Về độ đo tự động dạng luận văn thạc sỹ toán học

Nhờ việcnghiên cứu độ đo này mà ta có thể nghiên cứu về chiều Hausdorff củacác tập Fractal vì giá của độ đo tự đồng dạng sinh bởi họ các ánh xạđồng dạng chính là tập Fractal sinh bởi các

tran thi thai hoa

MỞ ĐẦU

Vào giữa những năm 70 của thế kỉ XX một lĩnh vực của toán học cónhiều ứng dụng ra đời đó là hình học Fractal Công cụ để nghiên cứutrong hình học Fractal là chiều và độ đo Có rất nhiều khái niệm vềchiều cũng như độ đo được đề xướng, được nhiều nhà toán học quan tâmnghiên cứu và thu được nhiều kết quả cũng như tìm thấy nhiều ứng dụnghữu ích cho nhiều lĩnh vực khác nhau Một trong những độ đo Fractalđược đặc biệt quan tâm là độ đo tự đồng dạng (Self - Similar Measure)

Độ đo này được khởi xướng vào năm 1981 bởi Hutchinson và sau đó đượcrất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như P Erdos, B Solomyak,

A Fan, R Salem, K Lau, R Strichartz, J Neunhauserer, Nhờ việcnghiên cứu độ đo này mà ta có thể nghiên cứu về chiều Hausdorff củacác tập Fractal vì giá của độ đo tự đồng dạng sinh bởi họ các ánh xạđồng dạng chính là tập Fractal sinh bởi các ánh xạ đó Mặt khác, nhờnghiên cứu độ đo tự đồng dạng ta có thể nghiên cứu cấu trúc địa phươngcủa các tập Fractal Chính vì thế, độ đo này luôn thu hút sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà toán học Với những lí do trên tôi chọn đề tàinghiên cứu cho luận văn của mình là

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về độ đo, độ đo kỳ dị, độ

đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên, Đây là những kháiniệm cơ sở sử dụng xuyên suốt cả luận văn Trình bày và chứng minh chitiết một số bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh cáckết quả cơ bản trong luận văn; trình bày định nghĩa và chứng minh cáctính chất cơ bản của độ đo tự đồng dạng

Chương 2 Tính kì dị và tính liên tục tuyệt đối của một số

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thầy, Cô giáokhoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại họcVinh, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi, động viên và giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học và thựchiện được luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của thầy,

cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Độ đo µ thỏa mãn µ(X) = 1 được gọi là độ đo xác suất.

1.1.2 Mệnh đề Giả sử X 6= ∅, C là một σ-đại số các tập con của X,

µ là một độ đo trên C Khi đó,

i) µ(∅) = 0

ii) A, B ∈ C, B ⊂ A và µ(B) < +∞ thì µ(A \ B) = µ(A) − µ(B).iii) Tính đơn điệu A, B ∈ C và B ⊂ A thì µ(B) ≤ µ(A)

iv) Tính nửa σ-cộng tính dưới theo nghĩa, nếu

∞

P

k=1

µ(Ak)

1.1.3 Định nghĩa Cho µ là một độ đo trên C Khi đó, giá của độ

đo µ (nếu tồn tại) là tập đóng bé nhất với phần bù có độ đo bằng 0, kýhiệu là sptµ

1.1.4 Định nghĩa Giả sử X là một tập tùy ý khác rỗng, C là mộtσ-đại số các tập con của X Khi đó, cặp (X, C) được gọi là một khônggian đo Mỗi A ∈ C được gọi là tập đo được

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X = (X, d) là không gian mêtric Khi đó,i) σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian mêtric

X được gọi là σ-đại số Borel của không gian X và những tập thuộc σ-đại

số này được gọi là tập Borel trong không gian X

ii) Ta nói µ là độ đo Borel đều nếu và chỉ nếu tất cả các tập Borel

là đo được và với mỗi A ⊂ X thì tồn tại tập Borel B ⊃ A sao choµ(A) = µ(B)

1.1.6 Định nghĩa Giả sử µ và ν là các độ đo xác định trên khônggian đo (X, C) Ta nói rằng µ và ν là kì dị lẫn nhau nếu tồn tại các tập

A, B ∈ C sao cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X và ν(A) = µ(B) = 0, ký hiệu là

Lấy A = R \ {a}, B = {a} ta có A ∩ B = ∅, A ∪ B = R và ν(A) =

µL(B) = 0 Vậy ν ⊥ µL

1.1.8 Định nghĩa Giả sử µ và ν là độ đo xác định trên C Khi đó,

ν được gọi là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ nếu ν(E) = 0 với mọi

E ∈ C thỏa mãn µ(E) = 0, ký hiệu là ν  µ

Nếu µ  µL ta nói µ là liên tục tuyệt đối

1.1.9 Mệnh đề Giả sử µ và ν là các độ đo xác định trên C Khi đó,nếu ν  µ và ν ⊥ µ thì ν(E) = 0 với mọi E ∈ C

Chứng minh Vì ν ⊥ µ nên tồn tại A, B ⊂ X sao cho

A ∪ B = X, A ∩ B = ∅ và µ(B) = ν(A) = 0 (1.1)Khi đó, với mọi E ∈ C ta có

ν(E) = ν(E ∩ X) = ν[E ∩ (A ∪ B)]

= ν[(E ∩ A) ∪ (E ∩ B)] = ν(E ∩ A) + ν(E ∩ B).(do ν cộng tính hữu hạn và A, B rời nhau)

Vì ν là độ đo nên 0 < ν(E ∩ A) ≤ ν(A) = 0 (theo (1.1)) Vậy

ν(E) ≤ ν(A) + ν(E ∩ B) = 0 + ν(E ∩ B) = ν(E ∩ B) (1.2)

Hơn nữa, ν  µ và µ(B) = 0 nên ν(B) = 0.

suy ra ν(E ∩ B) ≤ ν(B) = 0 suy ra ν(E ∩ B) = 0 (1.3)

1.1.11 Định lý phân tích Lebesgue ([4]) Giả sử (X, C) là mộtkhông gian đo σ-hữu hạn và giả sử ν là một độ đo σ-hữu hạn trên C Khi

đó, tồn tại các độ đo νa và νs sao cho νs ⊥ ν, νa  ν và ν = νa+ νs.Hơn nữa, các độ đo νa, νs là duy nhất

1.2 Hệ hàm lặp, tập Fractal

1.2.1 Định nghĩa i) Cho D 6= ∅, D ⊂ Rn, một ánh xạ f : D→Dđược gọi là một ánh xạ co trên D nếu tồn tại c ∈ [0; 1) để

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D

và c được gọi là tỷ số co của ánh xạ f

ii) Nếu dấu "=" trong bất đẳng thức trên xảy ra với mọi x, y ∈ D thìánh xạ f được gọi là ánh xạ đồng dạng trên D và c được gọi là tỷ sốđồng dạng của ánh xạ f

iii) Ánh xạ f : D→Rn được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng

số c > 0 sao cho

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D

iv) Ánh xạ f : D→Rn được gọi là ánh xạ Holder nếu tồn tại các hằng

số c > 0 và α > 0 sao cho

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α, ∀x, y ∈ D

1.2.2 Định nghĩa i) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co {f1, f2, , fm}trên D được gọi là hệ hàm lặp (viết tắt là IFS - Iterated Function System)trên D

ii) Cho hệ hàm lặp {fi}mi=1 gồm các ánh xạ đồng dạng Ta nói hệhàm lặp đã cho thỏa mãn điều kiện tập mở (viết tắt là OSC-Open SetCondition) nếu tồn tại tập mở bị chặn khác rỗng V ⊂ Rn sao cho

fk(E) với fk là sự lặp lại k lần của ánh xạ f

1.2.4 Định nghĩa i) Cho hệ hàm lặp {fi}mi=1 trên D Khi đó, tập Fthỏa mãn F =

iii) Các tập bất biến của một hệ hàm lặp được xem là các tập fractal.1.2.5 Một số ví dụ về tập fractal.

Các ví dụ nêu sau đây khá phổ biến trong hình học fractal Do đó,chúng tôi không trình bày lại chi tiết các chứng minh chúng là tập bấtbiến của hệ hàm lặp mà chỉ mô tả cách xây dựng và chỉ ra hệ hàm lặpsinh ra chúng

a) Tập tựa Cantor Với mỗi n ≥ 3, ta xây dựng tập Cn trên R thôngqua các bước lặp như sau: Một đoạn thẳng được chia thành n đoạn nhỏ

có độ dài như nhau, ở bước lặp tiếp theo ta chỉ giữ lại một đoạn đầu tiên

và một đoạn cuối cùng của n phần chia này Gọi Ek(k = 0, 1, 2, 3, )

là bước thứ k của quá trình lặp

hệ hàm lặp {fi}2i=1 với fi : R→R, i = 1, 2 xác định bởi

Tương tự như tập Cantor ta cũng chứng minh được bụi Cantor là tập tự

đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {fi}4i=1 trên R2 xác định bởi

, f2(x, y) =  x

,

, f4(x, y) =  x

4,

y

4 +

12

.c) Tam giác Sierpinski Tập được xây dựng bằng cách xuất phát

từ hình tam giác đều có cạnh là một đơn vị độ dài, chia nó thành 4 tamgiác nhỏ bởi các đường trung bình của tam giác, độ dài cạnh tam giácmới là 12, giữ lại 3 hình tam giác xung quanh và bỏ đi một hình tam giác

ở giữa Cứ tiếp tục như thế cho 3 tam giác còn lại Lặp lại quá trình này

vô hạn lần, thì đến bước thứ k ta có 3k tam giác, cạnh là 21k Quá trìnhnày được lặp lại vô hạn lần, khi đó ta thu được tam giác Sierpinski Tamgiác Sierpinski là tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp {fi}3i=1 trên R2 xácđịnh bởi

f1(x, y) =

x

2,

y2

!

1.3 Không gian xác suất, biến ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa i) Giả sử (X, C) là không gian đo, P là độ đo xácsuất trên C Khi đó, bộ ba (X, C, P) được gọi là không gian xác suất.ii) Một biến số được gọi là biến ngẫu nhiên nếu trong kết quả củaphép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nótùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên

iii) Một biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉnhận một số hữu hạn hoặc đếm được các giá trị

1.3.2 Định nghĩa Giả sử (X, C, P) là không gian xác suất Họ cácbiến ngẫu nhiên (Xi)i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họσ-đại số (σ(Xi)i ∈ I) độc lập (độc lập đôi một).

1.4 Định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo tự đồng dạng

Gọi X = (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, µ là độ đo Borel đềutrên X Khi đó

i) Khối lượng của µ xác định bởi M(µ) = µ(X)

ii) Gọi M là tập hợp các độ đo Borel đều có giá bị chặn và khối lượnghữu hạn Đặt M1 = {µ ∈ M : M(µ) = 1}

iii) Cho f : X → R ta định nghĩa

Lipf = sup

x6=y

d(f (x),f (y)) d(x,y) iv) Đặt

BC(X) = {f : X → R : f liên tục và bị chặn trên các tập hợp con bị chặn}.Với µ ∈ M, φ ∈ BC(X), ta định nghĩa

µ(φ) =

Zφdµ

Khi đó, µ : BC(X) → [0, +∞) là tuyến tính và dương (nghĩa là nếuφ(x) ≥ 0 với ∀x thì µ(φ) ≥ 0)

Cho f : X → X là liên tục và biến tập bị chặn thành tập bị chặn Tađịnh nghĩa hàm f# : X → X xác định bởi

1.4.1 Mệnh đề ([3]) Với cách xác định như trên L là một mêtric đầy

đủ trên M1 Do đó, (M1, L) trở thành không gian metric đầy đủ

Với các kí hiệu về S, M1, L như trên ta có định lý sau

Khi đó, (S, ρ) là ánh xạ co trên không gian mêtric (M1, L)

Chứng minh Ta có Lipφ ≤ 1 và lấy r = max

1≤i≤N ri < 1 với ri là tỉ số cocủa các Si tương ứng (i = 1, 2, , N ) Khi đó, với µ, ν ∈ M1 ta có

Vậy, (S, ρ)(µ)(φ) − (S, ρ)(ν)(φ) ≤ rL(µ, ν) với ∀µ, ν ∈ M1 nên

sup{(S, ρ)(µ)(φ) − (S, ρ)(ν)(φ)| φ : X → R, Lipφ ≤ 1} ≤ rL(µ, ν)

Vậy (S, ρ) là ánh xạ co với tỉ số co r = max

1≤i≤N ri.1.4.3 Định lý ([4]) Cho X = (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và{S1, , SN} là họ hữu hạn các ánh xạ co trên X Giả sử ρ1, , ρN ∈ (0, 1)và

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4.1 (M1, L) là không gian mêtric đầy

Một tính chất thú vị là ta có thể xác định độ đo µ bởi một cách khácnhư sau.

Lấy X0, X1, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối,mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực a1, , am với các xác suất tươngứng là p1, pm

Với mọi A ⊂ R là tập đo được, ta có

S

j=1

Fj(E) chính là sptµ.Chứng minh Giả sử X0, X1, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cócùng phân phối, mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực a1, , am với cácxác suất tương ứng là p1, , pm

Với 0 < ρ < 1 lấy S =

∞

P

n=1

ρnXn Khi đó, ta có độ đo sinh bởi S là

µρ(A) = P rob{ω : S(ω) ∈ A}

Theo Đinh lý 1.4.5 thì µρ cũng chính là độ đo sinh bởi hệ hàm lặp{Fj}mj=1 đã cho

Vậy định lý được chứng minh

Từ Định lý này ta thấy rằng để nghiên cứu một tập fractal E ta cóthể dựa vào độ đo và giá của độ đo để nghiên cứu

Theo Định lý phân tích Lebesgue thì bất kì độ đo ν nào trên C cũng

có thể phân tích thành ν = νa+ νs trong đó νs ⊥ ν, νa  ν với (X, C) làmột không gian đo

Tuy nhiên, đối với độ đo tự đồng dạng ta lại có tính chất đặc biệt sauđây Trước hết, ta kí hiệu

b = (β1, , βn) ∈ (0, 1)n; d = (d1, , dn) ∈ Rn, di 6= dj, i 6= j

Từ đó, ta xác định một hệ hàm lặp IFS {Ti}ni=1 như sau

Ti(x) = βix + di, i = 1, 2, n (1.6)Lấy vectơ trọng số xác suất p = (p1, , pn)

Khi đó, tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn

với #ki(s) = Card{sj|sj = di với j = 0, 1, , k − 1} và s = (sk) ∈ Σ

Để cho gọn, thay vì viết πb,d ta ký hiệu π, µ thay µpb,d, b thay bp

Trước hết, với các kí hiệu như ở trên ta chứng minh các bổ đề sau.1.4.7 Bổ đề Cho j = 1, , n và (s0, s1, s2 ) ∈ Σ ta có

Tj(π((s0, s1, s2, ))) = π((dj, s0, s1, s2, ))

Vậy bổ đề được chứng minh.

Lấy C ⊆ F là một tập Borel tùy ý Lấy C0 = C và xây dựng Cu bởi côngthức truy hồi

Chứng minh Lấy Λ = F \ Λ Ta chứng minh bổ đề này với phần bùΛ.

Giả sử rằng µL(Λ) > 0 Theo định nghĩa của Λ ta có

Ts1 ◦ T s2 ◦ Tsv(Λ) ⊆ Λvới (s1, s2, , sv) ∈ {1, , n}v

Vì hệ hàm lặp có phủ nên tồn tại (s1, s2, , sv) ∈ {1, , n}v sao cho

x ∈ Ts1 ◦ Ts2 ◦ Tsv(F ) ⊆ J và Ts1 ◦ Ts2 ◦ Tsv−1(F ) * J

Vì khoảng thứ hai cắt biên của J ta có

µL(Ts1 ◦ T s2 ◦ Tsv−1) ≥ µL(J )

2 .Điều này kéo theo

Ngược lại, µL(Λ) = 0 thì µL(Λ) = µL(F )

Vậy bổ đề được chứng minh

Từ Định lý 1.1.9 thì bất kì một độ đo ν nào trên C cũng có thể phântích thành ν = νa+ νs trong đó νs ⊥ ν, νa  ν với (X, C) là một khônggian đo và từ các bổ đề trên ta có tính chất đặc biệt của độ đo tự đồngdạng được trình bày trong định lý sau.

1.4.10 Định lý Giả sử µ là độ đo tự đồng dạng thì µ hoặc là liêntục tuyệt đối hoặc là hoàn toàn kỳ dị

Chứng minh Giả sử rằng µ là độ đo liên tục tuyệt đối nhưng khôngtương đương với độ đo Lebesgue µL

Khi đó, tập Borel C ⊆ F với µ(C) = 0 và µL(C) > 0

Với Λ được xác định như trong Bổ đề 1.4.9, từ Bổ đề 1.4.9 ta có

Độ đo này sinh bởi hai ánh xạ đồng dạng Fj(x) = ρx ± 1, j = 1, 2.Gọi νλ là phân phối của biến ngẫu nhiên Yλ Độ đo này được nghiêncứu từ những năm 1930 và nó liên quan đến nhiều tính chất của giải tíchđiều hòa, lý thuyết về các số đại số, hệ động lực học và ước tính chiềuHausdorff

Vấn đề cơ bản đặt ra với độ đo νλ là với giá trị nào của λ thì độ đo νλ

là liên tục tuyệt đối hay hoàn toàn kì dị Bài toán này được rất nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu như Erdos (1930,1940), Solomyak (1995),Peres và Solomyak (1996), Alexander và Yorke, Przytycki và Urbanski,Mauldin và Simon (1998)

Cho đến nay, độ đo này vẫn còn nhiều vấn đề mở thu hút sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà toán học

b) Cho Si(x) = 13x + 23i, x ∈ R, i = 0, 1 là hai ánh xạ đồng dạng cócùng tỉ số với xác suất p0 = p1 = 12 Khi đó, độ đo xác suất ν trên Rthỏa mãn

ν là độ đo tự đồng dạng và ν được gọi là độ đo Cantor chuẩn

c) Giả sử X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị {0, 1, 2, m} với xác suấttương ứng cho bởi

Khi đó, µ chính là µ = ν ◦ ◦ ν (m - lần) với ν là độ đo Cantor chuẩn.d) Lấy b = (β1, , βn) ∈ (0, 1)n; d = (d1, , dn) ∈ Rn, di 6= dj, i 6= j

Từ đó, ta xác định một hệ hàm lặp {Ti}ni=1 như sau

Ti(x) = βix + di, i = 1, 2, n (1.9)

Lấy vectơ trọng số xác suất p = (p1, , pn) Khi đó, tồn tại duy nhất

độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn

CHƯƠNG 2

TÍNH KÌ DỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG

Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết tính kỳ

dị và tính liên tục tuyệt đối của một số độ đo tự đồng dạng

2.1 Tích chập Bernoulli

Tích chập Bernoulli được đưa ra đầu tiên bởi Wintner và các cộng sựcủa ông vào 1930 Đặc biệt, vào sau những năm 80 một loạt các vấn đề

về động lực học liên quan đến tích chập Bernoulli làm nó trở thành vấn

đề hấp dẫn Chẳng hạn như công trình của Alexander và Yorke (1982),Przytycki và Urbanski (1989), Ledrappier (1982), Đến sau những năm

1990, Pollicott và Simon còn chỉ ra tích chập Bernoulli liên quan đến bàitoán {0,1,3} một bài toán có nhiều ý nghĩa trong hình học fractal Trongmục này chúng tôi nghiên cứu về tính kì dị và liên tục tuyệt đối của độ

sinh bởi hệ hai ánh xạ đồng dạng trên R là

T0(x) = λx − 1, T1(x) = λx + 1

với các xác suất là (12,12)

Độ đo này có nhiều hữu ích trong nghiên cứu hệ động lực học và việctính chiều của một tập Độ đo νλ có thể xem như là phép chiếu khôngtuyến tính nghĩa là, lấy Ω = {−1, 1}N là không gian các dãy với độ đoBernoulli µ Khi đó,

νλ = µ ◦ Π−1λvới

Vì νλ là độ đo tự đồng dạng nên theo Định lý 1.4.10 thì νλ hoặc liêntục tuyệt đối hoặc hoàn toàn kì dị Bài toán xác định giá trị λ ∈ (0, 1)

để νλ liên tục tuyệt đối hay νλ hoàn toàn kì dị là bài toán có ý nghĩa,thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học từ những năm

80 của thế kỉ XX Cho đến nay, bài toán này vẫn còn nhiều vấn đề chưađược giải quyết và đang được nhiều nhà toán học quan tâm

Nếu độ đo νλ là kì dị thì người ta quan tâm đến việc tính hay ướctính chiều của nó Vì khi đó sptνλ là tập fractal Người ta thu được kếtquả về tính kì dị của νλ với 0 < λ < 12 bởi Kershner và Wintner (1935).Tuy nhiên, trong trường hợp λ ∈ (12, 1) thì với giá trị nào của λ để νλ

kì dị chỉ đạt được với một số ít giá trị bởi Erdos ([2]), Kahane ([6]).Trong ([9]), Solomyak (1995) chứng minh rằng νλ liên tục tuyệt đốivới hầu hết λ ∈ (12, 1) Các trường hợp λ ∈ (12, 1) mà νλ kì dị được Erdos