Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu

Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu

- -TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ

NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Thái Nguyên, năm 2011

Mục lục

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 3

Một số ký hiệu và chữ viết tắt 5

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 6 1.1 Tập lồi và hàm lồi 6

1.2 Toán tử đơn điệu 9

1.3 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 11

Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 20

2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 26

lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảonghiêm khắc của cô giáo T.S nguyễn Thị Thu Thủy Tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành và sâu sắc nhất đến cô

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáotrong trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầycô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2009 - 2011, những người đã

đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tôi nhiềukiến thức cơ sở

Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường THPT Phú Bình nơi tôi công tác

đã giúp đỡ, tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũngnhư quá trình làm luận văn Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè thânthiết những người luôn động viên, chia sẻ, giúp tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Người viết luận văn

Trần Thị Phương Thảo

lời nói đầu

Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liênhợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : X → X∗ là toán tử

đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R∪{+∞} là phiếm hàm lồi chính thường nửaliên tục dưới Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational

lý bài toán phụ [3] Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khi toán tử

A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh và hàm ϕ khônglồi mạnh, nói chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩanghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do đó người

ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữkiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng củabài toán ban đầu Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và

có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bằng phương pháp này

O A Liskovets [6] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất

ở đây (Ah, fδ, ϕε) là xấp xỉ của (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε)

Mục đích của luận văn này nhằm trình bày lại các kết quả của

O A Liskovets [6] và Nguyễn Thị Thu Thủy [10] về hiệu chỉnh bất đẳng

thức biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu đơn điệu và đánh giá tốc độhội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh.

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 trìnhbày một số kiến thức cơ bản về tập hợp lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu và bàitoán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banach thực, phảnxạ X Đồng thời trình bày một bài toán thực tế có thể đưa về bài toán bất

đẳng thức biến phân hỗn hợp và nêu các trường hợp đặc biệt của bất đẳngthức biến phân hỗn hợp Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được trình bày trong phần cuối củachương

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biếnphân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu đơn điệu Cụ thể là trình bày định lýtồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.2), sự hội tụ mạnh củanghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân (0.1),

đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong hai trườnghợp hoặc toán tử A hoặc Ah có tính chất ngược đơn điệu mạnh

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

H không gian Hilbert thực

X không gian Banach thực

X∗ không gian liên hợp của X

Rn không gian Euclide n chiều

x := y x được định nghĩa bằng y

∀x với mọi x

∃x tồn tại xinf

xk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới x

xk * x dãy {xk} hội tụ yếu tới x

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản của hàm lồi và toán tử

đơn điệu; trình bày sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân hỗn hợp, một số bài toán liên quan và một bài toán thực tế có thể

đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kết quả của chươngnày được tham khảo trong các tài liệu [1], [4] và [11]

Nhận xét 1.1 Từ Định nghĩa 1.2 dễ thấy (ii) ⇒ (i) và (iii) ⇒ (i).

Định nghĩa 1.3 Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được địnhnghĩa như sau:

(iii) Hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu) trên X nếu

ϕ là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu) tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1 Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi, nửa liên tục dưới thì ϕ

là nửa liên tục dưới yếu

Định nghĩa 1.6 Giả sử ϕ là hàm lồi trên X Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi

ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗, x − yi, ∀y ∈ X

Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕ tại

x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗, x − yi, ∀y ∈ X}

Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) 6= ∅

Định nghĩa 1.7 Cho ϕ : X → R Hàm ϕ được gọi là khả vi theo hướng tại

x ∈ X nếu tồn tại giới hạn:

ϕ0(x, y) = lim

λ→0

ϕ(x + λy) − ϕ(x)

Nếu ϕ0(x, y) = hx∗, yi thì ϕ được gọi là khả vi Gâteaux (khả vi yếu) tại

x ∈ X, và ϕ0(x, y) được gọi là vi phân Gâteaux của ϕ tại x, ϕ0(x) được gọi

Định nghĩa 1.8 Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet

(khả vi mạnh) tại x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X∗ saocho

ϕ(x + y) − ϕ(x) = hA(x), yi + w(x, y)và

lim

kyk→0

w(x, y)kyk = 0,trong đó x + y ∈ X Khi đó hA(x), yi được gọi là vi phân Fréchet vàA(x) = ϕ0(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x

Nhận xét 1.2 Hàm ϕ khả vi Fréchet tại x ∈ X thì nó khả vi Gâteaux tại

điểm đó

Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1 (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ và

F : X → R ∪ {±∞} là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâtaeux là

A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) F là hàm lồi;

(ii) F (x) ≥ F (x0) + hA(x0), x − x0i, ∀x, x0 ∈ X

Mệnh đề 1.2 (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ Giả sử

F : X → R ∪ {±∞} là phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới vàkhả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A Khi đó nếu x0 ∈ X thì các phátbiểu sau là tương đương:

(i) x0 là nghiệm của bài toán cực trị

min

x∈X F (x);

(ii) hA(x0), x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X;

(iii) hA(x), x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.9 Không gian X được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức

kx + yk < 2 đúng với mọi x, y ∈ X sao cho kxk = kyk = 1, x 6= y

Định nghĩa 1.10 Không gian Banach thực phản xạ X được gọi là không

nó là không gian lồi chặt và thỏa mãn với dãy {xn} bất kì mà xn * x và

(ii) đơn điệu chặt nếu x 6= y thì hA(x) − A(y), x − yi > 0, ∀x, y ∈ X;(iii) đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số τ > 0 thỏa mãn

đó hA(x) − A(y), x − yi = (x2 − y2)(x1 − y1) + (−x1+ y1)(x2 − y2) = 0.Suy ra A là toán tử đơn điệu.

Định nghĩa 1.12 Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, D ⊆ X,

A : X → X∗ Toán tử A được gọi là:

(i) liên tục tại điểm x0 ∈ D nếu xn → x0 thì Axn → Ax0;

(ii) h-liên tục tại x0 ∈ D nếu tn → 0 và x0 + tnx ∈ D, 0 ≤ tn ≤ t(x0), ∀xthì A(x0 + tnx) * Ax0;

(iii) d-liên tục tại x0 ∈ D nếu xn → x0 thì Axn * Ax0 với mọi dãy{xn} ⊂ D ;

(iv) liên tục mạnhnếu xn * x0 thì Axn → Ax0;

(v) liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số C sao cho

kA(x) − A(y)k ≤ Ckx − yk, ∀x, y ∈ X;

Toán tử A liên tục (theo Định nghĩa 1.12) trên D nếu nó liên tục tại mọi

điểm của D

Định nghĩa 1.13 Cho A : X → X∗ là một toán tử không tuyến tính Toán

tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X nếu tồn tại toán tử tuyếntính liên tục A0(x) : X → X∗ sao cho

A(x + y) − A(x) = A0(x)y + w(x, y), ∀y ∈ Xtrong đó x + y ∈ X và

lim

kyk→0

w(x, y)kyk = 0.

Khi đó A0(x)y được gọi là vi phân Fréchet và A0(x) được gọi là đạo hàmFréchet của toán tử A tại x

1.3 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh được sử dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Trong mục nàychúng tôi phát biểu bài toán, một số kết quả về điều kiện tồn tại nghiệm,tính chất tập nghiệm và một ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biếnphân hỗn hợp

1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ minh họa

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợpcủa X, A : X → X∗ là một toán tử đơn trị, đơn điệu, h-liên tục và bị chặn

ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dướitrên X Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được phát biểu như sau:Cho f ∈ X∗, tìm x0 ∈ X sao cho

Mệnh đề 1.3 (xem [4]) Cho A : X → X∗ là toán tử đơn trị và

ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tụcdưới và có dưới vi phân trên X Khi đó bài toán (1.1) tương đương với bàitoán: Tìm x0 ∈ X sao cho

f − A(x0) ∈ ∂ϕ(x0)

(i) x0 là nghiệm của bài toán cực trị

min

x∈X{F (x) + ϕ(x)}; (1.2)(ii) hA(x0), x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X;

(iii) hA(x), x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X

Nếu giả thiết hàm ϕ cũng khả vi, thì từ Mệnh đề 1.4 ta suy ra ngay rằngbài toán (1.1) tương đương với bài toán: tìm x0 ∈ X sao cho

f0(x0) = 0,với f(x) = F (x) + ϕ(x)

(i) ⇔ (ii) Thật vậy, nếu x0 là nghiệm của bài toán cực trị (1.2) thì

F1(x0) ≤ F1(x), ∀x ∈ X

Chọn x = (1 − λ)x0 + λx1, ∀x1 ∈ X, λ ∈ (0, 1), khi đó

F1(x0) ≤ F1(1 − λ)x0 + λx1

⇔ F (x0) + ϕ(x0) ≤ F

(1 − λ)x0 + λx1

+ ϕ

(1 − λ)x0 + λx1



+ (1 − λ)ϕ(x0) + λϕ(x1).Vì λ ∈ (0, 1) nên chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho λ ta được

1λ

h

F (1 − λ)x0 + λx1
− F (x0)

i+ ϕ(x1) − ϕ(x0) ≥ 0

Cho λ → 0, do F khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux là A nên suy ra

F1(x) − F1(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X

Do đó x0 ∈ minx∈X F1(x), hay x0 ∈ minx∈X{F (x) + ϕ(x)}

(ii) ⇔ (iii) Thật vậy, từ tính đơn điệu của A ta có:

hA(x) − A(x0), x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Cộng bất đẳng thức trên với (ii) ta được

ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp để nghiên cứu

và giải bài toán cân bằng kinh tế được trình bày dưới đây

Ví dụ 1.2 (xem [5]) Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm,

và p(σ) là giá mà khách hàng sẽ mua một lượng sản phẩm σ Nếu công ty

i cung cấp xi đơn vị sản phẩm thì tổng số lượng sản phẩm của tất cả cáccông ty là σx := Pn

i=1xi Kí hiệu ϕi(xi) là chi phí của công ty i khi sảnxuất ra lượng hàng hóa xi Khi đó, lợi nhuận của công ty i được biểu diễnbởi

Như thường lệ, sản phẩm đầu ra được giả thiết là xi ≥ 0, i = 1, , n.

Ta cũng giả thiết xi bị chặn trên, tức là tồn một số βi ∈ (0, +∞] sao cho

xi ≤ βi, i = 1, , n Chú ý rằng giá của một đơn vị sản phẩm p Pn

i=1xi
phụ thuộc vào tổng sản phẩm, còn hàm chi phí của công ty i chỉ phụ thuộcvào mức độ sản xuất của công ty đó Dĩ nhiên, mỗi công ty cần xác địnhcho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất Tuy nhiêntrong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công ty đều đạt lợi nhuận cực

đại là khó có thể được Vì vậy người ta phải dùng đến khái niệm cân bằngNash

Sản phẩm đầu ra x∗ = (x∗1, , x∗n) của công ty 1, , n được gọi là điểmcân bằng Nash trong cấu trúc thị trường, nếu x∗

i làm cực đại hàm lợi nhuận

fi của công ty i trong khi các công ty khác sản xuất x∗

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

Định lý sau cho ta điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (1.1)

Định lý 1.2 (xem [4]) Nếu tồn tại x0 ∈ domϕ thỏa mãn điều kiện bức

lim

kxk→+∞

hA(x), x − x0i + ϕ(x)

thì bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm

Bổ đề 1.1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.1) tương đương với

hA(x) − f, x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X (1.5)

hA(x)−f, x−x0i ≥ hA(x0)−f, x−x0i ≥ ϕ(x0)−ϕ(x), ∀x ∈ X, x0 ∈ X

Điều này có nghĩa là bất đẳng thức (1.5) đúng

Bây giờ giả sử có (1.5) Với x = xt = tx0+ (1 − t)z, t ∈ [0, 1], z là mộtphần tử tùy ý thuộc X, từ (1.5) ta nhận được

(1 − t)hA(xt) − f, z − x0i + ϕ(tx0 + (1 − t)z) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀z ∈ X

Sử dụng tính lồi của ϕ và bất đẳng thức cuối cùng ta có

(1 − t)hA(xt) − f, z − x0i + tϕ(x0) + (1 − t)ϕ(z) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀z ∈ X.Bất đẳng thức này tương đương với

hA(xt) − f, z − x0i + ϕ(z) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀z ∈ X

Cho t → 1 ta nhận được (1.1)

2Tính chất của tập nghiệm S và tập nghiệm chuẩn tắc S∗ của bài toán(1.1) được cho bởi bổ đề sau

Bổ đề 1.2 (xem [4]) Cho X là không gian có tính chất Ephimov-Stechkin,

X∗là không gian lồi chặt, A : X → X∗ là một toán tử h-liên tục, đơn điệu

và bị chặn, ϕ : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, nửa liên tụcdưới Khi đó

(i) Tập nghiệm S của bài toán (1.1) là một tập lồi, đóng

(ii) Nếu S 6= ∅ thì tập con S∗-nghiệm chuẩn tắc của bài toán (1.1) cũng làtập lồi, đóng

Chứng minh

(i) Cho x1, x2 là hai phần tử khác nhau của S, đặt z = tx1 + (1 − t)x2,

t ∈ [0, 1] ta phải chứng minh z ∈ S Thật vậy, theo Bổ đề 1.1 ta có:

hA(x) − f, x − x1i + ϕ(x) − ϕ(x1) ≥ 0, ∀x ∈ Xvà

hA(x) − f, x − x2i + ϕ(x) − ϕ(x2) ≥ 0, ∀x ∈ X

Nhân hai bất đẳng thức này tương ứng với t và 1 − t, t ∈ [0, 1] rồi cộng lại,

ta có

hA(x) − f, x − zi + ϕ(x) − tϕ(x1) + (1 − t)ϕ(x2)
≥ 0, ∀x ∈ X.Mặt khác vì ϕ là hàm lồi nên

ϕ(z) ≤ tϕ(x1) + (1 − t)ϕ(x2)

Do đó

hA(x) − f, x − zi + ϕ(x) − ϕ(z) ≥ 0, ∀x ∈ X,suy ra z ∈ S, vậy S là tập lồi

Ta sẽ chỉ ra S là tập đóng Giả sử {xn} ⊂ S và xn → x0 Khi đó

hA(xn) − f, x − xni + ϕ(x) − ϕ(xn) ≥ 0, ∀x ∈ X (1.6)Vì A là toán tử đơn điệu, h-liên tục trên X nên A là toán tử d-liên tục và ϕ

là hàm nửa liên tục dưới nên từ bất đẳng thức (1.6) cho n → ∞, ta có

hA(x0) − f, x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X

• Một số trường hợp đặc biệt của bài toán (1.1) (xem [4]):

1) Nếu ϕ là hàm chỉ của tập lồi đóng K trong X, nghĩa là

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ K (1.7)2) Khi K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân(1.7) có dạng phương trình toán tử

A(x) = f

2.1.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh

Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach thực phảnxạ có tính chất Ephimov-Stechkin, X và X∗ là các không gian lồi chặt Đểtiện cho việc trình bày, ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

đã được đề cập ở Chương 1: cho f ∈ X∗, tìm x0 ∈ X sao cho

hA(x0) − f, x − x0i + ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ 0, ∀x ∈ X, (2.1)

ở đây A : D(A) ≡ X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn,

ϕ : D(ϕ) ≡ X → R là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dướitrên X

Sự tồn tại nghiệm x0 của bài toán (2.1) được trình bày trong Định lý 1.2.Tính chất của tập nghiệm của bài toán (2.1) được trình bày trong Bổ đề 1.2.Bài toán (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩanghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (A, f, ϕ) Giả

sử tập nghiệm S của bài toán (2.1) khác rỗng và các dữ kiện (A, f, ϕ) đượccho xấp xỉ bởi (Ah, fδ, ϕε) với các giá trị của các đại lượng τ = (h, δ, ε)cho trước thỏa mãn các điều kiện sau:

α ∈ X sao cho

hAh(xτα) + αUs(xτα− x∗) − fδ, x − xταi+

+ ϕε(x) − ϕε(xτα) ≥ 0, ∀x ∈ X, (2.4)trong đó x∗ ∈ X và Us là ánh xạ từ X vào X∗ thỏa mãn

hUs(x), xi = kxks, kUs(x)k = kxks−1, s ≥ 2

Bất đẳng thức (2.4) hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1)với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α thích hợp.

Trước khi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất

đẳng thức biến phân (2.4) ta cần kết quả sau:

Định lý 2.1 Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục Hơn nữa,nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt

Định lý 2.2 Giả sử các điều kiện (2), (3) thỏa mãn Khi đó bất đẳng thứcbiến phân (2.4) tồn tại duy nhất nghiệm

xε ∈ domϕε.Do tính đơn điệu của Ah và điều kiện (3) ta có bất đẳng thức

Do đó (1.4) được thỏa mãn với toán tử Ah+ αUs và hàm ϕε Vậy với mỗi

α > 0 và fδ ∈ X∗ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.4) tồntại

Ta sẽ chứng minh tính duy nhất Cho x1, x2 là hai nghiệm khác nhaucủa bất đẳng thức (2.4) Khi đó ta có

h(x1) + αUs(x1 − x∗) − fδ, x − x1

+ ϕε(x) − ϕε(x1) ≥ 0, ∀x ∈ X; (2.6)và

h(x2) + αUs(x2 − x∗) − fδ, x − x2

+ ϕε(x) − ϕε(x2) ≥ 0, ∀x ∈ X

(2.7)