Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

HàN®i,tháng7năm2012 Tácgiá NguyenTrưòngLưu... HàN®i,tháng7năm2012 Tácgiá NguyenTrưòngLưu... 4 2.1.1 PhươngphápNewton- Raphsonđoivóikhông gianm®tchieu...20 2.1.2 PhươngphápNewton-Raphsonđ

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAO TRƯèNGĐAIHOCSƯPHAMHÀN®I2

——————————————–

NGUYENT R Ư è N G LƯU

PHƯƠNGPHÁPTUATUYENTÍNH HÓA VÀÚNGDUNGVÀOGIÁIXAPXÍBÀITOÁ NBIÊNĐ O I VéIPHƯƠNGT R Ì N H VIPHÂN

T H Ư è N G CAPHAI

LU¾NVĂNTHACSĨTOÁNHOC

HÀN®I,2012

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèN GĐAIHOCSƯPHAMHÀN®I2

Làicámơn

Tôixinđưocgúilòi

cámơnchânthànhvàsâusactóiPGS.TS.KhuatVănNinh,ngưòiđãt¾ntìnhhưóngdan,chíbáotôitrongsuotquátrìnhlàmlu¾nvăn

Cũngqualu¾nvănnày,tôixinđưocgúilòic á m ơ n đenc á c thayc ô giáotrongtoGiáitích-khoaToán-

trưòngĐaihocSưphamHàn®i2,giađình,banbèvàcác banhocviênlópK14Toángiáitíchđot1,nhungngưòiđãđ®ngviên,giúpđõtôitrongs u o t quátrìnhhoct¾pvàlàmlu¾nvăn

HàN®i,tháng7năm2012

Tácgiá

NguyenTrưòngLưu

Tôixincamđoanlu¾nvănnàylàdotôitnlàmdưóisnhưóngdancnaPGS.TS.KhuatVănNinh.Tôixincamđoansoli¾uvàketquánghiêncúutronglu¾nvănnàylàtrungthncvàkhôngtrùngl¾pvóicácđetàikhác.Cácthôngtintríchdan,cáctàili¾uthamkháotronglu¾nvănđãđưocchírõnguongoc.Lu¾nvănchưađưoccôngbotrênbatkìtapchí,phươngti¾nthôngtinnào

HàN®i,tháng7năm2012

Tácgiá

NguyenTrưòngLưu

1.1 Đaohàmvàviphâncnahàmm®tbien 9

1.1.1 Đ%nhnghĩađaohàm

9 1.1.2 Đ%nhnghĩaviphân 10

1.2 Phươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhviphântuyentính 11 1.2.1 Phươngtrìnhviphântuyentínhc a p m®t 11

1.2.2 H¾phươngtrìnhviphântuyentínhcapm®t 12

1.3 M®tsokienthúccơbánvegiáitíchhàm 13

1.3.1 Đ%nhnghĩachuanvàkhônggianđ%nhchuan 13

1.3.2 Toántútuyentínhb%ch¾ntrongkhônggian đ%nhchuan 14

1.4 ĐaohàmFréchettrongkhônggianđ%nhchuan 15

1.4.1 Đ%nhnghĩa 15

1.4.2 Tínhchat 16

1.4.3 M®tsovídu 18

2 TongquanvephươngpháptNatuyentínhhóa 20 2.1 PhươngphápNewton- Raphson 20

3

4 2.1.1 PhươngphápNewton- Raphsonđoivóikhông

gianm®tchieu 20

2.1.2 PhươngphápNewton-Raphsonđoivóikhông gianđachieu 23

2.2 PhươngphápNewton-Kantorovich 27

2.2.1 Dangtongquátcnaphươngpháp 27

2.2.2 M®tsođ%nhlýcnaphươngphápNewton-Kan-torovich 28 3 ÚngdnngphươngpháptNatuyentínhhóavàogiáixapxíbàit oánbiênđoiváiphươngtrìnhviphânthưàng caphai 38 3.1 Đ¾tvanđe 38

3.2 Bàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphântuyentính caphai 39

3.3 Phươngtrìnhkhôngthuannhat 41

3.4 Xapxímatr¾nvectơ 43

3.5 HàmGreen 45

3.6 Tínhchatloi 46

3.7 Tnatuyentínhhóa 48

3.8 Sntontaivàb%ch¾n 48

3.9 Snh®itu 50

3.10 Snh®itucnathu¾ttoánPicard 52

3.11 M®tsovídu 53

5 3.12 Ápdungphươngpháptnatuyentínhhóavàogiáixapxíbàitoán

biênđoivóiphươngtrìnhviphânphituyen

caphai 54

3.13 Víduminhhoa 55

3.14 Phéptínhbienphân 56

3.15 Tnatuyentínhhóa 58

1 Lýdochonđetài

Nhưchúngtađãbiet,trongtoánhoccũngnhưtrongm®tsongànhkhoahocliênquan,đ¾cbi¾tlàv¾tlý,tag¾pnhieubàitoándanđenyêucaugiáiphươngtrìnhphituyen.Giáiquyetvanđenàykhákhókhăndotínhchatphituyencnanó.Bêncanhđó,tacũngthayrangvi¾cgiáicácphươngtrìnhtuyentínhlàthu¾nloihơnvàđưocnghiêncúunhieuhơn.Vìv¾y,vi¾cđưacácbàitoánphituyenvecácbàitoántuyentínhđưocnhieunhàkhoahocquantâm.Đãc ó nhungc ô n g trìnhnghiênc ú u vevanđenàymàketquác n a n ó đưocúngdungr®ngrãitrongtoánhocvànhieunghànhkhoahockhác.Cóthekeđenm®tsonhàkhoahocnoitiengtronglĩnhvncnàynhưNewton,Raphson,Kantorovich, RichardBellman

Đethu¾nti¾nchovi¾cgiáiquyetnhungbàitoánmàvi¾cxúlýtrnctiepg

¾pnhieukhókhăn,hanche,đ¾cbi¾tlàcácbàitoánquyvevi¾cgiáiphươngtrìnhphituyen,tôilnachonđetài"PHƯƠNGPHÁPTUATUYENTÍNHHÓAVÀÚNGDUNGVÀOVI›CGIÁIXAPXÍBÀITOÁNBIÊNĐOIVéIPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNTHƯèNG CAPHAI"

2 MncđíchnghiêncNu

+Nghiêncúucácbàitoánphituyen

+Ápdungphươngpháp tnatuyentínhhóagiáibài toán phituyen.

+Úngdungphươngpháptnatuyentínhhóavàom®ttrongcácbàitoánphituyenthưòngg¾p:Bàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngcaphai

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

+G i á i m®tlópc á c bàitoánphituyenbangcáchquyvebàitoántuyentínhvà

c u thehóaquavi¾cgiáixapxíbàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngc a p hai

+Ápdungvàogiáixapxíbàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngcaphai

4 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

+Đoitưongnghiêncúu:Phươngpháptnatuyentínhhóagiáixapxíbàitoánphituyen

+Pha m vinghiêncúu:Bàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngcaphai

5 PhươngphápnghiêncNu

+P h ư ơ n g pháptnatuyentínhhóagiáibàitoánbiênphituyen

+Súdungtínhxapxínghi¾mcnabàitoántuyentínhsovóibàitoánphituyentươngúng

6 DNkienđónggópmái

+Ápdungphươngpháptnatuyentínhhóavàogiáibàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngcaphai

9

101.1.2 Đ%nhnghĩaviphân

Giásúhàmsoy =f(x)cóđao hàmtaiđiemx0:

phươngphápbienthiênhangso,cuthenhưsau:trong(1.9)tacoiclàhàmsoc nax:c=c(x)vàtìmcáchchonc(x)saochobieu



2

Neukíhi¾uF (x)=

f1(x)



f (x)

%nhnghĩa1.7.ChohaikhônggiantuyentínhXvàYtrêntrưòngP (P= Rho¾

cP = C).ÁnhxaAtùkhônggianXvàokhônggianYgoilàtuyentínhneuAthóa mãncácđieuki¾n:

i) A (x+x r )=Ax+Ax r ,∀x,x r ∈X

ii) Aαxx=αxAx,∀x∈X,∀αx∈P

Tathưònggoiánhxatuyentínhlàtoántútuyentính.

A ( εk ) B ( εk )

TongquanvephươngpháptNatuyentí nhhóa

x n+1=x n − f r

(x

(2.5))

0

≤ θ

≤ r

f rr(

θ)+

f r (θ)

ϕ rr (θ)2 (2.16)Quanh¾trong(2.15)cũngđưocgoilà"h®itubìnhphương".

neuc o i x = (x1,x2, ,x n )vàF (x)= ( f1(x),f2(x), ,f n (x)).Taxétmatr¾ nJacobiancnacáchàmf i (x),(i=1,n),đưocgiáthietlàhàmkháviliêntuc:

Đethu¾nloi,tagiái(2.20)đoivóian∆x(0)=x −x(0),sauđótính

∂f p (x) ∂x p −f n (2.27)Đetínhđieml¾ptieptheotatìmJ (x1),vàquátrìnhtrênlaiđưoctienhànht

ươngtn

P r (x n )(x n − x)=P(x n ), n=0,1,2,

Neudãy{x n }h®ituđenx ∗ và x0đưocchonganx ∗ thìc á c toántú

P r (x n )vàP r (x0)s e gannhau.Đieuđólàmc ơ s ó chovi¾cthaythec ô n g thúc(

2 30)bangc ô n g thúcs a u , đơngiánhơn:

y n+1= y n −[P r (x0)]−1 P(y n) n=0,1,2, (2.31)Phươngphápxâydnngdãy{y n }nhưtrênđưocgoilàphươngphápNewt

A (x)=x−Γ0P(x)

ϕ (u)=u+c0ψ (u)

Khiđócácphươngtrình(2.28)và(2.32)cóthethaybangcácphươngtrìnhtươngđương:

0 0

v n = ϕ(v n−1 ), v 0=u0

Tachúngminhrangđoivóicácphươngtrình( 2 34)và( 2 35),c á c đieuki¾ncnađ%nhlí2.2.1đeuđưocthóamãn

Tacó:

A (x0)−x0=−Γ0P(x0)

ϕ (u0)−u0=c0ψ (u0)Dođóđótùđieuki¾n5)suyra:

"A(x0−x0)"≤ϕ(u0)−u0

2.2.1thayx0bóix1,u0bóiu1thìc á c đieuki¾nc n a đ%nhlýđókhôngb

"Γ1P(x1)"≤c1ϕ (u1) (2.39)Trưóctiêntachúngminhrang:

"Γ0P(x1)"≤c0ψ (u1) (2.40)TheocôngthúcTaylormór®ngtacó:

x n =x ∗

Bâygiòtachúngminhrang:

P(x ∗)=0Ápdungcôngthúcmór®ngvesogiahuuhanđoivóitoántú

Γ0Prr(x)tacó:

Đ

%nhlí2 2.4.G i á sú toántúP hailankháviliêntuctrongS vàthóamãncácđieuki¾nsau:

k η

(2h)

2

2

1+

2

r u+ v n−1 u− v n =[1+c0ψ(u0)](u n −v n ),u n =

ÚngdnngphươngpháptNatuyentính hóavàogiáixapxíbàitoánbiênđoivái phươngtrìnhviphânthưàngcaphai

vebàitoánmàg(u,u r ,t )tuyentínhđoivóiu vàu r

Đecóđưocsnphântíchnentáng,đongthòichúngminhcácthu¾ttoántínhtoán,tapháisúdungcácphươngphápxapxí.Cácphương

38

%lóntrongvi¾cxâydnngsntontainghi¾m,khôngsúdungkĩthu¾ttínhtoán.Nóichung,m®tsolópcácphươngphápxapxíliêntieplàratc ó ích

Mucđíchcnatalàthuđưocnghi¾mcnaphươngtrình(3.1).Nghi¾mđótontainhưgióihancnam®tdãynghi¾mphươngtrìnhviphântuyentính.Đeđatđưocmucđíchđótaápdungphươngpháptnatuyentínhhóa

Moiphươngtrìnhnàyc ó thegiáis o đưoc.Hơnnua,nhưtrongtrưònghopphươngtrìnhRiccatiđãtháolu¾nó chươngt rưó c , chúngtamuonđatđưoctocđ

®h®itubìnhphươngvàneucóthethìcáh®ituđơnđi¾u.Cácketquáthuđưocsechírarangcácyêucautrênđeuđưocthóamãn

40thìmoinghi¾mcna(3.2)cóthebieudiennhưm®ttohoptuyentínhcnau1và

Cóhaicáchxapxínghi¾mc n a( 3 22).Cáchthúnhat,s ú dung

phươngphápbienthiênhangs o Lagrange.Cáchthúhai,s ú dungphươngphápgiáiphươngtrìnhliênhop.Taxétphươngphápthúhai

Y(T).x(T)=

[Y r + YA (t)]xdt+

3.5 HàmGreen

Hàmk(t,t1,b )nhacđentrongphan( 3 3)làm®thàmratquantrong,đưocgoil

àhàmGreen.Nóđưocxácđ%nhbóiphươngtrìnhtuyentính

u r

r

3.7 TNatuyentínhhóa

Bâygiòtas ú dungphéptnatuyenhóachomucđíchphântíchvàtínhtoán.Đautiên,tasú dungphươngphápnàyđethuđưocsn h®itubìnhphương.Đieunàyđưocminhhoaquam®tsovídu

Đeminhhoa,tabatđauvóiphươngtrình:

Layu0(x)làxapxíbanđauvàxétdãy{u n }xácđ%nhbóih¾thúctruytoán:

n =f(u n−1 )+(u n −u n−1 ).f r (u n−1 ),u n (0)=u n (b)=0 (3.50)

Moihàmu n (x)lànghi¾mc n a phươngtrìnhtuyentính,m®tđ¾ctínhratqu

+

0

(3.57)4

(3.58)1

4

n n−1 n n−1 n−1 n n+1

n r

(max|u n −u n+1|)2 (3.64)

Đieunàychírarangsnh®itulàbìnhphươngneucósnh®itukhapnơi.Neucácphantúcnadãy{v n },n=0,1,2, thóamãnh¾thúc:

14

ó thêmcá c ý tưóngvàkĩthu¾tmói,trùm®tsokienthúcnhóvematr¾nvàgiáitíchhàm.Chúýranggiáthiettínhloiratquantrongtrongđ

%nhlíphépbieudien,khôngcóvaitròquantrongtrongh®itub¾chai

3.10 SNh®itncúathu¾ttoánPicard

Xapxíthôngthưòngtrêncơsó h¾thúctruytoán:

n+1=f(v n ),v n+1(0)=v n+1(b)=0 (3.70)cũngchom®tdãyh®ituvóicácđieuki¾ntương

tnđoivóifvàb.Tuynhiên,snh®itusechílàcapsonhân,túclà:

|v n+1−v n |≤k|v n −v n−1 | (3.71)

trongđók ≤1,ho¾c|v n −v n−1 |≤k c0 Tatnhiên,ưuthecnah®itubìnhphươnglàđ®nhanhcnatocđ®h®itu.Hơnthenua,tnatuyen

Tathuđưoc(3.75)nhưsau,nhânhaivecna(3.74)vóiurs a uđótích

phânhaivetađưocu rlà hàmcnau0,giáiu rtađưoc(3.75)

Úngdungcá c phươngphápđãtrìnhbàyó trên,taxétdãyc ác xapxíxácđ

%nhbói:

n (u n+1−u n ),u n+1(0)=u n+1(b)=0 (3.76)

Layxapxíbanđauu0(x)=0,tatínhxapxícnau n (x)tóiu(x),cáchàmu1(

x )vàu2

3.12 ÁpdnngphươngpháptNatuyentínhhóavàogiáix

apxíbàitoánbiênđoiváiphươngtrìnhviphânphit uyencaphai

Báng3.1:H®itucnau n (x)tóiu(x)

x u0(x) u1(x) u2(x) u (x)

0.0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.1 0.000000 0.045000 0.046570 0.046571 0.2 0.000000 0.080000 0.082302 0.082304 0.3 0.000000 0.105000 0.107571 0.107573 0.4 0.000000 0.120000 0.122632 0.122635 0.5 0.000000 0.125000 0.127636 0127639 0.6 0.000000 0.120000 0.122632 0.122635 0.7 0.000000 0.105000 0.107571 0.107573 0.8 0.000000 0.080000 0.082302 0.082304 0.9 0.000000 0.045000 0.046570 0.046571 1.0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

3.14 Phéptínhbienphân

M®txuatxútnnhiênvàchnyeunhatc n a phươngtrìnhviphânphituyenvóihaiđieuki¾nbiênlàphéptínhbienphân.Xétbàitoántìmcncđaic n a phiemhàm:

vóiđieuki¾ncuoicùng: ∂g . .

∂u r

t=b Neug làm®tdangtoànphương đoivóiuvàurc®ngthêmm®tsohangtuyentínhđoivóiuthìphương

3.15 TNatuyentínhhóa

Tacó theúngdungphươngpháptnatuyentínhhóatheohaicách.PhươngtrìnhE u l e r( 3 85)làm®tphươngtrìnhviphânphithuyenthu®c

loaimàtavùaxétúngdungcnaphép tnatuyentính hóathông

biênhaiđiemvàvi¾cgiáicácphươngtrìnhđaisotuyentính.

Ratnhieubàitoántrongthnctemàvi¾cgiáiquyetnódanđenpháigiáiphươngtrìnhviphânhayphươngtrìnhđaohàmriêng,tuyentínhhayphituyen.vi¾ctìmnghi¾mđúngc n a c á c phươngtrìnhnàynhieukhiphúctapvàkhôngthncsncanthiet,đ¾cbi¾tlàđoivóicácphươngtrìnhphituyen,vi¾cgiáiđúngg¾pnhieukhókhăndotínhchatphituyenc n a nó.P h ư ơ n g pháptnatuyentínhhóalàm®ttrongcác phươngphápưuvi¾tđetìmnghi¾mxapxícnacácphươngtrìnhphituyen.Xuatpháttùm®txapxíbanđautươngđoitot,phươngphápnàycóthetìmđưocnhungnghi¾mxapxíkhágannghi¾mđúngcnaphươngtrình,vóitocđ®h®itucao

Lu¾nvănchnyeunghiêncúubàitoánphituyen,phươngpháptnatuyentínhhóavàúngdungvàogiáixapxíbàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngcaphai

Docònnhieuhanchevekienthúcvàthòigian,lu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusót.Emmongnh¾nđưocsnchíbáo,gópýcnaquýthaycôvàcácbanđocđebánlu¾nvănđưochoànthi¾nhơn.Emxinchânthànhcámơ n !

[4]NguyenPhuHy(2006),Giáitíchhàm,Nxb.KhoahocvàKythu¾tHàN®i [5]HoàngTuy(2005),Hàmthncvàgiáitíchhàm(Giáitíchhi¾nđai),Nxb.Đaih

ocQuocgiaHàN®i

62