Tối ưu hóa đa trị phụ thuộc tham số, điều kiện cần tối ưu và bất đẳng thức biến phân

Luận văn tiến sĩ:Tối ưu hóa đa trị phụ thuộc tham số, điều kiện cần tối ưu và bất đẳng thức biến phân

LÊ MINH LƯU

TỐI ƯU HOÁ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ

ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU VÀ BẤT

DANG THUC BIEN PHAN

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 1.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Phan Quốc Khánh, TS Trần Huệ Nương

TP HO CHÍ MINH.2002

LỜI CẢM ƠN

Tác giả bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sác tới Thầy G5 Phan Quốc Khánh và Cô TS Trần Huệ Nương đã hết lòng giúp đỡ, hướng dẫn tác giả trong suốt thời gian thực hiện luận án Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy,

cô Khoa Toán-Tin học, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học và hợp tác quốc

tế trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đai học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả

“Tác gia tran trong cam on GS Nguyễn Văn Hiền thuộc Đại học Namur

Vương quốc Bỉ và G5 Phan Quốc Khánh thuộc Đạt học khoa học tự nhiên,

Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh phụ trách chương trình " Tối ưu hóa Toán

ứng dụng” trong hợp tác khoa học giữa Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

và hội đồng các trường Đại học dùng tiếng Pháp, Vương quốc Bi ( €.LU.F - G.U.D /€.U.L) đã khích lệ góp nhiều ý kiến qúy giá về chuyên môn, nhất là

trong 3 tháng tác gia thực tập trong khuôn khổ chương trình này tại Namur

Sự biết ơn cũng xin được gửi đến GS Phạm Thế Long, GS Hoàng Xuân

Phú và TŠ Tạ Duy Phượng phụ trách Chương trình "Một số vấn đề chọn loc cua lý thuyết tối ưu và tính toán khoa học” (Viện Toán học) về những

điều kiện thuận lợi hỗ trợ việc hoàn thành luận án của tác gia

Nhân dịp này, tác giả cắm ơn PGS, Nguyễn Hữu Đức Hiệu trưởng, các

đồng nghiệp Khoa Toán-Tìn học và Phòng sau dai hoc Dai hoc Đà lạt da

động viên và tạo điều kiện để luận án được hoàn thành.

GS5.TSKH Phan Quốc Khánh và TS Trần Huệ Nương

ác kết quả, số liệu nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bổ trong bất kỳ một công trình của bác gỉa nào khác

TP Hb Chi Minh 14/07/2001

Le Minh Luu.

1.2 Cdc dinh nghia co ban 00ers 9

1.3 Điều kiện cần cực trị cho bài toán với ràng buộc đẳng thức đơn trị 12 Chương 2.Điều kiện cần tối ưu cho tối ưu hoá đa trị phụ thuộc tham số với ràng buộc bao hàm thức

2.1 Điều kiện cần LỐi ưu 220cc c2 y số 33

Chương 3 Sự tồn tại nghiệm cuả bất đẳng thức biến phân và

gia bất đẳng thức biến phân

3.1 Bất đẳng thức biến phân và mở rộng 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm cuả bất đẳng thức biến phân 51 3.3 Sự tồn tại nghiệm cuả bất đẳng thức biến phân suy rộng 53

3.4 Sự tồn tại nghiệm cud bat dang thitc bién phan (VI) va (SVI) 53 3.5 Sự tồn tại nghiệm cuả giả bất đẳng thức biến phân 63

3.6 Ấp dụng cho bài toán giả bù cuc nhào 69 3.7 Ứng dụng vào bài toán cân bằng giao thông 70 Chương 4 Sự ổn định nghiệm giả bất đẳng thức biến phân

4.1 Sự ổn định cuả nghiệm bất đẳng thức biến phân 73 4.2 Tính nửa lên tục theo tham số cuả nghiệm giả bất đẳng thức biến

4.3 Ap dung cho bài toán gÌa bù c2 2n che 79

CAC BAI BAO LIEN QUAN TRỰC TIẾP TỚI LUẬN ÁN 83

"Tối ưu hoá có chứa các hàm đa trị, gọi tắt là tối ưu hóa đa trị, bất đầu được

nghiên cứu hệ thống về lý thuyết từ [Corley 1981], đã phát triển rất mạnh, trở thành một lĩnh vực ứng dụng giải tích đa trị nhiều nhất

1ý thuyết về điều kiện cần tối ưu đóng vai trò nền móng và đã rất phong

phú Điều kiện đủ tối ưu thường chỉ được xuất hiện kèm theo, hoặc gắn với

lý thuyết đối ngân Kết quá phố biến là ở dạng khẳng định rằng điều kiện

cần tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ khi có them các giả thiết lồi nào đó Vì

vậy ở đây chúng bôi chỉ tập trung xét điều kiện cần

Điều kiện cần tối ưu cổ điển nhất, nhưng cũng là cơ sở cuả mọi kết quả hiện đại là định lý Fermat khẳng định rằng cực trị địa phương + cua hàm

£:R— R khả vì tại z; phải thỏa điều kiện cần tối ưu Vƒ(zạ) œ 0 Định lý

Weleratraas cổ điển mở rộng ra điều kiện cần đả ƒ : R — Ñ đạt cực tiểu tại

#ạ trên tập #7 lồi trong Tin là (—V ƒ(za),+£T— su) > 0, Ve € & Néu xq € intl thì điều kiện này lại quay về V ƒ(zg} = 9

Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển là tìm zy € EC Re (13 tap lồi, đóng, khác trống) sao cho (/(za),# ~ 29) > 0, V2 € E GO day t: Re 4 Re

là hàm đã cho Như vậy bất đẳng thức bigén phan Ung voi f= ~V/f chinh la điều kiện cần tối ưu Weierstrass cho f tran & Vi vay tiép theo Chuang 1 và

2 nghiên cứu điều kiện tối ưu dang Eritz John và Kuhn-Tucker, mở rộng của điều kiện Fermai va Weierstrass ra trudng hop tap E dugc xác định bằng

các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại

nghiệm của bất đẳng thức biến phân và cả dạng rất tổng quát là giá bất

dang thic bién phan (quasi-variational inequality)

Đóng góp chính của chương này là các định lý tồn tại khá tổng quát, bao hàm và cải tiến nhiều kết quả cuả các tác giả nước ngoài mới công bố trong

thời gian 1997.1999, nhất là giảm nhẹ được các giả thiết đơn điệu Đồng thời

chúng tôi cũng đưa ra dạng bất đẳng thức biển phân và bài toán bù mới

Các bài toán phụ thuộc tham số đã được quan tâm từ nhiều thế kỷ Có

hai nguyên nhân chính dẫn đến phải xét bài toán phụ thuộc tham số Một

là bài toán thực tế thường có nhiều biến quan hệ với nhau rất phức tạp mà

khi mô hình hoá toán học cần phân biệt biến độc lập chính và biến độc lập

là tham sd [loffe-Tihomirov 1979] nghiên cứu điều kiện cần tối ưu ở các

bài toán tham số như vậy cho tối ưu võ hướng và ứng dụng vào điều khiển

hệ động [Khanh-Nuong 1988, 1989] mở rộng kết quả đó cho lối ưu vectơ

'Trong Chương 1 và 2 chúng tôi mở rộng nghiên cứu này ra cho bài toán tối

ưu đa trị có tham số

Điều kiện cần tối ưu kiểu Eritz John cho bài toán tối ưu đa trị (không có tham số) được xét trong [Corley 1981, 1988, 1989], Giả thiết nặng và cốt yếu trong các nghiên cứu đó là nón thứ tự của các không gian được xét đều có phần trong khác trống, Nhưng với mô hình bài toán tối ưu như vậy không

thể áp dụng cho các bài toán điều khiến tối ưu được, vì có các phương trình

vị phân hoặc bao hàm thức vi phân, Để cải thiện tình hình đó chúng tôi

phải xét bài toán có ràng buộc đẳng thức, khi đó nén thứ tự có phần trong bằng 8 Chính điều này gãy nên gần như toàn bộ khó khăn và đòi hỏi một

cỗ máy kỹ thuật phức tạp mà trung tâm là định lý Lusternik

Nguyên nhân thứ hai dẫn đến bài toán có tham số là dữ kiện cuả mọi bài

toán thực tế chỉ là gần đúng và chịu biến động nên mô hình cuá bài toán

có phụ thuộc tham số Do đó cách tiếp cận tham số thứ hai là xét sự ổn

định cuả nghiệm theo tham số Chương 4 cuảá luận án nghiên cứu tham số

theo cách tiếp cận này và cụ thả là dành cho tính nưả liên tục trên cuả tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đây là một hướng mới về nghiên cứu tính

ổn định

Cũng cần nói thêm rằng bất đẳng thức biến phân, được nghiên cứu hệ thống đầu tiên từ 1969 bởi Stampacchia, đã phát triển rất mạnh thành một lĩnh vực độc lập Nó có nhiều liên quan và ứng dụng nhất đến hai chuyên

ngành tối ưu hóa và phương trình đạo hàm riêng

Ngoài việc bất đẳng thức biến phân là biểu hiện điều kiện bối ưu như trên

đã nói, các mối quan hệ chính với tới ưu hóa là như sau

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân là tương đương với việc tìm cực kiểu

không ràng buộc cuả hàm merit (hoặc gọi khác hàm gap)} được dịnh nghĩa

phù hợp với bài toán bất đẳng thức biến phân

2 Trường hợp tập xét là nón, bài toán bất đẳng thức biến phân là lương

ứng với bài toán mạng

4 Nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân chính là mật hình chiếu theo nghĩa chuẩn nhỏ nhất, Cụ thể là zg là nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển

([zu),# — 29) > 0, Ve € E,

khi và chỉ khi zạ = Py(xg — œf{za)) với œ > 0 cố định bất kỳ, ở đây PgŒ)

là phép chiếu cuả z trên tập lồi đóng #,

Trong luận án này các quan hệ 2 và 3 được phản tích khá kỹ trong các muc 3.6, 3.7 và 4.3 khi nghiền cửu các ứng dụng cuả các định lý đã thu được.

NOI DUNG chương 1

ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CHO TỐI ƯU HÓA

ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ VỚI RÀNG

F(A) ~ fo CY \ ((-K)\ 4) (1.2)

can của z¿ sao cho (1.1) (hoặc (1.2)) thoả với F(A) thay bei Z(An N) thì ta nói Z có cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu yếu địa phương, tương

ung) tat (xq; fo)

Vi t&p tham sé U 1a tap bat ky, khong cin cé cau tric gi (dé bai toan cd dạng tổng quát) nên khi áp dụng định nghĩa trên cho bài toán (P) và (P) ta coi tô pô trên X x Ũ là tô pô tích với to pd tren U 1A to po thm thường chỉ gồm Ú và Ù

Chú ý rằng nếu G là ánh xạ đơn trị ø thì cả bai ràng buộc G(z,u) C —

và G(z,u) n(—ÄMƒ) # Ú đều trở thành g(z,u) < 0 Nếu P là ánh xạ đơn trị

p thì ràng buộc 0 € P{z,u) trở thành p(z,u) = 0 Vi vay (P) va (P) chính

là mở rộng bài toán tối ưu hóa với ràng buộc bất đẳng thức và đẳng thức ra

trường hợp đa trị, Cũng chú ý rằng chúng ta dùng ký hiệu < chung cho cả

thứ tự trong V và Z để đơn giản, vì ngữ cảnh sẽ chỉ rõ đó là thứ tự nào loffe va Tihomirov đã xét bài toán (?P) và (P) trong trường hợp tối ưu

một mục tiêu đơn trị, tte la F/G và P có dạng tương ứng ƒ : X xÙ +

R,g:XxU4Z, p:XxU - W vachitng minh diéu kién cin tdi uu Fritz

John và Kuhn-Tucker cho trường hợp lồi địa phương chính quy, là trường hợp p khả vị liên tục theo z, ƒ và ø khả vi đều theo mọi hướng và cùng với p thỏa một giá thiết kiểu giống lồi (convexlike) Nhờ các giả thiết nhẹ và thích

hợp các điều kiện tối ưu này được áp dụng cho bài toán điều khiển tối ưu có

ràng buộc trang thái để rút ra nguyên lý cực đại Pontryagin Ở đây tham

số œ chính là biến điều khiển Trong [Khanh-Nuong 1988.1989], các kết quả này được mở rộng ra bài toán bối ưu nhiều mục tiêu, tức là bài toán với hàm

muc tiêu là ƒ: X xÙ -¬+ Y

Trong Chương 1 và 2 chúng tôi xét bài toán tối ưu đa trị (P) và () Ở Chương 1 chúng tôi xét riêng bài toán với ảnh xạ P = p là đơn trị Các bài toán này rất thường gặp vì ràng buộc đẳng thức p{z,u) = 0 thường là

phương trình mô tả trạng thái cuả hệ, các điều kiện đầu và điều kiện biên, Chương 2 mở rộng kết quả ra trường hợp P là ánh xạ đa trị, tức là bài

toán đa trị hoàn toàn Dạng hay gặp cuả bài toán này là 0 € P(z,u) có dạng bao hàm thức vì phân Chúng tôi chứng minh điều kiện cần tối ưu Fritz John va Kuhn-Tucker Tuy nhiên việc áp dụng vào các bài toán điều khiển tối ưu hệ động còn dang là vấn đề nghiên cứu sắp tới của chúng lôi

Vì sự phức tạp của bài toán đa trị trong trường hợp này, luận án chưa thể bao hàm các nghiên cứu như vậy

1.2 Các định nghĩa cơ bản

Ký hiệu Z* là không gian đối ngẫu tô pô của Z, tức là không gian các phiếm hàm tuyển tỉnh liên tục trên Z, Gọi ă* là nón liên hợp cuả nón M, tức là

M*:={u€ 2* :{n,z) >0, Vz€ MỲ

Cho (ro veh là một điểm chấp nhận duge cud (P) va (P) va vdi go € G(zp, ug) 1 (—M) cé dinh Khi dé ta dinh nghia

Mg := {oz + 90) 7 € Ry, 2 € M},

Mỹ := {u € M* : (u, go) = 0} = (Mo)

Dd thi grF va mién hiéu qua domF cua anh xa da tri F : X ~~ Y duge dinh nghia nhu sau

grF :={(z,u)€ X xY:u€Z7(z)}, domF = {2 eX: F(a) ¢ 8}

Dao ham Clarke cia F tai (20; fo) € grF, ky hieu l& DF (2p; fy) 1& mot anh

xa da tri cling th X vao Y cd db thi la

gr DF (x9; fo) :=

V(2n, fa) vr (x9, fo), Wen ¬ 0+, (up, Wp) > (0,0),

(s.°) ERY Va, fe tytn € Flay + tat)

ở đây —p nghĩa là (za;f„) € gr F va (ta, fn) 4 (20, fo) Dugc biét rang

DF (29; fo) ludn l& mot qua trinh lồi đóng, tức là ánh xe đa trị có đồ thị

lk ndén Wi déng khác trống Ta cũng dùng ký hiệu pyÍzg, tạ} cho đạo hàm

Fréchet cud ánh xa dan tri pl, ug) tại #g

Trong nghiên cứu cud ching tdi chi có tính khả vì theo hướng theo + sau đây cần giá thiết cho F va G

ĐỊNH NGHĨA 121 Giá sử X và Y là các không gian Banach, Ý được sắp bởi nón K Ánh xạ đa trị Z: X ^+ Ý được gọi là A - khd vi déu theo

hướng # € X tai (20, fạ) € grZ nếu với mọi lãn cận V cha 0 trong Ÿ, tồn tại lân cân của # và số thực + > 0 sao cho Wy € (0,a),Vz € N,Vƒ €

#(zạ ++z),VYƒ!c Da: ñ)E,

5

# được gọi là K -khả vị đều tại (za, ƒa} nếu tính khả vì này đúng cho mọi

hướng z trong 27 (za, /ạ)

Về sự liên tục theo biến + chúng ta sẽ cần tính nửa liên tục sau đây cho

các ánh xạ đa trị,

ĐỊNH NGHĨA 122 Giả sử X,Y và K như ở Định nghĩa 12.1 và #7 : X» Ÿ Giả sử zạ € dom.# và T C Ÿ(za) # 6 7 được gọi là K-nửa liên bục

dưới mạnh (K-s]s.c.} theo tại z¿ nếu với mọi lân cận V của 0 trong Ÿ,

tồn tai lan cin N cla xg sac cho Ve € N, Sf, € F(z),

fe-TOV-K

Nếu 3ƒ, € F(x), duge thay boi Vf, € F(x) thi ta cd định nghĩa cud tink

K-ntra lien tuc duéi déu (K-uls.c.)

Cha y¥ ring néu 29 € intdomF, thi K-uls.c suy ra K-s.ls.c vi néu F

a K-sls.c theo F(z), thi F(.}+ K 18 nita lien tuc dudi theo nghĩa thông thường của anh xa da tri

Bây giờ nói về bién u Tuy tập Ứ không có cấu trúc gì nhưng chúng ta cũng

cần có các giá thiết mở rộng (và giảm nhẹ) cuả tính giống lồi (convexlike) cổ điển cuả [Fan 1955 ] như trong ba định nghĩa sau đây

ĐỊNH NGHĨA 1.243 Giả sử Ù là tập, còn Ý và Z là các không gian tuyến

HH

tính được sắp bởi cdc adn i K va M, tuang ứng

() #: X ¬+ Ý được gọi là K-giống Wi trong (Uj, U2) néu Vu; € U0, C

ULV F, © Flu), i = 1,2, ¥y € [0 1, 3u @U Ff, € Fee),

(Q-Wh +7h-hek

(ñ) (Z,đ) :U ^s Y x Z được gọi là x M giống li mạnh đối với Ở

néu Vu; € UWA, € Flu), Voi € O(a), i = 1,2,¥y € [0,1],4du € UYy, €

Glu), If, © F(y),

ĐỊNH NGHĨA 124 Ánh xạ đa trị (Z,?): XÃ x Ð + Y kW được gọi

ik K x {0} -giống lồi yếu trong (Ù, {ua}) tại rạ, manh đối vải 7, nếu vất

mọi tập hữu bạn {ay, ưạ} C , tồn tại lần câu ÍÝ của ze sao cho V2 € N,V{[ø, du) € Th 3P 6 Flea), Ve € PŒ, HỦ,€ = Ú0, m 3u €

U, ifs € F(x, u), det € P(e, u),

và không khó kiếm tra như Thí dụ 1.3.2 dưới day chỉ rõ

ĐINH NGHĨA 125 Bài toáa (?) với ánh xạ # = p đơu trị được gọi là

giống lồi xáp xì tai (ạ, tạ) nâu với mọi tập hữu hạn {, d,} C 7, với mọi

§ > 0, ton tai c > 0, tồn bại lăn cận V của 2z; và ánh xa 0 : xe}* —+ U, tồn

taie € K vag © M sac cho Vz,z!€ V, 3ƒ?) € F(œ,u;), g' € GẮm, tị}, ƒ = 0,1, ,5, Vơ,ơt€ cÐ*, Vy, € Gla, u(z,a)), If, € Plz, ule, a})} thoả

Sle ~ 2 + 3 Jay ~ a5) £

(a; — a;)p(2a, ull

ah

6 day dao him p,{2g, tạ) được giả thiết là tồn tại

Qhú ý rằng nến p{z,u]} = 0, và G là đơn trị và định nghĩa chỉ đồi hỏi thoả với § = 0, thì định nghĩa trên chính là tính X x Äf-giống lồi của ánh xạ

don tri F x G theo nghia cia (Fan 1953]

Để làm việc với bao hàm thức 0 € P(ø,u) ở Chương 2, ta cần định nghĩa

sau

ĐỊNH NGHĨA 126 Gid st) F : X s+ ¥, ag € domF, fy € F(xq) Anh

xạ đơn trị ƒ : X + Y xác định trong lần cận N của zụ được gọi là lát cắt

địa phương chính quy cha F tai (ao, fy) néu F(ze) = fo, f(z) € 7(œ) với moi z € W)ndom.# và fj{zạ)à = V ƒ được gọi là lát cất địa phương dưới chink quy néu fi{ap)X = Y duoc thay boi fi{eg)X = Ð,7(zrg)X và có đối

chiều hữu hạn

1.3 Điều kiện cần cực trị cho bài toán với

ràng buộc đẳng thức đơn trị

Trong muc nby ta xết trường hợp hai bài toán (P) và (P} có rùng buộc

0€ P{z,u} ở dạng 0 = pÍz, u), tức là P = p là ảnh xạ đơn trị Trước tiên

13

ta xét bài toán (P)

ĐINH LÝ 13.1 (Điều kiện cần Fritz John cho (P\) Gid sit rang

(L với mỗi u € U, p(.,u) khả uí liên tục tại ty vd Pz(%a, uạ) là ánh sa lên, ở đây (zạ,uạ) là điểm chấp nhận được của (P);

(8) P(,un) uà QÁ.,uạ) là K-khả tỉ đều tai (xq, ug; fo) vd Mokhd vi déu tại (#ạ, ta; gạ), tương ứng, ở đâu ƒo € Í (xạ, ta), gạ € G(0n, aạ) ñ (—M);

(Hủ với mỗi u # tạ, F(,u) (G(,u), tương ứng) là K-s.Ls.c theo

ca, H) (M-s.Ls.c theo Gng,H)) tại sa Hơn nữa, P( uy) (QẮ, tạ)) là

—Ä-s.L«.c theo ƒ (— M-s.La.c theo gụ, tương wing} tai x;

(iv) uới mại œ trong một lần cận V cuẳ xq, (F,G,p)(a, ) la Kx M x {0}- giống lồi trong (U, {ua}) Hơn nữa, (F,G,p)(sg,.) la K x M x {0}-giống lồi trong (U, D)

N€u (20, up; fy) là cực tiểu yếu địa phương của (Ê), thị tồn tại (Ào, Hạ, va) € K* x Mi x W*\ {0,0,0} sao cho, oới mọt (œ,u) € X <Ũ,

Oo, BaF (20, ua; fale + F(zq, 4) — fr)

+ún, Đ,Gta, Ua, Gehz + Gia, u) — go)

+(V,, Pe(£o, Uo) t + p(to, 0) ~ p(g, up)) C Ry (1.3)

Chứng mình: Nếu

a ¢ domD,F (2g, up; fo) \domD.G(xo, us: 99);

thì vế trái cuả (1.3) là trống và rõ ràng (1.3) đúng Vậy ta có thể giá thiết rằng £ là thuộc phần giao này Tuy nhiên, để đơn giản các kí hiệu ta vẫn viết z€ X

Giá sử Ở là tập bao gdm tat cd cde (y,z,w) € Y x Z x W sao cho

3(=,u) €X x Ú,3ft € DF (20, uo; fo), 3fy, € F(z0, u),

Ta sẽ chỉ ra Ở là tập lồi Thực vậy, nếu (¿,z¿, tạ} € Ở, š = 1,2, thì, với cách

kí hiệu tương tự trong (1.4)-(1.6), ta có, từ mỗi + € [0, 1],

xịt, + ~ +), + xin +ÍT — TÌfể — ƒa Sm + —+)ga, (7) +8}, + (1 ~ 7)gÉ, + 198 + (L- 7)9% - 90 ŠS ñ +(La2)z2, (L8)

Po(£p, Uo) (yt + (1 ~ )#:) + Yp(a, tị) + (L — +)P(£a, 12)

Bởi tính lồi cuả đạo hàm Clarke, đặt # := y#¡ + (1 — y)z¿ ta thấy rằng

đ:= vít +(— +)Ðt, € DF (xo, uo; fo),

Bởi vậy, (1.7)-(1.9) đồng thời chỉ ra là

(g,Z,18) := TM, #4, 0i) + (1 — y) (ye, 22, we) thuộc Ở, tức là Ở Tài,

“Tiếp theo ta chứng minh rằng infC # 6 gid sử là (g,z, 1) € Ơ Thì với c>0 đủ bé và cố định

J+ ft — l— 9 +cBy C -intkK, (1.10)

95+ 9%, — 9 -7F+eBz C —intM, 1)

Pr(2o, Uo)F + p(zo, u) = W, (112)

ở đây By, By va Bz la cdc quả cầu đơn vi mé trong X,Y và Z, tương ứng B& tinh K-kha vi déu cud F(.,up) trong gid thiét (ii), 36 > 0, 3yy > 0,Vz € E+ By, Vy € (0,19), Vf € Fly +2, ug),

(f - fo) ~ Se € By ~ K (1.18)

15

Bay gid ti: méi « € + 4By va moi ff € D, F(z, up; fo) suy ra rằng,

Ye, 3y € (0, 2a), đe! € z + 5 By, Af € F(to + y2', up),

+ (1.13) và (1.14) đồng thời chỉ ra rằng Vz € £ + ‡B„,

Ví; € D„F(zạ, tại fụ)2, Fy € (0,49), Je! € x + £By, Ff € Flay +72", uy),

thì bởi định lý tách ta thu được (1.3)

Để chứng minh (1.16), ta giả sử ngược lại là tồn tại (2,8) € X x U, fle D,F (xq, uo; fo)?, 9 € DeG(xo, 40; 90)2, f4, € F{œa, 8) và gỗ, € G(zạ, ñ) sao

cho

9: + 98, — 90 € —int Me, (1.18)

Px{p, Up) + p(zạ, ð) = 0 (1.19)

Ta dinh nghia dnh xa P: X x R — W bởi

?(z, ø) := œp(zạ + z, 8) + (1 — œ)p(# + #, t) (1.20)

Ta thay ring P(0, 0) = 0, P*(0, 0) (a, a) = pp (ap, ug) + ap(zg, ñ) và

?!{0,0)(2,1) = 6 Hơn nữa, bởi định lý Lusternik, tồn tại & > 0 và ánh xạ t¬ £(9,t — â(Ð cuả [0,9] vào X va R, tuong ting, sao cho #(t) 4 0 va

&(t) + 0 khi ¿ tiến tới 0 và, từ mỗi £ € [0, #],

Bởi giả thiết (in), vdi đủ bé và với «, tồn tại đều E Gla(t), a) va

sy € Gle(8), uy) thos

Bởi tính M-khả vị đều cuả G(., uạ) gid thiết trong (H), với mọi ổ và £ đủ bé,

tễ Gets © 90 + t93 + +z —M (1.24)

Gee + HL + ACE) (G8 ay — giận) = øà + g + gỗ, — gọ + Bộ — m)) (1⁄26)

Hơn nữa, từ (iv), tồn tại ø € G(z{), u()) sao cho

go + (4$ + đ', — ga + bị — mỹ) Ca + M (1.27)

Tới việc kiểm tra G(2+(0), ä(Ð))n(—M) # 0 với mọi £ > 0 đủ bé, ta gia Sử ngược lại rằng 3í„ —> 01, đua € MỸ", ||ua|| = 1 (giả sử rằng „„ hoi tu *-yéu tới ñ € M*), (na, ø,) > 0 ø là thuộc Mỹ Thực vậy, Nếu @ ¢ Mg, ton tai

8 > 0 sao cho ẤH, gạ) < ~6 Mặt khác từ (1.27) suy ra

(ns Fea) S (Hai Go) + taditns đ + đẾ, — gà + Bật — mì), (1.28)

Vậy, với t, dd bé, (u„, ø„} < 0, là mầu thuần

Bay gid từ 8€ My, va (1.25) suy ra, với n đủ lớn,

tnlttns 9: + 98, ~ go + bf — mi) <0

Vay (1.28) m&u thudn vdi (un, 9) 2 0

Sử dụng chứng mính ở trên cho #' thay thể cho Ở ta có ƒ, € F(z(?), u(9) sao cho (tương tự như (1.27), (1.25))

fio fee -K +t + fã — Ía + bá — È)

ánh xạ đơn trị Với bài toán (P) dạng tương đương đó cuả (1.3) là

(a) (Ao, Dz F(a, ua; fat) + (49, DeG (20, Up; go))

+5, P2(tq, tg )t) CR, Vee X,

(6) Qo, fa) + (Ho, 9a) + (es Po)

= minyeu{ fo, £0, 0) + g(Ho, Zo, 4) + P(Ye, Zo, uf,

G day po = p(eo, to) = 9, F(An, 20,4) = min{(Ag, ys y € F(z0, u)},

G{ Ho, Zo, 8) = mnin{ (yp, z); z € G(zq,u)} vd pl, vo, 4) = (nạ, P(£n, t))

Bây giờ ta chuyển sang điều kiện cần tối ưu Kuhn-Tucker Cũng như trường hợp cổ điển, bể sung thêm định tính ràng buộc kiểu Slaker ta được

ĐỊNH LÝ 1.82 (Điều kiện cần Kubn-Tucker cho (P)) Với các giả thiết

cud Dinh ly 1.3.1, giả sử rằng pz(=q, tạ) X + p(sa,U) chứa lân cận gốc toa

độ uà tồn tại (, 0) € X xÙ, gì 6€ D,Gla, tị gạ)Š và ÿ € G(xa, tt) sao cho

(0a, Pz(2a, tạ)2ì + pỨng, tị)) < 0,

là mâu thuẫn với (1.3) Do đó nạ # 0 Nhưng khi đó (Z, ) không thoả (1.3) B& vậy, À; # 0

Tiếp theo hãy xét bài toán (P) Thay tỉnh giống lồi trong (, {ua}) ở giả

thiét (iv) cud Dinh ly 1.3.1 va 1.3.2 béi tinh giống lồi trong (Ú, {uạ}) mạnh

is

đối với G được định nghĩa dưới đãy ta để dâng chúng mình tương tự trên đây để được điều kiện cần bối ưu đứng như ở Định lý 143.1 và 1.3.2

ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 GIÁ sử F) G và p xác định như trong bài toán (P) Ta

nói (F,Ơ,p)(œ, ) là K x ÁM x {0}-giống lồi trong (U, {uạ]] mạnh theo G nếu

Vui €Ú,V(1,ø1) € FŒ, uị) xG(s, ta), VỢ, g9) © Fle, ug) x G(a, ug}, Vy € (6, 1], du € U, V9" € G(2,u), 3f* € F(z, u),

yflt(l~a)f? — fre K,

yogi t(h- yg? - gt € M, yp(a, us) + (1 ~ y)p(@, ve) = p(x, a)

CHU ¥ 1.3.2 Vì diễn đạt cá các giả thiết ở hai định lý trên khá phức tạp ta hãy phân tích thêm Giả thiết (¡) là chat nhất nhưng là không tránh

khỏi với cách tiếp cận và sử lý ràng buộc đẳng thức bằng cách áp dụng Định

lý Lusternik Tính khả vì đều ở (1) là mở rộng cho ánh xạ đa trị cuả các

khái niệm tương ứng cuả [fofe-Tihomirov 1979] Thí dụ dudi day cho ta ánh

xa đa trị thoả đồng thoi (ii) và (iii) Tinh K x M x {0}-gidng [bi trong (iv)

là yếu hơn X x M x {0}-lBì thường gặp trong các trường hợp lồi

"THÍ DỤ 13.1 Giá sử X = R,U = R và zạ€ X Giả sử G: X xÙ + R xác định theo

đíz,u) := (z — za)*(|u|Í0, 1Ị— 1)-

Ta kiếm tra (H} và (H1) với (£a, tp) := (#a, 1)

(ii) Cho e > 0 và # € X ta xác định ố > 0 sao cho, Vr € (ay — ổ,#ụ +

6), Vg! € D,G(xo, tạ; gp)#, VY > 0,

G(zo + #, tạ) — ga — Tự! C YÍ—& 9) — lọ, (129)

& day go € G(r, ug) = {0} Đầu tiên ta chỉ ra là D,Glza,uạ;,0)# = {0} Yz€ X Bởi định nghĩa, ø' € Ð,G(%a,ta;0}# nghĩa là Yg„ —+ 8,Vz„ 4

#ụ, Yứ„ — 0†, 3ểa — F, 3g — 0, Yn,

Ont tagh € Gan + ly#u, tạ) E[—(£u + tay — #a), 0Ì,

Chọn g„ = 0,2, = £¡ ta được gh €[—„#Ã, 0} Vụ, Vì thế, từ gi > gt, 3 OF

và #a -+ #,g'= 0 Do đó, (1.39) là

[—+?z°,0] C y(—‹,€) T— Bị,

luôn luôn đứng (từ mỗi ô > 0 và + > 0)

(1ñ) Với mỗi ú ? tạ vac > 0 ta tìm được 6 > 0 sao cho , Vr € (ay ~ 4, c9+

§),

Gíz,u) — Ga, u} = (0, (2 ~ #a} |u|[ — (œ — z¿}? C (s9 ~— Rà

(Tính chất này là mạnh hơn Ñ,-s.ls.c với Ø(z¿,u),) ô có thể lấy là ta

k3

Bay giờ ta kiểm tra lại tính chất mạnh hơn - H-sÌsc với ø; = Ô cuả G(,uạ) Với mỗi e > 0, ta xác định Ê > Ú sao cho , Vz € (2g — ỗ,2ạ +ổ),

G=, tạ) — ga E8 [—(# — zá)?, 0] C (~e,€) + Ry

Bởi vậy có thể chọn ổ = fe

Nhận xét rằng Định lý 1.3.1 và 13.2 chứa các kết quả tương ứng trong [loffe-Tihomirow 1979] cho bài toán (P) và (P) đơn trị với giả thiết p„(#, tạ) X =

W như trường hợp riêng GIÁ thiết này khá nặng, hạn chế khả năng áp dụng

rõ rệt Chẳng hạn khi áp dụng vào điều khiển tối du đòi bỏi giám nhẹ giả thiết này thành p„{(2a,uạ}ÄX cổ đổi chiều bữu hạn Đồng thời giả thiét (iv)

về giống lồi cũng là một trở ngại cần giảm nhẹ xuống yêu cầu về giống lồi

xp xi theo Định nghĩa 1.25 Đi theo hướng này ta cần bố đề sau

BO DE 133 Gid sd X va Y là các không gian Banach, V được sếp

bởi nón lài K oà 7: X ^+ Y là N-khả ví đều tại (sạ, fo) € grF Khi do

¥a2 € X,Ve> 0,36 > 0, V2 Go + bBy, Vii € DF (xq; fo)z,

DF (a9; fo)a' C fi + eBy — K,

éday By la qua chu đơn vị md trong X

Chifng minh: Boi F 1a K-kha vi déu tai (xo, fo), Ve € X,Ve > 0,35 >

0, 3a > 0,W+ € (0,20), Vay € + 26By, Vi € F(zgt+ya), Vt € DF (xq; fo)z,

DINH LY 1.3.4 (Điều kiện cần Fritz John cho (P)} Giả sử rằng:

(1) tù mỗi u € Ủ,p(.,u) là khả u¡ liên tục tại xạ vd p;(2q,uạ)X có đốt chiều hữu hạn;

(ai) F(., ug) vd G(., ug) la K-khd vt déu tai (x9, fy) vd M-khd vi đều tại

(*o, go), tương tíng;

(iit) vi motu F ug, F(.,u) vd G(.,u) la K-u.lis.c udi F(ag,u) va M- als.c udi G(zo,u), teong dng; F(.,up) vd GC, ug) 4 —K-ulis.c udi fy

vd —M-u.l.s.c uới dụ, tương ng (tất cd tai zy);

(tv) bài toán (P) là giống lồi xấp zỈ tại (Zq, tạ)

hi đó, nếu (#ạ, tạ; ƒa) là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (P), thi tồn tại (Àa, mạ, tạ) € K* x Mỹ x W*\ {0,0,0} sao cho, V(x,u) € X xÙ,

ÔA, Ð;P(zg, tạ; fa)# + P (sọ, t) — fo) +íua, D„G(œa, uạ; gạ)£ + G(zạ, u) — ga) +2, pz(#o, Up) + p(to, 4) — p(đạ, tạ) C Ry (1.32)

Chúng mình: Đạt

L = p,(aq,up)X, B= L + conup(zg, VU)

(6 day conv chỉ bao lồi va span chi bao tuyén tinh.) Néu spanB # W, spanB cé déi chitu hitu han nén tn tai vp € W*, vg # 0, sao cho, vdi mọi (z,u)EX x U,

nạ, pz(#a, tạ)2 + p(ta, 0) = 0

Bởi chọn Àạ = 0 và mạ = 0 ta thu được (132) Bây giờ, giả sử rằng

spanB = W và gọi ÏÏ là phép chiếu chính tác từ W vào W/L Tù /(P)

là lồi và SpanH(B) = WjL, ta có tnHHH(P) # 0 Do dé intB # 0, vì

TO UT(B)) = B Néu 0 ý intB, ott dung dinh ly tach ta cé thé tach 0 va

B bdi mạ €W*, uạ # 0, tức là với mọi (z,u) € X x Ũ,

(0a, Pz(đa, tạ)£ + p(2a, 0)} > 0,

Vậy (1.32) là thoả mẫn với Àa = Ú, uạ = 0

Nếu 0 € intB, ta xét tap C gdm tat cd (y,z,w) € Y x Z x W sao cho 3z € X, 3 {uy, tm} CU, Ay >0, ,3X„ > 0, Af € Flee, ui}, đại €

G(xo, uj), Aff € DpF (2, uo; fo)e , Agt € DzG(2xo, uo; 90) 2,

Jet X34= fr) —y & -intK,

95 +3) TÂN — đa) — 2 E int,

gi

m

Pz(#ạ, uạ)# + dno, tị) = w

iz Bởi tính lồi của đạo hàm Clarke ta dễ thấy rằng Ở là tập lồi, Từ Bồ đề 1.35 dudi day, intC # 0 Néu C khong giao vdi (—intK) x (—intM‡*) x {0}, thì bởi định lý tách tồn tại À; € X*, nạ © MP* = Mf va uạ G W*, không đồng thời bằng không, sao cho (1.32) đúng

Bay giờ ta giả sử ngược lại là hai tập nói trên giao nhau, tức là tồn tại

Yor > Ú, , Tom, > Ũ, tạ, tom, EU, 2 EX, fl € Flao,uy;), 9 €

23

G(x, oj), f= 1, , mo, fl € DrF (20, tg; fo)z! va g! € DzG(x9, up; go)z'sa0 cho

Ƒ'+ x to; (F? — fo} € —intK, (1.33)

git x “(87 — Go) € —intMG”, (1.34)

Pe (Zo, Uo) 2! + S Pleo, up;) = 0 (1.35)

&=

Từ 0€ ?mtlH(B) và SpanmII(B) = WL là hữu hạn chiều, tồn tại z¡, ,z„ € TH(P) sao cho Span{z,, ,z,} = W/L va z,+ +2, = 0 Béi dinh nghia cua Ö có xy € X, Wy > Ủ, , Tim, > Ô, ,Tgp > Ũ, ,Yym, > Gyn, in, sa Mại, s.y Mạ, € sao cho

Ƒ+ x +( — fo) + 2eBy C —intK

Do Bé dé 1.3.3, vdi mai ff € V, với mỗi 9 > 0 đủ bé và mỗi ƒ €

D,F (x9, uo; fo)(2" + 021), ta cd

r7 + x +( — fo) + S( ` Oral fi ~ fo))

g=1 t=

c/#+ x yoj(f? — fo) + 2eBy ~K C -intK —-K = -intK — (1.39)

Tuong tu, từ (1.34) và Bỏ đề 1.3.3, với mỗi gf € Z, mỗi 9 > 0 đủ bé và từ mỗi ÿ' € D„G(zạ, tạ; øạ)(#! + 0z), ta có

ø + Š sg(jŸ — ø) + (5, Pala — a)) € =im MP, (140)

Dat F = 2!+Ory, ty = Up, Bg = Comes Umott = Biss Wy = Um tiny t.tm, = Ubmy Ổn “ Tội sa Ẩma — Vorros Fmt = #yu, 8, = # my, ỦY = Dâm =

In mai = float, = và tưởng tự với Fy, 19s: thì (1.39), (1.40), (1.35) cùng với (1.37), và (1 38) được viết lại là

7+ yal, ~ fo) € —intK, (1.41)

7 >> @,(9; — 90) € ~int MS, (1.42)

P;(3, tạ)# + Š) 8jp(zo, 8) = 0, (1.43) Span(L(Jp(s, Bị) : he =1, ,s}) = W (144)

Đối với 0y, ,, và ổ > 0, mà ta chọn thích hợp dưới đây, sao cho phù hợp với giả thiết (iv), ta có các biểu thức trong Định nghĩa 1.2.5 (với ị, ty ở chỗ cuả trạ, , tạ)

Ta định nghĩa ánh xạ # và ánh xạ tuyến tính giới nội 4 cuả lần cận (zạ,0) € X x + vào W như sau

?P{z, œ) = p(z, t(z, ø*)) + > d7 P(#ạ, B;), A(z,œ) = p„(#a, tạ)2 + » œ;P(2u, /),

6 day af c= maz{a,, 0); d7 = gi— af , at -= (af, o2) Bởi biểu thức cuối trong Định nghĩa 1.2.5, từ mỗi (z, a) va (2', a’) trong V x eX ta cd

|P(z, a) ~ P(œ', a) — A(œ, a) + A(e', o’)I|

= {[p(z, a at)) — p(zt, vet, al) — ~ Palo, to)(@ —#)

~ Let - plo, a) < S(llz ~ 2 + $ la; ~ 2): (1.48)

Từ (1.44) ta có A(X x R*) = W Biéu thi A: uw x R*)/KerA —¬ W là ánh

xạ một raột ứng với A Nếu ô chọn bé sao cho SAW < 1/2, thi bi dink

lý Lusternik, tồn tại Ï > 0,k > 0 và ánh xa £ — (2(#), a(#)) cua [0,7] vào

X x Ré sao cho, với mỗi ¿ € |0, ï,

Plag + te + 2(t), t@+ a(t) = 0,

(jez + (tif +08, +a;(Đ)a — g,€M (1.47)

'Ta ước lượng mỗi số hạng trong (1.47) như sau Cho ổ > 0 và ø > 0, ta xét

6([lal| + Oa) <a

jz

và, bởi (1.46), ||z(#)|| < to nếu £ đủ bé, và

bolle + aN — 99) CBBz, voi i=1,

Theo giả thiết (ii), tồn tại lân cận Ä cuả zạ sao cho (từ Z(0) € ÁN với £ đủ

bé)

—grp +99 € BBz - M.

Vi & (trong (1.41)-(1.43)) cd thể xét bé hơn ndu cin , (1.46) cho ta tay +

#)) cứ j=l #

Bây giờ ta ước lượng số hạng thứ hai trong (1.47):

(tex; + a;(4))(gs! — 92?)

= (ta; + a,(€))(gz? — 9 — 92? + go) + #8 (F; — 90) + as; — 90)

€ (ta; + a,(t))(@Bz — M+ BBz — M) + ta,(9; - 90) + Bz

Với số hạng thứ nhất trong (1.47), bởi tính M-kha vi d8u cua G, véi moi t

đủ bé, tồn tại cole € ¢Bz vant € M sao cho

gat = go + (7 + cog — 2°) (1.50)

Thay thé (1.48), (1.49) và (1.50) vao trong (1.47) suy ra ton tai df, € ¢Bz

va pt € M sao cho

go + (5? tả mi (9; — 90) + 45), — PY)

9o + l{g' + 2% & (9; — 8) + hộja — Pp) - GEM (1.52)

Tiếp theo ta kiểm tra rằng, với mọi £ đủ bé thì G(#(£), ø(#)) C—M Giả

sử ngược lại, có dây í„ — 0 và mạ € AM", ||[un|| = 1, tạ hội tụ *-yếu tới Z, sac cho (tn, 8} > 0 voi gy, € G(z(4,), t(f„)) Ta chỉ ra rằng ø € Ä Thực vậy, nếu # không thuộc Äỹ thì tồn tại Ø > 0 sao cho (ji, 99) < —8 Boi (1.52) ta

Ly luan nbu trén vdi G dp dung cho F, cd f, € F(z(#),G()) sao cho (tuong tu (1.52) va (1.53), & € $By, kt € K)

fim foe -K +07 + So aj(F, — fo) + My — HY) CK —intK = -inik,

jal Như vậy chúng ta có sự mâu thuẫn với tính cực tiéu yéu cud (xq, ug; fo) và chứng minh kết thúc

BỒ ĐỀ 135 Tạp Œ định nghĩa trong chứng mình cud Định lý 1.3.4 có phần trong khác rỗng

Chứng mình: Từ (1.36) ta có

ms 5 veiplee, Ugi)} = ba =0

ii

Thay đổi cách kí hiệu tất cả các + bởi dy và tất cả các tạ, bởi tự, j =

1, ,m, thì đẳng thức này được viết lại là

intM, ff € DF (2g, 09; fot, S5 € F(2o, 4), 9° © DrG(2o, up; 90)21,9; €

Ta cé thé lay « > 0 sao cho

fit 3 6j(f) — fy) 9 + 3eBy C -intK

BOG, 71) = {0 = (24,5 yn) £0 > 9, max lay — âj| <3),

sé.cd € sao cho DR (a, — &,)(f; — fo) € eBy với mọi ø € B(â,«¡) Do đó

+ Š (a;~ 8j)(ƒ - fo) + eBy ~ K jal

C fit 35 &\(f; — ) —9+3eBy — K C —intK — K = ~intK

có phần trong khác rỗng Nhưng rõ ràng Q C Ở Vậy intC 40.0

ĐỊNH LÝ 13.6 (Điều biện Kuhn-Tucker cho (P)) Ngoài các gid thiết cud Định lý 1.3.4, gid st them rằng p„(=a,uạ)X + p(zg, U) chứa lân cận gốc toa độ uà tồn tại (š, ũ) € X x Ug; € D,G(x9, ua; gg)Š uà § € Ga, ñ) sao cho

92+ 5 — øa € —imt Mẹ, Pz(#a, tạ)Š + p(xo, ñ) = 0

Khi đó Ag khde 0

Chứng mình: Tương tự chứng mình cuả Định lý 1.3.2 0

Chuyển sang bài toán (Ế) ta có thể giảm nhẹ tính giống lồi xấp xỉ như sau

ĐỊNH NGHĨA 13.2 ải toán (P) với ánh sạ P ;= p đơn trị được gọi

là giống lồi xấp xf yeu tai (#a, uạ) nếu với mọi tập hữu hạn {uạ, , uy} C

Ù với mọi Š > 0, tồn tại c > 0, tồn tại lân cận V của zạ và ánh

Tạ U : V xe?" —+ U, tồn tại e € K và q € M sao cho Vz,2' €

V, 3ƒ” € F(œ,u,),g' € G(œ,u),j = 0,1, %, Va,d' € cÐ* 3ø, € G{(z,u(z,øœ)), 3ƒ, € F(œ, (+, ø)) thoả

u(z, 0) = to,

B+ Yo a(S - #9) +Ä(|r = si + 93 )e—/€K, -

=

g® +X ajlge' — 9) + 6(lle—zoll + £ a~ 92 EM,

lp(z.o(z, a) ~ ple!, w(2!, a")) — pelo, uo)(2 - 2") — 3 (a; — ø;)p(sa, /)|

j=!

(lle — el|+ » la; — #j:

Việc kiếm tra rằng Định lý 1.3.4 và 1.3.6 vẫn đứng cho bài toán (), với

tính giống lồi xấp xỉ được giảm nhẹ thành tính giống lồi xấp xỉ yếu ở giả thiết (iv) khong khó khăn nên chúng tôi không trình bày cụ thé é day Hai định lý này là mở rộng cuả Định lý 2.1 cho bài toán tối ưu đơn trị trong [Khanh-Nuong 1988] Nhờ những giảm nhẹ về giả thiết ở () và (1v) nên ở [Khanh-Nuong 1988] đã áp dụng Định lý 2.1 để rút ra nguyên lý cực đại Pontryagin cho bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc trạng thái Nghiên cứu áp dụng như vậy cho bài toán với ánh xạ đa trị là vấn đề chúng tôi đang quan tam để phát triển tiếp sau luận van nay

Cũng chứ ¥ rang [Corley 1988] đã xét bài toán đa trị (Ế) nhưng không có ràng buộc đẳng thức và không có tham số Kết quả cuả Corley không thả áp dụng được cho trường hợp có ràng buộc đẳng thức (thậm chí cả khi không

có tham số) vì ở đó phải giả thiết nón thứ tự trong tích tất cả các không gian ảnh phải có phần trong khác trống

Chúng ta đã lý giải rằng giả thiết cud Dinh ly 1.3.4 là khá nhẹ Nhưng phát biểu khá cồng kènh của nó là một yếu điểm chưa khắc phục được, vì tham chí với trường hợp riêng là bài toán đơn trị cuả tối ưu vô hướng trong [ofe.Tihomirov 1979] dạng cuả định lý cũng đã tương tự Tuy vậy, thí dụ sau đây cho thấy các giả thiết cuả định lý không phải là khó kiểm tra

THÍ DỤ 13.2 Giả sử X=Y=Z=W = Rvà K=M = R, Giả sử

ƒ: R—› R là khả vi trong lần cận cuả zạ Giả gử U = [—1,+oo) Giả sử g:U + Ra Lipschitz vdi hing Lipschitz ÿ > 1 Xét bài toán

& day M = maz{ju,| : j = 0,1, ,8},e = 1g = 1 và 0íz,a) = tạ + Đj=¡ O,(uj — uy) Cho x € V, vi f don tri nén biéu thitc ting vdi F trong Dinh nghĩa 1.2.5 là rõ ràng Đối với biểu thức ứng với Ở ba lấy øz” = ~(#—zạ)? với moi j = 0,1, ,8 Tiếp theo, —(z — zạ}? € (z — zg)?(|u;|[0, 1]— 1) = G(, u;) với mọi j Hơn nữa, mọi số thực cuả tập

nên sẽ là không âm

Bây giờ ta kiểm tra biểu thức ứng với P Cho z,z!€ V va a,a’ € «Ds,

ta đánh giá vế trái cuả biểu thức này như sau

lu, s(=,a)) ~ p(2!, ofa", a!) ~ palo, uo)(z - 2!) ~ 8i — 3;)p(=a, 9; ||

= llE=-zo)s(ws+Ȉ 8,(0j—wa))= (8'=sg)a(w£ ej[~w))~g[we)(z~)=H|

< HŒ=ss)JHI (s,~s)(s,~sa)|l+llfe=z)fø (+3 a ‘(uj—u9))—a(uo))I

<3MỊIz ~ z| ` lx; ~ a/|+31.MI|z — z!| x {ail

< 3 Ja; — a] + lle - 2")

Vậy mọi gia thiết của Định lý được thỏa.

33

Chương 2

ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CHO TỐI ƯU HÓA

ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ VỚI RANG BUOC BAO HAM THỨC

Trong chuong này ta sé nghiên cứu bài toán (PP) và (P) tổng quát, với rằng buộc 0 € ?{£,u) là ràng buộc bao hàm thức thực sự Các bài toán

thực bế cũng hay có dạng này, chẳng hạn trạng thái cua he dong hoc có điều khiển có thể được mô tả bởi bao hàm thức vi phân mà không đưa về phương

trình vị phân được

2.1 Điều kiện cần tối ưu

Mục này dành cho việc mở rộng các điều kiện cần dạng Fritz John và Kuhn-Tucker nhận được ở chương trước cho trường hợp ràng buộc đẳng thức p(z, u) — 0 ra cho trường hợp rằng buộc bao hàm thức 0€ P(z,u) Ta

xét bài toán () trước

ĐINH LÝ 2.1.1 Giá sử rằng (=ạ,uạ) là điểm chấp nhận của (P)} od

(iy) th mdi £ € X,p> € D,P(ss,uạ;0)E, P(,uạ) có lát cắt dưới chính qui p(.,uạ) tai (29,0) khd vi lien tuc sao cho ph = ph(#q, dạ)#;

(ig) Voi moi u # uạ 0à p € P{(sa,u),P(.,u) có lát cắt địa phương khả

vi lién tục p(.,u) tạt (#a, p);

(8) F{(,uạ) và G(,uạ) là K-khả ví đều tại (zọ,tọ, fo) và M-khả ví đều

lại (Zạ, tạ; go), tương ~ ở day fy € F(x, uo), 90 € G20, wo) M-M);

(18) từ mỗi u # tạ, F(.u) (G(., u), tuong ng) là K-s.hs.c vdi F(x, u) (M-s.La.c uới Pia tai Zo Hon nifa, F(.,ug) (G(., up)) 1a —K-s.h.s.c

vi fy (—M-s.Ls.c udi gg, tuong ứng) tại 29;

(iu) từ mỗi z trong lan can cia ro, (F/G, P)(a,.) la Kx M x {0}-gio'ng

lồi,

Nếu (zạ,ứạ; ƒn) là cực tiểu địa phương yếu của (P), thì tồn lạt

(Ao, Ho, #0) 6 K* x Mỹ xW*\ {0,0,0}

sao cho, uổi mỗi (œ,u) € X xÙ,

(o, DF (20, up; fo)t + (20, u) — fo) +a, D„G(#ạ, tạ; gọ)# + 2a, 0) — 96)

+, D,P(zo, ug; 0)z + Pa, u)) CR (2.2)

Chứng mình: Giả sử

L = D,P(2o, u9;0)X, B= L + P(2o,V),

thì Ø8 B Bi (vì Píza, D) là lồi do (iv)) SpanB 1a khong gian con cd déi chiều hữu hạn Nếu spanÐ # W thì ton tai vp € W* \ {0} sao cho, từ mỗi

(z,u)€ X xÙ,

(vg, Da P( a9, tg) 0)e + P(x, u)) = 0

và (2.2) là thỏa mản với Às = 0, gạ = 0

Bay gid gia str rang SpanB = W và kí hiệu 17 là phép chiếu chính tắc từ

W vào WjL Do H(Đ) là lồi và Spanli(B) = Wj/L, ta có tntH(B) # 6

Vi H-1(1(B)) = B, intB #0 Nếu 0 ¢ intB, 0 cd thé tach the Ð bởi

tạ €W*\ {0}, tức là với mỗi (z,u) € X x Ù,

(%, Dz P(ao, up; 0)z + Pao, u)) > 0

và (2.2) là đúng với À; = 0, øạ = 0

Bay gid xét trường hợp 0 € intB Goi C la tap mot (y,z,w) EY xZxw sao cho A{z,u) € XxU, Aft € D,F (zo, ug; fo)z , gk € DeG@(ao, ug; go)z, Apt € D,P(2o, up; 0)z, 3 fz, € F(zp,u) , Jog, € G(eo,u) Apt, € P(zo,u),

+ + f2 — fy —y € ~intk,

gt + 98, — 90 —2 € —intM, pet pt, -— w= 0

Tương tự như trong chứng mình Dinh ly 1.3.1, bởi tính lồi của đạo hàm Clarke va gia thiét K x M x {0}-giống lồi trong (Iv} ta thấy Ở là một tập

35

lồi

Do tinh kha vi déu theo hudng cla F(., ug) va G(., up) trong (ii), bang ly

luận tương tự như trong Bồ đề 1.3.5 không khó kiểm tra rằng intC # Nếu

ở đây Bạ là quả cầu đơn vị mở của 7

Do tính ÄM-khả vị đền của G(.,uạ) trong (H) ta có lân cận Ä| của Ê và

lị >0 sao cho Vz € Ny, Vi E (0, 4), Vg, € Glaxo + tz, ug),

6

% E go + tgs + 1 Bz — M (2.11)

Chọn é¡ sao cho Ê + sizi € MỊ Lấy tùy ý g3; € G(zg, tị), ¿ = 1, ,m, và e; sao cho €, HM, (gr, — 90) € £By Dat ¢ = min{e,, eq} và

vậy (# + cứy, 1, ,1) € KerP!(zạ,0, ,0) Hơn nữa, theo định lý Lusternik,

sẽ có ánh xạ ý + Zi), ~+ ag(Ð, — œ„(Ð) của [D, tạ] vào R sao cho z(t) —¬ 0, ø,(Ð —+ 0,i= 1, ,m, khi £ > 0+, va

PG(2 + czi + #), t1 + a(9, 1L + „(9)) (2.12) Néu dat x(t) == xp + t(2 + cz¡ + #(9), thì nn được viết lại là

?{z(, tạ) + tÑ + aa(f))(p(z(9, 8) — p(e0), uạ)}

+eŠ` đ1 + aj(8))(p(e(9,4) — p(z(0, s)) =

s=1

Theo tính nửa liên tục dưới mạnh giả thiết ở (2), với z(f) và ô sẽ có

gia € G(z(0,9), gia e G(e(9,4), đây € F(z(0,6) và đp € P((), sa)

sao cho, với mọi Ý và e đủ bé,

g5 — 98, € cHy — M, (213)

—Øs0 + 9 6 €Bz — M, (2.14)

37

Do tính giống lồi ở giả thiết (o) lại có u() € Ú, ƒ, € F(z(, u(8)), và

ø € G{(z{(£), u(0)) sao cho

“Ta sẻ chứng mình với ø¿ còn vdi f, JA tương tự

Xét các số hạng trong (2.18) Bởi (2.13),(2114) và từ œ/@) là bé khi £ đủ

Để kiểm tra ø¿ € —M với những # > 0 đủ bé, ta giả sử ngược lại là 3í; > 0*, 3uy € Ä*, |luz|[ = 1, (với mạ hội tụ *yểu tới 7 E M*), (un, 92,) > 9

Dé thấy rằng 7 € Mỹ Thực vậy, nếu # ý A2 thì tồn tại đ > 0 sao cho (H, 90) < —8 Đồng thời, (2.21) suy ra

(Hạ, 0u) < (Hạ, 8g) + tam, đ° + BÑ — gọ + Bs — més) (2.22)

Do đó, (uạ,ø,} < 0 với f„ đủ bé Đây là mâu thuẫn Bay giờ với ø € Mễ

và biểu thức (2.10) ta có, khi œ đủ lớn,

tn {ins 9 + G8, — Go + bi ~ mal) <0

Bởi vậy, (2.22) suy ra với n di ldn, (ty, gs.) < 0, 1a khong thể xảy ra

Lý luận như trên với ø; áp dụng cho f, ta cd

X xU,# € D,Gzu, tạ; gạ)#,p; € D„P(zạ, tạ; 0)2, gỗ, € G(za, 0) và pŠ, €

Pu, ñ) sao cho

đi † đổ, — ga € —int ME,

py + pi, = 0,

thi,Ay # 0

Chứng mình: Tương tự chứng mình cuả Dinh ly 1.3.2 0

NHÂN XÉT 3.1.1 Định lý 2.1.1 là mở rộng của Định lý 1.3.1 ra cho trường hợp bao hàm thức 0 € P(z,u) Hơn nữa ở đây còn có một cải tiến là

39

p(., uạ) chỉ cần là dưới chính qui, nhẹ đi nhiều so với giả thiết về chính quy

ở Định lý 13.1 Đề bù lại, ở (iv), ánh xa (F, G, P)(z, ) cần giả thiết thêm là

K x M x {0}-gidng lồi trong cả Ứ, không chỉ trong (U, {ug})) Tuy nhién su han ché thém nay có thể được nới lỏng nếu ta thay tính nủa liên tục mạnh

ở (1) bởi tính nửa liên tục đều như sau

DINH LY 2.1.8 Gid set cd (iq), (ig) vd (21) như trong Định lý 8.1.1 Giả

thiét thém la

(ti) oới mỗi u # ug, F(,u)(G(,u),tương ng) là K -uls.c ut F(z, u)(M-u.l.s.c vt G(xq,u)) tat zp Hon nữa, F(,un) (G(.,0a)) là

—K-u.ls.c ớt ƒạ (—= M-u.l.s.c uới gạ, tương ng) tại tạ;

(iu) (F,G,P)(zạ,.) là K xM x {0}-giống lồi Hon niga, (F/G, P}(.,.)

la K x M x {0}-giống là: yếu trong (Ú, {ua}) tại sạ, mạnh đối uới P Khi đó kết luận của Định lý 9.1.1 uẫn đứng

Chứng mình, Tương tự chứng mình Định lý 2.1.1, với một vài thay đổi nhỏ O

Bây giờ việc chuyển kết quả vừa nhận được cuả bài toán (P) sang cho (P) chỉ là thay đổi một số kỹ thuật cụ thể trên con đường đã quen biết như

đã nói ở chương trước Chúng tôi đã kiểm tra cụ thể rằng ba Định lý 2.1.1, 2.1.2 và 2.1.3 vẫn đúng cho bài toán (PP) nếu ta thay tính giống lồi và giống lồi yếu giả thiết ở (iv) và (iv') bởi tính giống lồi mạnh đối với G (xem Định nghĩa 1.2.3)

Cuối cùng, để hoàn thiện nghiên cứu về điều kiện cần tối ưu cho tối ưu hoá đa trị có tham sổ theo cách tiếp cận đã đặt ra, ta phải mở rộng các Dinh

ly 1.3.4 va 1.3.6 ra trường hợp bao hàm thức Tức là phải thay giả thiết về giống lồi bởi giả thiết về giống lồi xấp xỉ Như đã nói ở chương trước, việc này là quan trọng cho khả năng áp dụng, nhất là vào điều khiển tối ưu Để tôn them tính "đối xứng” bản chất cuả đa số các mô hình toán học, bãy giờ

ta lại trình bày cụ thả cho bài toán (P)

ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Bài toán (P), hoặc bộ ba ánh xạ đa trị (Ƒ,G, P), được gọi là giống lồi xấp xỉ tại (za, tạ} nếu tồn tại lát cất B(.,.} cuả P{(., ) sao cho với mọi € , p(.,u) là khả vị liên tục tại #g và P(£g, uọ) = 0;