toàn văn sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

Danh sách ký hiệu 11 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14 1.1 Giới thiệu.. 48 2 Sử d

Phản biện 3: PGS TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Phản biện độc lập 1: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Phản biện độc lập 2: TS NGUYỄN VĂN NHÂN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS NGUYỄN THÀNH LONG

2 TS TRẦN MINH THUYẾT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013

Danh sách ký hiệu 1

1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14

1.1 Giới thiệu 14

1.2 Các ký hiệu và giả thiết 14

1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính 17

1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 28

1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé 35

Kết luận chương 1 48

2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 50 2.1 Giới thiệu 50

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 51

2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 1 ! 0+ 68

2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu 75

Kết luận chương 2 84

3 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không

iii

3.1 Giới thiệu 853.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 863.3 Sự ổn định của nghiệm 1003.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K, 106Kết luận chương 3 116

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên hệ trực tiếpvới các bài toán xuất phát từ thực tiễn Vào giữa thế kỷ XVIII, các công trình của nhữngnhà toán học như L Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813)

và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng cho việc xây dựng phương trình đạo hàm riêngnhư là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Từ đó đếnnay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vaitrò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứngdụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực

Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua lại với sựphát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác củatoán học Chính nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ các phương trình đạo hàm riêng

đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương phápGalerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến

Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nóiriêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một phương pháp chungnào để giải tất cả các bài toán đó Còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cầntiếp tục khảo sát Do các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trởnên phức tạp và đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số

kỹ thuật tính toán để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồntại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm.Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là "Sử dụngcác phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến".Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác hỗ trợcho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thể được tìm thấy

2

trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: [3] Haim Brezis (2010), FunctionalAnalysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York DordrechtHeidelberg London; [28] J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmesaux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris; [25] Lakshmikantham V, Leela

S (1969), Differential and Integral Inequalities, Vol.1 Academic Press, NewYork; [18] K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork; [75] R E Showalter(1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J DifferentialEquations, Monograph 01

Tiếp nối các công trình đã có cho phương trình sóng, luận án tập trung khảo sát một

số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộc dạng

utt @x@ [ (x; t; u; ux) ux] = f (x; t; u; ux; ut); 0 < x < 1; 0 < t < T;

liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu

u(x; 0) = ~u0(x); ut(x; 0) = ~u1(x);

trong đó ; f; ~u0; ~u1 là các hàm số cho trước

Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến tính với một

sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng phương pháp Galerkinliên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về tínhcompact Trong đó, công cụ chính là phương pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo -Galerkin Phép giải xấp xỉ này thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toángiá trị biên - ban đầu cho các phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng cơ bản ở đây là chọnmột cơ sở phù hợp feig trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệmdạngu(x; t) =P

i >1ui(t)ei(x) của bài toán biên ban đầu Từ đó, dẫn đến bài toán giá trịbiên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân thường với ẩn hàm làui(t); bàitoán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấp xỉ" un(x; t) = Pn

i=1uni(t)ei(x) thoả mãn hệphương trình "cắt ngắn" tương ứng Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉfun(x; t)g hội

tụ về nghiệm u(x; t): Quá trình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rấtcần đến các kỹ thuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận dụng các định lý điểmbất động như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ;

sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu được các ước lượng sai sốhay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwall cũng đóng một vai trò quan trọngtrong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm Cuối cùng là việc sử dụng các định

lý nhúng compact để trích ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán.Nội dung chính của luận án gồm ba chương Sau đây là phần giới thiệu về các bài toánđược nghiên cứu trong các chương

Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến cho bàitoán biên cho phương trình sóng phi tuyến

trong đó u~0; ~u1; ; f; g0; g1 là các hàm số cho trước

Đây là bài toán được chú ý khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như [1], [2], [4] – [9],[10] – [17], [19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79]

Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như: (x; t; u) 1;hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạng đơn giản, bài toán (1), vớicác điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạnnhư, Ortiz, Định [62], Định [19], Long, Định [20], [21], Long, Diễm [36], Long, Định, Diễm[32], [33], [34], Long, Trường [39], [40], Ngọc, Hằng, Long [55] và các tài liệu tham khảotrong đó

Trong [23], Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổnđịnh của nghiệm cho phương trình

uxx utt 2 ut u = "u3+ ; " > 0: (2)Rabinowitz [70] đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho

uxx utt 2 ut= "f (x; t; u; ux; ut); (3)trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian

Trong một bài báo của Caughey và Ellison [10], đã hợp nhất các xấp xỉ của các trườnghợp trước đó để khảo sát sự tồn tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển

cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục.

Trong [33], Long, Định và Diễm đã nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khaitriển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến

và một số điều kiện khác, xem [33]

Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có dạng tổngquát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình nghiên cứu, vì thực tế cáctính toán không dễ dàng Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tuyến tính hóa các sốhạng phi tuyến thường được sử dụng Kỹ thuật này như sau Đầu tiên, với mỗiv = v(x; t)thuộc một không gian hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để

có được một nghiệm duy nhấtu2 X của bài toán đối với = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và

f = f (x; t; v; vx; vt) = ~f (x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể giả sử rằng

u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán điểm bất động của toán

tửA : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lập được một dãy lặp fumg sao cho fumghội tụ về nghiệm của bài toán và ta thu được kết quả tồn tại nghiệm; thông thường làxây dựng theo thuật giải lặp um = A(um 1); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u0 được chọntrước

Trong chương này, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bàitoán (1) được chứng minh Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạng tổng quát, nênnhư đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyến tính và sử dụng kết hợp vớiphương pháp Galerkin, phương pháp compact và đánh giá tiên nghiệm Tiếp theo, khi

các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f là + "1 1 vàf + "2f1; ta có bài toán nhiễu sau8

Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1)1;3 liên kết với điều kiệnbiên

Bergounioux [5] cùng các cộng sự, Cavalcanti ([11] – [16]) cùng các cộng sự, Định [21]cùng các cộng sự, Long ([30], [31], [34], [37], [40]) cùng các cộng sự, Ngọc ([53], [55], [56],[59]) cùng các cộng sự, và các tài liệu tham khảo trong đó.

Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã xét bài toán (7)1;2;4, và (8) liênkết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại x = 1 :

với (x; t) 1; F = ~u0 = ~u1 = ~P0 = 1 = 0; (t) = ; và f (u; ut) = Ku + ut; với ;

K 0; 0 là các hằng số cho trước Trong trường hợp này bài toán (7)1;2;4, (8) và (9)

là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồinhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng Cũng với (x; t) 1; một trường hợp đặc biệtkhác của bài toán (7)1;2;4, (8) liên kết với một điều kiện biên tuyến tính tạix = 1 đã đượckhảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [5]

Từ (8), biểu diễn P (t) theo 1; 2; ~P0; ~P1; (t); utt(0; t) và sau đó lấy tích phân từngphần, ta thu được

P (t) = g(t) + (t)u(0; t) +

Z t 0

k (t; s) u (0; s) ds: (13)Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7)1;3;4 và (13), dạng bài toán này cũng

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như, Cavalcanti cùng các cộng

sự [11] – [16]; Long, Định và Diễm [34]; Ngọc, Hằng và Long [55]; Qin [65], [66]; Rivera[68], [69]; Santos [71] – [74] và các tài liệu tham khảo trong đó Các công trình này đã cóđược nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn, tính ổn định, khai triển

tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm.

Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây:

Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (7) dướimột số điều kiện cho trước Trong phần 2, gọiu 1 là nghiệm yếu của bài toán (7) ứng vớimỗi 1 > 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm u 1 khi 1 ! 0+: Phần còn lạichỉ ra được một cách khai triển tiệm cận của nghiệmu 1 theo tham số bé 1; đến cấp N;theo nghĩa là có các hàm u0; u1; :::; uN độc lập với 1 sao cho ta có một đánh giá dạng

i

1u0 i

L 1 (0;T ;L 2 )

CT

(N +1) 1 2( 1)

1 ;vớiCT là hằng số độc lập với 1: Kết quả trong chương này đã được công bố trong [L2].Cuối cùng, Chương 3 tập trung sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến để xemxét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến

k0(t s) u (0; s) ds;

(1; t) ux(1; t) = g1(t) +

Z t 0

k1(t s) u (1; s) ds;

u(x; 0) = ~u0(x); ut(x; 0) = ~u1(x);

(14)

trong đóf (u; ut) = (u) + jutjq 2ut; với > 0; q> 2 là các hằng số cho trước và F; ;

; g0; g1; k0; k1; ~u0; ~u1 là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện phù hợp

Bài toán (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu, như [1], [2], [4] – [9], [10] – [17],[19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79] Nói riêng, phương trình (14)1 đã nhận đượcnhiều sự quan tâm rộng rãi và bài toán được nghiên cứu ở đây có thể xem như là sự tiếpnối của một trong các công trình [11] – [16]; [34]; [55]; [65], [66]; [68], [69]; [71] – [74].Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêngcủa bài toán (14)1;4 liên kết hợp với các điều kiện biên

ux(0; t) = g0(t) + h0u (0; t) +

Z t 0

k0(t s) u (0; s) ds; (15)

với 1; ~u0 = ~u1 0 và f (u; ut) = Ku + ut với K > 0; > 0 là các hằng số chotrước, vàg0; k0 là các hàm cho trước Trong trường hợp này, bài toán (14)1;4; (15), (16) là

một mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyếntính tựa trên một nền cứng.

Trong [5], Bergounioux, Long và Định đã nghiên cứu bài toán (14)1;4; (15) với điềukiện biên (14)3 được thay bởi

ux(1; t) + K1u (1; t) + 1ut(1; t) = 0; (17)trong đó f (u; ut) = Ku + ut; với K > 0; > 0; K1 > 0; 1 > 0 là các hằng số chotrước vàg0; k0 là các hàm cho trước Sau đó, tổng quát hóa kết quả của [5] đã được đưa

ra bởi Long, Định và Diễm [34], cho bài toán (14)1;4; (15) và (17) trong trường hợp của

f (u; ut) = Kjujp 2u + jutjq 2ut; trong đó K; > 0; p; q > 2 và (~u0; ~u1)2 H2 H1:Gần đây trong [55], Ngọc, Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định

và khai triển tiệm cận của bài toán (14) ứng với trường hợpf (u; ut) = (u) + ut; ở đây

là một hằng số cho trước và hàm 2 C1(R) thỏa điều kiện

Z z 0

(s) ds C1z2 C10với mọiz 2 R; C1; C0

1 > 0 là các hằng số cho trước

Nội dung của chương 3 gồm 3 phần:

Phần 1 chứng minh sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (14).Phần 2 trình bày tính ổn định của nghiệm đối với ( ; g0; g1; k0; k1; ; F ): Phần 3 nghiêncứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo2 tham số bé K; ; tương ứng với

f (u; ut) = Kjujp 2u + jutjq 2ut:

Một phần kết quả của Chương 3 sẽ đã được gửi đăng trong [L4]

Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công bố trong cácbài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết quả trên đã được báo cáotrong các hội nghị:

- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008

- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2, Hà Nội, 23-25/12/2005

- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 3, Hà Nội, 23-25/12/2010

- Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, tiểu ban Toán-Tinhọc, 30/11/2006

- Hội nghị Khoa học lần 7, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, tiểu ban Toán -Tinhọc, 26/11/2010

- Hội nghị Khoa học lần 8, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, tiểu ban Toán -Tin

- Hội nghị Khoa học tại Đại học Sư phạm Tp HCM, tiểu ban Toán-Tin học, 15/12/2008.

Để tiện cho việc theo dõi, sau đây là một số công cụ cần thiết có tính chất chuẩn bị

để sử dụng trong suốt luận án, các khái niệm và tính chất cơ bản khác đặc trưng cho cácdạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương

Không gian hàm thông dụng

Trong suốt luận án nầy chúng tôi ký hiệu = (0; 1) ; QT = (0; 1) ; T > 0: Chúngtôi không nhắc lại định nghĩa mà chỉ ký hiệu lại các không gian hàm thông dụng:

Wm;p = Wm;p( ) ; Lp = W0;p( ) ; Hm = Wm;2( ) ; 1 p 1; m = 0; 1; ::::Chi tiết về không gian trên có thể xem trong Brézis [3], Lions [28] Chú ý thêm rằng,

ta không viết đi kèm theo các ký hiệu không gian hàm nếu = (0; 1) ; nhưng nếucần phân biệt với miền khác với = (0; 1) thì sẽ viết rõ, chẳng hạn như Wm;p(0; T ) ;

Lp(0; T ) ; Hm(0; T ) ; Wm;p(QT) ; Lp(QT) ; Hm(QT) ::::

Chuẩn trongL2 được ký hiệuk k : Ta ký hiệu h ; i là tích vô hướng trong L2 hoặc tíchđối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm

Không gian L p (0; T ; X), 1 p 1 (Lions, [28], p.7)

Cho không gian Banach X với chuẩn k kX: Ta ký hiệu Lp(0; T ; X) ; 1 p 1; đểchỉ không gian Banach của các hàmu : (0; T )! X đo được, sao cho kukL p (0;T ;X) < +1;

Bổ đề về tính compact của Lions

Giả sửX0; X; X1 là ba không gian Banach sao choX0 ,! X ,! X1 với các phép nhúngliên tục

Với 1 p0; p1 1 và 0 < T < 1, ta ký hiệu

W =fv 2 Lp0(0; T ; X0) : v0 2 Lp1(0; T ; X1)g :Trang bị W một chuẩn

kvkW =kvkL p0(0;T ;X0)+kv0kL p1(0;T ;X1):Khi đóW là một không gian Banach Hiển nhiên W ,! Lp 0(0; T ; X) : Hơn nữa, nếu(i) X0,X1 phản xạ;

(i) kgmkL q (Q) C, với mọi m;

(ii) gm ! g hầu hết trong Q

(19)

Khi đó, gm ! g trong Lq(Q) yếu

Lũy thừa một đa thức

Trước hết, ta cần các ký hiệu về đa chỉ số và đơn thức hai biến

A(m)(N ) =f 2 Z2

+ : ; 1 j j N; m 1 j j (m 1) Ng: (23)Chứng minh của bổ đề 03 có thể tìm thấy trong [38]:

Trong trường hợp lũy thừa của một đa thức theo một biến" ta có

Ta cũng sẽ dùng bổ đề đánh giá sau đây mà chứng minh không khó khăn.

Bổ đề 05 Cho dãy số thực f mg thỏa mãn

Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến

Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V =fv 2 H1 : v (1) = 0g :

14

Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H1, do đó V là không gian Hilbertđối với tích vô hướng của H1: Mặt khác trên V các chuẩn v7 ! kvxk và v 7 ! kvkH 1 làtương đương.

Bổ đề sau đây cũng được sử dụng trong suốt luận án

Bổ đề 1.2.1 Phép nhúng V ,! C0([0; 1]) là compact và

kvkC 0 ([0;1]) kvxk ; 8v 2 V: (1.2.1)Chứng minh bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Brézis [3], Lions [28]

Giả sử rằng u~0 2 H2; ~u1 2 H1; g0; g1 2 C3

(R+) ; f 2 C1([0; 1] R+ R3) và

2 C2([0; 1] R+ R) ; thỏa điều kiện (x; t; z) 0 > 0; 8 (x; t; z) 2 [0; 1] R+ R:Dùng phép đổi biến v = u ' với ' (x; t) = (x 1) g0(t) + g1(t) thì bài toán (1.1.1)trở thành bài toán

Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm

yếu của bài toán (1.2.2):

Ta gọi một hàm v 2 L1(0; T ; V \ H2) thỏa điều kiện vt 2 L1(0; T ; V ) ; vtt 2

L1(0; T ; L2) là nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) nếu nó thỏa bài toán biến phân dướiđây

Tìm vm2 W1(M; T ) (m 1) thỏa bài toán biến phân

Định lý 1.3.1 Giả sử (H1) (H3) thỏa Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0sao cho, với v0 = ~v0, tồn tại một dãy qui nạp fvmg W1(M; T ) xác định bởi (1.2.9),(1.2.10)

Chứng minh Chứng minh gồm một số bước

Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin Xét một cơ sởfwjg của V

wj(x) =

s2

1 + 2j cos ( jx) ; j = (2j 1)2; j 2 N; (1.3.1)gồm các hàm riêng của toán tử Laplace = @x@22 Đặt

vm(k)(t) =Xk

j=1c(k)mj(t) wj; (1.3.2)trong đó các hệ sốc(k)mj thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính

0

Xk j=1

(m)

ij (s) c(k)mj(s) dsd+

Z t 0

Z

0 hFm(s) ; wji dsd ;

ij(s) =h m(t)rwi;rwji ; 1 i; j k:

(1.3.8)

Chú ý rằng X = C [0; T ] ; Rk là không gian Banach đối với chuẩn

Z

0

Pk j=1 ij(s) (cj(s) dj(s))dsd

Z t 0

Z

0

Xk j=1j ij(s)j jcj(s) dj(s)j dsd

Xk j=1 sup

0 s T j ij(s)j

Z t 0

Z

0

Vn 1[c] (s) Vn 1[d] (s)1dsd2k ~K

2k ~Kt2 n 1

[2(n 1)]! kc dkX

Z t 0

Z

0

s2n 2dsd2k ~Kt2 n

(2n)! kc dkX:Vậy (1.3.11) được chứng minh

Z 1 0

0

m(x; s) rvm(k)(x; s)

2

dx+2

Z t 0

Ym(k)(t) = Ym(k)(0) + 2D

@ m

@x (0)r~v0k; ~v0kE

+ 2hFm(0) ; ~v0ki+

Z t 0

ds

Z 1 0

0

m(x; s) vm(k)(x; s)

2

dx+2

Z t 0

Z t 0

Ta sẽ đánh giá các tích phân bên phải của (1.3.15) và (1.3.17) như dưới đây.

I1 =

Z t 0

ds

Z 1 0

0

m(x; s) rvm(k)(x; s) 2dx (1.3.20)1

0

~K(M; )(M + M + 1)

Z t 0

Fm(s) ; _v(k)m (s) ds 2

Z t 0

kFm(s)k _vm(k)(s) ds (1.3.21)

T K12(M; ~f ) +

Z t 0

ds

Z 1 0

0

m(x; s) v(k)m (x; s) 2dx (1.3.22)1

0

~K(M; )(M + M + 1)

Z t 0

@

@s(

@ m

@x (s)rv(k)m (s)); v(k)m (s) ds (1.3.23)2

p

0

Z t 0

I4(s)q

Ym(k)(s)ds;

@ 2 m

@sD3 (x; s; m(x; s)) (rvm 1(x; s) + g (s))+D3 (x; s; m(x; s)) @

@s(rvm 1(x; s) + g (s))

= D2D1 (x; s; m(x; s))+D3D1 (x; s; m(x; s)) (rvm 1(x; s) +r' (x; s))+D1D3 (x; s; m(x; s)) (rvm 1(x; s) + g (s))+D32 (x; s; m(x; s)) ( _vm 1(x; s) + _' (x; s)) (rvm 1(x; s) + g (s))+D3 (x; s; m(x; s)) (r _vm 1(x; s) +r _' (x; s)) ;

Ym(k)(s) ds: (1.3.30)Tích phân thứ năm I5:

Ym(k)(s) ds:

kFm(0)k2+ 2T

Z T 0

jI6j 2 kFm(0)k2+ 4T K2

1(M; ~f )

Z T 0

h(1 + 2M )2+ v00

Tích phân thứ bảy I7:

Do (1.2.8), (1.3.14) và (1.3.37), ta có được

jI7j = 2

Z t 0

@Fm

@s (s) ds +

Z t 0

(1 + 2M + v00m 1(s) )Ym(k)(s) ds:

Ta còn đánh giá

Z t 0

D

@

@x( m(s)rvm(k)(s)); •vm(k)(s)E

ds+2

Z t 0

D

Fm(s) ; •v(k)m (s)E

ds2

Z t 0

@

@x( m(s)rvm(k)(s)) v•m(k)(s) ds+2

Z t

0 kFm(s)k •v(k)m (s) ds2

Z t 0

•

v(k)m (s)

2

ds+2

Z t

0 kFm(s)k2ds + 12

Z t 0

@

@x( m(s)rvm(k)(s)) 2ds + 2

Z t 0

kFm(s)k2ds2

Z t 0

~K(M; )(M + M )

q

Xm(k)(s) + p1

0

~K(M; )

q

Ym(k)(s)

1 p

0

~K(M; )p

Sm(k)(s) ds:(1.3.44)Chọn > 0; với 2

0

1

2; từ (1.3.14), (1.3.15), (1.3.17), (1.3.20) – (1.3.22), (1.3.30),(1.3.34), (1.3.38), (1.3.39) và (1.3.44), ta suy ra

Sm(k)(t) D~0k+ ~D1(M; T; ) + 2

Z t 0

~

D2(M; T; ) + 1

0K1(M; ~f )k•vm 1(s)k Sm(k)(s) ds;

(1.3.45)trong đó

0 K1(M; ~f )+ 2 1 (M + M + 1)2 1 + 1+(M +M +1)p

K1(M; ~f )M

!

M2; (1.3.49)và

(1.3.50)

Sau cùng, từ (1.3.45), (1.3.47) và (1.3.49), ta suy ra

Sm(k)(t) M2exp 2T ~D2(M; T; ) 2

pT

Từ (1.3.53) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy fv(k)m g vẫn ký hiệu là fv(k)m g;

Qua giới hạn trong (1.3.3), ta cóvm thỏa (1.2.9), (1.2.10) trongL2(0; T ) ; yếu.

Hơn nữa từ (1.2.9), (1.2.10) và (1.3.54)4 ta suy ra

v00m= @

@x( m(t)rvm(t)) + Fm2 L1 0; T ; L2 : (1.3.55)Vậy vm2 W1(M; T ) và chứng minh của định lý 1.3.1 được hoàn tất

Định lý 1.4.1 Giả sử (H1) (H3) thỏa Khi đó

(i) Tồn tại các hằng số dương M và T thỏa (1.3.47), (1.3.49) và (1.3.50) sao cho bàitoán (1.2.2) có duy nhất nghiệm yếu v 2 W1(M; T ) :

(ii) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính fvmg xác định bởi (1.2.9), (1.2.10) hội tụ mạnh

về nghiệm yếu v của bài toán (1.2.2) trong không gian

W1(T ) = w2 L1(0; T ; V ) : w0 2 L1 0; T ; L2 ; (1.4.1)

và ta có đánh giá

kvm vkL 1 (0;T ;V )+kvm0 v0kL 1 (0;T ;L 2 ) CkmT; với mọi m2 N; (1.4.2)trong đó kT 2 (0; 1) được xác định trong (1.3.50) và C là hằng số chỉ tùy thuộc T; g0; g1;

~

v0; ~v1 và kT:

Chứng minh

(i) Sự tồn tại nghiệm

Trước hết, ta để ý rằng W1(T ) là một không gian Banach với chuẩn tương ứng (Lions[28])

kwkW 1 (T )=kwkL 1 (0;T ;V )+kw0kL 1 (0;T ;L 2 ): (1.4.3)

Ta sẽ chứng minh rằngfvmg là một dãy Cauchy trong W1(T ) :

Đặt wm = vm+1 vm: Khi đó wm thỏa bài toán biến phân

ds

Z 1 0

0 m+1(x; s)jrwm(x; s)j2dx+2

Z t

0 hFm+1(s) Fm(s) ; w0m(s)i ds+2

Z t 0

ds

Z 1 0

0 m+1(x; s) jrwm(x; s)j2dx

Vậy

jJ2j 2

Z t

0 hFm+1(s) Fm(s) ; w0m(s)i ds4T K2

1(M; ~f )kwm 1k2W 1 (T )+

Z t 0

zm(s) ds:

(1.4.9)

Tích phân thứ ba J3:

Ta có

jJ3j = 2

Z t 0

@

@x m+1(s) m(s) rvm(s) ; w0m(s) ds (1.4.10)

Z t 0

+kD3 [vm]kC 0( ) krvm(s)kC 0( ) krwm 1(s)k+kD3 [vm] D3 [vm 1]kC 0( )

kD3 [vm]kC 0( ) K (M; ) :~

(1.4.13)

Ta suy từ (1.4.12) và (1.4.13) rằng

@

@x m+1(s) m(s) rvm(s) 3M ~K (M; )kwm 1kW1(T )

+ (M + M ) M ~K (M; )kwm 1kW1(T )(3 + M + M ) M ~K (M; )kwm 1kW1(T ):

p

zm(s)ds: (1.4.15)Kết hợp (1.4.5), (1.4.7), (1.4.9) và (1.4.15); ta được

zm(s) ds:

Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (1.4.16), ta suy ra

kwmkW 1 (T ) kT kwm 1kW 1 (T ) 8m 2 N; (1.4.17)trong đókT là một hằng số, với0 < kT < 1 được xác định như trong (1.3.50) Từ (1.4.17)

v00 = @

= [v]vxx+ @

@x [v] vx+ ~f [v] 2 L1 0; T ; L2 :

Do đó ta có v 2 W1(M; T ) : Sự tồn tại đã được chứng minh

(ii) Sự duy nhất nghiệm

Giả sử v1; v2 2 W1(M; T ) là hai nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) Khi đó v = v1 v2

thỏa bài toán biến phân

Z 1 0

0

1(x; s) v2x(x; s) dx + 2

Z t 0

hF1(s) F2(s) ; v0(s)i ds (1.4.30)+2

Z t 0

@

@x[( 1(s) 2(s))rv2(s)] ; v0(s) ds X3

i=1Zi(t) ;trong đó

Z (t) =kv0(t)k2+ p

1(t)vx(t)

2

kv0(t)k2+ 0kvx(t)k2: (1.4.31)Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên phải của (1.4.30) như sau

jZ1(t)j

Z t 0

ds

Z 1

0 j 01(x; s)j vx2(x; s) dx (1.4.32)1

0

(1 + M + M ) ~K (M; )

Z t 0

z (s) ds ZM(1)

Z t 0

z (s) ds;

jZ2(t)j 2

Z t 0

hF1(s) F2(s) ; v0(s)i ds (1.4.33)4K1(M; ~f )

Z t 0

z (s) ds ZM(2)

Z t 0

z (s) ds;

jZ3(t)j = 2

Z t 0

@

@x[( 1(s) 2(s))rv2(s)] ; v0(s) ds (1.4.34)2

Z t 0

@

@x[( 1(s) 2(s))rv2(s)] kv0(s)k ds:

M (3 + M + M ) ~K (M; )kvx(s)k :

z (s) ds ZM(3)

Z t 0

z (s) ds: (1.4.39)

Kết hợp (1.4.30), (1.4.32), (1.4.33) và (1.4.39), ta có

Z (t) ZM(1)+ ZM(2)+ ZM(3)

Z t 0

Sử dụng bổ đề Gronwall, suy raZ (t) 0; i.e.; v1 v2:

Định lý 1.4.1 được chứng minh hoàn toàn

Chú thích 1.4.1

(i) Từ đây ta suy ra nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) được tính theo công thứcu = v+';với ' (x; t) = (x 1) g0(t) + g1(t) : Ta cũng kiểm tra không khó khăn rằng nghiệm yếucủa bài toán (1.1.1) là duy nhất

(ii) Trường hợp 1; f = f (x; t; u; ux; ut) với f 2 C1([0; 1] R+ R3) ; và vài điềukiện biên khác thay cho (1.1.1)2; các kết quả đã thu được trong các bài báo [33], [36], [38].(iii) Kết quả phần nầy vẫn đúng với trường hợp = (u); f = f (x; t; u; ux; ut) với

f 2 C1([0; 1] R+ R3) và đã được công bố trong [L1]

(iv) Kết quả phần nầy vẫn đúng với trường hợp = (u); f = f (x; t; u; ux; ut) với

f 2 C1([0; 1] R+ R3) ; và điều kiện biên (1.1.1)2 được thay bởi điều kiện biên Dirichletthuần nhất và đã được công bố trong [L3]

Trong mục này, ta giả sử rằng ; 1 2 C2([0; 1] R+ R) ; (x; t; z) 0 >0; 1 0; f; f1 2 C1([0; 1] R+ R3) :

Ta xét bài toán nhiễu sau, trong đó "1; "2 là những tham số bé sao cho 0 "1 1;j"2j 1 :

Để cho gọn ta cũng ký hiệu f [u] = f (x; t; u; ux; ut) và [u] = (x; t; u):

Cho u0 u0;0 là nghiệm yếu của bài toán (P0;0) (P0) (như trong Định lý 1.4.1)tương ứng~" = ("1; "2) = (0; 0), nghĩa là

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u ; 2 Z2

+; 1 j j N; được xác định bởi các bàitoán sau:

1 j j j j;

@

@x

h[ ] + (1)[ 1] ru i

1 m!Dmf [u0] T(m1 )

[u] T(m2 )

[ru] T(m3 )

[u0] ;nếu 1 j j N;