Một số vấn đề của hình học hyperbolic n chiều luận văn thạc sỹ toán học

Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau: CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN LORENTZ Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và các tínhchất cơ bản của không gian Lorentz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN BÁ KHIẾN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC HYPERBOLIC N CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU . 2

CHƯƠNG I KHễNG GIAN LORENTZ ……….…………

Đ 1 n- KHễNG GIAN LORENTZ ……….………

5 5 Đ2 PHẫP BIẾN ĐỔI LORENTZ ……….……….…… 8

Đ3 Đờng trắc địa ……….………….… 12

CHƯƠNG II HèNH HỌC hyperbolic 15 Đ1 n - không gian hyperbolic……….… …………. 15

Đ2 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA HYPERBOLIC ……… 20

Đ3 GểC TRONG KHễNG GIAN HYPERBOLIC 23 Đ4 CHIỀU DÀI CUNG HYPERBOLIC ………… ………. 30

Đ5 TAM GIÁC HYPERBOLIC ……… ……… 34

KẾT LUẬN ……… 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… ……… …… 44

MỞ ĐẦU

Hỡnh học hyperbolic (cũn gọi hỡnh học Lobachevsky hay hỡnh học phi Euclide) do nhà toỏn học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trờn cơ sở bỏc bỏ tiờn đề về đường thẳng song song của Euclide Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta cú

thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng vớiđường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳngsong song) Ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô sốđường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựngnên một hệ thống lập luận hình học logic.

Hình học hyperbolic được xây dựng trên quan điểm mới về kháiniệm đường thẳng nối hai điểm, cũng như định nghĩa mới về chiều dàigiữa hai điểm đó Trong luận văn này chúng tôi muốn trình bày nhữngkhái niệm cơ bản về hình học hyperbolic và một số nhân tố cơ bản nhưchiều dài, góc và diện tích Chúng tôi cũng lưu ý đến các tính chất củatam giác hyperbolic

Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau:

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN LORENTZ

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và các tínhchất cơ bản của không gian Lorentz, các kiến thức đó là cơ sở chochương tiếp theo

Chương I gồm các mục:

1 n- không gian Lorentz

Trình bày khái niệm tích Lorentz, khái niệm về vectơ tựa không gian, vectơ tựa thời gian, vectơ tựa ánh sang

2 Phép biến đổi Lorentz

Trình bày tính khái niệm và tính chất của phép biến đổi Lorentz

3 Đường trắc địa

Trình bày khái niệm và các tính chất của đường trắc địa

CHƯƠNG II: HÌNH HỌC HYPERBOLIC

Chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề nghiên cứu vềkhông gian hyperbolic n chiều, nội dung của chương được trình bày quacác phần sau đây:

1 n – không gian hyperbolic

Trình bày khái niệm về không gian hyperbolic và một số tính chấtcủa không gian hyperbolic.

2 Đường trắc địa hyperbolic

Trình bày các kết quả cơ bản của đường trắc địa, cung trắc địa,đoạn trắc địa trong không gian hyperbolic

3 Góc trong không gian hyperbolic

Trình bày các khái niệm Siêu phẳng, góc tựa không gian giữa cácvectơ tựa không gian, góc tựa thời gian giữa các vectơ tựa không gian vàgóc giữa các vectơ tựa không gian và tựa thời gian

4 Chiều dài cung hyperbolic

Trong phần này, chúng tôi trình bày chiều dài hyperbolic của mộtđường cong γ trong Hn và chiều dài Lorentz của nó trong ¡ n+ 1và chỉ rachúng bằng nhau

5 Tam giác hyperbolic

Trình bày khái niệm về tam giác hyperbolic và các tính chất đặctrưng của nó như: định lý về góc trong tam giác, diện tích các tam giáchyperbolic

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại họcVinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình chu đáo của Thầy giáo

TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tớicác thầy cô trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quatrình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy

cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện chotác giả hoàn thành luận văn này

Các kết quả của luận văn được trình bày rải rác trong các tài liệutham khảo Tác giả đã tập hợp các vấn đề đó theo một hệ thống phù hợpvới chủ đề đã chọn; chứng minh chi tiết một số tính chất, định lí, hệ quả

mà các tài liệu tham khảo đưa ra mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắntắt hoặc nêu dưới dạng bài tập Mặc dù đã có cố gắng song luận văn

không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được nhữnggóp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN LORENTZ

§ 1 n- KHÔNG GIAN LORENTZ 1.1 Định nghĩa

Cho x và y là các vectơ trong ¡ Tích Lorentz của x và y là số n

thực được xác định bởi

1 1 2 2 n n

x yo = −x y +x y + + x y . (1.1.1)Không gian vectơ ¡ cùng với tích Lorentz được gọi là n-không gian n

Lorentz, và được ký hiệu là ¡ 1, 1n− Đôi khi thay thế tích Lorentz của ¡ n

bằng tích tương ứng

1 1 n 1 n 1 n n

x y x y x − y − x y

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về ¡ 1, 1n− , để đơn giản ta

sử dụng ký hiệu ¡ thay cho không gian vectơ n ¡ 1, 1n−

Cho x là vectơ trong ¡ Chuẩn Lorentz của x là số phức được xácn

định bởi

1 2

|| x || = − +x | x | (1.1.5)Nếu x và y là các vectơ trong Ρn thì

1 1

x yo = −x y +x.y (1.1.6)Tập hợp tất cả các vectơ x trong ¡ sao cho ||x||=0 là siêu nón C n n-1

được xác định bởi phương trình | x | | x |1 = Siêu nón Cn-1 được gọi là nón

Hình 3.1.1

Nếu ||x|| = 0 thì x được gọi là tựa ánh sáng Vectơ tựa ánh sáng x được gọi là dương (hoặc âm) khi và chỉ khi x1 > 0 (hoặc x1<0 tương ứng)

Nếu ||x|| > 0 thì x được gọi là tựa không gian Nhận thấy x là tựa

không gian khi và chỉ khi | x | | x |1 < Phần ngoài của Cn-1 trong ¡ là tậpn

mở của ¡ bao gồm tất cả các vectơ tựa không gian.n

Nếu ||x|| là số ảo thì x được gọi là tựa thời gian Nhận thấy rằng, x

là tựa thời gian khi và chỉ khi | x | | x |1 > Vectơ tựa thời gian x được gọi là

dương (hoặc âm) khi và chỉ khi x1>0 ( hoặc x1< 0 tương ứng) Phần trong

của Cn-1 trong ¡ là tập mở của n ¡ bao gồm các vectơ tựa thời gian.n

1.2 Tính chất

Định lý 1.2.1 Cho x và y là các vectơ khác không và không là tựa

không gian trong ¡ với cùng tính dương (âm) Khi đó x◦y ≤ 0, dấu bằng n

xảy ra khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh Ta có thể giả sử x và y cùng dương Khi đó | x | | x |1 >

và | y | | y |1 > Suy ra x y | x || y | x.y1 1≥ ≥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi | x | | x |1 = , | y | | y |1 = , và x.y | x || y |=

Vì vậy x◦y = -x1y1 + x.y 0≤

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ

Ta nói hai vectơ là cùng loại nếu chúng đồng thời là tựa không gian(tựa thời gian, tựa ánh sáng)

Định lý 1.2.2 Nếu x và y là các vectơ không là tựa không gian khác

0 trong ¡ , với cùng tính dương (âm) và t > 0, khi đó: n

(1) vectơ tx có cùng loại và tính dương ( hoặc âm) như x;

(2) vectơ x+y không là tựa không gian với cùng tính dương (hoặc âm) như x và y; ngoài ra x+y là tựa ánh sáng khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh.

(1) Dễ thấy ||tx|| = t||x|| và (tx)1 = tx1, vì vậy tx và x có cùng loại và tínhdương (hoặc âm)

(2) Ta có ||x+y||2 =||x||2 +2x◦y + ||y||2 ≤ 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ||x|| = 0, ||y||= 0, và x◦y = 0 Vì vậy x+y làtựa ánh sáng khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc

Hệ quả 1.2.1 Tập hợp các vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm) là

tập con lồi của ¡ n

Chứng minh Nếu x và y là các vectơ tựa thời gian dương (hoặc

âm) trong ¡ và 0 <t<1 thì (1-t)x + ty là vectơ tựa thời gian dương (hoặcn

§2 PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Hàm số φ: ¡ → n ¡ là phép biến đổi Lorentz nkhi và chỉ khi φ(x)◦φ(y) = x◦y với mọi x, y trong ¡ n

Một cơ sở {v1, …., vn} của ¡ được gọi là trực chuẩn khi và chỉ khi n

o

.

Nhận xét: Cơ sở chính tắc {e1, , en} của ¡ là trực chuẩn Lorentz.n

Định nghĩa 2.1.2 Cho V là không gian vectơ con của¡ Khi đó,n

V được gọi là

(1) tựa thời gian khi và chỉ khi V có vectơ tựa thời gian,

(2) tựa không gian khi và chỉ khi mọi vectơ khác không trong V là

tựa không gian,

(3) tựa ánh sáng trong trường hợp còn lại.

2.2 Tính chất

Định lý 2.2.1 Hàm số φ: ¡ → n ¡ là phép biến đổi Lorentz khi và n

chỉ khi φ là tuyến tính và {φ(e 1 ),….,φ(e n )} là cơ sở trực chuẩn của ¡ n

x

∑ φ(ei)

Từ đẳng thức trên suy ra φ là tuyến tính

Ngược lại, giả sử φ là tuyến tính và {φ(e1),…, φ(en)} là một cơ sởtrực chuẩn Lorentz của Ρn Khi đó φ là phép biến đổi Lorentz,

(∑x φ(ei) ) ◦

n j

gọi là nhóm Lorentz của các ma trận n×n Nhóm O(1,n–1) đẳng cấu vớinhóm các phép biến đổi Lorentz của Ρn

Định lý 2.2.2 Cho A là một ma trận n× n thực, và cho J là ma trận chéo n×n được xác định bởi công thức

(4) Ma trận A thoả mãn phương trình AJA t = J.

(5) Các hàng của A tạo thành cơ sở trực chuẩn Lorentz của ¡ n

Cho A là ma trận Lorentz Vì AtJA = J, chúng ta có (det A)2 = 1 Vìvậy detA=±1 Đặt SO(1,n-1) là tập hợp tất cả các ma trận A trong

O(1,n-1) sao cho detA=1 Khi đó SO(1, n-1) là tập con chỉ số hai trong

O(1,n-1) Nhóm SO(1,n-1) được gọi là nhóm Lorentz đặc biệt.

Theo hệ quả 1.2.1, tập tất cả các vectơ tựa thời gian trong ¡ cón

hai thành phần liên thông là tập các vectơ tựa thời gian dương và tập cácvectơ tựa thời gian âm Ma trận Lorentz A được gọi là dương (hoặc âm)khi và chỉ khi A chuyển các vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm) thànhcác vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm)

Ví dụ: Ma trận J là âm

Đặt PO(1, n–1) là tập hợp tất cả các ma trận dương trong O(1, n-1).Khi đó PO(1, n-1) là tập con chỉ số hai trong O(1, n-1) Nhóm các ma

trận dương PO(1, n-1) được gọi là nhóm Lorentz dương Tương tự vậy,

đặt PSO(1, n-1) là tập tất cả các ma trận dương trong SO(1, n-1) Khi đó,PSO(1, n-1) là tập con chỉ số hai trong SO(1,n-1) Nhóm PSO(1, n-1)

được gọi là nhóm Lorentz đặc biệt dương.

Định lý 2.2.3 Cho x và y là các vectơ trực giao Lorentz, khác

không trong ¡ Nếu x là tựa thời gian, thì y là tựa không gian n

Chứng minh Vectơ y phải là tựa không gian theo định lý 1.2.1. W

Định lý 2.2.4 Đối với mỗi chiều m, tác động tự nhiên của

PO(1,n-1) trên tập của các không gian vectơ tựa thời gian m - chiều của ¡ là n

bắc cầu.

Chứng minh Cho V là không gian con vectơ tựa thời gian m-chiều

của Rn Xác định Rm là không gian con của Rn được sinh bởi các vectơ

e1, ,em Ta chỉ ra rằng có một ma trận A trong PO(1, n-1) sao cho A(

Đặt v2 = u2 + (u2◦w1)w1 Khi đó v2 khác không, bởi vì u1 và u2 là độc lậptuyến tính, hơn nữa:

{w1, ,wm} là cơ sở của V Cho A là ma trận n×n, cột của nó là w1,…,wn.Khi đó A là ma trận Lorentz theo Định lý 2.2.2, và A(¡ m) = V; ngoài ra,

A là dương, bởi vì Ae1 – w1 là tựa thời gian dương W

Định lý 2.2.5 Cho x, y là các vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm)

trong¡ n Khi đó x◦y ≤ ||x|| ||y||, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh Theo Định lý 2.2.4, có một ma trận A trong

PO(1,n-1) sao cho Ax = te1 Vì A bảo toàn các tích Lorentz nên ta có thểthay x và y bằng Ax và Ay Giả sử x = x1 e1, ta có

||x||2||y||2 = - x ( y12 − +12 | y | ) x y2 = 1 12 2 −x | y |12 2≤x y1 12 2 =(x y)o 2.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi | y |= 0, khi đó y = y1e1

Vì xoy= - x1.y1< 0 suy ra xoy ≤ ||x|| ||y||, dấu bằng xảy ra khi và chỉ

2.3 Góc tựa thời gian giữa các vectơ tựa thời gian

Cho x và y là cỏc vectơ tựa thời gian dương (hoặc õm) trong Ă n.Khi đú cú một số thực khụng õm duy nhất η(x, y) sao cho

xoy = ||x|| ||y||cosh η(x, y) (2.3.1)

Gúc tựa thời gian Lorentz giữa x và y được xỏc định là η(x, y)

Nhận xột: η(x,y) = 0 khi và chỉ khi x và y là cỏc bội số vụ hướngdương của nhau

Đ3 Đờng trắc địa 3.1 Cỏc định nghĩa

Định nghĩa 3.1.1 Một hàm f : X→Y giữa hai khụng gian mờtricđược gọi là bảo toàn khoảng cỏch địa phương nếu với mỗi điểm a trong X

cú một số thực r > 0 sao cho f bảo toàn khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỡtrong B a;r ( )

Hàm f : X→Y bảo toàn khoảng cỏch địa phương thỡ liờn tục tạimỗi điểm thuộc X, do đú nú là hàm liờn tục

Định nghĩa 3.1.2 Một đường cong trong khụng gian X là hàm liờn

tục γ : [a, b] → X ở đõy [a, b] là một đoạn đúng trong R với a < b

Cho γ : [a, b] → X là một đường cong Khi đú γ(a) được gọi là

điểm đầu của γ và γ(b) được gọi là điểm cuối Ta núi rằng γ là một đường

cong trong X từ γ(a) đến γ(b)

Định nghĩa 3.1.3 Cung trắc địa trong khụng gian mờtric X là một

hàm α : [a, b]→X bảo toàn khoảng cỏch

Cung trắc địa α : [a, b] → X là đơn ỏnh liờn tục và vỡ vậy là mộtđường cong

Vớ dụ: Cho x, y là hai điểm phõn biệt của En Xỏc định α : [0, |x-y|] → En

bằng α(s)=x+s(y x)

| y x |

−

− Khi đú, α là một cung trắc địa trong En từ x đến y.

Thật vậy : + Dễ thấy α là một hàm liờn tục

Vậy α là một cung trắc địa trong En từ x đến y.

Định nghĩa 3.1.4 Đoạn trắc địa nối điểm x với điểm y trong một

không gian mêtric X là ảnh của cung trắc địa α : [a, b] → X, với điểmđầu là x và điểm cuối là y

Cho x, y là các điểm phân biệt của En Đoạn thẳng trong En nối xđến y được xác định là tập {x + t(y - x): 0 ≤ t ≤ 1}

Hệ quả 3.1.1 Đoạn trắc địa của En là đoạn thẳng

Định nghĩa 3.1.5 Một đường trắc địa trong không gian mêtric X là

một đường cong bảo toàn khoảng cách địa phương : Jg ® X

Nhận xét: Một cung trắc địa là một đường trắc địa nhưng mộtđường trắc địa chưa chắc đã là một cung trắc địa

3.2 Tính chất

Định lý 3.2.1.Cho x, y là hai điểm phân biệt của E n và α:[a,b]→ E n

là đường cong từ x đến y Khi đó các kết luận sau là tương đương:

(1) Đường cong α là một cung trắc địa.

(2) Đường cong α có phương trình α(t) = x + (t - a)(y x)

Chứng minh: Giả sử α là một cung trắc địa và ℓ = b – a Xác định

đường cong β : [0, ℓ] → E n với β(s) = α(a + s) - x

Khi đó β là một cung trắc địa sao cho β(0) = 0 và |β(s)| = s với mọi strong [0, ℓ]

Từ phương trình |β(s) - β(ℓ)|2 = (s - ℓ)2 suy ra β(s).β(ℓ) = sℓ = |β(s)| |β(ℓ)|

Vì β(s) và β(ℓ) phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại k ≥0 sao cho β(s) = kβ(ℓ).Lấy chuẩn hai vế, ta có s = kℓ hay k = sℓ-1, suy ra β (s)=s β( )l

l Đặt t = a + s Khi đó ta có α(t) - x = β(t - a) = (t - a)| y x |(y x)−

Vì vậy α là một cung trắc địa, vậy (3) dẫn tới (1) W

Định lý 3.2.2 Hàm λ: ¡ →E n là một đường trắc địa khi và chỉ khi λ(t) = λ(0) + t(λ(1)- λ(0)) đối với mọi t và |λ(1) - λ(0)| = 1.

Chứng minh: Hàm λ:¡ →En là một đường trắc địa khi và chỉ khi λ

có đạo hàm không đổi với chuẩn bằng một theo Định lý 3.2.1 W

CHƯƠNG II HÌNH HỌC hyperbolic

§1 n-kh«ng gian hypeRbolic 1.1 Định nghĩa

Trong không gian Lorenzt Rn+1, xét tập Fn = {x∈¡ n+ 1: ||x||2 = -1}

Fn là một hyperboloit hai tầng được xác định bằng phương trình

2 2

1

x −| x | 1= Tập con gồm tất cả x trong Fn sao cho x1 > 0 (hoặc x1 < 0)

được gọi là tầng dương (hoặc âm tương ứng) của Fn Chúng ta giải quyếtvấn đề này bằng cách xác định vectơ xuyên tâm của Fn hoặc loại bỏ lớp

âm của Fn Mô hình hyperboloit H n của n-không gian hyperbolic được xác

định là tầng dương của Fn (hình 3.2.1)

Cho x, y là các vectơ trong Hn và η(x, y) là góc tựa thời gian

Lorentz giữa x và y Khoảng cách hyperbolic giữa x và y là số thực được

xác định bởi

dH(x,y) = η(x,y) (1.1.1)

Vì xoy = ||x|| ||y|| cosh η(x, y), ta có phương trình:

cosh dH(x,y) = - xoy (1.1.2)

Hình 3.2.1 Hyperboloit F2 bên trong C2

Vì vậy x⊗y là các vectơ Lorentz vuông góc với cả x và y

Định lý 1.2.1 Nếu w, x, y, z là các vectơ trong ¡ , khi đó:3

(1) x⊗y = - y⊗x,

x3

x2

x1

= x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x1y3z2 - x2y1z3 Vậy

(xoy)z – (zox)y = (–x1y1z1+ x2y2z1 + x3y3z1 ;– x1y1z2 + x2y2z2 + x3y3z2; –x1y1z3 + x2y2z3 +x3y3z3 ) – (–x1y1z1+ x2y1z2+ x3y1z3; – x1z1y2 + x2z2 y2 + x3z3y2; –x1z1y3 + x2z2y3 +x3z3y3)

Hệ quả 1.2.1 Nếu x, y là các vectơ tựa thời gian độc lập tuyến tính,

dương (âm) trong R 3 , thì x⊗y là tựa không gian và

||x⊗y|| = - ||x|| ||y||sinh η(x,y).

Chứng minh Theo Định lý 1.2.1(4), ta có

||x⊗y||2 = (xoy)2 - ||x||2||y||2 = ||x||2||y||2 cosh2 η(x,y) - ||x||2||y||2

= ||x||2||y||2sinh2η(x,y) W

Hệ quả 1.2.2 Nếu x, y là các vectơ tựa không gian trong R 3 Khi đó

(1) |xoy| <||x|| ||y|| khi và chỉ khi x ⊗ y tựa thời gian,

(2) |xoy| = ||x|| ||y|| khi và chỉ khi x ⊗ y tựa ánh sáng,

(3) |xoy| > ||x|| ||y|| khi và chỉ khi x ⊗ y tựa không gian.

Chứng minh Theo Định lý 1.2.1 (4), ta có :

||x⊗y||2 = (xoy)2 - ||x||2||y||2, từ đó suy ra điều cần chứng minh W

Định lý 1.2.2

Hàm khoảng cách hyperbolic d H là một mêtric trên H n

Chứng minh Hàm dH không âm, đối xứng và không suy biến theoĐịnh lý 2.2.5 chương I Ta chứng minh bất đẳng thức tam giác:

dH(x, z) ≤ dH(x, y) + dH(y, z)

Các phép biến đổi Lorentz dương của ¡ n+ 1tác động trên Hn bảotoàn khoảng cách hyperbolic Vì vậy, chúng ta tự do biến đổi x, y, z bằngphép biến đổi Lorentz dương Khi đó ba vectơ x, y, z sinh ra một không

gian con vectơ của ¡ n+ 1tối đa 3 chiều Theo Định lý 2.2.4 (Chương I), tagiả sử x, y, z nằm trong không gian con của ¡ n+ 1 được sinh ra bởi e1, e2,

e3 Ta giả sử với n = 2 Theo hệ quả 1.2.1

||x⊗y|| = sinh η(x, y) và ||y⊗z|| = sinh η(y, z)

Vì y là vectơ Lorentz vuông góc với cả x⊗y và y⊗z nên y và(x⊗y)⊗(y⊗z) là hai vectơ phụ thuộc tuyến tính Vì vậy, vectơ sau hoặcbằng 0 hoặc tựa thời gian Theo Hệ quả 1.1.2

|(x⊗y)◦(y⊗z)| ≤ ||x⊗y|| ||y⊗z||

Ta có

cosh(η(x,y)+η(y,z)) = cosh η(x,y) cosh η(y,z)+sinh η(x,y) sinh η(y,z)

= (xoy)(yoz) + ||x⊗y|| ||y⊗z||

Không gian mêtric gồm Hn cùng với mêtric hyperbolic dH được gọi

là n-không gian hyperbolic Từ đây Hn sẽ biểu thị cho n-không gianhyperbolic Phép đẳng cự từ H đến bản thân nó được gọi là phép đẳngnn

cự hyperbolic

Định lý 1.2.3 Mọi phép biến đổi Lorentz dương của ¡ n+ 1khi thu

hẹp lên H n là phép đẳng cự của H n , và mọi phép đẳng cự của H n mở rộng

đến phép biến đổi Lorentz dương duy nhất của ¡ n+ 1.

Chứng minh Hàm φ: Hn → Hn là một phép đẳng cự khi và chỉ khibảo toàn tích Lorentz trên Hn Vì vậy, phép biến đổi Lorentz dương của

1

n+

¡ thu hẹp lên Hn là phép đẳng cự của Hn

Ngược lại, giả sử φ: Hn → Hn là một phép đẳng cự Trước tiên giả

Xác định φ : ¡ → n ¡ bằng n φ(u) = (φ2(p-1(u)), … , φn+1(p-1(u)))

Ta có (x)φ = φ(x) với mọi x trong Hn

Mà φ(x)◦φ(y) = x◦y nên - x1y1 + (x)φ (y)φ = - x1y1 + x y

Vì (x)φ (y)φ = x y nên φ là một phép biến đổi trực giao Khi đó

có một ma trận n×n trực giao A sao cho Au = φ(u) với mọi u trong ¡ n

Đặt

1 0 00

A

A0

Khi đó, Ā là một ma trận Lorentz dương và Āx = φ(x) với mọi x trong Hn

Ta giả sử φ là một phép đẳng cự tuỳ ý của Hn Theo Định lý 2.2.4Chương I, có B trong PO(1,n) sao cho Bφ(e1) = e1 Vì Bφ mở rộng tớiphép biến đổi Lorentz dương của ¡ n+ 1, điều này cũng đúng đối với φ Giả

sử C và D thuộc PO(1,n) và là mở rộng φ Khi đó D-1C cố định mỗi điểmcủa Hn Vì Hn không bị chứa trong bất kỳ không gian con thực sự nào của

Chứng minh Vì x, y, z nằm trong không gian vectơ tựa thời gian

của ¡ n+ 1tối đa 3 chiều nên ta có thể giả sử n=2

Ta có

(x⊗y)◦(y⊗z) = ||x⊗y|| ||y⊗z||

Theo Hệ quả 2 (x⊗y)⊗(y⊗z) là tựa ánh sáng vì

(x⊗y)⊗(y⊗z)= - ((x⊗y)◦z)y

và y là tựa thời gian, (x⊗y)◦z = 0 nên x, y, z là phụ thuộc tuyến tính theo

Định lý 1.2.1(2) Vì vậy x, y, z nằm trên không gian con vectơ tựa thời

gian 2 chiều của R3 do đó là cộng tuyến hyperbolic W

2.2 Tính chất

Định lý 2.2.1 Cho α: [a, b] → H n là một đường cong Khi đó các kết luận sau là tương đương:

(1) Đường cong α là một đường trắc địa.

(2) Có các vectơ trực chuẩn Lorentz trong ¡ n+ 1sao cho

α(t) = (cosh (t – a))x + (sinh(t – a))y

(3) Đường cong α thỏa mãn phương trình vi phân α’’ – α = 0.

Chứng minh

Cho A là phép biến đổi Lorentz của ¡ n+ 1 Khi đó (A α)’ = Aα’

Vì vậy α thoả mãn (3) khi và chỉ khi Aα thoả mãn Ta biến đổi α bằngphép biến đổi Lorentz Giả sử α là đường cong trắc địa Cho t trong đoạn[a, b], ta có:

e1α(t) = - α(a)◦α(t) = cosh η(α(a),α(t)) = cosh (t – a)

Suy ra e2.α(t) = ± sinh(t-a) Vì α(a) liên tục, dấu cộng hoặc dấu trừ trongphương trình cuối cùng xảy với mọi t Ta có thể xác định:

α(t)= (cosh (t – a))e1 + (sinh (t – a))(±e2)

Vì vậy (1) dẫn tới (2)

Tiếp theo, giả sử có các vectơ trực chuẩn Lorentz x, y trong ¡ n+ 1sao cho: