tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Puza nghiên cứu sự tồn tại và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính sau: luận văn là tiếp tục xem xét, nghiên cứu các vấn đề trong trường hợp pc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian học tập tại Trường ĐHSP Tp.HCM, tôi đã hoàn thành

luận văn cao học của mình Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất PGS.TS Nguy ễn Anh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tôi

hoàn thành luận văn này

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến qu í thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn cao học đã dành thời gian đọc và cho tôi những y kiến quí báu để cuốn luận văn này được hoàn thiện

Tôi cũng xin tri ân các thầy cô trong khoa Toán – Tin ĐHSP Tp.HCM đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học cao học tại trường Xin

cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Tp.HCM, phòng SĐH đã hỗ trợ tôi trong suốt khoá học

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tôi giúp tôi có thêm niềm tin để hoàn thành luận văn

Chắc hẳn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong đón nhận mọi y kiến đóng góp của qu í thầy cô và bạn đọc

Tp.HCM, tháng 11 năm 2011 Nguy ễn Toàn Trí

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên cho hệ phương trình vi phân ra đời từ thế kỉ thứ 18 nhưng đến nay vẫn phát triển mạnh mẽ nhờ các ứng dụng sâu sắc của nó trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và đời sống như vật lý, cơ học, cơ khí, kinh tế, sinh

học Trong khoảng thời gian từ 1995 đến 2000,I Kiguradze và B Puza nghiên cứu

sự tồn tại và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính sau:

luận văn là tiếp tục xem xét, nghiên cứu các vấn đề trong trường hợp pchỉ là toán tử tuyến tính bị chặn

Luận văn gồm hai chương:

Chương I: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương II: Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến

tính với p là toán tử tuyến tính bị chặn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho các sinh viên năm cuối bậc đại học và học viên cao học khi nghiên cứu bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 3

M Ở ĐẦU 4

MỤC LỤC 5

Những kí hiệu được dùng trong luận văn: 6

Chương I: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUY ẾN TÍNH 8

1.1 Gi ới thiệu bài toán: 8

1.2 Bài toán biên t ổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: 9

1.2.1 S ự tồn tại và duy nhất nghiệm: 9

1.2.2 H ệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra: 18

1.2.3 Tính x ấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát: 21

1.3 Các trường hợp riêng của bài toán biên tổng quát: 27

1.3.1 S ự tồn tại và duy nhất nghiệm: 27

1.3.2 Tính x ấp xỉ nghiệm của bài toán (1.5), (1.6): 31

CHƯƠNG II: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH VỚI P LÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN 38

K ẾT LUẬN 46

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 47

Những kí hiệu được dùng trong luận văn:

• C I( ;n)là không gian các hàm vectơ liên tục tuyệt đối x I: → n

• L I( ;n)là không gian Banach các hàm vectơ khả tích Lơbe p I: → n với chuẩn

b L

Chương I: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu bài toán:

Trên đoạn I = [ , ]a b , xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính:

Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) là hàm vectơ : n

x I→  liên tục tuyệt đối, thỏa (1.1)

hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2)

Các trường hợp riêng của bài toán (1.1), (1.2) là các bài toán về sự tồn tại nghiệm của

hệ phương trình vi phân đối số lệch:

trong đó χI là hàm đặc trưng của I

1.2 Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính:

Cùng với bài toán (1.1), (1.2), ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

B = u∈B u ≤ Theo định lí Ascoli – Arzela, ta có f B1( (0,1)) là tập compact tương đối trong C I( ,n) Suy ra f là toán

tử tuyến tính compact Do đó, theo định lí Fredholm cho các phương trình toán tử,

điều kiện cần và đủ cho tính giải được duy nhất của (1.13) là phương trình toán tử :

thỏa mãn với mọi xlà nghiệm của bài toán (1.10), (1.20)

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

Giả sử tồn tại các số nguyên dương m, số nguyên không âm m0 và ma trận n n

trên I = [0,1] với điều kiện đầu x(0) = 1 (1.22)

Mỗi nghiệm của hệ phương trình (1.21) có dạng x t( ) =c t( ) trong đó n

c∈  là một vectơ hằng tùy ý Do đó, bài toán giá trị ban đầu (1.21), (1.22) không có nghiệm Mặt khác, ta có:

1 1

L L

p x t p p x t dt

+ +

0 2 0

L L

m L m

Khi đó theo (1.23) ta có r B( ) < 1 Từ đó nhân hai vế của bất đẳng thức cuối với

j i

thoả với mọi nghiệm x của bài toán (1.10), (1.20) trong đó G0 là ma trận Green của bài toán (1.30), (1.20) và n n

A∈ +× là ma trận thỏa r A( ) < 1 Khi đó bài toán (1.1), (1.2)

có nghiệm duy nhất

Ch ứng minh

Theo định lý 1.1, ta cần chứng minh bài toán (1.10), (1.20) với giả thiết của định lý 1.6 chỉ có nghiệm tầm thường

Giả sử x là một nghiệm tùy ý của bài toán (1.10), (1.20) Khi đó vì (1.30), (1.20) chỉ

có nghiệm tầm thường nên bài toán:

Vì A không âm và r A( ) < 1 nên suy ra x C =0

Vậy hệ (1.10) với điều kiện đầu x t( )0 =0chỉ có nghiệm tầm thường Do đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất

Gọi G0 là ma trận Green của bài toán (1.30), (1.20) với l x( ) ≡x b( ) −x a( )

Khi đó, theo (1.32), với mọi q~ thuộc ( , n)

L I  ,ta có:

1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra:

Trong mục này ta sẽ xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) khi

Toán tử pđược gọi là toán tử Volterra tương ứng với t0∈I nếu với mọi t thuộc I

và x∈C I( ,n) thỏa mãn điều kiện x s( ) = 0,s∈I t t0, , thì p x s( )( ) = 0 với hầu hết

0 ,

t t

s∈I

B ổ đề 1.10:

Nếu p C I: ( ,n)→L I( ,n) là toán tử Volterra tương ứng với t0∈I thì các bất đẳng

thức sau đây đúng với mọi x thuộc C I( ,n):

0 ,

p x t ≤η t x với hầu hết t∈I (1.36)

0 0

k

t t t

t t t

Khi đó, ta có:

0 0

0

0 0

k t t

k t

t

k t

t t t

Ta được (1.37) Bổ đề được chứng minh

Từ bổ đề trên ta có ngay kết quả sau:

Vì bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên hệ phương trình đại số

0

!

k k

C C

trong đó n n

A∈ +× là ma trận với các phần tử 1

2n thoả r A( ) < 1 Định lí đã được chứng minh

1.2.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát:

Cho k là số nguyên dương tùy ý

Cùng với bài toán (1.1), (1.2), ta xét bài toán sau:

Với mọi toán tử bị chặn g C I: ( ,n)→L I( ,n), kí hiệu g là chuẩn của g; M g là

tập các hàm vectơ liên tục tuyệt đối y I: → n được biểu diễn bởi

0 0

k C

1 0

m m

Định lí 1.14:

Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất x , dãy các toán tử p k và

( 1, 2, )

k

l k = thoả các điều kiện (1.43), (1.44)

Giả sử với mọi hàm liên tục tuyệt đối y I: → nta có:

(1 ) ax{ ( ) : } 0

a k k

p ≤∫η t dt k=

Do đó từ (1.64), (1.65) suy ra (1.60), (1.61)

Theo định lí 1.14, để chứng minh hệ quả ta chỉ cần chứng minh điều kiện (1.43)

Bây giờ ta giả sử điều kiện (1.43) không đúng Khi đó tồn tại ε >0 0, dãy các số nguyên dương {k m m}+∞=1 và dãy các hàm vectơ ( 1, 2, )

Do đó, dãy {y }m m+∞=1 bị chặn đều và đồng liên tục Vì vậy, không mất tính tổng quát, ta

có thể xem như nó hội tụ đều Đặt lim m( ) ( )

t I a

1.3 Các trường hợp riêng của bài toán biên tổng quát:

1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm:

Theo chú ý đã nêu trong phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể được viết lại thành dạng (1.1), (1.2), trong đó toán tử p và hàm vectơ q được cho bởi đẳng thức (1.10) và (1.11), đồng thời hàm τ0 được cho bởi đẳng thức (1.9) Do đó, định lí 1.1 cho bài toán (1.5), (1.6) có dạng dưới đây:

Λ →  sao cho các thành phần của Λ có biến phân bị

chặn trên I và không mất tính tổng quát, ta giả sử:

trong đó τ0 là hàm được cho bởi (1.9)

Khi đó theo (1.10), (1.15) – (1.17) và (1.70),ta có:

trong đó Λk và A k m, là các ma trận được cho bởi các đẳng thức (1.71) – (1.73)

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất

Định lí 1.18:

Giả sử bất đẳng thức ( ( )τ t −t t)( −t0)≤0 thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên

dương k và m sao cho các điều kiện ( 1.74) và (1.75) được thỏa mãn, trong đó Λk

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

H ệ quả 1.21:

Giả sử

0det(B )≠0

và

1 2 0

( )

t I

t t

Từ định lí trên, áp dụng cách chứng minh tương tự hệ quả 1.7, 1.8, ta suy ra các hệ

Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất

1.3.2 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.5), (1.6):

Cho klà một số nguyên dương bất kì Cùng với bài toán (1.5), (1.6),

ta hãy xét bài toán:

Khi đó tồn tại số nguyên dương k0 sao cho:

0

4

t k a

q s ds q s ds

es sup{s τk( )t −τ( ) :t t∈ →I} 0 khi k→ +∞ (1.90) lim k( ) ( )

Khi đó tồn tại số nguyên dương k0 sao cho với mỗi k ≥k0, bài toán (1.5k), (1.6k) nghiệm duy nhất x k và lim k C 0

Với mọi hàm vectơ liên tục tuyệt đối y I: → n, theo (1.9), (1.88), (1.90), (1.92) và (1.93) thì các hàm vectơ và các hàm ma trận:

thỏa mãn các điều kiện (1.80) – (1.82)

Khi đó theo bổ đề 1.25, ta có điều kiện (1.83) và kết hợp với (1.10) và (1.94) suy ra (1.64)

Vì vậy theo (1.103), điều kiện (1.43) thoả

Với mọi hàm liên tục tuyệt đối y I: → n, đặt:

b C a

Từ (1.107) kết hợp với (1.98), (1.102) và (1.103) ta suy ra điều kiện (1.61) Định lí

đã được chứng minh

CHƯƠNG II: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH VỚI P LÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ

CHẶN

Trong chương này, ta mở rộng các kết quả của chương I trong trường hợp p không

là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh mà chỉ là toán tử tuyến tính bị chặn

Xét bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính:

khắp nơi trên I và thoả điều kiện (2.2)

Cùng với bài toán (2.1), (2.2), ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

mạnh thì bài toán (2.1), (2.2) giải được duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần nhất tương ứng (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Năm 1972, H.Schaefer trong [19] đã chứng minh rằng tồn tại plà toán tử tuyến tính

bị chặn nhưng không bị chặn mạnh Do đó ta cần nghiên cứu tính giải được của bài toán (2.1), (2.2) trong trường hợp p p, k (k∈  )là các toán tử tuyến tính bị chặn Các kết quả chính của phần này dựa vào các kết quả từ [7], [16]

Định lí 2.1:

Cho n

ab

p∈L Bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần

nhất tương ứng (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Để chứng minh định lí 2.1, ta cần các bổ đề quan trọng sau:

Trước hết, ta nhắc lại một vài kết quả từ [5]:

1 Không gian L I( ; )  đầy đủ yếu (định lí IV.8.6)

2 Toán tử tuyến tính bị chặn biến không gian C I( ; )  thành không gian Banach đầy

đủ yếu là hoàn toàn liên tục yếu ( định lí VI.7.6)

3 Nếu tập M ⊂L I( ; ) là compact tương đối yếu thì nó có tính chất của tích phân liên tục (định lí IV.8.11), nghĩa là:

Giả sử M ⊆C I( , )  là tập bị chặn tuỳ ý Để chứng minh A là toán tử compact, ta cần

chứng minh tập A M( ) là compact tương đối Theo định lí Arzela- Ascoli, ta cần phải

p M = p x x∈M compact tương đối yếu

Theo kết quả 3) tập p M( ) có tính chất của tích phân liên tục tuyệt đối, nghĩa là:

= ⊂  là dãy bị chặn Khi đó, dãy {A(βk)}k+∞ 1

= chứa một dãy con hội tụ đều

Ngược lại, nếu x là một nghiệm của bài toán (2.1), (2.2).thì u= ( , 0)x là một nghiệm

của bài toán (2.4)

Mặt khác, theo cách đặt f như trên, kết hợp với bổ đề 2.3, ta có f :X → X là toán

tử tuyến tính compact Do đó theo định lí Fredholm cho phương trình toán tử thì điều

kiện cần và đủ để phương trình phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất là phương

Giả sử bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường và dãy các toán tử tuyến tính

bị chặn p k và l k thoã mãn các điều kiện (2.5), (2.6)

Khi đó tồn tại số nguyên dương k0 và số α > 0 sao cho với mọi hàm vectơ liên tục tuyệt đối z I: → n, ta có : k( )

C

z ≤ ∆α z (k=k k0, 0+1, ) trong đó:

l x

=

=

chỉ có nghiệm tầm thường Theo định lí 2.1, với mỗi k >k0, bài toán (2.1k),

(2.2k) có nghiệm duy nhất, giả sử là x k

Đặt z t k( )=x t k( )−x t( ) với a≤ ≤t b

Khi đó với mỗi k≥k0, ta có:

bị chặn Luận văn gồm hai chương

Chương I: Luận văn nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm, tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính mà kết quả chính

là các định lí 1.2, 1.6, 1.14 Riêng hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra,

luận văn cũng đã trình bày được điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm với kết quả là định lí 1.12

Chương II: Từ các kết quả của chương I, luận văn trình bày về tính giải được, tính

xấp xỉ nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính khi p là toán tử tuyến tính bị chặn với kết quả chính là các định lí 2.1, 2.5

Như vậy, về cơ bản luận văn đã giải quyết được các vấn đề liên quan đến bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính khi plà toán tử tuyến tính bị chặn

mạnh kể cả khi p chỉ là toán tử tuyến tính bị chặn Tuy nhiên, các trường hợp cụ thể

của bài toán biên như bài toán biên tuần hoàn, bài toán biên hai điểm hoặc nhiều điểm vẫn chưa được xem xét Đó là các hướng sẽ được tiếp tục xem xét khi có điều

kiện Rất mong quí thầy cô, đồng nghiệp góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

1) N.V.Azbelev, V.P.Maksimov and L.F.Rakhmatullina: Introduction to the theory

of functional differential equations Nauka, Moscow, 1991 (In Russian)

2) S.R.Bernfeld and V.Lakshmikantham: An introduction to nonlinear boundary

value problems Academic Press, Inc., Newyork and London, 1974

3) R.Conti : Recent trends in the theory of boundary value problems for ordinary

differential equations Boll Unione mat ital 22 (1967), 135 – 178

4) R.Conti: Problémes lineaires pour les equations differentielles ordinaires Math

Nachr 23 (1961), 161 – 178

5) N.Dunford and J.T.Schwartz: Linear Operators.I.General Theory , Pure and

applied Mathematics, vol 7, Interscience Publishers, New York, 1958

6) S.M.Gelashvili: On a boundary value problem for systems of functional

differential equations Arch Math (Brno) 20 (1964), 157 – 168 (In Russian)

7) R.Hakl, A.Lomtatidze, I.P.Stavroulakis: On a boundary value problem for scalar

linear functional differential equations Abstr Appl Anal 2004, No 1, 45 – 67

8) J.Hale: Theory of functional differential equations Springer – Verlag, Newyork

Heidelberg Berlin, 1977

9) G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Pólya: Inequalities Cambridge Univ Press,

Cambridge, 1934

10) P.Hartman: Ordinary differential equations John Wiley, Newyork, 1964

11) L.V.Kantorovic, Leningrad, B.Z Vulich and A.G.Pinsker: Functional analysis in

semiordered spaces GITTL, Leningrad, 1950 (In Russian.)

12) L.V.Kantorovich and G.P.Akilov: Functional analysis (Russian) Nauka,

Moscow, 1977

13) I.Kiguradze: Some singular boundary value problems for ordinary differential

equations Tbilisi Univ Press, Tbilisi, 1975 (In Russian.)

14) I.Kiguradze: Boundary value problems for systems of ordinary differential

equations Current problems in mathematics Newst results, vol 30, 3-103, Itogi

Nauki I Tekhniki, Akad Nauk SSSR, Vses Inst Nauchn I tekh Inform, Moscow (1978) (In Russian.)