một số thuật toán d-gap giải bài toán cân bằng và bât đẳng thức biến phân

24 3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 263.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Phan QuốcKhánh, người đã tận tình giảng dạy và dìu dắt, giúp đỡ tôi rất nhiều trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy trưởng khoa PGS TS Đặng Đức Trọng, cácthầy cô khoa Toán- tin học và đặc biệt là các thầy cô, đồng nghiệp trong bộmôn tối ưu và hệ thống đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóahọc

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tin tưởng và động viên tôitrong suốt thời gian qua

TP HCM tháng 4 năm 2010

Cao Nghi Thục

Mục lục

1.1 Tập lồi và hàm lồi 6

1.1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính 6

1.1.2 Hàm lồi trên không gian tuyến tính 7

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 10

1.2.1 Tính liên tục của hàm trên không gian định chuẩn 10

1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi trong không gian định chuẩn 11 1.2.3 Hàm nửa liên tục trong không gian định chuẩn 14

1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ 15

1.4 Đạo hàm 16

1.4.1 Đạo hàm theo hướng 16

1.4.2 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet 17

2 Bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Phát biểu bài toán 20

2.1.1 Bài toán cân bằng 20

MỤC LỤC 3

2.1.2 Bất đẳng thức biến phân 212.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 212.3 Bài toán cân bằng bổ trợ 232.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 24

3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng

3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 263.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thứcbiến phân 343.2.1 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng 343.2.2 Thuật toán D-gap giải bài toán bất đẳng thức biến phân 40

Lời nói đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) ra đời vàothập niên 60 của thế kỷ XX với những đóng góp to lớn của G Stampacchia,

J L Lions Đến nay, bài toán đã được phát triển thành nhiều dạng khácnhau như bất đẳng thức biến phân vec tơ, bất đẳng thức biến phân suy rộng,tựa bất đẳng thức biến phân

Mô hình bài toán này chứa đựng rất nhiều bài toán quan trọng của các lĩnhvực khác như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, Do đó bàitoán thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng nhưtrong nước trong đó phải kể đến N D Yen, G T Chen, P Q Khanh, L M.Luu, N X Hai

Gần đây bài toán mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bàitoán cân bằng cũng thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn I V.Konnov [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ], O Chadli [7], J C Yao [7], M S S.Ali [11], O.V Pinyagina [6], G Mastroeni [14, 15, 16, 17], J M Peng [15],M.Fukushima [3], Mô hình bài toán như sau

Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và f : S×S → R

là hàm cân bằng Khi đó bài toán tìm x∗ ∈ S

sao cho

f (x∗, y) > 0, ∀y ∈ S (1)được gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem)

Lời nói đầu 5

Trong luận văn này, chúng tôi hệ thống lại các phương pháp giải bài toáncân bằng dưới dạng các thuật toán sử dụng hàm gap, hàm D-gap Luận văngồm ba chương

• Chương 1: trình bày các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, tính liên tục,nửa liên tục của hàm trên không gian tuyến tính, và một số vấn đề liênquan

• Chương 2: hệ thống lại mô hình bài toán cân bằng, bất đẳng thức biếnphân

• Chương 3: trình bày thuật toán sử dụng hàm D-gap giải bài toán cânbằng và bất đẳng thức biến phân

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính M ⊆ X được gọi làtập lồi nếu ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] : αx + (1 − α)y ∈ S

Mệnh đề 1.1.2

(i) Giao họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi

(ii) Nếu C ⊆ X, D ⊆ X là hai tập lồi và α ∈ R thì

Nhận xét Tập S lồi khi và chỉ khi coS = S.

Giả sử X là không gian tuyến tính, S ⊂ X và f : S → R ∪ {±∞}

Định lý 1.1.10(Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f là hàm chính thường trên

S Khi đó, f là lồi trên S khi và chỉ khi ∀x1, x2, , xm ∈ S, ∀α1, α2, , αm ≥0;

1.1 Tập lồi và hàm lồi 8

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử S ⊂ X là tập lồi và f : S → R ∪ {±∞}

(i) Hàm f được gọi là lồi (convex)tại x∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] ta có

f [αx + (1 − αx∗)] ≤ αf (x) + (1 − α)f (x∗)

f được gọi là lồi trên S nếu nó lồi tại mọi x ∈ S

(ii) Hàm f được gọi là lồi chặt (strictly convex) tại x∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S, x 6=

x∗, ∀α ∈ (0, 1) ta có

f [αx + (1 − αx∗)] < αf (x) + (1 − α)f (x∗)

f được gọi là lồi chặt trên S nếu nó lồi chặt tại mọi x ∈ S

(iii) Hàm f được gọi là lõm (concave) tại x∗ ∈ S nếu −f là lồi tại x∗ ∈ S.(iv) Hàm f được gọi là lõm chặt (strictly concave) tại x∗ ∈ S nếu −f là lồichặt tại x∗ ∈ S

(v) Hàm f được gọi là lồi mạnh (strongly convex) tại x∗ ∈ S nếu ∀x ∈

S, ∀α ∈ [0, 1], ∃ρ > 0 thỏa mãn

f [αx + (1 − αx∗)] ≤ αf (x) + (1 − α)f (x∗) − ρα(1 − α)kx − x∗k2.Hàm f được gọi là lồi mạnh trên S nếu nó lồi mạnh tại mọi x ∈ S

Nhận xét Nếu f lồi chặt tại x∗ ∈ S hoặc trên tập S thì f cũng lồi tại x∗ ∈ Shoặc trên tập S

Trong mệnh đề, chiều ngược lại không đúng Chẳng hạn, hàm f : R −→ Rxác định bởi f (x) = x3 có tập mức

1.1 Tập lồi và hàm lồi 9

Mệnh đề 1.1.13 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪ {+∞} Khi đó

f là tựa lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1],

f [αx + (1 − α)y] ≤ max{f (x), f (y)}

Công thức trên là đặc trưng hoàn toàn cho tính tựa lồi của hàm trên mộttập lồi Do vậy, nếu dùng nó làm định nghĩa sẽ thuận lợi hơn khi xét từngđiểm và để phát triển thêm khái niệm như sau

Định nghĩa 1.1.14 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪ {+∞}

(i) Hàm f được gọi là tựa lồi tại x∗ ∈ S nếu với mọi x ∈ S sao cho

f (x) ≤ f (x∗) và α ∈ [0, 1] ta có

f [αx + (1 − αx∗)] ≤ f (x∗)

f được gọi là tựa lồi trên S nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ S

(ii) Hàm f được gọi là tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) tại x∗ ∈ S nếu

∀x ∈ S sao cho f (x) < f (x∗) và α ∈ (0, 1) ta có,

f [αx + (1 − αx∗)] < f (x∗)

f được gọi là tựa lồi chặt trên S nếu nó tựa lồi chặt tại mọi x ∈ S.(iii) Hàm f được gọi là tựa lõm (quasiconcave) tại x∗ ∈ S hoặc trên S nếu

−f là tựa lồi tại x∗ ∈ S hoặc trên S

(iv) Hàm f được gọi là tựa lõm chặt (strictly quasiconcave) tại x∗ ∈ S hoặctrên S nếu −f là tựa lồi chặt tại x∗ ∈ S hoặc trên S

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 10

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1

(i) Điểm x∗ ∈ X được gọi là điểm tụ của tập S nếu mọi lân cận của x∗

đều có một điểm của S khác x∗

(ii) a được gọi là giới hạn dưới của hàm f : S −→ R khi x dần đếnđiểm tụ x∗ của miền xác định S nếu a là điểm tụ nhỏ nhất củatập f (S) := {f (x) : x ∈ S}, tức là tồn tại dãy xn → x∗ sao cholim

a = lim sup

x→x ∗

f (x)

Nhận xét Nếu không tồn tại số thực a hữu hạn thỏa định nghĩa trên thì

ta nói lim inf

x→x ∗ f (x) = −∞ (tương ứng lim sup

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 11

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử S ⊂ X và f : S −→ R

(i) Hàm f được gọi là liên tục (continuous) tại x∗ thuộc miền xác định S

và là điểm tụ của S nếu một bất kỳ trong hai điều tương đương sauđây thỏa:

(α1) ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x∗, δ) ⇒ f (x∗) − ε < f (x) < f (x∗) + ε.(α2) Với mọi dãy {xn} ⊂ S và xn → x∗, lim

n→∞f (xn) = f (x∗)

(ii) Hàm f được gọi là liên tục trên S nếu nó liên tục tại mọi điểm tụ của

S Hay, hàm f được gọi là liên tục trên S nếu một bất kỳ trong bađiều tương đương sau đây thỏa:

(β1) Với mọi α ∈ R, các tập mức dưới Sα := {x ∈ S : f (x) ≤ α} vàmức trên Sα := {x ∈ S : f (x) ≥ α} đều là tập đóng tương đốitrong S

(β2) Với mọi α ∈ R, các tập mức sau đây đều là mở tương đối trongS:

Nhận xét Điều kiện Lipschitz mạnh hơn tính liên tục

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 12

Định lý 1.2.5 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên không gian định chuẩn

X Khi đó năm khẳng định sau là tương đương

(i) Hàm f là bị chặn trên trong một lân cận điểm x∗ nào đó

(ii) Hàm f liên tục tại điểm x∗ nào đó

(iii) Hàm f liên tục Lipschitz quanh x∗ nào đó

(iv) int(epif )6= ∅, ở đây int(·) là phần trong của (·)

(v) int(domf )6= ∅ và f liên tục trong int(domf )

Chứng minh:

(ii)⇒ (i) Hiển nhiên

(i)⇒ (ii) Giả sử f (x) ≤ M < +∞, ∀x ∈ U , với U là lân cận của x∗.Không mất tính tổng quát, giả sử x∗ = 0, f (x∗) = 0 và M > 0, ta sẽchứng minh f liên tục Cho trước ε > 0, ε < M ta sẽ kiểm tra

Vì tập ở vế trái là mở nên int(epif ) 6= ∅

(iv)⇒ (v) Giả sử (x, γ) ∈ int(epif ) Khi đó rõ ràng f phải bị chặn trêntrong một lân cận của x Do (i)⇔ (ii), nên f liên tục tại x Ta thấy rằngint(domf ) = {x ∈ X : ∃α ∈ R, (x, α) ∈ int(epif }, trong đó int(epif )6=

∅ nên int(domf )6= ∅ và f liên tục tại mọi x trong int(domf )

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 13

(v)⇒ (ii) Hiển nhiên

(ii)⇒ (iii) Vì f (x) liên tục tại điểm x∗ nên tồn tại l > 0 và ε > 0 saocho | f (x) |< l với mọi x ∈ B(x∗, 2ε) Ta sẽ chứng minh (1.1) với

U = B(x∗, ε) và L = 2l

ε Với bất kỳ x, ˙x trong B(x

∗, ε), x 6= ˙x ta xétđiểm

y = x + (x − ˙x) ε

kx − ˙xk.Khi đó

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 14

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử S ⊆ X, x∗ ∈ S và là điểm tụ của S và f : S −→ R

(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lower semi-continuous) tại x∗ nếumột bất kỳ trong hai điều tương đương sau thỏa

(α1) ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x∗, δ) ⇒ f (x∗) − ε < f (x)

(α2) Với mọi dãy {xn} ⊂ S, xn → x∗ ta có lim inf

n→∞ f (xn) > f (x∗).(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên S nếu nó nửa liên tục dướitại mọi điểm tụ của S Hay, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên

S nếu một bất kỳ trong ba điều tương đương sau thỏa

(β1) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới Sα là đóng tương đối trong S.(β2) Với mọi α ∈ R, tập mức trên Soα là mở tương đối trong S

(β3) Trên đồ thị epif là đóng tương đối trong S × R

Định nghĩa 1.2.7 Giả sử S ⊆ X, x∗ ∈ S và là điểm tụ của S và f : S → R

(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (upper semi-continuous) tại x∗nếu một bất kỳ trong hai điều tương đương sau thỏa

S nếu một bất kỳ trong ba điều tương đương sau thỏa

(β1) Với mọi α ∈ R, tập mức trên Sα là đóng tương đối trong S.(β2) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới Soα là mở tương đối trong S.(β3) Dưới đồ thị hypof là đóng tương đối trong S × R

Nhận xét Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x∗ (hoặc trên S) khi vàchỉ khi −f nửa liên tục dưới tại x∗ (hoặc trên S) Hàm f được gọi là liêntục tại x∗ (hoặc trên S) khi và chỉ khi f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liêntục dưới tại x∗ (hoặc trên S)

1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ 15

Thí dụ 1.2.8 Xét hai hàm số f : R −→ R, g : R −→ R xác định như sau.(a) Hàm

f (x) =

(

x nếu x 6= 2x

là nửa liên tục trên tại x∗ = 2 và liên tục tại mọi x 6= 2 Do đó g nửaliên tục trên trên R

1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ

Giả sử X là không gian định chuẩn, X∗ là không gian liên hợp, tức làkhông gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên X và ánh xạ

1.4 Đạo hàm 16

1.4 Đạo hàm

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là không gian vectơ, (Y, k · k) là không gianđịnh chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và ánh xạ f : S −→ Y Nếu với

tồn tại thì f0(x∗)(h) được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x∗ theo hướng

h Nếu với mọi h ∈ X giới hạn f0(x∗)(h) đều tồn tại thì f được gọi là khả

vi theo hướng tại x∗

Định lý 1.4.2 Giả sử X là không gian vectơ, S ⊂ X là tập khác trống

Như vậy x∗ là điểm cực tiểu của f trên S 

Định nghĩa 1.4.3 Giả sử (X, k · kX) và (Y, k · kY) là các không gian địnhchuẩn, S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x∗ ∈ S Với mọi

1.4 Đạo hàm 18

Định lý 1.4.5 Giả sử (X, k · kX) và (Y, k · kY) là các không gian định chuẩn,

S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x∗ ∈ S Nếu f khả viFréchet tại x∗ thì f cũng khả vi Gâteaux tại x∗ và hai đạo hàm này bằngnhau

Mối liên hệ giữa đạo hàm Fréchet và tính liên tục, tính lồi của ánh xạ thểhiện qua các định lý sau

Định lý 1.4.6 Giả sử (X, k · kX) và (Y, k · kY) là các không gian địnhchuẩn, S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x∗ ∈ S Nếu fkhả vi Fréchet tại x∗ thì f liên tục tại x∗

Định lý 1.4.7 Giả sử (X, k · k) là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập lồi,

mở , khác trống và hàm f : S → R khả vi Fréchet tại mọi điểm x∗ ∈ S Khi

đó hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ S

f (y) > f (x) + f0(x)(x − x∗) (1.9)Chứng minh

(i) Giả sử f là hàm lồi Khi đó với mọi x, y ∈ S và λ ∈ (0, 1]

f (x + λ(y − x)) = f (λy + (1 − λ)x) 6 λf (y) + (1 − λ)f (x)

Như vậy f là hàm lồi.

Định lý 1.4.8 Giả sử (X, k · k) là không gian định chuẩn và hàm f : X → R

Nếu x∗ ∈ X là điểm cực tiểu của f trên X và f khả vi Gâteaux tại x∗ thì,

∀h ∈ X,

Hệ thức (1.10) là điều kiện cần để x∗ là điểm cực tiểu của hàm f 

Chương 2

Bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân

2.1 Phát biểu bài toán

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập kháctrống Hàm f : S × S → R được gọi là hàm cân bằng (equilibrium function)nếu

2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 21

Ta nhận thấy rằng trong (EP) nếu xét f (x, y) := hF (x), y − xi thì ta nhậnđược bài toán (VI)

2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử S ⊆ X Hàm p : X → R được gọi là hàm gap chobài toán (EP) nếu và chỉ nếu

(i) p(x) > 0, ∀x ∈ S

(ii) p(x) = 0 và x ∈ S khi và chỉ khi x là nghiệm của (EP)

Bổ đề 2.2.2 [13] Giả sử f là hàm cân bằng Khi đó, các khẳng định sau làtương đương:

(i) x∗ là nghiệm của (EP);

(ii) x∗ = arg min

2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 22

Mệnh đề 2.2.4 Giả sử

(i) ∀x ∈ S, f (x, ·) là hàm lồi chặt trên S;

(ii) ∀y ∈ S, f (·, y) là khả vi và fx liên tục trên S × S;

(iii) sup trong (2.3) đạt được với mọi x ∈ S

Khi đó hàm gap g là khả vi liên tục và gradient là:

g0(x) = −fx(x, y(x)),

trong đó y(x) = arg min

y∈S f (x, y)

Nhận xét Theo bổ đề ,với f là hàm cân bằng y(x∗) = x∗ khi và chỉ khi x∗

là nghiệm của (EP)

Mệnh đề 2.2.5 Giả sử (i)-(iii) của mệnh đề 2.2.4 thỏa Thêm vào đó,

Định nghĩa 2.2.6 Giả sử S ⊆ X Hàm p : X → R được gọi là hàmgap cho bài toán (VI) nếu và chỉ nếu

(i) p(x) > 0, ∀x ∈ S

(ii) p(x) = 0 và x ∈ S khi và chỉ khi x là nghiệm của (VI)

2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ 23

2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ

Bài toán bổ trợ đã được Cohen[2] sử dụng trong việc giải quyết các bài toántối ưu Sau đó Mastroeni G[17] cũng sử dụng nó vào bài toán cân bằng Ýtưởng của việc áp dụng là cộng thêm hàm chính quy vào bài toán gốc màkhông làm thay đổi nghiệm của bài toán ban đầu song việc giải bài toán mớinày lại thuận tiện hơn

2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 24

2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng

−H(x, y) ≥ λkx − yk2.Kết hợp (H2) ta được H(x, y) = 0 và khi đó x = y 

Mệnh đề 2.4.2 Giả sử (H1)-(H3) thỏa Hơn nữa, f (x∗, ·) là hàm lồi khả vi.Khi đó x∗ là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của (AEP)

Chứng minh

"chỉ khi" rõ ràng vì (H2)

"khi" giả sử x∗ là nghiệm của (AEP) Áp dụng bổ đề 2.2.2 đối với hàm

f + αH, ta thấy x∗ là nghiệm của bài toán

2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 25

Định lý 2.4.3 Giả sử f là hàm cân bằng, f (x, ) là hàm lồi, khả vi trên Svới mọi x ∈ S và fx liên tục trên S × S Giả sử H thỏa (H1)-(H3) Khi đóhàm gap gα của (EP) là khả vi, liên tục và gradient là:

g0α = −fx(x, yα(x)) − αHλ(x, yα(x)),trong đó

Mệnh đề 2.4.4 Giả sử f là hàm cân bằng và H thỏa (H1)-(H3) Khi đó

∀α > 0, yα(x∗) = x∗ khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của (EP) và (AEP)