Về các ánh xạ trên tập gα mở luận văn thạc sỹ toán học

lời nói đầuTôpô đại cương là một hướng nghiên cứu mạnh mẽ của giải tích hiện đại trong thế kỷ XX, nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành toánhọc và các môn học khác.. Tiếp tục tìm h

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 ánh xạ đóngα-suy rộng và ánh xạ α-đóng suy rộng 4 1.1 ánh xạ đóng α-suy rộng 4

1.2 Các không gian αTi; Ti, i = 1, 12; αTb và αTd; 14

Chương 2 ánh xạ gα-không giải được và ánh xạ α-mở xấp xỉ 20 2.1 ánh xạ gα-không giải được 20

2.2 ánh xạ α-mở xấp xỉ 29

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

lời nói đầu

Tôpô đại cương là một hướng nghiên cứu mạnh mẽ của giải tích hiện

đại trong thế kỷ XX, nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành toánhọc và các môn học khác Tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về các tập mởcùng với các ứng dụng của chúng, trong các năm gần đây các nhà toán học

đã đưa ra các khái niệm mới như tập nửa mở, nửa đóng, tiền mở, tiền đóng,nửa tiền mở, nửa tiền đóng

Năm 1965, O Njastad đã giới thiệu các khái niệm của tậpα-mở,α-đóngtrong không gian tôpô Kể từ đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiêncứu đến các khái niệm khác nhau dựa trên tập α-mở Theo hướng này,

R Devi đã nghiên cứu ánh xạ α-đóng suy rộng, S X Bai và Y P Zuo đãnghiên cứu các ánh xạ gα-không giải được, M Caldas, S Jatari, R S Saraf

đã nghiên cứu các ánh xạ α-mở xấp xỉ dựa trên tậpgα-mở

Dựa trên các bài báo Generalized α-closed maps and α-generalizedclosed maps, On gα-irresolute functions và On some maps concerning

gα-open sets, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Trần Văn

Ân, tác giả đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài Về các

ánh xạ trên tập gα-mở

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số tính chất của ánh xạ

α-đóng suy rộng, ánh xạ đóngα-suy rộng, ánh xạgα-không giải được, ánhxạ α-mở xấp xỉ, mối quan hệ giữa các ánh xạ đó, giới thiệu không gian

αTi, Ti;i = 1, 12, αTb và αTd,

Với mục đích trên, luận văn được trình bày thành 2 chương:

Chương 1 với tiêu đề ánh xạ đóng α-suy rộng và ánh xạ α-đóng suyrộng Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm tập đóng α-suy rộng, tậpα-đóng suy rộng, tập tiền-α-đóng, ánh xạα-không giải được,không gianα-chính quy, ánh xạ đóngα-suy rộng, ánh xạα-đóng suy rộng,

các không gian αTi, Ti; i = 1, 12, αTb, αTd và giới thiệu một số tính chất cơbản của chúng.

Chương 2 với tiêu đề ánh xạ gα-không giải được và ánh xạ α-mở xấp

xỉ Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm ánh xạ gα-khônggiải được, không gian g-liên thông, không gian α(g)-tách, không gian α-compắc, các tính chất của ánh xạgα-không giải được Các khái niệm α-mởxấp xỉ, phản tiền-α-mở, các tính chất của ánh xạα-mở xấp xỉ, mối quan hệgiữa ánh xạα-mở xấp xỉ và ánh xạgα-không giải được, tính chất của đồ thịcủa ánh xạ phản tiền-α-mở, tính chất của ánh xạ thu hẹp của ánh xạ α-mởxấp xỉ trên tậpα-mở

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BanChủ nhiệm Khoa Toán, Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, các thầy giáo,cô giáo trong Tổ Giải tích - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã giúp đỡtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng xin cảm

ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Hồng Thái, tổ Toán trường THPTPhạm Hồng Thái gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt là học viên cao họckhóa 17 Toán-Giải tích tại Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợigiúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những saisót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy,cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

chương 1

và ánh xạ α -đóng suy rộng

1.1 ánh xạ đóngα-suy rộng và ánh xạα-đóng suy rộng1.1.1 Định nghĩa Giả sửX là một không gian tôpô và A ⊂ X Hợptất cả các tập mở nằm trong Ađược gọi là phần trong của A và ký hiệu là

TậpAđược gọi là α-mở trong(X, τ ) nếu A ⊂int(cl(int(A)))

Phần bù của tậpα-mở gọi là tập α-đóng Khi đó tập B làα-đóng trong

(X, τ ) khi và chỉ khi cl(int(cl(B))) ⊂ B

Hợp tất cả các tậpα-mở của (X, τ ) chứa trongAký hiệu là intα(A).Giao tất cả các tậpα-đóng của(X, τ ) chứa B ký hiệu là clα(B)

Họ tất cả các tậpα-mở của(X, τ ) ký hiệu là τα Khi đó τα là một tôpô

clα(B) và intα(B) tương ứng ký hiệu là bao đóng của B và phần trong của

B trong τα

Nhận xét Nếu A là tập con của không gian tôpô (X, τ ), thì ta có

int(A) ⊂ intα(A) vàclα(B) ⊂ cl(B)

1.1.3 Định nghĩa Một tập con A của (X, τ ) được gọi là đóng suyrộng (viết là g-đóng) trong (X, τ ) nếu cl(A) ⊂ U với A ⊂ U và U là mởtrong (X, τ ) Tập con A của (X, τ ) được gọi là mở suy rộng (viết là g-mở)

trong (X, τ ) nếu phần bù của nóX\A làg-đóng.

Nhận xét Mỗi tập con đóng là một tậpg-đóng

1.1.4 Định nghĩa (i) Tập con A của (X, τ ) được gọi là đóng α-suyrộng (viết là αg-đóng) trong (X, τ ) nếu clα(A) ⊂ U, A ⊂ U và U là mởtrong (X, τ )

(ii) Tập conAcủa(X, τ )được gọi là mởα-suy rộng (viết làαg-mở) trong

(X, τ ) nếu phần bù của nóX\A làαg-đóng

Nhận xét Mỗi tập cong-đóng là một tập αg-đóng

1.1.5 Định nghĩa (i) Tập con A của (X, τ ) được gọi là α-đóng suyrộng (viết làgα-đóng) trong(X, τ )nếuclα(A) ⊂ U vớiA ⊂ U vàU làα-mởtrong (X, τ )

(ii) Tập conAcủa(X, τ )được gọi làα-mở suy rộng (viết làgα-mở) trong

(X, τ ) nếu phần bùX\A làgα-đóng

Nhận xét Mỗi tậpg-đóng là một tậpgα-đóng

1.1.6 Nhận xét (i) Tập con Acủa X làαg-mở trong (X, τ ) khi và chỉkhi F ⊂ intα(A) vớiF ⊂ A và F là đóng trong (X, τα)

(ii) Tập con A của (X, τ ) là gα-đóng (tương ứng, gα-mở) trong (X, τ )

khi và chỉ khi Alà g-đóng (tương ứng, g-mở), trong(X, τα)

(iii) Nếu A là tập con gα-đóng của không gian (X, τ ), thì A là tập αg

-đóng trong (X, τ )

1.1.7 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) được gọi là g-đóng(tương ứng,α-đóng,α-mở) nếu với mỗi tập đóng (tương ứng, tập đóng, tậpmở) F của (X, τ ), ta có f (F ) là g-đóng (tương ứng, α-đóng, α-mở) trong

(Y, δ)

1.1.8 Định nghĩa ánh xạf : (X, τ )−→ (Y, δ)được gọi là tiền-α-đóng(tương ứng, tiền-α-mở) nếu với mỗi tậpα-đóng (tương ứng,α-đóng)F của

(ii) ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) là α-không giải được khi và chỉ khi

ánh xạ cảm sinh f : (X, τα)−→ (Y, δα) là liên tục

1.1.11 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là α-chính quynếu với mỗi tập đóngF và phần tử x /∈ F, tồn tại các tậpα-mở Avà B rờinhau sao cho x ∈ A vàF ⊂ B

1.1.12 Mệnh đề Nếu A là mở và là αg-đóng trong (X, τ ), thì A là

α-đóng

Chứng minh Vì A là mở, αg-đóng và A ⊂ A, nên ta có clαA ⊂ A Do

đó clα(A) = A Suy ra Alà α-đóng 

1.1.13 Định nghĩa (i) ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) được gọi là đóng

α-suy rộng (viết làαg-đóng) nếu với mỗi tập đóngF của(X, τ ), ta cóf (F )

là tập αg-đóng của (Y, δ)

(ii) ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) được gọi là tiền-αg-đóng nếu với mỗitập α-đóng F của (X, τ ), ta có f (F )là tập αg-đóng của (Y, δ).

1.1.14 Định lý.([6]) ánh xạf : (X, τ )−→ (Y, δ) làαg-đóng khi và chỉkhi với mỗi tập conS của (Y, δ) và với mỗi tập mởU chứa f−1(S), tồn tạimột tập αg-mở V của (Y, δ) sao cho S ⊂ V và f−1(V ) ⊂ U

Chứng minh Giả sửS là tập con(Y, δ)vàU là tập mở chứaf−1(S) Khi

đó đặt V = Y \f (X\U ) Vì f là αg-đóng, X\U là tập đóng, nên f (X\U )

αg-đóng Suy ra V là một tập αg-mở chứa S sao chof−1(V ) ⊂ U

Ngược lại, giả sử F là tập đóng của (X, τ ) Đặt S = Y \f (F ) và U =X\F Khi đó f−1(Y \f (F )) ⊂ X\F = U Theo giả thiết tồn tại tập αg-

mở V sao cho Y \f (F ) = S ⊂ V và f−1(V ) ⊂ U = X\F Khi đó ta có

Y \V ⊂ f (F ) và F ⊂ X\f−1(V ) Điều này kéo theo Y \V = f (F ) Vì Y \V

(iii) Nếu ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) là α-không giải được và tiền-α

-đóng thì với mọi tập A là gα-đóng của (Y, δ), ta có f−1(A) là αg-đóng.Chứng minh (i) Giả sử F là tập αg-đóng trong (X, τ ) và O là tập mởcủa (Y, δ) sao cho f (F ) ⊂ O Khi đó ta có F ⊂ f−1(O) Vì F là αg-đóng

và f−1(O) là mở, nên clα(F ) ⊂ f−1(O) Suy ra f (clα(F )) ⊂ O Vì f làtiền-α-đóng, ta có clαf (clα(F )) ⊂ O Suy raclα(f (F )) ⊂ O Do đó f (F )là

αg-đóng trong (Y, δ)

(ii) Giả sử F là tập g-đóng trong X và U là tập mở của (Y, δ) sao cho

f (F ) ⊂ U Khi đóF ⊂ f−1(U ) Vìf−1(U )là một tập mở của(X, τ ) vàF làtậpg-đóng, suy racl(F ) ⊂ f−1(U ) Lại dof là ánh xạαg-đóng ta cóf (cl(F ))

là tập αg-đóng Vì thế ta có clα(f (cl(F ))) ⊂ U Từ đó clα(f (F )) ⊂ U Do

đó f (F )là tập αg-đóng

(iii) Từ giả thiết và Định lý 1.1.10, Nhận xét 1.1.6 ta cóf (X, τα)−→ (Y, δα)

là liên tục và đóng Từ đó suy ra,f−1(A)làg-đóng trong(X, τα), hay nó là

gα-đóng trong(X, τ ) Vì mỗi tập gα-đóng là tậpαg-đóng, ta suy raf−1(A)

Chứng minh (i) Giả sử F là tập đóng của (Y, δ) Khi đó vì f liên tục

ta có f−1(F ) là đóng trong (X, τ ) Từ giả thiết, (h ◦ f )(f−1(F )) là tập αg

-đóng trong(X, η) Suy rah(F )là tập αg-đóng trong(Z, η) Vậyhlà ánh xạ

αg-đóng

(ii) Giả sửF là tập đóng của(X, τ ) Ta cần chứng minh rằng (h ◦ f )(F )

là tậpαg-đóng trong(Z, η) Vìf làαg-đóng, nênf (F )là tậpαg-đóng trong

(Y, δ) Bây giờ giả sử U là tập mở trong(Z, η)sao cho (h ◦ f )(F ) ⊂ U Vì h

liên tục ta có h−1(U ) là tập mở trong (Y, δ) và f (F ) ⊂ h−1(U ) Do f (F )làtập αg-đóng trong (Y, δ), ta suy raclα(f (F )) ⊂ h−1(U ) Điều này kéo theo

h(clα(f (F ))) ⊂ U Lại vìhlà tiền-α-đóng ta cóh(clα(f (F )))là tậpαg-đóng

trong (Z, η) Suy ra clαh(clα(f (F ))) ⊂ U Từ đó ta có clαh(f (F )) ⊂ U Vậy

(ii) Nếu f : (X, τ )−→ (Y, δ) liên tục, tiền-α-đóng và H là tập mở, αg

-đóng của (X, τ ), thì ánh xạ thu hẹp của nó f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) là

αg-đóng và liên tục

(iii) Nếu f : (X, τ )−→(Y, δ) liên tục, αg-đóng và H là tập g-đóng của

(X, τ ), thì ánh xạ thu hẹp của nó f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) là αg-đóng vàliên tục

(iv) Giả sửB là tập con mở,αg-đóng của(Y, δ) Nếuf : (X, τ )−→ (Y, δ)

là α-đóng, thì ánh xạ thu hẹp của nó f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) là α-đóngvới H = f−1(B)

Chứng minh (i) Giả sửF là tập đóng của(H, τ |H) VìH là đóng trong

(X, τ ), ta có (f |H)(F ) = f (F ) là αg-đóng trong (Y, τ ) Do đó, f |H là ánhxạ αg-đóng

(ii) Tính liên tục củaf |H là hiển nhiên Giả sửF là đóng trong(H, τ |H).Khi đóF làαg-đóng trong(X, τ ) Sử dụng Định lý 1.1.15(i) ta có(f |H)(F ) =

f (F )làαg-đóng trong(Y, δ) Do đó f |H là ánh xạαg-đóng

(iii) Giả sửF là đóng trong(H, τ |H) Khi đóF làg-đóng trong(H, τ |H).Nhưng H là tập g-đóng của (X, τ ) Vì thế ta có F là g-đóng trong (X, τ ).Nhờ Định lý 1.1.15(ii) ta có (f |H)(F ) = f (F ) là αg-đóng trong (Y, δ) Dovậy, f |H là ánh xạ αg-đóng Tính liên tục của f |H là hiển nhiên

(iv) Giả sử F là tập đóng trong (H, τ |H) Khi đó F = K ∩ H với K là

đóng trong (X, τ ) Do đó f (K) làα-đóng trong (Y, δ) Nhưng B là mở và

αg-đóng trong(Y, δ), sử dụng Mệnh đề 1.1.12 từ điều này ta suy raf (K)∩B

là α-đóng trong (Y, δ) Vì thế nhờ đẳng thức (f |H)(F ) = f (H ∩ K) =

f (K) ∩ B, ta suy raf |H là ánh xạα-đóng 

1.1.18 Định lý.([6]) Nếu f : (X, τ )−→ (Y, δ) là toàn ánh liên tục,

αg-đóng và nếu (X, τ ) là một không gian chuẩn tắc, thì (Y, δ) là khônggian chuẩn tắc

Chứng minh Giả sửA, B là các tập đóng rời nhau của (Y, δ) Vì(X, τ )

là không gian chuẩn tắc, nên tồn tại các tập mở rời nhauU và V của(X, τ )

sao cho f−1(A) ⊂ U và f−1(B) ⊂ V Nhờ Định lý 1.1.14, tồn tại các tập

αg-mở Gvà H sao cho A ⊂ G, B ⊂ H và f−1(G) ⊂ U và f−1(H) ⊂ V.Khi

đó chúng ta có f−1(G) ∩ f−1(H) = φ và do đóG ∩ H = φ Vì Glà αg-mở

và A là đóng, từ bao hàm thức A ⊂ G ta suy ra intα(G) ⊃ A Tương tự ta

cóintα(H) ⊃ B Do đóintα(G) ∩intα(H) = φvà vì vậy int(cl(int(intα(G))) ∩int(cl(int(intα(H))) = φ Vì A ⊂ intα(G) ⊂ int(cl(int(intα(G))) và B ⊂int(cl(int(intα(G))), ta có (Y, δ) là không gian chuẩn tắc 

1.1.19 Định lý.([6]) Giả sử f : (X, τ )−→ (Y, δ) là song ánh liên tục

và tiền-αg-đóng và giả sử (X, τ ) là không gian chuẩn tắc Khi đó (Y, δ)

là không gian chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử A, B là các tập con đóng rời nhau của (Y, δ) Vì

(X, τ ) là chuẩn tắc, tồn tại các tập mở rời nhau Gvà H của (X, τ ) sao cho

G ⊃ f−1(A) và H ⊃ f−1(B) Vìτ ⊂ τα và f là tiền-αg-đóng và song ánh,

ta có f (G) và f (H) là các tập αg-mở lần lượt chứa A và B Khi đó, ta có

intα(f (G)) ⊃ Avà intα(f (H)) ⊃ B và

intα(f (G)) ∩intα(f (H)) ⊂ f (G) ∩ f (H) = φ

Do đó, tồn tại các tập α-mở rời nhau C = intα(f (G)) và D = intα(f (H))

của (Y, δ) lần lượt chứa Avà B Vì int(cl(int(c))) ∩ int(cl(int(D))) = φ, A ⊂

int(cl(int(C)))vàB ⊂ int(cl(int(D))),ta có(Y, δ)là không gian chuẩn tắc.

1.1.20 Định lý.([6]) Trong không gian tôpô (X, τ ) các mệnh đề sau

là tương đương

(a) (X, τ ) là không gian α-chính quy;

(b) Với mọi phần tử x của (X, τ ) và mọi tập V mở chứa x tồn tại mộttập α-mở U sao cho x ∈ U ⊂clα(U ) ⊂ V

Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử x ∈ X và V là tập mở chứa x Khi đó

X\V là đóng và x /∈ X\V Nhờ khẳng định (a) tồn tại các tập α-mở U và

U ∩ (X\clα(U )) = φ Vậy(X, τ ) là không gian α-chính quy 

1.1.21 Định lý.([6]) Giả sử f : (X, τ )−→ (Y, δ) là toàn ánh liên tục,

α-mở vàαg-đóng và giả sử (X, τ ) là không gian chính quy Khi đó (Y, δ)

là không gian α-chính quy

Chứng minh Giả sử y ∈ Y và V là tập mở chứa Y của (Y, δ) Giả sửx

là phần tử của (X, τ ) sao choy = f (x) Vì (X, τ ) là không gian chính quy

và f liên tục, tồn tại một tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ cl(U) ⊂ f−1(V ) Vìthế, y ∈ f (U ) ⊂ f (cl(U)) ⊂ V Lại vì f là ánh xạ αg-đóng, ta có f (cl(U))

là tập αg-đóng được chứa trong tập mở V Vì vậy ta có clα(f (cl(U))) ⊂ V

Do đó, y ∈ f (U ) ⊂ clα(f (U )) ⊂ clα(f (cl(U))) ⊂ V Điều này kéo theo

y ∈ f (U ) ⊂ clα(f (U )) ⊂ V và f (U )làα-mở Vì thế nhờ Định lý 1.1.20 ta có

(Y, δ) là không gian α-chính quy 

1.1.22 Định lý.([6]) Giả sửf : (X, τ )−→ (Y, δ)là song ánh liên tục và

là tiền-α-đóng và giả sử (X, τ ) là không gian α-chính quy Khi đó (Y, δ)

là không gian α-chính quy

Chứng minh Giả sửy ∈ Y vàV là tập mở chứay Giả sử xlà một phần

tử của (X, τ ) sao cho y = f (x) Nhờ các giả thiết và Định lý 1.1.20, tồn tạitập α-mở U sao cho x ∈ U ⊂ clα(U ) ⊂ f−1(V ) Khi đó y ∈ f (U ) ⊂ f (U ) ⊂

fclα(U )) ⊂ V và f (clα(U )) là tập αg-đóng được chứa trong tập mở V Vìvậy clα(f (clα(U ))) ⊂ V Điều này kéo theo y ∈ f (U ) ⊂ clα(f (U )) ⊂ V và

f (U )làα-mở Nhờ Định lý 1.1.20, ta có(Y, δ) là không gianα-chính quy.

1.1.23 Nhận xét Mỗi ánh xạ tiền αg-đóng là ánh xạ αg-đóng Điềungược lại không đúng

1.1.24 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) được gọi là α-đóngsuy rộng (viết là gα-đóng) nếu với mỗi tập đóng F của (X, τ ), ta có f (F )

α-đóng nênf (F ) là tập con α-đóng của Y Nhưng vì mỗi tập conα-đóng

là tập gα-đóng, ta suy ra f (F ) là tập con gα-đóng của Y Vì vậy f là ánhxạ gα-đóng

(ii) Suy từ điều là mỗi tập con gα-đóng là tậpαg-đóng

(iii) Suy từ điều là mỗi tập con g-đóng là tập conαg-đóng

Điều ngược lại của mệnh đề trên là không đúng, được thể hiện qua các

ví dụ sau

1.1.26 Ví dụ ([6]) Một ánh xạgα-đóng không nhất thiết làα-đóng

LấyX = Y = {a, b, c}, τ = {0, {a}, {a, b}, X}vàδ = {0, {a}, {b, c}, X}.Xét ánh xạ f : (X, τ )−→ (Y, δ) được xác định như sau: f (a) = b, f (b) = c

và f (c) = a Khi đó ảnh f ({b, c}) = {c, a} không làα-đóng Vậy, f không

là ánh xạα-đóng Tuy nhiên, f là ánh xạ gα-đóng

1.1.27 Ví dụ ([6]) Một ánh xạ αg-đóng không nhất thiết làg-đóng.Lấy X = Y = {a, b, c}, τ = δ = {0, {a}, {a, b}, X} Xét ánh xạ f :(X, τ )−→ (Y, δ)được xác định như sau:f (a) = a, f (b) = c vàf (c) = b Khi

đó ảnh f ({c}) = {b} không là g-đóng trong (Y, δ) Vậy f không là ánh xạ

g-đóng Tuy nhiên, f là ánh xạ αg-đóng

Ví dụ này cũng cho thấy ánh xạα-đóng không nhất thiết là ánh xạ đóng

và ánh xạαg-đóng không nhất thiết là ánh xạ tiền-αg-đóng

1.1.28 Ví dụ ([6]) Một ánh xạ αg-đóng không nhất thiết là ánh xạ

(a) f : (X, τ )−→ (Y, δ)là gα-đóng;

(b) ánh xạ cảm sinh của nó f : (X, τ )−→ (Y, δα) là g-đóng;

(c) Với mỗi tập con S của (Y, δ) và với mỗi tập mở U chứa f−1(S) với

f : (X, τ )−→ (Y, δ), tồn tại một tập gα-mở V sao cho S ⊂ V và f−1(V ) ⊂

U

Chứng minh (a) ⇔ (b) Giả sử F là tập đóng của (X, τ ) Khi đó, nhờ

định nghĩa ánh xạgα-đóng ta cóf (F )làgα-đóng trong(Y, δ), nhưngf (F )

là gα-đóng trong (Y, δ) khi và chỉ khi f (F ) là g-đóng trong(Y, δα) Do đóbằng cách sử dụng Định nghĩa 1.1.7 và 1.1.24 ta có điều phải chứng minh.

(a) ⇔(c) Chứng minh tương tự Định lý 1.1.14

1.1.30 Định lý.([6]) Giả sử f : (X, τ )−→ (Y, δ) vàh : (Y, δ)−→ (X, η)

là hai ánh xạ sao cho h ◦ f là ánh xạ gα-đóng Khi đó

(i) Nếu f là toàn ánh liên tục, thì h là gα-đóng

(ii) Nếuhlà đơn ánhα-không giải được, tiền-α-đóng, thìf làgα-đóng.Chứng minh (i) Điều này là hiển nhiên do định nghĩa và Định lý 1.2.29.(ii) Sử dụng Định lý 1.1.10, giả thiết ánh xạ cảm sinhh : (Y, δα)−→ (Z, ηα)

là liên tục, đơn ánh và ánh xạ cảm sinhh ◦ f : (X, τ )−→ (Z, ηα) làg-đóng

ta suy ra nếu F là tập đóng của (X, τ ), thì h−1((h ◦ f )(F )) làg-đóng trong

(Y, δα) Vì thế,f (F )là gα-đóng trong (Y, δ) và do đó f : (X, τ )−→(Y, δ)là

gα-đóng

1.2 Các không gianαTi, Ti, i = 1,12, αTb và αTd

1.2.1 Định nghĩa (i) Không gian tôpô(X, τ ) được gọi là T1

2 nếu mọitập g-đóng là đóng

(ii) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là αT1

hoặcα-đóng trong(X, τ ) (X, τ ) làαT1

2 khi và chỉ khi không gian(X, τα)

là T1

2

Chứng minh (i) Giả sử X là T1

2-không gian Với điểm bất kỳ x ∈ X,nếu {x} không là tập đóng, thì X là tập mở duy nhất chứa X\{x}, nên

X\{x} là tập g-đóng Vì thế{x} là tập mở

Ngược lại giả sử A là tập con g-đóng của X Lấy điểm bất kỳ x ∈ A.Nếu{x} là mở, thì vìx ∈ A và{x} ∩ A 6= φta suy rax ∈ A Nếu{x}là tập

đóng, thì ta có {x ∩ A = {x} ∩ A 6= φ Vì nếu{x} ∩ A = φ, thì{x} ∩ A = φ.Lúc đó ta có A ⊂ X\{x}, mà X\{x} mở và A làg-đóng, nên A ⊂ X\{x}

Điều này mâu thuẩn vớix ∈ A Vì {x ∩ A 6= φ, ta suy rax ∈ A VậyA = A

đó không tồn tại tập con đóng F khác rỗng nào thỏa mãnF ⊂ clα(A)\A.(ii) Với điểm bất kỳx ∈ X, nếu{x} không là tập đóng, thìX là tập mởduy nhất thỏa mãnclα(X\{x}) ⊂ X Vì thếX\{x} là tập αg-đóng

(iii) Với điểm bất kỳ x ∈ X, nếu{x} không là tập α-đóng, thì X là tập

mở duy nhất chứa X\{x}, nên ta có clα(X\{x}) ⊂ X Vì thế X\{x} là tập

(iii) Mỗi αTi không gian, với i = 1, 2 làαT1

2.Chứng minh (i) Giả sử (X, τ ) là αTb không gian và A là tập con αg-

đóng bất kỳ của(X, τ ) Vì(X, τ ) làαTb không gian ta cóAlà tập đóng Lạivì mỗi tập đóng là tập g-đóng, nên A là tập g-đóng Do đó (X, τ ) là αTd

không gian

Giả sử(X, τ )làαTb không gian vàAlà tập cong-đóng bất kỳ của(X, τ ).Vì mỗi tậpg-đóng là một tậpαg-đóng, nên từ giả thiết(X, τ ) làαTb khônggian ta suy ra Alà tập con đóng Vì vậy (X, τ )là T1

2- không gian

(ii) Giả sử (X, τ ) làT1 (tương ứng, T1

2) không gian và giả sử x ∈ X Khi

đó {x} là đóng (tương ứng, mở hoặc đóng).

Vì mọi tập đóng làα-đóng, ta suy ra{x} làα-đóng (tương ứng,α-đónghoặcα-mở) trong(X, τ ) Điều này có nghĩa là(X, τα)làT1 (tương ứng,T1

1.2.7 Nhận xét Các ví dụ sau đây cho thấy điều ngược lại của Định

lý 1.2.6 là không đúng

1.2.8 Ví dụ ([6]) Một αTd không gian không nhất thiết là αTb Lấy

X = {a, b, c}, τ = {0, {a}, X} Ta có {a, b}là αg-đóng, nhưng không là α

-đóng Do vậy(X, τ )không làαTb Tuy nhiên, nó làαTd vì mỗi tậpαg-đóng

là một tập g-đóng trong(X, τ )

1.2.9 Ví dụ ([6]) Một T1 không gian không nhất thiết là αTd Giả sử

X là các số thực với tôpô τ Giả sử A = ∪{21n : n ∈ {0} ∪ N} với Nlà tậpcác số tự nhiên Khi đó, A không là g-đóng, nhưng nó là αg-đóng Do đó

(X, τ ) không làαTd hoặc không làαTb Tuy nhiên, (X, τ )làT1 không gian.1.2.10 Ví dụ ([6]) Một T1

2 không giankhông nhất thiết là αT1

1.2.13 Nhận xét Ví dụ 1.2.9 và Ví dụ 1.2.14 sau đây chỉ ra rằng các

αTb không gian và T1-không gian là độc lập với nhau Các ví dụ này cũngcho ta thấy rằng nói chungαTd không gian vàT1 không gian là độc lập vớinhau

1.2.14 Ví dụ ([6]) Một αTb không gian không nhất thiết là αT1 Lấy

X = {a, b, c}, τ = {0, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X} Vì {b} không là α-đóng,nên (X, τ ) không là αT1 và như vậy nó không là T1 Tuy nhiên, vì mỗi tập

αg-đóng trong (X, τ ) lại là một tập đóng, do đó nó là αTb-không gian.1.2.15 Nhận xét Ví dụ 1.2.10 và Ví dụ 1.2.16 dưới đây chứng tỏ rằngnói chung αT1

2 không gian vàαTb không gian là độc lập với nhau

1.2.16 Ví dụ ([6]) Một αTd không gian không nhất thiết là αT1

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f : (Y, τ ) → (Y, δ) là ánh xạ αkhông giải được Lấy bất kỳ M ∈ δα trong Y Khi đó M là α-tập trong Y.Vì f là ánh xạ α-không giải được, ta suy ra f−1(M ) là α-tập trong X, hay

-f−1(M ) ∈ τα Do đó f : (X, τα) → (Y, δα) liên tục

Điều kiện đủ Giả sử f : (X, τα) → (Y, δα)liên tục và M làα-tập bất kỳtrong Y Khi đó M ∈ δα Vì f : (X, τα) → (Y, δα) liên tục, ta có f−1(M ) ∈

τα, hay f−1(M ) là α-tập trong X Suy ra f : (X, τ ) → (Y, δ) là ánh xạ

1.2.18 Định lý ([7]) Nếu f : (X, τ ) → (Y, δ) là ánh xạ tiền mở và

α-liên tục, thì f là ánh xạ α-không giải được