Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến không suy rộng chứa tham số trong không gian banach phản xạ

===  ===Ngô Thị Miên tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số trong không gian banach phản xạ khóa Luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử n

===  ===

Ngô Thị Miên

tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm

của bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa

tham số trong không gian banach phản xạ

khóa Luận tốt nghiệp đại học

Ngành Cử nhân khoa học toán

Vinh, 2009

===  ===

tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số trong không gian banach phản xạ

khóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: giải tích

MỞ ĐẦU 1

Chơng I Bất đẳng thức biến phân trong n R 3

1.1 Điểm bất động 3

1.2 Tính chất của phép chiếu lên một tập lồi 3

1.3 Định lý đầu tiên về bất đẳng thức biến phân 4

1.4 Bất đẳng thức biến phân 5

Chơng II tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số trong không gian Banach phản xạ 6

2.1 Các khái niệm và tính chất cở sở 6

2.2 Các kết quả chính 8

2.3 Các kết quả bổ trợ 10

2.4 Chứng minh các kết quả chính 15

2.5 Các ví dụ 23

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

MỞ ĐẦU

Phơng trình suy rộng (PTSR) là một mô hình hữu hiệu giúp ta nghiên cứucác bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau nh tối u hoá, bất đẳng thức biến phân,các điều kiện biến phân và cân bằng kinh tế Những vấn đề nghiên cứu cơ bảntrong lý thuyết PTSR bao gồm: sự tồn tại nghiệm, phơng pháp tìm nghiệm, và tính

ổn định của tập nghiệm

Ngày nay, khi mà khoa học máy tính đã phát triển, hầu hết các bài toán tronglĩnh vực tính toán khoa học đều đợc rời rạc hoá để thuận lợi cho việc tính toán Mộtbài toán đợc gọi là ổn định nếu nh sai số của các dữ liệu đầu vào bé thì sai số trongkết quả đầu ra không đáng kể Trong trờng hợp ngợc lại, sai số của dữ liệu đầu ra

sẽ rất lớn và kết quả tính toán khác xa với kết quả mong đợi Khi đó bài toán đợcgọi là không ổn định

Giáo s S M Robinson đã đợc Giải thởng Dantzig về Quy hoạch toán học

-là ngời đi đầu trong việc nghiên cứu tính ổn định của các phơng trình suy rộng Kể

từ đó tới nay, hớng nghiên cứu này vẫn đang đợc nhiều các nhà toán học quan tâm

Có rất nhiều bài toán, chẳng hạn nh các bài toán tối u, cân bằng kinh tế, bất

đẳng thức biến phân, có thể mô hình hoá thành các phơng trình suy rộng Nghiêncứu tính ổn định của PTSR chính là nghiên cứu các tính chất liên tục, khả vi của

ánh xạ nghiệm của các PTSR phụ thuộc tham số Song song với các PTSR, một lớpbài toán tối u có ứng dụng rộng rãi là các bài toán điều khiển tối u có tham số cũng

đợc nghiên cứu

Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Toàn chúng tôi chọn đề

tài: "Tính nửa liên tục dới của ỏnh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy

rộng chứa tham số trong không gian Banach phản xạ", dựa trên bài báo của

Tiến sĩ Bựi Trọng Kiờn Mục đớch của luận văn là tập trung nghiờn cứu tớnh ổnđịnh nghiệm của bất đẳng thức biến phõn chứa tham số trong khụng gian Banachphản xạ

Với mục đích trên luận văn đợc chia làm hai chơng:

Chơng I Bất đẳng thức biến phân trong Rn

Chơng II Tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biếnphân suy rộng chứa tham số trong không gian Banach phản xạ

Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu đợc bởi một số tác giảtrong các tài liệu [2], [4], [7], [8] và đã đợc trích dẫn trong luận văn Một số kết quả

khác đã đợc tác giả chứng minh chi tiết dới dạng Bổ đề hoặc dới dạng Nhận xét Tuy đã có nhiều cố gắng nhng vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả rất mongnhận đợc những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo và những góp ýcủa bạn đọc.

Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với

Cô giáo Nguyễn Thị Toàn ngời đã hớng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trình

nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổGiải tích và trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành khoá luận này

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

Chơng I bất đẳng thức biến phân trong rn

1.1 Điểm bất động

1.1.1 Định nghĩa Cho A là một tập hợp và ánh xạ F:A A Một điểm x  A

đợc gọi là điểm bất động của F nếu F x x

Hay nói cách khác, các điểm bất động của F là nghiệm của phơng trình

 x x

1.1.2 Định nghĩa Cho S là một không gian mêtric Một ánh xạ F : S S đợc

gọi là ánh xạ corút nếu

dF   x , F y  dx , y, x,yS, (1)

và mỗi  : 0    1

Khi cho   1, ánh xạ F đợc gọi là không giãn

1.1.3 Định lý [8] Cho S là một không gian mêtric đầy đủ và F S:  S là một ánh xạ corút Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của F

1.1.3 Định lý (Brower) [8] Cho F là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu

đóng B  R n vào chính nó Khi đó F tồn tại ít nhất một điểm bất động.

1.2 Tính chất của phép chiếu lên một tập lồi

Trong phần này, chúng ta xét phép chiếu lên một tập lồi trong một không gian

hạn chiều, thì ta có thể chọn R ntrùng với không gian Hilbert H

1.2.1 Bổ đề [8] Cho K là một tập đóng, lồi của không gian Hilbert H Khi

đó với mỗi x  H , tồn tại duy nhất y  K sao cho

   





x inf y x

K (2)

1.2.2 Chú ý [8] Điểm y thoả mãn (2) đợc gọi là hình chiếu của x lên K và

ta viết y PrK x

1.2.3 Định lý [8] Cho K là một tập đóng, lồi của không gian Hilbert H

Khi đó, y  PrK x là hình chiếu của x lên K , nếu và chỉ nếu

y  K : y , y  x , y   K (3)

1.2.4 Hệ quả [8] Cho K là một tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi

đó, phép chiếu PrK là không giãn, nghĩa là

PrK x PrK x'  x x ' x , x 'H

1.3 Định lý đầu tiên về bất đẳng thức biến phân

1.3.1 Định nghĩa Không gian đối ngẫu R ncủa R n là không gian của tất cả

các dạng tuyến tính

a R n R

 :

1.4.1 Bài toán Cho K là một tập đóng, lồi trong R nvà ánh xạ F : K  R n 

là liên tục Tìm x  K sao cho

Trong đó K R KB R với B Rlà hình cầu đóng bán kính R và tâm 0 n.

x x x F x F

khi x  , x  K , (6)

với x 0 K bất kỳ Khi đó, tồn tại một nghiệm của Bài toán 1.4.1

1.4.4 Định nghĩa Điều kiện (6) của Hệ quả 1.4.3 đợc gọi là điều kiện cỡng

bức

1.4.5 Định nghĩa ánh xạ F : K  R n  đợc gọi là đơn điệu nếu

F x( )  F x x x( '),  '   0  x , x 'K ánh xạ F đợc gọi là đơn điệu ngặt nếu dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi

'.

x

x 

Chơng II Tính nửa liên tục dới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức bIếN suy rộng chứa tham số

trong không gian banach phản xạ

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở

2.1.1 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn với không gian đốingẫu E, M d,  và  ,d là các không gian mêtric Cho F : M E  

 2 là toán tử



 2 là một hàm đa trị với các giá trị đóng, lồi

Bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số liên quan đến tập hợp K   vàtoán tử F ,. là bài toán tìm nghiệm x x  ,  thoả mãn phơng trình suy rộng

Ký hiệu S (  ,  ) là tập nghiệm của phơng trình suy rộng (1) tơng ứng với

cặp tham số (  ,  ) Nh vậy S: M   2Elà ánh xạ với giá trị là một tập hợp nó

đ-ợc gọi là ánh xạ nghiệm của phơng trình (1) Trong suốt đề tài ta luôn giả sử rằng

Toán tử T đợc gọi là thuộc lớp   S nếu u w u

n  và  0





u u , u Sup

Nếu tập hợp T C là bị chặn thì T đợc gọi là toán tử bị chặn trên C

Toán tử T đợc gọi là giả đơn điệu theo quan điểm của Brezis nếu với mọi

Sup  u u thì với mỗi v  Ctồn tại

Tu

v*

v u , inf lim v

u

n n

2.1.3 Định nghĩa Hàm đa trị K :  2E đợc gọi là có tính chất Aubin theo

thứ tự   0 tại điểm 0,x 0 gphKnếu tồn tại các hằng số dơng k , 0và 0 sao cho

Hàm đa trị P đợc gọi là nửa liên tục trên tại x 0 X nếu với mỗi tập mở V  Y

thoả mãn P  x 0 V , tồn tại một lân cận U của x0 sao cho P  x  V với mọi x  U

2.1.5 Định nghĩa Giả sử Y là một không gian định chuẩn, ánh xạ P:

x P y d

x P

và dy , P x  là khoảng cách từ điểm y đến P x0

2.2.1 Định lý [7] Cho E là một không gian Banach với không gian đối ngẫu E. Giả sử rằng tồn tại một lân cận mở, bị chặn X0 của x0 và một lân cận

(iv) K là có tính chất Aubin theo thứ tự   0tại điểm 0, x0

Khi đó tồn tại một lân cận U0 của  0, một lân cận V0 của  0và một lân cận mở,

bị chặn Q0 của x0 sao cho các điều kiện sau thoả mãn:

(a) ánh xạ nghiệm Sˆ : U0V0  2X0xác định bởi Sˆ (,)S (,)Q0, có giá trị không rỗng.

(b) ánh xạ nghiệm Sˆ là nửa liên tục dới tại điểm ( 0, 0)

Khi F ( x , ) =  f(  ,x), với f : M0X0 E *là toán tử đơn trị, thì ta đợc

Định lý sau:

2.2.2 Định lý [7] Giả sử rằng tồn tại một lân cận mở, bị chặn X0 của x0

và một lân cận M0   0 của ( 0, 0) sao cho toán tử f : M0X0 E * và hàm đa trị

:

K 0  2E thoả mãn các điều kiện sau:

(i) f (0,.) : X0 E * là thuộc lớp   S , bị chặn và đơn điệu ngặt trên tập

 0

0 K 

(ii) f (,.) : X0  E * là giả đơn điệu và nửa liên tục với mọi  M0;

(iii) f liên tục theo  tại  0 và đều theo x , nghĩa là với mỗi dãy n  0 ta

Khi đú tồn tại một lân cận U0 của  , một lân cận 0 V0 của  0và một lân cận

mở, bị chặn Q0 của x 0 sao cho các điều kiện sau thoả mãn:

(a) ánh xạ nghiệm Sˆ : U0V0  2X0 xác định bởi S(  ,  ) S(  ,  ) Q0, có giá trị không rỗng

(b) ánh xạ nghiệm Sˆ là nửa liên tục dưới tại ( 0, 0).

Trong trờng hợp E=R m ta có kết quả sau

2.2.3 Hệ quả [7] Giả sử tồn tại một lân cận mở, bị chặn X0 của x 0 trong

m

R và một lân cận M0   0 của ( 0, 0) sao cho ánh xạ f : M0X0  R m và hàm đa trị K : 0  2R m thoả mãn các điều kiện sau:

(i) f (0,.) : X0K (0)  R m là đơn điệu ngặt trờn X0 K  0 ;

(ii) f là ánh xạ liên tục;

(iii) K có tính chất Aubin theo thứ tự   0 tại  0, x0.

Khi đú tồn tại một lân cận U 0 V0 của  0 ,  0 và một lân cận mở, bị chặn Q0

của x0 sao cho các điều sau thoả mãn:

S U V xác định bởi S(  ,  ) S(  ,  ) Q0 có giá trị không rỗng.

(b) ánh xạ nghiệm Sˆ là nửa liên tục dới tại (  0 ,  0 )

Để chứng minh các Định lý trên ta cần phải đa ra một vài kết quả bổ trợ đợc

đa ra trong phần tiếp theo

Cho E là một không gian định chuẩn, K :  2Elà một hàm đa trị và

0, x0gph sao cho tính chất (4) đúng Với mỗi  > 0 ta đặt

K  = K  x0  B E (5)

2.3.1 Bổ đề [7] Giả sử K :   2E là toán tử có giá trị lồi và thoả mãn

tính chất (4) Khi đó với mỗi   ( 0 ,  0 ] và mỗi  mà

1 0

Từ điều kiện (4) tồn tại x  K( ) sao cho

x x' kd ',  5 ( ', ) kd 

Nếu xx0  B thì x  K( ) Đặt x  ' x thì ta đợc (8)

Giả sử rằng xx0 B điều này có nghĩa là r :x x0   .

Chọn x  K( ) sao cho điều kiện (7) thoả mãn Theo tính lồi của K  thì đoạn

]

,

[x x là chứa trong K(  ) Lấy x '  [x,x]K(  ) sao cho: x '  x0   Do

đó x '' K(  ), vì x 'x0  B Evà x '' K(  ) Ta thấy rằng điểm x ' luôn tồn tại Cụthể là, x '' x s0x x, ở đó

s max s : s[0,1] , x s ( x x )x  B E

Ta sÏ chØ ra tån t¹i mét sè s0 vµ s 0 0,1 Thật vậy, giả sử không tồn tại

r t

2 2

Vì x 'K  nên x0  x '   2  , suy ra  x0  x '   , víi x x0 r

Để chứng minh kết quả chính chúng ta cũng cần một kết quả về sự tồn tạinghiệm của bất đẳng thức suy rộng cho toán tử giả đơn điệu theo quan điểm củaBrezis.

Ta nhắc lại toán tử T : 

 E



L : L C

đ-ợc trang bị bởi tôpô yếu*

2.3.2 Bổ đề [7] Giả sử E là một không gian Banach phản xạ, C là một tập không rỗng, đóng, lồi và bị chặn trong E Nếu 

 E

C :

T 2 là một toán tử giả đơn

điệu và thoả mãn các điều kiện sau:

(i) T là một ánh xạ nửa liên tục trên trên các không gian con hữu hạn chiều của E;

(ii) Với mỗi x  C , T x là một tập đóng, lồi và bị chặn.

Thì bài toán GVIT , C có một nghiệm.

Chứng minh Ta ký hiệu F là tập hợp tất cả các không gian con hữu hạn

Theo điều kiện (i) và (ii), T L là nửa liên tục trên trờn C Lvà có giá trị

compact Ngoài ra, CLC  L, với C , L là các tập đóng và bị chặn trong khônggian hữu hạn chiều nên C,L compact Hay C L compact

Bây giờ ta xét bài toán GVI(TL,CL) Theo một kết quả về sự tồn tại của bất

đẳng thức biến phân suy rộng trong không gian hữu hạn chiều, bài toán GVI(TL,C

L) có nghiệm, nghĩa là, tồn tại x  L C L và z*LT x L( )L sao cho

L L

x   0  

Do đó ta có

) x ( T x

C y x

y , x





Với mỗi Y  F ta ký hiệu S Y là tập hợp tất cả các x ˆ Csao cho tồn tại mộtkhông gian con L  Yvới điều kiện x ˆ C L và

x T ( xˆ ) L

C y xˆ

y , x

Với yờu cầu rằng họ  S Y có tính giao hữu hạn các tập, S Y là tập đóng yếu của S Y

trong E Thật vậy, với mỗi Y  F, đặt L = Y, từ (9) ta suy ra x  Y S Y Do đó S Y

là tập không rỗng Lấy các không gian con L1,L2, ,L n  F và đặt M  span

y , x

i L M

C v x

v , x sup

x v , x sup inf

v , x inf

x T x C v n C

v x T x

Vì hàm nhận giá trị thực mở rộng n

C v

x v , x inf x

Y







tại x  n* T x n sao cho

*

x   0   Trong trờng hợp x n* ,y x n  0 và x * , x0 x n  0, (10)





x x , x sup

sup

) (

Sử dụng Định lý Sion một lần nữa ta chứng minh đợc tồn tại x0* T x0 sao cho

C y x

y ,

Trong phần này ta đi chứng minh trực tiếp các kết quả đã đa ra ở mục 2.2 Vì

Định lý 2.2.2 là một trờng hợp đặc biệt của Định lý 2.2.1 nên ta chỉ cần chứngminh Định lý 2.2.1

0 ( , ) ( ) ( , )( )

N x

F  K B E x s

Để tiếp tục ta chứng minh bổ đề sau

2.4.1.1 Bổ đề [7] Tồn tại một lân cận U 0 V0 của  0 ,  0 sao cho

với mọi  , U 0 V0, ở đây B E(x0,s) là biên của hình cầu B E(x0,s).

Chứng minh Giả sử rằng kết luận của Bổ đề là sai thì tồn tại các dãy

(

K

n n

Với n đủ lớn, đặt  '  n và   trong điều kiện (13), ta thấy rằng tồn tại một0

điểm y nK( ) 0 B x s E( , )0 sao cho

Vì K (0)B E ( x0, s )là một tập bị chặn yếu và đóng yếu trong không gian hữu hạn

E n

y   yK  B x s Chọn x * E*và sử dụng điều kiện (18) ta đợc

Do đó z n  x  0 Vậy dãy  z n hội tụ về x khi n 

Thay z  z n vào điều kiện (17), ta đợc

* , ( , ))

d    Theo điều kiện (iii) ta có x*n  u n*  0 Kết hợp điều này với tính bị chặn của,.)

Điều này có nghĩa là

lim sup *n, n lim sup *n *n, n lim sup *n, n 0

u x x u x x x x x x

Từ F( 0,.) là thuộc lớp  S , suy ra x n  x Vì vậy x B E(x0,  ) K( 0)

Lấy bất kỳ x K ( ) 0 B x s E( , )0 , theo điều kiện (13) với mỗi n đủ lớn, tồn tại

một điểm u nK( n) B E(x0,s) sao cho u n  x khi n  Thay z  u n vào điều kiện(17), ta đợc

n n

* n n n

* n

* n n n

*

x       Cho n  và điều kiện (20) trở thành

*

u x x   x K  B x s (*)Trong trờng hợp x  x0 ta đợc u, x0  x  0 Vì x 0 S( 0, 0), tồn tại

 x u , x x x

ˆ , )

y x

y x E x x

) x ˆ ( N

) x ˆ ( N

) x ˆ ( N

) s , x ( B ) ( K )

( K

) s , x ( B ) ( K )

( K

0 0

Thật vậy, với mọi x N K   xˆ

Từ đó ta có

x ˆ y ,

x    0

Điều này tơng đơng với x,( z x ˆ )  0 zK ()

Hay x, z x ˆ  0 zK () Điều này có nghĩa là x  N K   xˆ