Hình học cầu n chiều luận văn thạc sỹ toán học

Từ đó, chúng tôi nghiên cứu các tính chất hình học trênmặt cầu, đồng thời trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về cácphép biến đổi trên mặt cầu, đường trắc địa trên m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH TÙNG

HÌNH HỌC CẦU N – CHIỀU

Chuyên ngành: HÌNH HỌC – TÔPÔ

Mã số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH

VINH, 2011

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu……… 2

Chương 1 KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU……… 4

§1 Không gian cầu n chiều……… 4

§2 Phép đẳng cự cầu……… 10

§3 Trắc địa cầu……… 14

§4 Độ dài cung trên mặt cầu……… 23

§5 Thể tích cầu……… 27

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU…………. 31

§1 Tam giác cầu……… 31

§2 Một số tính chất của tam giác cầu……… 34

§3 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu… ………… 37

Kết luận……… 40

Tài liệu tham khảo……… 41

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học phi Ơclit được được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann…Trong các hình học đó hình học cầu được xem như

là sự phát triển song song của hình học hyperbolic Mục đích của bản luận vănnày nghiên cứu các tính chất chung, cơ bản nhất của hình học cầu n chiều

Với mục đích đó, chúng tôi đã xây dựng khái niệm không gian cầu n chiềuvới metric nội tại trên đó Từ đó, chúng tôi nghiên cứu các tính chất hình học trênmặt cầu, đồng thời trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về cácphép biến đổi trên mặt cầu, đường trắc địa trên mặt cầu và một số yếu tố hìnhhọc trên mặt cầu n chiều Luận văn này cũng đề cập đến một yếu tố cơ bản củahình học cầu là tam giác cầu trên mặt cầu 2 chiều

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU

Trong chương này chúng tôi xây dựng không gian cầu n - chiều, trình bàycác tính chất tôpô trên mặt cầu n - chiều ở mục §1 Không gian cầu n chiều.Trình bày phép đẳng cự trên không gian Ơclit, từ đó xây dựng phép đẳng cự trênmặt cầu và xem xét mối quan hệ giữa chúng ở mục §2 Phép đẳng cự cầu Ở mục

§3 Trắc địa cầu, chúng tôi đưa ra các khái niệm về cung trắc địa, đường trắc địatrong không gian Ơclit và không gian cầu, khẳng định đường trắc địa trên mặtcầu là đường tròn lớn Chúng tôi trình bày các yếu tố độ dài cung trên mặt cầutheo metric cầu và thể tích cầu trong hai mục §4 Độ dài cung trên mặt cầu và §5.Thể tích cầu

Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU

Chương này gồm các mục sau:

§1 Tam giác cầu

Trong mục này chúng tôi xây dựng một cách chi tiết khái niệm tam giáccầu

§2 Một số tính chất của tam giác cầu

Trình bày các tính chất về góc, cạnh của tam giác cầu, các định lí sin, định

lí cosin của tam giác cầu Ở mục này chúng tôi cũng xét diện tích của tam giáccầu

§3 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu

Trong mục này chúng tôi đưa ra khái niệm hai hình bằng nhau thông quaphép đẳng cự Từ đó xét các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu trên Sn

Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 Tác giả chân thành bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Duy Bình, người đã đặt đề tài vàhướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Sau đại học, các thầy cô khoaToán, đặc biệt các thầy trong tổ bộ môn Hình học – Tôpô trường Đại học Vinh,các thầy cô Phòng Quản lí khoa học trường Đại học Hải Phòng, gia đình, đồngnghiệp cùng các bạn học viên K17 chuyên ngành Hình học – Tôpô đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận vănđược hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Chương 1 KHÔNG GIAN CẦU n - CHIỀU

§1 KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU

Khoảng cách trên không gian Ơclit ¡ n 1 + được xác định bởi

( )

E

d x, y = − x y, với "x,yÎ ¡ n 1 +.Mặt cầu tâm I, bán kính r trong không gian Ơclit ¡ n 1 + được định nghĩa là

từ các phần tử của cấu trúc không gian véctơ ¡ n 1 + Ta sẽ xác định một khoảngcách nội tại trên Sn, nhưng trước tiên ta xem xét lại tích có hướng trong ¡ 3

1.1 Tích có hướng của hai véc tơ

1.1.1 Định nghĩa Cho x = (x1; x2; x3) và y = (y1; y2; y3) là các véctơ trong3

¡ Tích có hướng của x và y là một véc tơ, kí hiệu là x y × và được xác định

Khi đó bằng tính toán trực tiếp ta có định lí sau

1.1.2 Định lí Cho x, y, z là các véctơ trong ¡ Khi đó ta có:3

(1) x × y = – y × x, (2) (x × y).z =

y.z y.w .

Cho x, y, z là các véctơ trong ¡ Số thực (x 3 × y).z được gọi là tích hỗntạp của x, y, z Từ Định lí 1.1.2 (2) ta có (x × y).z = (y × z ).x = (z × x) y Nêngiá trị của tích hỗn tạp của ba véc tơ x, y, z không đổi khi các véc tơ được hoán

vị một cách tuần hoàn Do đó, ta có (x×y).x = (x×x).y = 0 và (x×y).y = (y×y).x =

Hơn nữa dS thoả mãn bất đẳng thức tam giác, tức là:

S

d x,z ≤d x, y +d y,z , x, y,z S∀ ∈ Thật vậy, vì với ba véc tơ x, y, z tạonên một không gian con của ¡ n 1 + có số chiều lớn nhất bằng 3 nên ta có thể giả sử

x, y, z nằm trong một không gian con của ¡ n 1 + sinh bởi e1, e2, e3 Nói cách khác

ta có thể giả sử n = 2 Do đó ta xét các trường hợp sau:

1.3 Không gian cầu

1.3.1 Định nghĩa Không gian metric Sn với mêtric cầu dS được gọi là

không gian cầu n chiều ( n )

Ta có Sn là một không gian con của không gian tô pô ¡ n 1 +

Với M bất kì thuộc ¡ n 1 + \ Sn, O là tâm mặt cầu Sn, gọi N là giao điểmcủa đường thẳng OM và mặt cầu Sn Đặt ε =d M N( , ) > 0 Gọi

n 1 +

¡

Vậy Sn là một không gian tôpô compact □

1.3.4 Mệnh đề S n là không gian liên thông tuyến tính.

Chứng minh

Với hai điểm tùy ý p, q S∈ n ta luôn có một đường tròn lớn của Sn chứa p

và q Do đó Sn là không gian liên thông tuyến tính

1.3.5 Định nghĩa đa tạp khả vi

Cho M là không gian Hausdoff

a Nếu U là mở trong M, U* là tập mở trong ¡ n 1 + và ϕ : U → U * là đồng

phôi thì (U, ϕ) được gọi là một bản đồ của M.

b Với p U ∈ thì ϕ( )p ∈ R n, nên ϕ( ) (p = x ; x ; ; x 1 2 n) Khi đó (x ; x ; ;x 1 2 n)được gọi là tọa độ của p đối với (U, ϕ) và (U, ϕ) gọi là hệ tọa độ địa phương.

c Hai bản đồ (U , 1 ϕ 1)và (U , 2 ϕ 2) của M với U1∩ U2 ≠ ∅, được gọi là phù

hợp nếu ánh xạ ϕ ϕ 2 o 1−1 là vi phôi Khi U1∩ U2 = ∅ ta quy ước (U , 1 ϕ 1)và(U , 2 ϕ 2)là phù hợp.

d Họ các bản đồ A ={ (U i, ϕi i I)∈ }của M nếu thỏa mãn:

• i IUi M,

∈

∪ =

• (U , i ϕ i)và (U , j ϕ j) là phù hợp với mọi i khác j,

thì được gọi là một Atlat của M

Một atlat nếu không bị chứa thực sự trong một atlat nào thì được gọi làatlat tối đại Nếu A là một atlat tối đại trên M thì A được gọi là một cấu trúc khả

cũng là hàm liên tục Vậy ϕi là ánh xạ đồng phôi, hay (U ,i ϕi) là bản đồ trên Sn.

Mặt khác ta cũng có Ui phù hợp với Uj với mọi i, j = 1, 2, …, n+1

Vậy { }2n 2

i i i 1

U ,ϕ =+ là một Atlat trên Sn, từ đó xác định một Atlat tối đại (cấu trúc khả vi) nên Sn là một đa tạp khả vi □

1.3.7 Định nghĩa Đa tạp khả vi S được gọi là định hướng nếu tồn tại một

atlat khả vi {U ,i ϕi i I} ∈ trên S sao cho tất cả các định thức Jacobi của các hàm

chuyển đều dương Một atlat như vậy được gọi là một atlat định hướng.

1.3.8 Định lí Đa tạp khả vi đối chiều 1 trong không gian Ơclit là định

hướng được khi và chỉ khi tồn tại trường véc tơ pháp tuyến đơn vị khả vi.

2.1.1 Định nghĩa Ánh xạ : Xφ →Y giữa hai không gian metric gọi là

bảo toàn khoảng cách nếu và chỉ nếu dY(φ(x), (y)φ ) =d x, yX( ) với mọi x, y X∈

Nhận xét: Ánh xạ : Xφ →Y bảo toàn khoảng cách giữa hai không gianmetric là một đơn ánh, liên tục

2.1.2 Định nghĩa Song ánh : Xφ →Y gọi là phép đẳng cự giữa hai

không gian metric X và Y nếu nó là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách

Ta có nghịch ảnh của một phép đẳng cự là một phép đẳng cự và tích củahai phép đẳng cự là phép đẳng cự Hai không gian metric X, Y được gọi là đẳng

cự nếu có một phép đẳng cự : Xφ →Y Tập hợp các phép đẳng cự từ không gianmetric X vào chính nó tạo thành một nhóm I(X) và được gọi là nhóm các đẳng

cự của X Một phép đẳng cự từ En vào chính nó gọi là phép đẳng cự Ơclit

Ví dụ: Cho a là một điểm của En Hàm Ta: ¡ n ® ¡ , xác định bởin

( )

a

T x = +a x được gọi là một phép tịnh tiến của ¡ theo a.n

Dễ thấy Ta là một song ánh với ánh xạ nghịch T– a và

2.2.1 Định nghĩa Một hàm f :¡ n 1 + ® ¡ n 1 + gọi là phép biến đổi trực

giao nếu và chỉ nếu: (x) (y) x.yφ φ = với mọi x,yÎ ¡ n 1 +

Ví dụ: Phép đối xứng xuyên tâm α của ¡ n 1 + , xác định bởi a( )x =- x, là mộtphép biến đổi trực giao, vì a( ) ( ) (x ya = - x y) (- )=x.y, x, y" Î ¡ n 1 + .

2.2.2 Định nghĩa Cơ sở {v , v , , v1 2 n 1+} của ¡ n 1 + gọi là cơ sở trực

chuẩn nếu v vi j = δ ∀ij, i, j.

2.2.3 Định lí Hàm f :¡ n+ 1® ¡ n+ 1 là một phép biến đổi trực giao nếu

và chỉ nếu nó là một ánh xạ tuyến tính và nó biến một cơ sở trực chuẩn của ¡ n 1 +

thành một cơ sở trực chuẩn của ¡ n 1 + .

Chứng minh

Điều kiện đủ: Giả sử rằng f :¡ n+ 1® ¡ n+ 1 là một phép biến đổi trực giao

và {e , e , , e1 2 n 1+ } là hệ cơ sở trực chuẩn của ¡ n 1 + Khi đó

Điều kiện cần: Giả sử f :¡ n+ 1® ¡ n+ 1 là ánh xạ tuyến tính và biến hệ cơ

sở trực chuẩn {e , e , , e1 2 n 1+} của ¡ n 1 + thành hệ cơ sở trực chuẩn

Vậy f là phép biến đổi trực giao □

2.2.4 Hệ quả Mọi phép biến đổi trực giao đều là đẳng cự Ơclit.

Chứng minh Giả sử j :¡ n 1 + ® ¡ n 1 + là phép biến đổi trực giao

2.2.5 Định nghĩa Một ma trận A thực cấp n được gọi là ma trận trực

giao nếu ánh xạ tuyến tính tương ứng A: ¡ n ® ¡ , A(x) = Ax, là ánh xạ trựcngiao

Tập hợp các ma trận trực giao cấp n cùng với phép nhân ma trận tạo thànhmột nhóm O(n), gọi là nhóm ma trận trực giao

f = " = + Dễ thấy f là mở rộng duy nhất của φ □

2.3.3 Hệ quả Nhóm đẳng cự cầu I(Sn) đẳng cấu với nhóm trực giaoO(n+1)

§3 TRẮC ĐỊA CẦU 3.1 Đường trắc địa

3.1.1 Định nghĩa Một đường cong trong không gian X là một hàm liên

tục γ: a, b[ ] →X, ở đây [a, b là một khoảng đóng trong ¡ , a < b.]

Cho γ: a, b[ ] →X là một đường cong, ta gọi γ( )a là điểm đầu, γ( )b làđiểm cuối của đường cong Ta cũng nói γ là một đường cong trong X đi từ γ( )ađến γ( )b

3.1.2 Định nghĩa Cung trắc địa trong không gian metric X là một hàm

bảo toàn khoảng cách a: a,b[ ]® , với a, b Î ¡ , a < b.X

Nhận xét: Cung trắc địa a: a,b[ ]® là một hàm đơn ánh và liên tục nênX

Vậy α là một cung trắc địa trong En từ x đến y

3.1.4 Định lí Cho x, y ∈ E n , x khác y và α: a,b[ ] →En là một đường cong từ x đến y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) Đường cong α là một cung trắc địa.

ii) Đường cong α có phương trình: ( )t x (t a ) y x

i) => ii) Giả sử α là cung trắc địa và đặt l = b – a Ta xây dựng đường

cong b: 0; [ l]®En, s a (s) b = a + - a( s) x Khi đó β là cung trắc địa saocho β( )0 =0 và b( )s = " Îs, s [0; l Do đó: ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ( ), ( )) 1)

()

a t l l

a t a

x y a t x b a b

a t a b a b

a t a t

('))(

(')()(t −α s =α a t−s =α a t−s = t−s

α

Vì vậy α là cung trắc địa □

3.1.5 Định nghĩa Đoạn trắc địa nối x đến y trong không gian metric X là

ảnh của một cung trắc địa α: a,b[ ]→X mà điểm đầu là x và điểm cuối là y

Cho x, y là hai điểm phân biệt trong En, đoạn thẳng trong En nối x và yđược định nghĩa là tập hợp: {x t(y x) : 0 t 1+ − ≤ ≤ }

3.1.6 Hệ quả Đoạn trắc địa của E n là đoạn thẳng.

3.1.7 Định lí Cho [ ] [ ]x, y , y,z tương ứng là hai đoạn trắc địa nối x với

y và nối y với z trong không gian metric X Khi đó tập hợp [ ] [ ]x, y ∪ y,z là một đoạn trắc địa nối x với z khi và chỉ khi d x,z( ) =d x, y( ) ( )+d y,z .

( )

d(x, y) d(y,z) (c a) (t s)(b a) (c b) (c a) (t s) t s

= − − − −

= − + − − − + − = −

Do đó d(γ( ) ( )t , sγ ) = −t s

Như vậy, γ: a,c[ ] →X là cung trắc địa từ x đến z, có ảnh là tập [ ] [ ]x, y ∪ y,z

Vậy [ ] [ ]x, y ∪ y,z là đoạn trắc địa nối x và z

3.1.8 Định nghĩa Ba điểm phân biệt x, y, z trong En gọi là cộng tuyến,

với y ở giữa x và z, nếu và chỉ nếu y nằm trên đoạn thẳng nối x và z

Khi đó, từ Định lí 3.1.7 ta dễ dàng suy ra hệ quả:

Hệ quả Ba điểm phân biệt x, y, z trong E n gọi là cộng tuyến, với y ở giữa x

và z, nếu và chỉ nếu x z- = -x y + -y z .

3.1.9 Định nghĩa Một hàm : Xf ® giữa hai không gian metric đượcY

gọi là bảo toàn khoảng cách địa phương nếu với mỗi điểm a trong X có một số

thực r > 0 sao cho f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong B a;r ( )

Hàm : Xf ® bảo toàn khoảng cách địa phương thì liên tục tại mỗi điểmYthuộc X, do đó nó là hàm liên tục

3.1.10 Định nghĩa Một đường trắc địa trong không gian metric X là một

đường cong bảo toàn khoảng cách địa phương : Jg ® X

Nhận xét

+ Các đường trắc địa trong không gian Ơclit En là các đường thẳng

+ Một cung trắc địa là một đường trắc địa nhưng một đường trắc địa chưachắc đã là một cung trắc địa

3.1.11 Định lí Một hàm :l ¡ ®E là một đường trắc địa nếu và chỉ n nếu l ( )t = l (0)+ lt( (1)- l (0)) với mọi t và l ( )1 - l ( )0 = 1

Chứng minh

Ü Giả sử hàm l :¡ ® E thỏa mãn n l (t)= l (0)+ lt (1)( - l (0)) với

mọi t và l ( )1 - l ( )0 = Khi đó trên đoạn 1 [a;b]Ì ¡ bất kì ta có

l = l - l và '(t)l = Do đó theo Định lí 3.1.4 ta có l1 :¡ ® E lànhàm bảo toàn khoảng cách địa phương Vậy l :¡ ® E là một đường trắc địa.n

)

Þ Giả sử l :¡ ® E là một đường trắc địa Lấy n t0Î ¡ bất kì Do

l :¡ ® E là một đường trắc địa nên tồn tại số thực r > 0 sao cho trên đoạnn

[t0- r;t0 + thì l là hàm bảo toàn khoảng cách, hay r] l éêë - + ®ùúû n

Vậy l (t)= l (0)+ lt (1)( - l (0)) với mọi t và l ( )1 - l ( )0 = 1

3.1.12 Định nghĩa Một không gian metric X gọi là trắc địa đầy đủ nếu

mọi cung trắc địa a: a;b[ ]® đều mở rộng duy nhất thành đường trắc địaX

l :¡ ® X

Ví dụ: Không gian Ơclit n chiều En là trắc địa đầy đủ

3.1.13 Định nghĩa Một không gian metric X gọi là trắc địa hoàn toàn

nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x, y của X có một đường trắc địa của X chứa cả

x và y

Ví dụ Không gian Ơclit n chiều En là trắc địa hoàn toàn, vì với hai điểm

x, y phân biệt của En thì đường thẳng xy là đường trắc địa của En chứa cả x và y

chứa cả x và y Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính thì x = – y , khi n > 1 thì có một tậpđếm được đường tròn lớn của Sn chứa cả x và – x, do đó mọi đường tròn lớn của

Sn đã chứa x thì chứa cả – x

3.2.1 Định nghĩa Ba điểm x, y, z của Sn gọi là cộng tuyến cầu nếu và chỉ

nếu có một đường tròn lớn của Sn chứa cả x, y, z

3.2.2 Bổ đề Nếu x, y, z ∈ S n và θ(x, y) ( ) ( )+ θ y,z = θ x,z thì x, y, z cộng tuyến cầu.

Chứng minh Giả sử x, y, z ∈ Sn Vì không gian con sinh bởi x, y, z trong

Vậy x, y, z là cộng tuyến cầu 

3.2.3 Định lí Cho α: a,b[ ] →Sn là một đường cong với b a− < π Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

i) Đường cong α là một cung trắc địa.

ii) Có cặp véc tơ trực giao (x, y) trong S n thoả mãn:

( ) (t cos(t a) x) (sin(t a) y)

iii) Đường cong α có phương trình vi phân: "α + α =0.

Chứng minh

Với A là một phép biến đổi trực giao của ¡ n 1 + Khi đó ta có ( )Aα '= Aα'

Do đó đường cong α thoả mãn iii) khi và chỉ khi đường cong Aα cũng thoảmãn iii) Từ đó ta có thể tác động α bởi một phép biến đổi trực giao

Để chứng minh định lí ta chứng minh i)⇔ii) và ii)⇔iii).

a) Chứng minh i)⇔ii)

i)⇒ii)Giả sử α là một cung trắc địa Lấy t∈[ ]a b , ta có,

( ( ), ( )a b ) b a (t a) (t b) (= ( ), ( )a t ) ( ( ), ( )t b )

θ α α = − = − + − θ α α +θ α α

Theo Bổ đề 3.2.2 ta có ( ), ( ), ( )α a α b α t là cộng tuyến cầu

Vì θ α( ( ), ( )a α b ) = − <b a π , nên ( ), ( )α a α b không xuyên tâm đối Từ đó

( ), ( )a b

α α nằm trên một đường tròn lớn duy nhất S của Sn Do đó ảnh của α

cũng chứa trong S Từ đó ta có thể giả sử n = 1 Bằng công thức của phép quay

e α t e α t , nên e2 ( )α t = ±sin (t - a), vì α liên tục và b a− < π

nên dấu + hay dấu – của phương trình luôn đúng với mọi t∈[ ]a b ,

Từ đó ta có thể giả sử rằng α( ) (t = cos(t a e− ) 1+sin(t a− )(±e2)) hay ta có ii)Vậy có cặp véc tơ trực giao x, y trong Sn thoả mãn: