Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai với phương trình truyền sóng trong miền không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————— DƯƠNG THỊ HẠ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

DƯƠNG THỊ HẠ

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

DƯƠNG THỊ HẠ

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáotrong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toángiải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập vànghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Dương Thị Hạ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Dương Thị Hạ

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Một số không gian hàm 6

1.2.1 Không gian Lp(Ω) 6

1.2.2 Không gian L∞(Ω) 7

1.2.3 Không gian Sobolev 7

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 11

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 15

2.1 Đặt bài toán 15

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 16

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 18

2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 21

2.5 Ví dụ 26

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 27 3.1 Đặt bài toán 27

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 28

3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 29

3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 32

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một môn học quan trọng của toánhọc Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản Thứnhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình nghiêncứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàmriêng Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêngvới các nghành toán học khác nhau như : Giải tích hàm, lý thuyết hàm,

tô pô, đại số, giải tích phức Phương trình đạo hàm riêng tuyến tínhhiện đại gồm có: phương trình loại Eliptic, phương trình loại Parabolic,phương trình loại Hyperbolic Không gian nghiệm đối với phương trìnhnày là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng tuyếntính Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết vớinhau Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu hỏinghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất không?phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?

Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng,những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bảnthân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nhờ sự giúp đỡ củaGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài :"Bài toánbiên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trìnhtruyền sóng trong miền không trơn"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được củabài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trìnhtruyền sóng trong miền không trơn Kết quả nhận được là các định lítồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toántrên trong miền không trơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luậnvăn là:

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gianSobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan Từ đó áp dụngvào nghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biênkhông có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóngtrong miền không trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp Galerkin,phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm

6 Đóng góp mới của đề tài

Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặcxét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các kí hiệu

Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của

utk = ∂ku/∂tk là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t

Ở đây p = (p1, , pn) là kí hiệu đa chỉ số với pi là các số nguyên không

âm, |p| = p1 + + pn

Co∞(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong

Dãy {uk}∞k=1 hội tụ yếu đến phần tử u ∈ H nếu và chỉ nếu thoả mãnhai điều kiện sau

i) Tồn tại một hằng số C sao cho kukk ≤ C với mọi k;

ii) ϕ (uk) hội tụ đến ϕ (u) với mọi ϕ thuộc tập hợp con trong H∗ saocho bao tuyến tính các phần tử của nó trù mật trong H∗

Một hàm số f đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tạimột số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Rn Cận dưới lớn nhấtcác hằng số k được gọi là essential supremum của |f | trên Rn

Kí hiệu ess sup

x∈R n

|f (x)|

Điều kiện Lipschitz :

Hàm u : U → R (U là tập mở trong Rn)là liên tục Lipschitz nếu

Ω T

v (x, t) w (x, t) dxdt

1.2 Một số không gian hàm

1.2.1 Không gian Lp(Ω)

Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho

0 ≤ p < +∞ Khi đó Lp(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)khả tổng cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là:

với tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi

đó L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theoLebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn :

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Một hàm

v (x) ∈ L1(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L1(Ω)nếu:

Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thôngthường liên tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p Từ định nghĩađạo hàm suy rộng rút ra hàm u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng.Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩathông thường Để làm ví dụ ta lấy u(x) = |x| , x ∈ (−1, 1) Dễ kiểm trađược hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1, 1) Tuy nhiên,hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm x = 0.

0

−1+

10

Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω0 cũng chính

là hàm v(x) Đạo hàm suy rộng trong miền Ω0 được gọi là thu hẹp củađạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω0

Dα+βv = Dα Dβv
, aDαv1+ bDαv2 = Dα(av1 + bv2), ở đó a, b là cáchằng số tùy ý

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suyrộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàmsuy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thôngthường Tuy nhiên, không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạohàm suy rộng cấp p không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấpnhỏ hơn p

• Không gian Wl(Ω)

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Ta địnhnghĩa Wl(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2(Ω) , x ∈ Ωvới chuẩn :

kukWl (Ω) =



X

• Không gian W1(Ω)

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Ta định

nghĩa W1(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2(Ω) , x ∈

Ω với chuẩn :

kukW1 (Ω) =



X

• Không gian

o

Wl(Ω)Định nghĩa 1.2.6 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Ta định

Định nghĩa 1.2.7 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn.Ta định

nghĩa Wl,k(e−γt, ΩT) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈

L2(ΩT) , (x, t) ∈ ΩT sao cho Dpu (., t) , utj(., t) ∈ L2(Ω) , (0 ≤ |p| ≤ l, 1 ≤ j ≤ k)với mỗi t ∈ (0, T ) và

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn.Ta định

nghĩa W1,1(e−γt, ΩT) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈

L2(ΩT) , (x, t) ∈ ΩT sao cho Dpu (., t) , ut(., t) ∈ L2(Ω) với mỗi t ∈ (0, T )

= εa2 + b

2

4εBất đẳng thức được chứng minh

• Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

Cho u, v ∈ Rn Khi đó, ta có

|uv| ≤ |u| |v| Chứng minh

Cho ε > 0 và ta có:

0 ≤ |u ± εv|2 = |u|2 ± 2εuv + ε2|v|2

Do đó

±uv ≤ 1 |u|2 + ε |v|2

Cực tiểu hóa vế trái, đặt ε = |u||v| với v 6= 0, ta được:

±uv ≤ |u| |v| Hay ta viết

|uv| ≤ |u| |v| Bất đẳng thức được chứng minh

Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là :

kuk = p(u, u)

Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

u (t) ≤ ϕ (t) + L

Z t

t 0

eL(t−s)ϕ (s) ds, ∀t ∈ [t0, T ) Hơn nữa, nếu ϕ (t) có đạo hàm ϕ0(t) khả tích trên [t0, T ) thì

y0(t) − Ly(t) ≤ ϕ(t) ∀t ∈ [t0, T ) Đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được:

t

t0+ L

Ta nhận thấy rằng nếu ϕ ≡ C ≡ const trên [t0, T ) thì từ bất đẳngthức trên ta suy ra bất đẳng thức Gronwall- Belman thông thường, tức

là :

u (t) ≤ CeL(t−t0 )

, ∀t ∈ [t0, T ) Đặc biệt nếu ϕ (t) ≡ 0 trên [t0, T ) thì ta có

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu

thứ hai đối với phương trình truyền

sóng trong miền không trơn

Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm

suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương

trình truyền sóng trong miền không trơn, ta nhận được kết quả về tính

giải được của bài toán trong trụ Ω∞h với đáy có biên không trơn và thỏa

mãn điều kiện Lipschitz

ở đây aij ≡ aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ω∞h , aij = aji(i, j = 1, , n) Hơn nữa giả sử rằng aij (i, j = 1, , n) là liên tục đều với x ∈ Ω theo

Ở đây ν là vector pháp tuyến ngoài của mặt Sh∞ ta nhận được bàitoán sau trong trụ Ω∞h

Xét trong miền trụ Ω∞h phương trình:

L (x, t, ∂) u − utt = f (x, t) trên Ω∞h (2.1)Với điều kiện ban đầu

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Định nghĩa: Cho f ∈ L2(Ω) Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệmsuy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) trong không gian W1,1(e−γt, Ω∞h ) nếu

Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.4) thoả mãn Khi đó tồn tại 2 hằng số

µ0 > 0, λ0 ≥ 0 sao cho với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈ W1,1(e−γt, Ω∞h )

ta có bất đẳng thức sau:

− B (u, u) (t) ≥ µ0kuk2W1 (Ω) − λ0kuk2L

2 (Ω) (2.6)Chứng minh

Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:

n

1 µ−ε,C(ε)µ−ε

kuk2W1 (Ω) ≤ −C1B (u, u) (t) + (C1 + 1)ε kuk2W1 (Ω)+ C2kuk2L

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duynhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ haiđối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Tính duy nhấtcủa nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau

Định lý 2.3.1 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, ∂) thoả mãn điềukiện (2.4) và thoả mãn điều kiện sau:

sup

(x,t)∈Ω∞h



∂aij

∂t

Thế u = ηt vào (2.5),ta được:

Sử dụng giả thiết aij = aji và tích phân từng phần (2.8), ta được

−B (η, η) (h) + Re ij)tηxj, ηxi

Ω b h

Ω b h

Z

Ω b h

u (x, s) ds,

vi(x, t) =

Z t h

kηt(x, b)k2L

2 (Ω)+(µ0 − 2bC) Z (b) ≤ 2CRb

h Z (t) dt+CRhbkηt(x, t)k2L

2 (Ω)dtĐặt

J (t) dt, b ∈ (h, µ0/4C)

ở đây C1 = const > 0 chỉ phụ thuộc vào µ0, µ và λ0 Do đó theo bất

đẳng thức Gronwall-Bellman ta có J (b) = 0 với mọi b ∈ [h, µ0/2C]

Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được u (x, b) = 0 với mọi

b ∈ [µ0/2C, µ0/C] Tương tự, sau một số bước hữu hạn ta thu được

u (x, b) = 0, với b ∈ (h, T ) Vì b tuỳ ý nên ta có u1(x, t) = u2(x, t)

Định lý được chứng minh

2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng

Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh sự tồn

tại của nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai

đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Sự tồn tại của

nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau:

Định lý 2.4.1 Giả sử rằng

(i) f ∈ L2(e−γt, Ω∞h )

(ii) sup

(x,t)∈Ω∞h

...

và điều kiện biên

N (x, t, ∂) u|S

Bài toán (3.1) − (3.2) gọi tốn biên khơng có điều kiện ban

đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn

3.2... data-page="33">

Chương Bài tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền khơng

trơn< /h3>

Trong chương này, tác giả trình bày tính tồn tạinghiệm suy rộng tốn biên. .. tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ hai? ?ối với phương trình truyền sóng miền khơng trơn

3.1 Đặt tốn

Ta giả sử Ω miền bị chặn Rn, n ≥ với biên S = ∂Ω.Cho