Ta chú ý rằng với mỗi i= 1,2, ,n, ta đặt Ei: p a ei

uur

, với pRn, khi đó{ E1,E2, ,En} là tr-ờng mục tiêu tự nhiên trên Rn

Với X là một tr-ờng véc tơ tiếp xúc, ta luôn có sự biểu diễn:

X = X1E1+ X2E2+ .+ XnEn , trong đó Xj : Rn  R là các hàm số và(X1, ,Xn) đ-ợc gọi là toạ độ của X đối với hệ cơ sở {E1,E2, ,En}

Ta nói: X khả vi khi và chỉ khi Xjkhả vi, với j = 1,2, ,n

Từ nay trở về sau ta chỉ nghiên cứu các tr-ờng véc tơ khả vi trên Rn

p

Y

uuur,

pRn thì X+Y : p a

p

X

uuuur+

p

Y

uuur, p Rn Nhân tr-ờng véc tơ với một hàm số khả vi trên R n:

= d

dt ( p1+ tX1(p),p2+tX2(p), ,pn+tXn(p)) t=0

=1

n i

i

x



)

1.11 Định nghĩa Giả sử Y B(Rn) Khi đó đạo hàm của tr-ờng véc tơ Y

theo tr-ờng véc tơ X làmột tr-ờng véc tơ xác định bởi :

Chó ý:(Xem [4]) i, [X,Y] lµ song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng.

ii, [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] +[[Z,X],Y] = 0

1.15 VÝ dô Gi¶ sö E3 = 0xyz ; víi X(x,xy,yz), Y(1,z,x), Z(x,z,y)

B©y giê ta tÝnh : DZX; Z[XY] ; [X,Y]

Gi¶i:

 +y.

x z



 ;x.

xy x



 +z.

x y y



 +y.

x y z



y z z

đ-ợc gọi làánh xạ k-tuyến tính nếu và chỉ nếu f tuyến tính đối với từng biến.

(Nghĩa là: xi a f (a1, ,ai-1, xi, ai+1, , ak ) là ánh xạ tuyến tính; với aiRn)

1.17 Ví dụ Giả sử f1, ,fk : Rn  R là các dạng tuyến tính.Khi đó:

Khi đó: Lk (Rn,Rm) là không gian tuyến tính định chuẩn.

Thật vậy: ở đây ta kiểm tra , là chuẩn trong Lk (Rn,Rm)

Trong đó : () là dấu của hoán vị 

iii, Với k = 0, ta quy -ớc :A0(Rn,Rm) là không gian Rm

iv, Với k = 1, ta quy -ớc A1(Rn,Rm) là không gian Hom(Rn,Rm)

thuộc Ak+l(Rn,Rh) đ-ợc kí hiệu fg và đ-ợc xác định bởi :

fg(x1,.,xk,xk+1, ,xk+l)=

(1) ( ) ( 1) ( )

)(

)(

1

1 1

1

k k k

k

x f x

f

x f x

f

Thật vậy:

Ta chứng minh mệnh đề trên bằng ph-ơng pháp qui nạp theo k

., Với k = 1 : Hiển nhiên

(

)()

(

2 2 1

2

2 1 1

1

x f x

f

x f x

)(

)(

)(

1 1 1

1

1 1 1

1

k k k

k

x f x

f

x f x

)(

)(

)(

1

1 1

1

k k k

k

x f x

f

x f x

f

.

1.25 Mệnh đề Điều kiện cần và đủ để hệ { f 1 , ,f k} trong A (Rn,R) độc lậptuyến tính là f 1  f k 0

)(

)(

)(

1

1 1

1

k k k

k

x f x

f

x f x

ii, Điều kiện đủ:

Ta giả thiết f 1  f k 0 và {f 1 , ,f k}phụ thuộc tuyến tính

)(

)(

)(

1

1 1

1

k k k

k

x f x

f

x f x

)(

)(

1

1

1

k i i

k i i

a x a

x

a x a

x

k k

i k i

a a

a a

1 1

n

i i

n

k

i i

Ch-ơng 2

k - dạng vi phân với giá trị véc tơ.

Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày về: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ngoài của k - dạng vi phân, ánh xạ đối tiếp xúc và đạo hàm của k- dạng vi phân.

Nên ucó dạng (1(u), ,m(u) ); trong đój Ak(TuRn,Rm)

Vì vậy , ta có sự biểu diễn: = ( 1, ,m);

j k( Rn,R) ; j = 1, ,m

( Cácj là các k- dạng vi phân thực xác định trên U)

 đ-ợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các jkhả vi

Từ nay,khi nói k- dạng vi phân với giá trị trong Rm , ta hiểu là k – dạng viphân khả vi

NhËn xÐt.(Xem [5]):  kh¶ vi khi vµ chØ khi (X1, ,Xn) kh¶ vi víi

-  ((X1,X3), (X2) )+  ((X2,X3), (X1) ).

2.5 Mệnh đề.

Giả sử: =( 1 , , m ); (1, ,m);j  k( Rn,R),j  l( Rn,R)Khi đó :   =(1  , ,1 m m )

Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: (   )(X 1 , , X k+l ) =

ii, Theo mệnh đề 2.5 ta có:

VÝ dô: XÐt  2( R3,R2) víi = ( xdy , xydz )

2.11 HÖ qu¶.

NÕu f : U  Rm vµ 

k

(U,Rm)Th× : d(f ) = df + f(d)

Chøng minh: Gi¶ sö f  0 (U,Rm) vµ  k(U,Rm)

Nh- ta đã biết ( Xem [2]), với I = [0,1], tập U mở trong Rn, và một ánh xạ liêntục :

x(x1, , xn) U.(ở đâyd x ˆilà kí hiệu bỏ đi phần tử dxi);j =1, , m

Ta nhận thấy rằng: I k1(U,Rm) và I(0) = 0

2.13 Định lí. I(d) +d(I) = .

Chứng minh: Ta chứng minh định lí này theo từng thành phần của  Nghĩa

là ta chứng minh :I(d j ) +d(I j ) =  j ; j = 1, , m.

Thật vậy: Bằng tính toán trực tiếp ta có :



 (tx)dt). xix h dxi1  dx ˆi dxi k(2)Céng (1) vµ (2) ta thu ®-îc: I(dj ) +d(I j ) =

1 VD1: Giả sử : 1(R3,R) ;= ydy Ta tìm I?

.,Ta thấy: đóng ; vì d= dy dy = 0.

= 1

2( x2+ y2+ z2)VËy I= f(x,y,z) = 1

(2xydxdx dy + x2dydx dy, 2yzdy dy dz + y2dzdy dz) = 0

Ta cã: =(1, 2) víi 1 = x2ydxdy; 2 = y2zdydz

= 35

x(x1, ,xn) a f(x) =(f1(x), , fm(x))

đ-ợc gọi làkhả vi tại aU nếu các hàm toạ độ:

fi: U  R

x a fi(x) ; i = 1, ,m

có đạo hàm riêng liên tục tại a ( U là tập mở trong Rn)

Hàm F đ-ợc gọi là khả vi trên U nếu khả vi tại mọi aU

Nếu f khả vi tại a = (a1, ,an)U thì f có ma trận:

VàJf(a) đ-ợc gọi làma trận Jacobien của hàm f tại a.

Giả sử f : Rn  Rm khả vi tại a = (a1, ,an) Rnvà g : Rm  Rp khả vitại b= f(a) =(f1(a), , fm(a)) Rm

Khi đó hàm hợp gof : Rn  Rpkhả vi tại a và Jg.f(a) = Jg(b).Jf(a)

2.17 Định nghĩa. ánh xạ tiếp xúc của f tại p là : f*|P: TpRn Tp’Rn và

đ-ợc xác định:

Nếu v TpRn tiếp xúc với đ-ờng cong ( )t tại p thì f*|P(v) = v’ tiếp xúc với

đ-ờng cong fo ( )t tại p’

(Trong đó :TpRnlà không gian véc tơ tiếp xúc với Rn tại pU, p’= f(p))

2.18.Ví dụ.

Giả sử f : R2  R3

(u,v) a ( u+v,uv, u)Cho p(1,2) ; v(3,4) Tìmf*|P(v) ?

v v





=

7 10 3

ánh xạf*đ-ợc gọi làánh xạ đối tiếp xúc củaf.

2.24.Mệnh đề.

i, f* tuyến tính

ii, Giả sử : g: Rl  Rh là ánh xạ khả vi Khi đó:(gf)* =f*

og*

= (g*(f* X1), , (g*( f*Xk))

= g*( (f* X1), ,(f* Xk) )

= f*g*( X1, ,Xk) ;

( X1, ,Xk)B(Rn); k( Rl,Rm)VËy (gf)*=f*

o g*.

 

 

  = ( X1, X1 , v2X1 + 2uvX2 )T-¬ng tù: f*Y = ( Y1 , Y1 , v2Y1 + 2uvY2 )

MÆt kh¸c: f*(X,Y) = ( f*X, f*Y )

= (xdxdz + ydydz) ( f*X, f*Y )

= (xdxdz) ( f*X, f*Y ) +( ydydz) ( f*X, f*Y )

= x(dx f*X.dz f*Y - dx f*Y.dz f*X) + y(dy f*X.dz f*Y – dy f*Y.dz f*X)

= x[X1(v2Y1+ 2uvY2) - Y1(v2X1 + 2uvX2)] + y[X1(v2Y1 + 2uvY2

= (2u2v + 2u3v)[ du(X)dv(Y) - dv(X)du(Y) ]

= (2u2v + 2u3v)(dudv)( X,Y ) ; X,Y B(R2)

VËyf*() = (2u2v+2u3v)dudv.

2.29 Nhận xét Giả sử =I , ta có:

dI(X,Y) = X(I(Y)) -Y(I(X)) - I[X,Y]

= XY - YX - [X,Y] = T(X,Y)

Và nếu =D thì dI = 0

Nh- ta đã biết, các độ cong R và độ xoắn T t-ơng ứng là 3 - dạng vi phân và

2 - dạng vi phân ứng với liên thông tuyến tính trên Rn

(RI)(X,Y,Z) = R(X,Y)I(Z) – R(X,Z)I(Y) +R(Y,Z)I(X)

= R(X,Y)Z – R(X,Z)Y +R(Y,Z)X

cicl{XT(Y,Z) + T(T(X,Y),Z ) - R(X,Y)Z } = 0.

2.31.HÖ qu¶ §èi víi liªn th«ng tuyÕn tÝnhmµ T = 0 th× :

R(X,Y,Z) + R(Y,Z,X) + R(Z,X,Y) = 0

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi đã thực hiện đ-ợc những việc sau đây:

1 Trình bày hệ thống các khái niệm, và chứng minh chi tiết các tính chất cơbản của ánh xạ k - tuyến tính phản xứng

2 Trình bày cách xây dựng k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, xây dựng tíchngoài của các k - dạng vi phân với giá trị véc tơ theo một dạng song tuyến tính

xác định

3 Phát biểu và chứng minh các mệnh đề 2.5 về cách tính tích ngoài của cácdạng vi phân; mệnh đề 2.10 về cách xác định vi phân ngoài trên k – dạng viphân với giá trị véc tơ

4 Chứng minh mệnh đề 2.13; trình bày ph-ơng pháp tìm nguyên hàm củacác dạng đóng trên một tập sao trong Rn ở các ví dụ 2.16

6 Trình bày mối quan hệ giữu độ cong, độ xoắn đối với , với các k –dạng

vi phân

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các k – dạng vi phân vớigiá trị véc tơ trên tr-ờng số phức

tµi liÖu tham kh¶o

[1].Khu Quèc Anh - NguyÔn Do·n TuÊn (2004): LÝ thuyÕt liªn th«ng vµ H×nh

häc Riemann - NXB §¹i häc S- ph¹m Hµ néi 1

[2] H.Cartan (1980) - PhÐp tÝnh vi ph©n vµ c¸c d¹ng vi ph©n -NXB §¹i häc

vµ THCN

(B¶n dÞch tiÕng ViÖt do Hoµng H÷u Nh- - Phan V¨n H¹p dÞch tõ tiÕng Nga)

[3].NguyÔn V¨n Khuª - Lª MËu H¶i (2004) - PhÐp tÝnh vi ph©n - d¹ng vi

ph©n trong kh«ng gian Banach - NXB §¹i häc S- ph¹m Hµ néi 1.

[4].NguyÔn H÷u Quang (2005) - §a t¹p kh¶ vi - §¹i häc Vinh.

[5].NguyÔn H÷u Quang (2005) - Më ®Çu vÒ H×nh häc Riemann - §¹i häc

Vinh

[6].§oµn Quúnh (2003) - H×nh häc vi ph©n - NXB §¹i häc S- ph¹m Hµ néi

[7].§oµn Quúnh - TrÇn §×nh ViÖn - Tr-¬ng §øc Hinh - NguyÔn H÷u Quang

(1993) - Bµi tËp H×nh häc vi ph©n - NXB Gi¸o dôc.

[8].M.Xpivak (1985) - Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p - NXB §¹i häc vµ trung

häc chuyªn nghiÖp

(B¶n dÞch tiÕng ViÖt do Hoµng H÷u §-êng dÞch tõ tiÕng Anh)