Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức luận văn thạc sỹ toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ HOA SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HOA

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011

Trang bìa phụ 1

1.1 Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác 6

1.2 Vành và môđun Noether 9

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun 14

1.4 Môđun con nguyên sơ 18

1.5 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 21

2 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức 26 2.1 Vành đa thức nhiều biến 26

2.2 Iđêan đơn thức 32

2.3 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức 37

2.4 Ví dụ 40

Định lý Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ là tổng quát hóa Định

lý cơ bản trong Số học Ý nghĩa hình học của định lý phân tích nguyên sơcho iđêan là: Mỗi tập đại số afin đều được phân tích thành hợp của một sốhữu hạn các tập đại số afin bất khả quy

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-môđun Noether.Theo Định lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ thì mọi môđun con

N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn và giả sử

N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn (∗)

là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con N, trong đó Qi làmôđun con pi-nguyên sơ với mọi i = 1, 2, , n (phân tích (*) được gọi là thugọn nếu các iđêan pi là phân biệt và không có môđun con Qi nào là thừa).Khi đó tập hợp {p1,p2, ,pn} xác định duy nhất không phụ thuộc vào cáchphân tích của môđun con N Cụ thể {p1,p2, ,pn} = Ass (M/N ) Nếu pi

là tối thiểu trong tập hợp {p1,p2, ,pn} thì Qi xác định duy nhất và đượcgọi là thành phần cô lập Trái lại, Qi được gọi là thành phần nhúng

Cho R là một vành giao hoán Noether (nghĩa là R là R-môđun Noether).Khi đó mỗi iđêan I của vành R là một môđun con của R-môđun R nên cũngtheo Định lý Lasker - Noether, I có sự phân tích thành giao của các iđêannguyên sơ Giả sử

I = q1 ∩ q2 ∩ ∩ qn (∗)

là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của iđêan I, trong đó qi là pi-nguyên

sơ với mọi i = 1, 2, , n Tập hợp {p1,p2, ,pn} xác định duy nhất khôngphụ thuộc vào cách phân tích của iđêan I và {p1,p2, ,pn} = Ass (R/I).Nếu pi là tối thiểu trong tập hợp {p1,p2, ,pn} thì iđêan qi xác định duynhất và qi được gọi là thành phần cô lập Trái lại, được gọi là thành phầnnhúng

Cho K là một trường Khi đó theo Định lý Hilbert về cơ sở thì vành đathức n biến K [x1, x2, , xn] là một vành Noether Một iđêan I trong vành

K [x1, x2, , xn] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó được sinh bởi các đơnthức Lớp các iđêan đơn thức trông tuy đơn giản nhưng có rất nhiều tính chấtthú vị Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn

đề trong Đại số giao hoán Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gr¨obner cho phép xấp

xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấutrúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu Như phầntrên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ Có nhữngphương pháp nào để phân tích và làm thế nào để phân tích nhanh nhất mộtiđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ Mục đích của luận văn

là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày về những vấn đề đó

Luận văn này được chia thành 2 chương

Chương 1 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether Trongchương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết phân tích nguyên sơ của vành

và môđun Noether Cụ thể là sẽ trình bày về các vấn đề như: iđêan nguyên

sơ, môđun con nguyên sơ, tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun, Định

lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ của vành và môđun Noether, Ngoài ra, còn nêu một số kết quả đã có sẵn dưới dạng những mệnh đềnhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức Chươngnày là nội dung chính của luận văn Chúng tôi trình bày về vành đa thứcnhiều biến; về một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến, đó làlớp iđêan đơn thức và sự phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức trongvành đa thức cùng một số phương pháp phân tích.

Để hoàn thành luận văn này tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình,chu đáo của TS Nguyễn Thị Hồng Loan và muốn bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán của trường Đạihọc Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn này còn cónhiều sai sót mong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy giáo,

cô giáo và các bạn học viên

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA MÔĐUN

NOETHER

1.1 Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác1.1.1 Iđêan nguyên sơ Cho R là vành giao hoán có đơn vị,I là một iđêancủa vành R và I 6= R Iđêan I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R

mà xy ∈ I, nếu x /∈ I thì ∃n ∈ N sao cho yn ∈ I

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu

m = pk (trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N∗) hoặc m = 0

1.1.2 Iđêan nguyên tố Cho R là vành giao hoán có đơn vị, p là một iđêancủa vành R và p 6= R Iđêan p được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là cực đại nếu và chỉ nếu m là

số nguyên tố

Chú ý rằng, m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/m là mộttrường Do đó iđêan m cực đại ⇒ iđêan m nguyên tố ⇒ iđêan m nguyên sơ.1.1.4 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh Cho R là vành và

S ⊂ R Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan của R

chứa S Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi tập hợp S, kí hiệu: < S >.Như vậy, I = < S > khi và chỉ khi I là iđêan bé nhất của vành R chứa

S Nếu S là iđêan của vành R thì < S > = S Vì vậy, hệ sinh của một iđêan

là không duy nhất

Cho I là một iđêan của vành R Nếu tồn tại một hệ sinh của I gồm hữuhạn phần tử thì I được gọi là iđêan hữu hạn sinh

1.1.5 Iđêan chính Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một

số nguyên nào đó, nên chúng là iđêan chính mZ = < m >

1.1.6 Iđêan bất khả quy Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là mộtiđêan của vành R và I 6= R Iđêan I được gọi iđêan bất khả quy nếu I khôngthể phân tích được thành giao của hai iđêan thực sự chứa I

1.1.7 Iđêan căn Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan của vành

I thì I được gọi là iđêan căn

1.1.8 Tích của các iđêan Cho R là vành giao hoán, có đơn vị với I, J làiđêan của vành R Kí hiệu IJ là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab

Khi đó IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J.

Tương tự, định nghĩa cho tích của hữu hạn iđêan Cho I1, I2, , In là cáciđêan của vành R Khi đó

1.1.9 Thương của các iđêan Cho vành R và I, J là các iđêan của vành

1.1.10 Phổ của vành Cho vành R và I là một iđêan của vành R Kí hiệu

SpecR = {p| p là iđêan nguyên tố của R},

V (I) = {p ∈ SpecR| p ⊇ I}

Các tập hợp dạng V (I) có các tính chất sau:

(i) Nếu I, J là một iđêan của vành R thì V (IJ ) = V (I) ∪ V (J )

Điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan

Các tập hợp dạng V (I) với I là iđêan của vành R thoả mãn các tiên đề

về họ tập đóng trong không gian tôpô Khi đó X = SpecR trở thành mộtkhông gian tôpô với họ tập đóng là V (I) trong đó I là iđêan của vành R.Tôpô này được gọi là tôpô Zariski Không gian tôpô Zariski được gọi là phổcủa vành R Mỗi tập hợp V (I) được gọi là tập đại số xác định bởi I

1.2.1 Môđun Noether Cho M là một R-môđun Môđun M được gọi làmôđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa lànếu M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ là một dãy tăng các môđun con của M thìtồn tại một số tự nhiên m sao cho Mk = Mm với mọi k ≥ m

Định lí sau đây là những đặc trưng của môđun Noether

1.2.2 Định lí Cho môđun M Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Noether;

(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đạitheo quan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Gọi S = {Ai| Ai là môđun con nào đó của M } Lấy

A1 ∈ S Nếu A1 tối đại trong S ta có (ii) Nếu A1 không tối đại trong S thì

sẽ ∃A2 ∈ S mà A1 ⊂ A2 Lập luận A2 như A1 ta có A1 ⊂ A2 ⊂ A3 Tiếp tụcquá trình lập luận trên ta sẽ có một dãy tăng A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ Ak ⊂ Và

do M là môđun Noether nên ∃k ∈ N∗ để Ak = Ak+1 = Do đó Ak tối đạitrong S nên ta có (ii)

(ii) ⇒ (iii) Lấy A là môđun con bất kì của M Xét tập hợp

Γ = {môđun con hữu hạn sinh của A}

Ta thấy Γ là một tập hợp các môđun con của M nên Γ 6= ∅ Vì x ∈ A

nên Rx ∈ Γ, Rx là xyclic nên hữu hạn sinh < x > = Rx = {rx| r ∈ R}

Do Γ thoả mãn (ii) nên Γ có phần tử tối đại là < x1, x2, , xk > = C với

xi ∈ A Ta phải chứng minh < x1, x2, , xk > = A Ta sẽ sử dụng chứngminh phản chứng Giả sử nếu < x1, x2, , xk > * A khi đó sẽ ∃a ∈ A mà

a /∈ < x1, x2, , xk > Lấy B = < x1, x2, , xk, a > suy raC * B điều nàymâu thuẫn với tính tối đại củaC do đóC = Ahay là< x1, x2, , xk > = A.Vậy A hữu hạn sinh, tức là ta có (iii)

(iii) ⇒ (i) Lấy dãy tăng các môđun con của M như sau

A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ Ak ⊂ (∗)

Gọi A = S∞

i=1An Kiểm tra được A là môđun con của M theo (iii) nên ta có

A hữu hạn sinh và A = < x1, x2, , xk > Do (∗) là dãy tăng nên ∃n ∈ N∗

để x1, x2, , xk ∈ An Suy ra < x1, x2, , xk >⊆ An suy ra A ⊆ An Mà

i=1An nên An ⊆ A nên A = An tức là An = An+1 = Vậy dãy (∗)

dừng nên M là môđun Noether, tức là ta có (i)

1.2.3 Ví dụ a) Xét Z là Z-môđun thì Z là môđun Noether

b) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là một môđun Noether.1.2.4 Vành Noether Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăngcác iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ là dãytăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên m sao cho Ik = Im với mọi

k ≥ m

Như vậy, vành R là Noether nếu nó là môđun Noether trên chính nó.Chúng ta có nhiều cách nhận biết vành Noether qua định lí đặc trưng củavành Noether như sau

1.2.5 Định lí Giả sử R là một vành Khi đó các điều kiện sau là tươngđương:

(i) R là vành Noether;

(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theoquan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh

1.2.6 Ví dụ a) Vành số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của Z códạng mZ (m ∈ Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởimột phần tử là mZ = < m >)

b) Mọi trường X đều là vành Noether, vì trườngX bất kì chỉ có hai iđêan

là {0} và X nên dãy tăng các iđêan chỉ là {0} ⊆ X (dãy có hai phần tử), suy

ra dãy dừng hoặc hai iđêan đều hữu hạn sinh (do {0} = < 0 >, X = < 1 >).1.2.7 Linh hoá tử Giả sử M là một R-môđun Kí hiệu

1.2.8 Phần tử ước của không Cho M là một R-môđun Phần tử a ∈ R

được gọi là một ước của không của M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0 sao cho

ax = 0

1.2.9 Phần tử chính quy Cho M là một R-môđun Phần tử b ∈ R đượcgọi là phần tử chính quy của M nếu b không phải là ước của không của M.1.2.10 Môđun các thương Cho vành R và S ⊂ R Tập hợp S được gọi làtập nhân đóng của vành R nếu ab ∈ S, 1 ∈ S với ∀a, b ∈ S

Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề-các

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện

Tập hợp S−1R cùng với phép cộng và nhân như trên là một vành giaohoán có đơn vị

Phần tử không: 0/1 = 0/s với ∀s ∈ S

Phần tử đơn vị: 1/1 = s/s

Phần tử r/s = r0/s0 ⇔ (r, s) ∼ (r0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs0 − r0s) = 0.Cho M là một R-môđun và S là tập nhân đóng của vành R Trên tíchĐề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau:

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

Dễ chứng minh được ∼ là quan hệ tương đương trên M × S Khi đó M × S

được chia thành các lớp tương đương Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S, kí

hiệu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là

1.2.11 Mệnh đề Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R Nếu

là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì

0 → S−1M0 → S−1M → S−1M00 → 0

cũng là một dãy khớp ngắn

1.2.12 Hệ quả Giả sử N và P là các môđun con của R-môđun M Khi đó

S−1(M/N ) ∼= S−1M/S−1N

1.2.13 Giá của môđun Cho môđun M là một R-môđun Ta gọi giá củamôđun M là tập hợp được kí hiệu SuppRM = {p ∈ SpecR| Mp 6= 0} ⊆SpecR

Chú ý, nếu M là môđun hữu hạn sinh thì SuppRM = V (AnnM )

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p củavành R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0

sao cho

p = AnnR(x) = {a ∈ R| ax = 0}

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssRM

(hoặc AssM nếu ta không để ý đến vành R)

1.3.2 Ví dụ Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành R Ta xét vànhthương R/p như là R-môđun Khi đó p là một iđêan nguyên tố liên kết củamôđun R/p Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác không tuỳ ý của R/p,tức là x = x +p với x ∈ R, x /∈ p Ta có

Chứng minh Giả sử p∈ AssRM Khi đó∃x ∈ M, x 6= 0sao cho p = Ann(x).Khi đó, ánh xạ f : R → N biến a 7→ ax là một R-toàn cấu môđun Ta có

Kerf = {a ∈ R| ax = 0} = p

Theo định lí đồng cấu môđun ta có N ∼= R/Kerf = R/p

Ngược lại, giả sử tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼= R/p Lấyphần tử tuỳ ý x ∈ N, x 6= 0, do đó x ∈ M Do N ∼= R/p nên mỗi phần tửcủa N có thể được viết dưới dạng x = x +p với x ∈ R Chứng minh như Ví

dụ 1.3.2, ta có AssR(x) = p Do đó p∈ AssRM

1.3.4 Mệnh đề Kí hiệu P là tập hợp tất cả các iđêan của Rcó dạng Ann(x)

với x ∈ M, x 6= 0 Nếu p là phần tử cực đại trong P theo quan hệ bao hàmthì p ∈ AssM

Chứng minh Để chứng minh p ∈ AssRM ta chỉ cần chứng minh p là iđêannguyên tố Thật vậy, giả sử p = Ann(x) với x ∈ M, x 6= 0 Lấy ∀a, b ∈ R,với ab ∈ p và b /∈ p Khi đó, bx 6= 0 và abx = 0 Suy ra a ∈ AnnR(bx) Mặtkhác, ta lại có AnnR(bx) ⊇ AnnR(x) = p Do Ann(bx) ∈ P và p là phần tửcực đại của P nên p = AssR(bx) Do đó a ∈ p Vậy p là iđêan nguyên tố

Từ kết quả trên ta suy ra được các hệ quả sau

1.3.5 Hệ quả M = 0 khi và chỉ khi AssRM = ∅

Chứng minh Nếu M = 0 Khi đó tập hợp P = ∅ Do đó AssRM = ∅

Ngược lại, nếu AssRM = ∅ Ta phải chứng minh M = 0 Giả sử, M 6= 0.Khi đó, ∃x ∈ M mà x 6= 0 Do đó tập hợp P 6= ∅ Vì R là vành Noethernên mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại Suy ra P cóphần tử cực đại và theo Mệnh đề 1.3.4, phần tử đó thuộc AssRM Điều nàymâu thuẫn với giả thiết AssRM = ∅ Vậy M = 0

Chú ý, từ Hệ quả 1.3.5 ta suy ra M 6= 0 khi và chỉ khi AssRM 6= ∅.1.3.6 Hệ quả Kí hiệu D là tập hợp tất cả các ước của không của M Khiđó

p∈Ass R M

p

Chứng minh Giả sử a ∈ D Khi đó, ∃x ∈ M, x 6= 0 sao cho ax = 0 Suy

ra a ∈ Ann(x) Theo Mệnh đề 1.3.4, ∃p ∈ AssRM sao cho p ⊇ Ann(x) nên

a ∈ p Do đó D ⊆ S

p∈Ass R M p

Giả sử b ∈ S

p∈Ass R M p Khi đó, ∃p ∈ AssRM sao cho b ∈ p Mặt khác, do

p ∈ AssRM nên ∃x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = AssRM Từ đó b ∈ Ann(x) hay

bx = 0 Do đó b ∈ D Suy ra S

p∈Ass R M p ⊆ D.1.3.7 Mệnh đề Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là R-môđunhữu hạn sinh Khi đó:

AssR(S−1M ) = AssRM ∩ {p ∈ SpecR| p∩ S = ∅}

1.3.8 Bổ đề Giả sử 0 → M0 → M → M00 → 0 là một dãy khớp ngắn các

R-môđun Khi đó:

(i) AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0∪ AssRM00;

(ii) SuppRM = SuppRM0 ∪ SuppRM00

Chứng minh (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết M0 là môđuncon củaM vàM00 = M/M0 VìM0 là môđun con củaM nên theo định nghĩa,

ta có AssRM0 ⊆ AssRM

Giả sử p ∈ AssRM Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại một môđun con N của

M sao cho N ∼= R/p Nếu N ∩ M0 6= 0, thì ∃x 6= 0 và x ∈ N ∩ M0 Vì

N ∼= R/p và R/p là miền nguyên nên Ann(x) = p Do đó, p ∈ AssRM Suy

ra, p ∈ AssRM0∪ AssRM00 NếuN ∩ M0 = 0 thì có thể xem N là môđun concủa M00 Do đó p ∈ AssRM00

Từ các chứng minh trên ta có AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0 ∪ AssRM00.(ii) Theo Mệnh đề 1.2.11, từ dãy khớp

ta có dãy sau cũng khớp

0 → Mp0 → Mp → Mp00 → 0

với ∀p ∈ SpecR Do đó, nếu p ∈ SuppM/ , tức là Mp = 0 thì ta suy ra

Mp0 = 0 và Mp00 = 0 nên p ∈ SuppM/ 0 và p ∈ SuppM/ 00 Điều đó chứng tỏrằng SuppM ⊆ SuppM0 ∪ SuppM00 Mặt khác, giả sử p ∈ SuppM00 Khi đó

Mp 6= 0 Ta suy ra Mp0 và Mp00 không thể đồng thời bằng 0 Vì nếu như vậythì Mp = 0 Do đó Mp0 6= 0 hoặc Mp00 6= 0 hay p ∈ SuppM0∪ SuppM00

1.3.9 Định lí Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun Khi đó

AssRM ⊆ SuppRM và bất kì phần tử tối thiểu nào của SuppM theo quan hệbao hàm đều thuộc AssRM

Chứng minh Giả sử p ∈ AssRM Theo Mệnh đề 1.3.3 thì R/p đẳng cấu vớimột môđun con của M Do đó ta có dãy khớp 0 → R/p → M Áp dụngMệnh đề 1.2.11, ta có dãy khớp 0 → Rp/pRp → Mp Do Rp/pRp là trườngthặng dư của vành Rp nên Rp/pRp 6= 0 Do đó Mp 6= 0 hay p ∈ SuppM.Vậy AssRM ⊆ SuppRM Giả sử p là thành phần cực tiểu của SuppM (theoquan hệ thứ tự bao hàm) Khi đó Mp = 0 Ta có SpecR = {qRp| q ⊆ p;q ∈SpecR} Do đó SuppRpMp = {pRp}

Mặt khác, doMp 6= 0nênAssRpMp 6= 0bởi Hệ quả 1.3.5 Theo chứng minhtrên ta lại cóAssRpMp ⊆ SuppRpMp = {pRp} Do đó AssRpMp = {pRp} Suy

ra AssRpMp = {p} Áp dụng Mệnh đề 1.3.7, ta có AssRpMp = AssRM ∩ {q ∈SpecR| q ⊆p} Từ đó suy ra p∈ AssRM

1.3.10 Định lí Giả sử M là R-môđun Noether khi đó tập hợp AssRM làhữu hạn.

Chứng minh Nếu M = 0 thì AssRM = ∅ bởi Hệ quả 1.3.5 Giả sử M 6= 0

ta có AssRM 6= ∅ Do đó ∃p1 ∈ AssRM Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại môđuncon M1 ⊂ M sao cho M1 ∼= R/p

i với pi ∈ SpecR nên suy ra AssR(Mi/Mi−1) = {pi}).Vậy tập hợp AssRM hữu hạn

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một R-môđun M Khi đó vớimỗi a ∈ R, thì qui tắc λa : M → M cho bởi λa(x) = ax với ∀x ∈ M, là một

tự đồng cấu của M Đồng cấu này được gọi là đồng cấu nhân bởi phần tử a

cho M

1.4.1 Chú ý (i)λa là đơn cấu khi và chỉ khi a không là ước của không trong

M, điều này tương đương với 0 : a = {x ∈ M | ax = 0} = 0

(ii) λa là luỹ linh nếu và chỉ nếu ∃n ∈ N∗ để anM = 0, tương đương với

an ∈ AnnM, hay a ∈ √

(iii) Nếu M 6= 0 thì mỗi phần tử a ∈ R không thể đồng thời vừa thuộc

√

AnnM, vừa không thể là ước của không trong M, tức là λa không thể vừa

là đơn cấu, vừa là luỹ linh

1.4.2 Định nghĩa Môđun con N của một R-môđun M được gọi là mộtmôđun con nguyên sơ của M nếu N 6= M, đồng thời với mỗi a ∈ R thì đồngcấu nhân λa : M/N → M/N hoặc đơn cấu hoặc luỹ linh

Từ Định nghĩa 1.4.2 ta thấy, một môđun con thực sự N của M là mộtmôđun con nguyên sơ khi và chỉ khi, với mỗi a ∈ R mà ∃x ∈ M \N làm cho

không là đơn cấu

Mặt khác, nếu ab ∈ rM(N ), tức là λab = λaλb không là đơn cấu, thì mộttrong hai đồng cấu λa hoặc λb sẽ không là đơn cấu Điều đó rút ra hoặc

a ∈ rM(N ), hoặc b ∈ rM(N ) Chú ý rằng đồng cấu đồng nhất λ1 là đơn cấu,nên 1 /∈ rM(N ) Vậy rM(N ) là một iđêan nguyên tố

Từ Mệnh đề 1.4.3, ta có hệ quả sau

1.4.4 Hệ quả Nếu q là iđêan nguyên sơ của vành R thì p = √

q là mộtiđêan nguyên tố và q cũng được gọi là iđêan p-nguyên sơ

Chú ý rằng, chiều ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng.Trong trường hợp iđêan cực đại, ta có mệnh đề sau

Từ Mệnh đề 1.4.5 ta nhận được hệ quả sau

1.4.6 Hệ quả Luỹ thừa của một iđêan cực đại là một iđêan nguyên sơ.1.4.7 Mệnh đề Nếu N1, N2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì N =

N1 ∩ N2 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M

Chứng minh Giả sử rM(N1) = rM(N2) = p Khi đó với mỗi a ∈ p, ∃n1 và

∃n2 để an1M ⊂ N1 và an2M ⊂ N2 Do đó an1 +n2M ⊂ N hay a ∈ rM(N ).Ngược lại, với mỗi a ∈∈ rM(N ), thì ∃n để anM ⊂ N = N1 ∩ N2, nghĩa là

a ∈ p Do vậy rM(N ) = p

Ta còn phải chứng minh N là nguyên sơ Thật vậy, với ∀a ∈ R, x ∈ M

sao cho ax ∈ N Suy ra ax ∈ N1 và ax ∈ N2 Điều đó dẫn đến a ∈ p hoặc

x ∈ N1 ∩ N2 Do đó nếu a /∈ rM(N ) = p thì x ∈ N1 ∩ N2 = N Vậy N làmột môđun con nguyên sơ

1.5 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether

1.5.1 Định nghĩa Cho vành R và M là một R-môđun

(i) Cho N là môđun con của M Ta nói rằng N có sự phân tích nguyên sơnếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ Q1, Q2, , Qn sao cho

1.5.2 Định lí Giả sử M là một R-môđun Noether Khi đó các phát biểu sau

là đúng:

(i) Mọi môđun con N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;(ii) Giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn(∗) là một sự phân tích thu gọn củamôđun con N, trong đó Qi là môđun con pi-nguyên sơ với mọi i = 1, 2, , n.Khi đó tập hợp {p1,p2, ,pn} xác định duy nhất không phụ thuộc vào cáchphân tích của môđun con N Cụ thể {p1,p2, ,pn} = Ass(M/N ) Nếu pi làtối thiểu trong tập hợp {p1,p2, ,pn} thì Qi xác định duy nhất

Chứng minh (i) Ta có M/N là Noether nên chỉ cần chứng minh cho trườnghợp N = 0 Giả sử p ∈ AssM là một iđêan nguyên tố liên kết tuỳ ý chotrước Khi đó ta xét tập hợp P

= {L môđun con của M | p ∈ Ass/ RL}

Rõ ràng P

6= ∅ vì 0 ∈ P Do M là Noether nên tồn tại phần tử cựcđại trong P, kí hiệu là Q(p) ∈ P Ta có Q(p) 6= M vì p ∈ Ass/ RQ(p)

Ta chứng minh Q(p) là p-nguyên sơ tức là AssR(M/Q(p)) = {p} Dễ thấy

p ∈ AssR(M/Q(p)) = {p} Giả sử tồn tại p0 6= p và p0 ∈ AssR(M/Q(p)).Theo Mệnh đề 1.3.3 tồn tại môđun con Q0 ⊃ Q(p) để Q0/Q(p) ∼= R/p Do

đó AssRQ0 ⊆ AssRQ(p) ∪ AssR(Q0/Q(p)) Từ đó suy ra p ∈ Ass/ RQ0 và do

đó Q0 ∈ P Điều này vô lí vì Q(p) là phần tử cực đại thuộc P Do đó

Mặt khác, do |AssRM | < ∞ nên (∗) là phân tích nguyên sơ của 0

(ii) Giả sử N = Q1∩ Q2∩ ∩ Qn là một sự phân tích nguyên sơ thu gọncủa môđun con N Ta xét ánh xạ