Áp dụng phương pháp quỹ đạo của kirillov vào các nhóm lie có chiều nhỏ luận văn thạc sỹ toán học

Để giải quyết vấn đề đó, phương pháp quỹ đạo của A.A Kirillov ra đời vào những năm 60 đã nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả đối với lý thuyết biểu diễn.. Trong phương pháp đó Kir

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN VĂN QUANG

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO CỦA KIRILLOV VỚI NHÓM

LIE CÓ CHIỀU NHỎ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa……… 1

Mục lục……… ….2

Mở đầu……… ……… ….3

Chương 1 Phương pháp quỹ đạo của Kirillov § 1. Nhóm Lie Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie………….……… ……6

§ 2. Dạng Killing……….….………… ….9

§ 3. Các toán tử Ad và ad……….……… 12

§ 4. Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie……… ……18

§ 5. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie Tương ứng Kirillov ……… 21

§ 6. Đa tạp Symplectic thuần nhất chặt 22

Chương 2 Quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều nhỏ hơn 4 § 1. Định lí phân loại các đại số Lie có chiều ≤ 3……… ….25

§ 2 Qũy đạo đối phụ hợp của nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực Aff(¡ )……….………29

§ 3. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm H3 (nhóm Heisenberg)… …31

§ 4. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm SL(2,R)……… …….33

Chương 3 Quỹ đạo đối phụ hợp của một số nhóm Lie có chiều bằng 4 § 1. Phân loại các đại số Lie 4 chiều, H4 = <X,Y,Z,T >……… 40

§ 2. Tính một số quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie 4 chiều 42

Kếtluận……… ……45

Tài liệu tham khảo……….… 46

MỞ ĐẦU

Biểu diễn của nhóm Lie (hay đại số Lie) có thể cho các thông tin về chính nhóm (hay đại số Lie) đó, chẳng hạn nếu nhóm G là hữu hạn, thì kết hợp với G là

đại số nhóm Cấu trúc của đại số nhóm này có thể được mô tả triệt để nhờ biểu

diễn bất khả quy của G Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm là tìm tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm Lie cho trước Việc

xây dựng và thể hiện các biểu diễn này rất phức tạp và hiện vẫn đang được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu nhằm cố ghắng dựng được và mô tả được các biểu diễn một cách tường minh hơn Đó cũng chính là một hướng nghiên cứu trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử

Để giải quyết vấn đề đó, phương pháp quỹ đạo của A.A Kirillov ra đời vào những năm 60 đã nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả đối với lý thuyết biểu diễn Trong phương pháp đó Kirillov đã xuất phát từ một phân thớ một chiều trên đa tạp

symplectic thuần nhất xây dựng từ các K – quỹ đạo Ω trong g* để thu được các

biểu diễn của nhóm Lie G Phương pháp này cho một mối liên hệ gần gũi giữa các

biểu diễn unita vô hạn chiều và các quỹ đạo đối phụ hợp trong g*

Một cấu trúc symplictic trên một đa tạp là một dạng vi phân cấp hai đóng, không suy biến Không gian pha của một hệ cơ học cổ điển là một ví dụ điển hình của đa tạp symplectic Vì vậy, nó đề xuất ra khả năng sủ dụng công cụ cơ học để giải quyết các vấn đề toán học

Về lịch sử, phương pháp quỹ đạo được đề xuất để miêu tả đối ngẫu unita của

nhóm Lie lũy linh Tuy nhiên, sau đó người ta thấy rằng, tất cả câu hỏi chính của lý

thuyết biểu diễn như cấu trúc tôpô của đối ngẫu unita, công thức đặc trưng, … đều

có thể được thể hiện một cách tự nhiên dưới dạng các quỹ đạo Hơn nữa, bằng một

số thay đổi nhỏ, người ta có thể áp dụng phương pháp này cho các nhóm Lie tổng

quát hơn

Phương pháp quỹ đạo của Kirillov cho phép tìm được tất cả các biểu diễn của nhóm Lie Phương pháp đó mới áp dụng được với nhóm lũy linh và một số nhóm đặc biệt Lí thuyết này chưa áp dụng được cho nhóm lũy linh tùy ý Trong [1], tác giả đã đề cập đến các nhóm Lie 4 chiều có quỹ đạo đối phụ hợp là đa tạp 0, 2, 4 chiều (được gọi là các nhóm Lie MD4), tác giả đã thu được toàn bộ các biểu diễn của các nhóm trên, đồng thời áp dụng lượng tử hóa biến dạng tác giả đã tìm được một loạt các kết quả về lượng tử hóa một nhóm Lie Trong luận văn này, chúng tôi muốn hệ thống lại cách tìm các quỹ đạo đối phụ hợp dựa vào phân loại nhóm Lie

1, 2, 3 chiều và một số nhóm Lie 4 chiều Các kết quả sẽ miêu tả cụ thể các quỹ đạo đối phụ hợp - những đối tượng hình học mà trên đó có trang bị cấu trúc đa tạp symplictic tự nhiên

Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, ba chương chứa nội dung và phần kết luận Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề, và đặt bài toán nghiên cứu

Chương I: Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về

nhóm Lie, biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie; Dạng Killing; Các toán tử Ad và ad; Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie; Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie, tương

ứng Kirillov Đó là những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét Cụ thể là:

Chương 1 Phương pháp quỹ đạo của Kirillov

1.1 Nhóm Lie Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie

1.2 Dạng Killing

1.3 Các toán tử Ad và ad

1.4 Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie

1.5 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie Tương ứng Kirillov

1.6 Đa tạp Symplectic thuần nhất chặt.

Chương II và chương III: Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết kết

quả nghiên cứu về quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều ≤ 4 Bao gồm việc mô tả quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Aff0(¡ ), nhóm Heisenberg (H3), nhóm SL(2,¡ ) Phân loại các đại số Lie có số chiều ≤ 4, tính một số quỹ đạo đối phụ hợp Cụ thể là:

Chương 2 Quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều nhỏ hơn 4

2.1 Định lí phân loại các đại số Lie có chiều ≤ 3

2.2 Qũy đạo đối phụ hợp của nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực Aff(¡ )

2.3 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm H3 (nhóm Heisenberg)

2.4 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm SL(2,R)

Chương 3 Quỹ đạo đối phụ hợp của một số nhóm Lie có chiều bằng 4.

3.1 Phân loại các đại số Lie 4 chiều, ђ4 = <X,Y,Z,T >

3.2 Tính một số quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie bốn chiều

Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp và sự quan tâm giúp đỡ từ các thầy cô, gia đình, bạn bè

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và Đại học Hải Phòng đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu Và đặc biệt, xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với Thầy giáo, Phó giáo sư, Tiến sĩ Nguyễn Việt Hải người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trên con đường nghiên cứu khoa học

Hải Phòng, tháng 12 năm 2011.

Tác giả

CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO CỦA KIRILLOV

§1 Nhóm Lie Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie, tức là một đa tạp trơn cùng với hai phép toán là các

ánh xạ trơn thỏa mãn các tiên đề của nhóm, cụ thể các ánh xạ:

G G× →G, G→G

( )a b, a a b. aa a− 1

Ví dụ quan trọng nhất của nhóm Lie hữu hạn chiều là lớp nhóm Lie ma trận, tức

là nhóm con của GL n( , ¡ ) Xét g = Lie G là không gian tiếp xúc T e G tại điểm đơn

vị e Nhóm G tác động lên chính nó bởi tự đẳng cấu trong

( ):

i g G→G

xa gxg−1

Ta thấy điểm e bất động của tác động này (ea geg−1 =e), do đó ta nhận được

tác động đạo hàm của G lên g tương ứng:

( ):

A g∗ g → g

mà thông thường kí hiệu là Ad(g).

1.1.1 Định nghĩa: Biểu diễn phụ hợp của G là ánh xạ

phép lấy liên hợp ma trận Ta dễ thấy Ad là đồng cấu nhóm Lie (qua kiểm tra trực tiếp), ở đây Autg là tập các tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ g.

1.1.2 Định nghĩa: Biểu diễn phụ hợp của đại số Lie g là ánh xạ

ở đây End g là các tự đồng cấu của đại số Lie g.

Nếu Φ là song ánh ta có đẳng cấu

Nếu g = g’ thìΦ là tự đẳng cấu đại số Lie.

đại số Lie tương ứng với nó Ta có mỗi đồng cấu đại số Lie cho tương ứng một đồng cấu (địa phương) nhóm Lie sao cho biểu đồ sau là giao hoán

trong đó ϕ( )e X =eϕ° ( )X , hay ϕ(expX) = exp(ϕ ° ( )X ).

Nghiên cứu nhóm Lie người ta thường nghiên cứu đại số Lie, vì đại số Lie là không gian véc tơ nên mọi tính toán đều thông qua cơ sở Đây chính là một vấn đề

quan trọng, vì cơ sở là phương tiện ta cần dùng để biểu diễn các véc tơ của không gian tuyến tính các toán tử tác dụng trong không gian đó.

1.1.5 Mệnh đề: Biểu diễn phụ hợp của nhóm G là một đồng cấu của G lên

GL(n,¡ )

1.1.6 Mệnh đề: Nếu H là một nhóm con giải tích của nhóm giải tích G Điều

kiện cần và đủ để H trở thành ước chuẩn là đại số Lie của H là Iđêan của đại số Lie G.

g sao cho [X Y, ]= ∀ ∈ 0, Y g Tâm của g là một Iđêan

Kết quả sau đây do Kirillov phát triển trong [5]:

thông trên V 1 chứa phần tử đơn vị Khi đó V là nhóm con giải tích đóng của G Đại

số Lie của nó là tâm của đại số Lie của G.

Bây giờ cho g là một đại số Lie bất kì trên trường ¡ và cho chúng xác định bởi

biểu diễn phụ hợp P của g Khi đó, P(g) là một đại số con của GL n( , £) Đại số

Lie của nó là P(g).

adX Y ∈ g* là không gian véc tơ nên phần tử của nó biểu diễn được qua cơ sở.

Bây giờ ta định nghĩa một “tích vô hướng” , trong đại số Lie bằng cách đặt

[D adX Y, ] ( )∈ g *

A.mặt khác, nếu ϕ: g → g là đẳng cấu Lie thì:

( ) ( ) ( ), ( , 1( ) ) ( 1( ) ),

ad X Yϕ = ϕ X Y= ϕ X ϕ − Y  = ϕadX ϕ − Y ∀Y.

nên adϕ( )X = ϕadXϕ − 1, đây là một đặc trưng quan trọng của toán tử ad Vậy với

mọi đẳng cấu Lie của nhóm g, ta có:

Thật vậy, khi ta chọn một cơ sở nào đó của đại số Lie g là X i i,( = 1,n) sao cho p

véc tơ đầu tiên của cơ sở X 1 , X 2 , , X n ( p n≤ ), tạo thành cơ sở của Iđêan A Ma trận

của toán tử adX, X∈ g là một ma trận cấp p.

Theo định nghĩa của Iđêan, ma trận của toán tử adX xem là toán tử tác dụng trong

toàn bộ không gian g có dạng:

0 0

A

ad X adX  ∗

Ta cũng có đẳng thức tương tự cho toán tử adY, Y∈A , từ đó ta có:

Rõ ràng, cho trước dạng song tuyến tính trên g thì ta có một mêtric song tuyến

tính trên G bởi biến đổi trái Đương nhiên, nó bất biến trái Nếu dạng song tuyến

tính ban đầu là bất biến phải thì mêtric song tuyến tính này cũng bất biến phải Mêtric song tuyến tính này là giả Rimann, nếu dạng song tuyến tính này xác định dương

1.2.3 Định lí: Điều kiện cần và đủ để một đại số Lie là nửa đơn là dạng Killing

xác định trên đại số Lie đó là không suy biến.

1.2.4 Định lí: Một đại số Lie g là nửa đơn khi và chỉ khi đại số đó là một tổng

trực tiếp của nhiềm Iđêan của nó, các Iđêan này đồng thời là đại số Lie đơn.

(Với B không suy biến thì G gọi là nửa đơn, khi đó ta cũng có Z(G) rời rạc)

1.2.5 Định nghĩa: Một đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số

nguyên k sao cho với mọi X∈ g thì (adX)k = 0 Mọi nhóm là lũy linh nếu đại số

Lie của nó là lũy linh

§3 Các toán tử Ad và ad

Ta nhắc lại, biểu diễn phụ hợp của G là ánh xạ:

:

Ad G → Aut gcho bởi

ở đây End g là tự đồng cấu của đại số Lie g.

1.3.1 Định lí: d Ad( ) e=ad d Ad, ( ) e là đạo hàm của Ad tại e.

của nó, và f G: 1 → G2là đồng cấu nhóm bất kì, ta có biểu đồ giao hoán sau:

exp Ad exp tX = exp tX exp tY exp −tX = exp tX +t X Y, + 0 t .

Theo công thức Baker - Campbell - Hausdorff, với t đủ nhỏ ta nhận được:

nhóm Lie Kho đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính thực:

3 ° ( ) ( )

0

,

tX t

Người ta chứng minh được nếu G là nhóm liên thông đơn liên thì khi cho đồng

cấu đại số Lie g → g sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm từ G → G'

(Nếu G không đơn liên thì dùng kĩ thuật tách G thành G 0 , G 1 ,… sao cho có một

nhóm liên thông đơn liên)

đổi tuyến tính khả nghịch của g, phần tử nghịch đảo là Ad A− 1 và:

Ad – đồng cấu nhóm Lie.

±

Ad - đồng cấu đại số Lie, ngay sau đây ta kí hiệu ±Ad là ad.

đồng cấu nhóm xác định như trên còn ±Ad: g → gl( )g là ánh xạ đồng cấu đại số

Lie tương ứng, sinh ra từ Ad Khi đó ∀X Y, ∈ g thì:

1 2 :

gọi là đồng cấu đại số Lie nếu Φ( [X Y, ] )= Φ  ( ) ( )X , Φ Y 

Nếu Φ là song ánh ta có Φ đẳng cấu

Nếu g1 ≡ g2 thì Φ là tự đẳng cấu.

1.3.6 Định lí: (Ado) Mọi đại số Lie thực hữu hạn chiều đều dẳng cấu với đại số

Lie con của gl(n, ¡ ) Mọi đại số Lie phức hữu hạn chiều đều đẳng cấu với một đại

số Lie con của gl(n, £).

§4 Biểu diễn đối phụ hợp (K – biểu diễn) của nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie, tức là một đa tạp trơn cùng với một phép toán mà là

ánh xạ trơn ϕ: G G× →G thỏa mãn các tiên đề của nhóm Ví dụ quan trọng nhất của

nhóm Lie là lớp nhóm Lie ma trận, tức là nhóm con của nhóm GL n( , ¡ ), và g là đại

số Lie của nó g = Lie G tức là một không gian tiếp xúc với G tại e (đơn vị), được

trang bị móc Lie [ , ] Nhóm Lie tác động lên chính nó bởi các tác động tịnh tiến trái và phải Mỗi phần tử g G∈ xác định các vi phôi:

( )

:

Lúc đó L g °R g là một đồng cấu của nhóm G, ( ) 1

L °R h =ghg− Ta thấy đây là tự đẳng cấu trong, điểm e G∈ là điểm bất động của tác động này Do đó, chúng ta

nhận được tác động đạo hàm của G lên g tại điểm đơn vị Đó là ánh xạ tuyến tính

từ đại số g = Lie G vào chính nó, là ánh xạ:

g g

Ad được gọi là biểu diễn phụ hợp của nhóm G trong g Gọi g* là không gian véc

tơ đối ngẫu của g = Lie G Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh tác động đối phụ hợp của

G trong g* Kí hiệu bởi:

Trong đó F A, là giá trị của dạng tuyến tính F tại A Tác động đó gọi là biểu diễn đối phụ hợp, hay K – biểu diễn của G trong g * đi qua F∈g∗ Ta cũng có:

Như vậy, ta hoàn toàn xác định K G: →Aut( )g * ,ga K g( ), trong đó :

( ): * * , ( )

K g g → g F a K g F , và

( ) : , ( ( ) ) ( ): , ( )1

K g F g → ¡ X a K g F X = F Ad g− X

§5 Qũy đạo đối phụ hợp của nhóm Lie Tương ứng Kirillov

A F =tr F A , nếu A và F viết dưới dạng ma trận Khi đó véc tơ Hamilton ξA sinh

bởi hàm °A (hay °A là hàm Hamilton ứng với trường ξA) liên hệ với móc Poisson

Với cách xây dựng như vậy, A.Kirillov đã thu được kết quả:

1.5.1 Định lí: Cặp (,) là một đa tạp symplectic thuần nhất chặt với hàm

Hamilton của trường Hamilton chặt ξA tương ứng với A g∈ được chọn là hạn chế

của hàm tuyến tính Fa F A, trên g* xuống  Dạng vi phân bậc hai đó xác định

trên quỹ đạo gọi là dạng Kirillov.

§6 Đa tạp Symplectic thuần nhất chặt

1.6.1 Định nghĩa: Một đa tạp symplectic là một đa tạp trơn được trang bị dạng

vi phân cấp hai đóng, không suy biến  được gọi là dạng symplectic.

Dễ thấy rằng, mọi đa tạp symplectic đều có số chiều chẵn Ta có  là dạng

symplectic,  là ánh xạ tuyến tính, phản xứng, V là không gian véc tơ trên ¡ , ta có:

:V V

lúc này ta gọi  là ánh xạ symplectic Kí hiệu:

V * = {ánh xạ tuyến tính f V: → ¡ } Khi đó , ánh xạ tuyến tính:

Ánh xạ symplectic có tính chất:

 Tính đối ngẫu:  là ánh xạ symplectic thì Ω ° :V →V* là song ánh;

 Không gian symplectic có cơ sở (e e1 , , , , , , , 2 e f f n 1 2 f n) , thỏa mãn:

(e e i, j)= ( f f i, j) = 0, ∀,i j.

được kí hiệu ξ Vect(M,ω) , nếu như một trong hai điều kiện tương đương sau

thỏa mãn:

1 Đạo hàm Lie của ωdọc theo trường véc tơ ξ bằng không.

2 i( )ξ ω là dạng vi phân đóng.

Trường véc tơ ξ được gọi là Hamilton chặt và được kí hiệu là ξ ∈Vect M0( ) nếu

như i( )ξ ω là dạng khớp, hay tồn tại fξ∈C∞( )M , sao cho:

( ) 0

i ξ ω +dfξ = .

Trong trường hợp đó người ta nói rằng ξ ξ = f là trường Hamilton tương ứng với

hàm f hay gradient symplectic của f.

1.6.3 Định nghĩa: Móc Poisson của f và g là hàm số:

1.6.4 Mệnh đề: Vect M( , ω),Vect M( , ω)⊆Vect M0( , ω).

Bây giờ giả sử nhóm Lie G tác động bắc cầu lên đa tạp symplectic M, theo cách: tất cả các phép biến đổi của nhóm G đều chính tắc (bảo toàn dạng symplectic

), kho đó (M, ω) được gọi là đa tạp symplectic thuần nhất Với A g x M∈ , ∈ , nhóm

một tham số exp(tX) cho ta một đường cong nhẵn đi qua x M∈ , ta kí hiệu đường

cong này là exp(tX)x và véc tơ tiếp xúc của nó tại x bởi ξA( )x , tức là

= Nếu ξA là đường Hamilton chặt, ∀ ∈A f A là hàm Hamilton

tương ứng thì c A B( , ) {= f f A, B} − f[A B, ] ≡ 0, với mọi A B, ∈g Đa tạp symplectic thần

nhất (M, ω) được gọi là đa tạp symplectic thần nhất chặt nếu mọi trường ξA là

Hamilton chặt và tác động của G trên M là tác động phẳng Khi đó ta cũng nói tác động của G lên M là tác động phẳng (khái niệm phẳng ở đây được gọi lần đầu tiên