Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là phương trình toán tử đơn điệu.

Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là phương trình toán tử đơn điệu.

1 §©y lµ tãm t¾t luËn ¸n

Lời nói đầu

Cho IRn là không gian tuyến tính n chiều và ', e'j; j = 1; :::; m; là cáchàm xác định trên IRn Bài toán tối -u tổng quát đ-ợc phát biểu nh- sau: tìm

T-ơng tự, trong không gian vô hạn chiều ta có bài toán cực tiểu sau Cho X,

Y là hai không gian Banach, '(x) là một phiếm hàm xác định trên X và F

là một ánh xạ từ X vào Y Xét bài toán: tìm ex 2 S sao cho

những bài toán đặt không chỉnh (ill-posed), theo nghĩa nghiệm của bài toán

không ổn định với các dữ kiện cho tr-ớc

Bài toán (0.5) đ-ợc hiệu chỉnh dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu phiếmhàm làm trơn Tikhonov

Nếu Fh là những toán tử phi tuyến thì Fđ(x) nói chung là không lồi Do

đó, không thể áp dụng các kết quả đã đạt đ-ợc gần đây trong lĩnh vực cựctiểu của phiếm hàm lồi để tìm phần tử cực tiểu của Fđ(x) Chính điều đó dẫn

đến việc cực tiểu và rời rạc hoá (0.6) là rất phức tạp

Nếu Y = XÔ, không gian đối ngẫu của không gian Banach X, cả hai cóchuẩn kí hiệu là k:k, F : X ! XÔ là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục

(hemi continuouns), thì nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.5) đ-ợc xây dựng

dựa trên việc giải ph-ơng trình phụ thuộc tham số

ẵ(đ) = K±p; 0 < p < 1; K > 1;

ở đây ẵ(đ) = đkx±

đk Nghĩa là với mỗi ± cố định, chọn đ = đ(±) sao cho

đkx±

đk = K±p: Ph-ơng trình hiệu chỉnh (0.7) cùng với cách chọn tham số

đ = đ(±) nh- trên là thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán (0.5).Năm 2005, Nguyễn B-ờng đã nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệuchỉnh đ sao cho ẵ(đ) = ±pđĂq; q á p > 0; cho bài toán (0.5) khi xét ph-ơngtrình hiệu chỉnh (0.7) trong tr-ờng hợp Fh ´ F là toán tử đơn điệu

Nếu ' là một phiếm hàm lồi, khả vi Fréchet và xác định trên không gianBanach X, thì bài toán (0.4) và (0.5) t-ơng đ-ơng với bài toán bất đẳng thức

biến phân cổ điển (classical variational inequality): tìm x0 2 S sao cho

ở đây A là đạo hàm Fréchet của ' và S là tập nghiệm của ph-ơng trình (0.5)với toán tử đơn điệu F : X ! XÔ Do (0.5) là bài toán đặt không chỉnh chonên bất đẳng thức (0.8) cũng là bài toán đặt không chỉnh, cho dù A là toán

tử đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều

Nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (0.8), khi A có tính đơn điệu mạnh, đ-ợcxây dựng dựa trên việc tìm nghiệm của ph-ơng trình

đ hội tụ đến nghiệm của bài toán (0.8) Việc đánh giá tốc độ hội

tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều cũng nh- nghiệmhiệu chỉnh đã đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều đ-ợc xét với điều kiện bằng khôngcác đạo hàm cấp 1 cho đến cấp [s] Ă 1 của toán tử F Một câu hỏi đặt ra làliệu có thể chỉ sử dụng đạo hàm cấp 1 của F để đánh giá tốc độ hội tụ đ-ợckhông?

Mặt khác, việc chọn tham số hiệu chỉnh, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệuchỉnh trong không gian vô hạn chiều cũng nh- nghiệm hiệu chỉnh đã đ-ợc

xấp xỉ hữu hạn chiều khi tham số đ chọn sau ch-a đ-ợc đề cập đến Đặc biệt,các vấn đề t-ơng tự, khi toán tử nhiễu Fh của F là không đơn điệu cũng ch-a

đ-ợc nghiên cứu

Mục đích của luận án này nhằm giải quyết những vấn đề nêu ở trên chobài toán (0.8) với ràng buộc là ph-ơng trình toán tử đơn điệu Cụ thể, trongluận án này, chúng tôi giải quyết các vấn đề sau:

1 Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tử nhiễu Fhcủa F là đơn điệu Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều khi các điều kiện về Fh(k), đạo hàmcác cấp k với 1 6 k 6 [s], thay bằng điều kiện chỉ đặt lên F0

h, đạo hàm cấp 1của Fh Đồng thời cũng xây dựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữuhạn chiều và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm này dựa trên việc chọn tham

số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng với điều kiện trên

2 Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tử nhiễu Fhcủa F là không đơn điệu Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.Nội dung của luận án này đ-ợc trình bày trong ba ch-ơng

Ch-ơng 1 giới thiệu một số nét cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, toán

tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và một số ph-ơng pháp tìm nghiệm xấp

xỉ cho bài toán đặt không chỉnh

Ch-ơng 2 trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tửnhiễu Fh của F là đơn điệu Kết quả chính của ch-ơng này là đánh giá đ-ợctốc độ hội tụ của ph-ơng pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh đ-ợc chọntheo nguyên lí độ lệch suy rộng cũng nh- chọn tiên nghiệm Đồng thời xâydựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều và đánh giá đ-ợctốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này dựa vào điều kiện đạo hàm cấp 1của Fh Phần cuối của ch-ơng chúng tôi đ-a ra một vài ví dụ số minh hoạcho kết quả lí thuyết đạt đ-ợc

Ch-ơng 3 trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho bài toán (0.8), khi toán

tử nhiễu Fh của F là không đơn điệu Kết quả chính của ch-ơng này là đánhgiá đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cuối cùng chúng tôi đ-a ra ví

dụ minh hoạ

Ch-ơng 1

Một số khái niệm cơ bản

1.1 Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh

Xét bài toán ở dạng ph-ơng trình toán tử

ở đây F là một toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y

Định nghĩa 1.1 Bài toán tìm nghiệm x 2 X của (1.1) theo dữ kiện f 2 Y

đ-ợc gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X; Y ), nếu có:1) Với mỗi f 2 Y tồn tại nghiệm x 2 X;

2) Nghiệm x đ-ợc xác định một cách duy nhất;

3) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X; Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán (1.1)

đ-ợc gọi là bài toán đặt không chỉnh Trong luận án này chúng tôi xét bàitoán đặt không chỉnh trong tr-ờng hợp nghiệm của bài toán không phụ thuộcliên tục vào dữ kiện ban đầu

1.2 Toán tử đơn điệu và các khái niệm liên quan

Các định nghĩa th-ờng xuyên đ-ợc sử dụng trong luận án này

² Toán tử F từ không gian Banach X vào XÔ đ-ợc gọi là đơn điệu nếu

hF(x) Ă F(y); x Ă yi á 0; 8x; y 2 D(F); (1.2)

F đ-ợc gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt đ-ợc khi x = y.

² Toán tử F từ không gian Banach X vào XÔ, cả hai có chuẩn đ-ợc kí hiệubởi k:k, đ-ợc gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm ±(t) khônggiảm với t á 0; ±(0) = 0 sao cho

hF(x) Ă F(y); x Ă yi á ±(jjx Ă yjj); 8x; y 2 D(F): (1.3)Nếu ±(t) = cFt2, cF là một hằng số d-ơng thì F đ-ợc gọi là toán tử đơn điệumạnh

² Toán tử F đ-ợc gọi là hemi-liên tục trên X nếu F(x + ty) * Fx khi

t ! 0+ với mọi x; y 2 X, và F đ-ợc gọi là d-liên tục trên X, nếu từ xn ! x,cho Fxn * Fx khi n ! +1:

1.3 Bất đẳng thức biến phân

Giả sử X là không gian Banach phản xạ và XÔ là đối ngẫu của X Cho

F : X ! XÔ là một toán tử đơn điệu hemi-liên tục và e' : X ! IR là hàmlồi chính th-ờng nửa liên tục d-ới Bài toán: tìm x0 2 X thoả mãn

hF(x0) Ă f; x Ă x0i + e'(x) + e'(x0) á 0; 8x 2 X; (1.6)

f 2 XÔ, đ-ợc gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Nếu e' là hàm

đặc tr-ng của một tập đóng và lồi S nào đó trong X, tức là: e'(x) = x nếu

x 2 S và e'(x) = +1 nếu x =2 S, thì ta có bài toán bất đẳng thức biến phân

cổ điển: tìm x0 2 S sao cho

có nghiệm chính xác x0 2 X và f0 2 Y , ở đây F là một toán tử từ không gianmetric X vào không gian metric Y Giả sử tồn tại toán tử nghịch đảo FĂ1,nh-ng nói chung FĂ1 không liên tục Khi đó bài toán (1.11) là bài toán đặtkhông chỉnh Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.11) ta có một số ph-ơngpháp sau:

Bất đẳng thức biến phân với ràng

buộc có nhiễu là các toán tử đơn điệu

2.1 Thuật toán hiệu chỉnh

Xét bài toán: tìm phần tử x0 2 S sao cho

ở đây ' là phiếm hàm lồi, nửa liên tục d-ới yếu trong không gian Banach X

và S là tập nghiệm của ph-ơng trình toán tử

trong đó F : X ! XÔ là toán tử đơn điệu Nếu ta kí hiệu A(x) là đạo hàmFréchet của ' tại điểm x thì bài toán (2.1) t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức biếnphân

hA(x0); x Ă x0i á 0; 8x 2 S; x0 2 S: (2.3)Nếu không có thêm các điều kiện về cấu trúc của F nh- đơn điệu đều hoặc

đơn điệu mạnh thì ph-ơng trình (2.2) là một bài toán đặt không chỉnh Khi

đó (2.2) và (2.3) cũng là bài toán đặt không chỉnh, ngay cả khi A là đơn điệu

đều, có nghĩa A thoả mãn

hA(x) Ă A(y); x Ă yi á mAkx Ă yks; 2 6 s < +1; (2.5)với mA là hằng số d-ơng Không giảm tổng quát, ta giả thiết mA = 1, hơnnữa, trong ch-ơng này ta luôn giả thiết A(0) = 0 và

kA(x) Ă A(y)k 6 C(R)kx Ă ykạ; 0 < ạ 6 1; (2.6)

Để giải bài toán (2.2) và (2.3), ta cần phải sử dụng ph-ơng pháp hiệuchỉnh Tikhonov dựa trên việc giải ph-ơng trình:

F(x) + đA(x) = f±; kf±Ă fk 6 ±; (2.7)trong đó F là toán tử đơn điệu và đ > 0 là tham số hiệu chỉnh Ph-ơng trình(2.7) đ-ợc gọi là ph-ơng trình hiệu chỉnh cho bài toán (2.2) và (2.3)

Định lý 2.1 Với mỗi đ > 0 và f± 2 XÔ; ph-ơng trình (2.7) có duy nhất nghiệm x±

đ Nếu đ ! 0; ±đ ! 0, thì fx±

đg hội tụ đến một phần tử x0 2 S

thoả mãn (2.3).

Bây giờ, ta xét tr-ờng hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử F và vế phải f

đều biết xấp xỉ Tức là, thay F ta chỉ biết đ-ợc xấp xỉ Fh thoả mãn

2.2 Ph-ơng pháp chọn tham số hiệu chỉnh trong khônggian vô hạn chiều

Để mở rộng kết quả của Nguyễn B-ờng (2003) về việc chọn tham số hiệuchỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng cho ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.7) khinghiên cứu bài toán (2.2) và (2.3) Chúng tôi xét hàm thực

ẵ(đ) = kFh(x¿

đ) Ă f±kvới mỗi ±; h > 0, để đ-a ra việc chọn tham số hiệu chỉnh cho ph-ơng trìnhhiệu chỉnh (2.9) Năm 2004, chúng tôi đã nghiên cứu việc chọn tham số hiệuchỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng và đã chỉ ra rằng tham số hiệu chỉnh

đ của bài toán (2.9) hội tụ đến nghiệm x0 của bài toán (2.3)

2.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gianvô hạn chiều

Với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh đ theo (2.14), ta có kết quảsau đây cần thiết cho việc đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Bổ đề 2.5 Giả sử q á p > 0 Khi đó, tồn tại các hằng số C1; C2 > 0 sao cho

C1 6 (± + h)pđĂ1Ăq(±; h) 6 C2

với ±; h > 0 đủ nhỏ.

Giả thiết 2.1 Giả sử tồn tại hằng số ~¿ > 0 sao cho

kF(y) Ă F(x) Ă F0(x)(y Ă x)k 6 ~¿kF(y) Ă F(x)k; (2.17)với y thuộc vào lân cận nào đó của S và 8x 2 S

Định lí 2.3 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) F khả vi Fréchet với giả thiết 2.1, khi x = x0;

(ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho

Định lí 2.4 Giả sử có các điều kiện sau:

(i) F khả vi Fréchet với giả thiết 2.1, khi x = x0;

(ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho

Vấn đề quan trọng trong tính toán là xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán(2.7) và (2.9) Năm 2004, chúng tôi xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán (2.9)bởi

Fhn(x¿đ;n) + đAn(x¿đ;n) = f±n; (2.22)với Fn

n

là liên hợp của Pn

Sau đây, ta xét bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều với việc chọn đ = đ(±; h; n)theo nguyên lí độ lệch suy rộng sao cho x¿

đ;n hội tụ đến x0, khi đ; ±; h ! 0

và n ! 1 Tham số đ(±; h; n) có thể chọn dựa vào giải ph-ơng trình

°°Fn

h(x¿

đ;n) Ă fn

±°° = (± +h)pđĂq(±; h; n); (2.24)với mỗi ±; h > 0 và n Sự tồn tại của đ = đ(±; h; n) thỏa mãn (2.24) đ-ợcsuy ra từ bài toán (2.22) và lập luận t-ơng tự nh- cho (2.14) Để tìm tham số

đ;ng hội tụ đến x0 , khi ±; h ! 0 và n ! +1.

Định lí 2.10 Giả sử có các điều kiện sau:

(i) F khả vi Fr´echet tại lân cận của S với giả thiết 2.1, khi x = x0; (ii) Fh(Xn) chứa trong X Ô

2.5 Kết quả tính toán thử nghiệm

Chúng tôi sử dụng các kết quả đạt đ-ợc ở phần trên để giải bài toán: tìmphần tử x0 2 S sao cho

là F Trong tr-ờng hợp này, điều kiện (ii) của định lí 2.3 đ-ợc miêu tả sau:

nh-F(x0)Ôz = A(x0)với A = @'

Ch-ơng trình thử nghiệm đ-ợc viết bằng ngôn ngữ Visual Basic cho các

Ta có hFx; xi = hAÔAx; xi á 0 Có nghĩa F là một toán tử không âm, tuyếntính, hay F là toán tử đơn điệu xác định trên E3

Mặt khác, hạng r(F) = 2, cho nên nghiệm của hệ ph-ơng trình

Fx = àtạo thành một đ-ờng thẳng nằm trên mặt phẳng x1Ox3, qua hai điểm M0(0; 0; 0)

và M1(1; 0; Ă1) Nghiệm của hệ (2.31) cực tiểu phiếm hàm

với xÔ là véc tơ cho tr-ớc, nằm trên đ-ờng thẳng đi qua M0M1

Để tìm nghiệm của bài toán trên, ta giải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh

trong đó đ là tham số hiệu chỉnh Lấy xÔ = (1; 0; 0) thì nghiệm của

(2.31) - (2.32) tính đ-ợc là ex = (1=2; 0; Ă1=2) Nghiệm xấp xỉ của ex tính

đ-ợc từ hệ ph-ơng trình (2.33) với đ đ-ợc đ-a ra trong Bảng 2.1

Ví dụ 2.4 Với thuật toán trên, chúng tôi xét tr-ờng hợp

F =

26666664

Ta cũng có hFx; xi = hAÔAx; xi á 0 Có nghĩa F là toán tử đơn điệu xác

định trên E5 Tìm nghiệm của hệ (2.31) cực tiểu phiếm hàm '(x) thoả mãn(2.32), với xÔ là véc tơ cho tr-ớc Ta chọn xÔ = (1; 1=2; 0; 1=2; 1=10) vàgiải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.33)

Bằng cách t-ơng tự, ta cũng tính đ-ợc nghiệm cực tiểu phiếm hàm '(x)thoả mãn (2.32), trên tập nghiệm của ph-ơng trình

Fx = à

là ex = (1=2; 1=2; Ă1=2; 0; 0) Nghiệm hiệu chỉnh của ph-ơng trình (2.33)với đ khác nhau đ-ợc cho trong Bảng 2.2

² Từ kết quả tính toán cho trong các Bảng 2.1 và 2.2, ta thấy:

Khi đ giảm từ 10Ă1 đến 10Ă7 (10Ă8) thì sai số của nghiệm hiệu chỉnhgiảm dần Còn khi đ < 10Ă8 thì sai số đó lại không giảm

Khi đó K là một toán tử tuyến tính liên tục không âm trên L2[0; 1]:

Do hKx; xi là phiếm hàm lồi, và Ã(t) là một hàm lồi, cho nên Ã(hKx; xi)cũng là phiếm hàm lồi Suy ra F(x) = @Ã(x) là toán tử đơn điệu và

Bài toán (2.38) là một hệ ph-ơng trình đại số Để giải bài toán (2.38) ta

sử dụng ph-ơng pháp lặp hiệu chỉnh sau:

zk+1 = zk Ă ¯kĂFhn(zk) + đkzkÂ; k = 0; 1; :::; (2.39)với ¯k = ³1 + k´Ă

12; đk = ³1 + k´Ă

1p; 0 < p < 12, ở đây, ta chọn

p = 1=4:

Các xấp xỉ của (2.39) đ-ợc tính theo thuật toán Kết quả tính toán từngb-ớc lặp đ-ợc cho trong Bảng 2.3

² Từ kết quả tính toán cho trong Bảng 2.3, ta thấy:

- Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh phụ thuộc vào việc chọn giá trịcủa p trong dãy đk Chẳng hạn chọn p = 1=4 hoặc càng nhỏ thì cần ít lầnlặp hơn so với chọn p = 1=2, tính toán nghiệm xấp xỉ so với cùng sai số chotr-ớc

- Số lần lặp càng lớn thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xáccủa bài toán ban đầu

Ch-ơng 3

Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc

có nhiễu là các toán tử không đơn điệu

3.1 Thuật toán hiệu chỉnh

Nếu các toán tử nhiễu Fh là không đơn điệu thì ph-ơng trình

Định lí 3.1 Với mỗi h; đ > 0; ± á 0, " á h, tập nghiệm của bất đẳng thức

(3.1), kí hiệu là SÂ, khác rỗng, tập fx!g (ở đây chọn phần tử x! 2 S tuỳ ý), có một điểm giới hạn mạnh là x0, khi ±đ ! 0, đ ! 0 và đ ! 0."

3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Việc đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh là rất phức tạp Đểgiải quyết vấn đề đó, cuối năm 2005, chúng tôi đã nghiên cứu sự hội tụ và đãchỉ ra đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm fx!g và fxn

!g khi toán tử nhiễu Fh của

F là không đơn điệu

Giả thiết 3.1 Giả sử tồn tại một hằng số d-ơng ~¿ sao cho

kFh(y) Ă Fh(x) Ă F0

h(x)(y Ă x)k 6 ~¿kFh(y) Ă Fh(x)k; (3.3)

với y thuộc lân cận của S và 8x 2 S.

Cho x!; ! = !(h; đ; ±; ") là phần tử tùy ý của SÂ với mọi " á h > 0,

đ > 0 và ± á 0

Định lí 3.5 Giả sử các điều kiện sau thoả mãn:

(i) Fh khả vi Fr´echet tại lân cận của S với giả thiết 3.1, khi x = x0 (ii) Tồn tại phần tử zh sao cho fzhg bị chặn và

Chú ý 3.1 Kết luận của định lí vẫn đúng khi giả thiết 3.1 thay bằng giả thiết

2.1 ở ch-ơng 2 và điều kiện (ii) đ-ợc thay bởi

°°F(y)ĂF(x)ĂF0(x)(y Ă x)°° 6 ~¿°°F(y)ĂF(x)°°; (3.5)

và tồn tại phần tử z 2 X sao cho

F0(x0)Ôz = A(x0):

Đặt °n(x) = °°(I ĂPn)x°°; x 2 X; °n = maxâ°n(x0); °n(f)ê:

Giả thiết

kA(x) Ă A(y)k 6 C(R)kx Ă ykº; 0 < º 6 1;

ở đây C(R); R > 0 là hàm d-ơng đơn điệu tăng của R = maxfkxk; kykg

Định lí 3.6 Giả sử có các điều kiện sau:

(i) F khả vi Fr´echet tại lân cận của S với giả thiết 2.1, khi x = x0 (ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho

F0(x0)Ôz = A(x0):