Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————– NGUYỄN TRƯỜNG LƯU PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI LUẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————————–

NGUYỄN TRƯỜNG LƯU

PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

NGUYỄN TRƯỜNG LƯU

PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ

BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội, 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS KhuấtVăn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quátrình làm luận văn

Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy côgiáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội

2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 1,những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan số liệu và kết quảnghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp vớicác đề tài khác Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trênbất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Trường Lưu

1 Kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến 9

1.1.1 Định nghĩa đạo hàm 9

1.1.2 Định nghĩa vi phân 10

1.2 Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến tính 11 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 11

1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 12

1.3 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm 13

1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn 13

1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn 14

1.4 Đạo hàm Fréchet trong không gian định chuẩn 15

1.4.1 Định nghĩa 15

1.4.2 Tính chất 16

1.4.3 Một số ví dụ 18

2 Tổng quan về phương pháp tựa tuyến tính hóa 20 2.1 Phương pháp Newton - Raphson 20

3

2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đối với không

gian một chiều 20

2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đối với không gian đa chiều 23

2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich 27

2.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp 27

2.2.2 Một số định lý của phương pháp Newton - Kan-torovich 28

3 Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai 38 3.1 Đặt vấn đề 38

3.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 39

3.3 Phương trình không thuần nhất 41

3.4 Xấp xỉ ma trận vectơ 43

3.5 Hàm Green 45

3.6 Tính chất lồi 46

3.7 Tựa tuyến tính hóa 48

3.8 Sự tồn tại và bị chặn 48

3.9 Sự hội tụ 50

3.10 Sự hội tụ của thuật toán Picard 52

3.11 Một số ví dụ 53

3.12 Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp

xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến

cấp hai 54

3.13 Ví dụ minh họa 55

3.14 Phép tính biến phân 56

3.15 Tựa tuyến tính hóa 58

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, trong toán học cũng như trong một số ngànhkhoa học liên quan, đặc biệt là vật lý, ta gặp nhiều bài toán dẫn đếnyêu cầu giải phương trình phi tuyến Giải quyết vấn đề này khá khókhăn do tính chất phi tuyến của nó Bên cạnh đó, ta cũng thấy rằngviệc giải các phương trình tuyến tính là thuận lợi hơn và được nghiêncứu nhiều hơn Vì vậy, việc đưa các bài toán phi tuyến về các bài toántuyến tính được nhiều nhà khoa học quan tâm Đã có những côngtrình nghiên cứu về vấn đề này mà kết quả của nó được ứng dụngrộng rãi trong toán học và nhiều nghành khoa học khác Có thể kểđến một số nhà khoa học nổi tiếng trong lĩnh vực này như Newton,Raphson, Kantorovich, Richard Bellman

Để thuận tiện cho việc giải quyết những bài toán mà việc xử lýtrực tiếp gặp nhiều khó khăn, hạn chế, đặc biệt là các bài toán quy

về việc giải phương trình phi tuyến, tôi lựa chọn đề tài "PHƯƠNGPHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢIXẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTHƯỜNG CẤP HAI"

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu các bài toán phi tuyến

+ Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán phi tuyến.+ Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào một trong các bàitoán phi tuyến thường gặp: Bài toán biên đối với phương trình

vi phân thường cấp hai

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Giải một lớp các bài toán phi tuyến bằng cách quy về bài toántuyến tính và cụ thể hóa qua việc giải xấp xỉ bài toán biên đốivới phương trình vi phân thường cấp hai

+ Áp dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình viphân thường cấp hai

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp

xỉ bài toán phi tuyến

+ Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên đối với phương trình vi phânthường cấp hai

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán biên phi tuyến.+ Sử dụng tính xấp xỉ nghiệm của bài toán tuyến tính so với bàitoán phi tuyến tương ứng

6 Dự kiến đóng góp mới

+ Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải bài toán biênđối với phương trình vi phân thường cấp hai

số y = f (x) có đạo hàm tại x = x0 và viết:

Số hạng f0(x0).∆x trong tổng trên được gọi là vi phân của hàm số

y = f (x) tại điểm x0 và được kí hiệu là dy, nghĩa là:

dy = f0(x0).∆x

Ý nghĩa của công thức (1.3):

i) Tính gần đúng giá trị f (x0 + ∆x) khi biết f (x0), f0(x0) và ∆xii) Xét công thức (1.3):

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) = f0(x0).∆x + o(∆x)Với ∆x đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ như sau:

f (x0 + ∆x) − f (x0) ∼= f0(x0).∆xhay là:

f (x0 + ∆x) ∼= f (x0) + f0(x0).∆x

1.2 Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến

tính

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng:

Ta thấy y = 0 cũng là nghiệm của (1.5) Nghiệm này có thể nhậnđược từ (1.8) khi c = 0.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) có dạng:

y = c.e−R p(x)dx, c ∈ R (1.9)

Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất, ta

áp dụng phương pháp biến thiên hằng số, cụ thể như sau: trong (1.9)

ta coi c là hàm số của x : c = c(x) và tìm cách chọn c(x) sao cho biểuthức:

y = c(x).e−R p(x)dx, c ∈ R (1.10)thỏa mãn phương trình (1.4) Thay (1.10) vào (1.4) ta có:

c0(x).e−R p(x)dx − c(x)p(x)e−R p(x)dx + p(x)c(x)e−R p(x)dx = q(x) (1.11)

Từ đó suy ra:

c(x) =

Z(q(x)e−R p(x)dx)dx + c (1.12)Thay c(x) từ (1.12) vào (1.10) ta được nghiệm tổng quát dạng (1.9)của phương trình tuyến tính không thuần nhất

1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một códạng tổng quát:

tục trên khoảng (a; b) thì hệ (1.14) có thể viết dưới dạng véc tơ:

1, y20, , yn0) ∈ Rn, tồn tại duy nhấtnghiệm:

Y (x) = (y1(x), y2(x), , yn(x))của hệ (1.14), xác định trên khoảng (a; b) và thỏa mãn điều kiện banđầu:

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, , yn(x0) = yn0

1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tínhđịnh chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R kí hiệu là k ◦ k,thỏa mãn các tiên đề:

Định nghĩa 1.5 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy cơ bản nếu: lim

m,n→∞ k xm − xn k= 0Định nghĩa 1.6 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banachnếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định

chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P (P = R hoặc P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Ygọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện:

i) A(x + x0) = Ax + Ax0, ∀x, x0 ∈ X

ii) Aαx = αAx, ∀x ∈ X, ∀α ∈ P

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tửtuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếutồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho:

k Ax k≤ c k x k, ∀x ∈ XĐịnh nghĩa 1.9 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gianđịnh chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhấtthỏa mãn :

k Ax k≤ c k x k, ∀x ∈ Xđược gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu là k A k

lim

khk→0

k α(h) k

k h k = 0thì ta nói ánh xạ f khả vi mạnh (hay khả vi Fréchet) tại điểm

x0, Ah được gọi là vi phân của f tại x0, kí hiệu là df (x0, h))

Ánh xạ f0(x0) : X → Y sao cho h 7→ df (x0, h) được gọi là đạo hàm

Chứng minh Cho A là một tập mở trong không gian Banach X, toán

Chứng minh Giả sử A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục, cùng làđạo hàm của toán tử f : X → Y tại x, nghĩa là với mọi h ∈ X, ta có:

A(k) − B(k)

k k k =

A(εk) − B(εk)

k εk kkhi ε → 0 thì εk → 0 nên vế phải phương trình này dần tới 0, suy raA(k) = B(k), ∀k ∈ X hay A ≡ B

Định lý 1.3 Cho X, Y là những không gian Banach thực Nếu g :

X → Y khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z khả vi Fréchet tại

y = g(x) ∈ Y thì φ = f ◦ g khả vi Fréchet tại x và:

φ0(x) = f0[g(x)].g0(x)Chứng minh ∀x, h ∈ X ta có:

φ(x + h) − φ(x) = f [g(x + h)] − f [g(x)]

= f [g(x + h) − g(x) + g(x)] − f [g(x)]

= f (d + y) − f (y), trong đó d = g(x + h) − g(x)

Do đó: k φ(x + h) − φ(x) − f0(y)d k= o(k d k) trong biểu diễn của:

k d − g0(x).h k= o(k h k)

Suy ra:

k φ(x + h) − φ(x) − f0(y)g0(x)h k= o(k h k) + o(k d k)

Khi đó g liên tục tại x Theo định lý 1.4 ta có k d k= o(k h k), suyra:

Ví dụ 1.3 Nếu f : Rn → Rn, x0 = (x01, x02, , x0n), h = (h1, h2, , hn) ∈

Rn, f (x) = (f1(x), f2(x), , fn(x)) thì vi phân Fréchet của f tại x0 là:

Tổng quan về phương pháp tựa

tuyến tính hóa

2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đối với không gian

Xấp xỉ tiếp theo thu được bởi việc giải phương trình tuyến tínhbiến x:

f (x0) + (x − x0)f0(x0) = 0 (2.3)Phép xấp xỉ thứ hai:

Ta khẳng định

|xn+1− r| ≤ k|xn − r|2 (2.7)trong đó k không phụ thuộc vào n, với giả thiết hợp lí của f00(x)

Để thấy được điều này, ta viết:

xn+1− xn = (xn− xn−1)f (xn−1)f

00(xn−1)[f0(xn−1)]2 + (xn − xn−1)2

xn+1− xn = (xn− xn−1)2. f00(xn−1)

f0(xn−1) +

ϕ0(θ)2



(2.14)

Do đó:

|xn+1 − xn| ≤ k1.|xn − xn−1|2 (2.15)trong đó:

i

(2.16)Quan hệ trong (2.15) cũng được gọi là "hội tụ bình phương"

2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đối với không gian đa

chiều

2.1.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp

Cho hệ phương trình phi tuyến :

Để thuận lợi, ta giải (2.20) đối với ẩn ∆x(0) = x − x(0), sau đó tính

x1 = x(0)+ ∆x(0) Như vậy ta đã thay hệ phương trình fi(x) = 0, (i =

1, n) bởi hệ phương trình (2.20) đơn giản hơn nhiều, vì (2.20) tuyếntính đối với x

Nếu x(m) tìm được thì x(m+1) tính theo công thức: x(m+1) = x(m)+

∆x(m), vectơ số gia ∆x(m) = (∆x(m)1 , ∆x(m)2 , , ∆x(m)n ) tìm được từ hệ:

F (xm) + J (xm)(∆xm) = 0 (2.21)hay chính là hệ:

Cho hệ phương trình phi tuyến:

Nếu (x01, x02, , x0n) là bước xuất phát của phương pháp, tức là xấp

xỉ ban đầu nghiệm của (2.23) thì (x01+ h1, x02+ h2, , x0n+ hn) là xấp xỉtiếp theo của nghiệm Để tìm h1, h2, , hn ta viết hệ (2.23) dưới dạng:

Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

được gọi là ma trận Jacobian của hệ phương trình phi tuyến (2.24)tại điểm x0 Nếu tồn tại J−1(x0) thì nghiệm h1, h2, , hn của hệ (2.23)tìm được theo công thức:

2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich

2.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp

P (x0) − P (x) = P (x0)

và vì thế ta có:

P (x0) − P (x∗) = P (x0)trong đó x∗ là nghiệm của phương trình (2.28) Giá trị P (x0) − P (x∗)được thay thế bởi giá trị gần đúng P0(x0)(x − x∗) Có thể suy luậnrằng nghiệm của phương trình :

P0(x0)(x0 − x) = P (x0) (2.29)

sẽ gần nghiệm x∗ Vì vậy xấp xỉ đầu tiên x1 được chọn là nghiệm củaphương trình trên, tức là:

P0(x0)(x0 − x1) = P (x0)Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ cácphương trìnhtuyến tính:

P0(xn)(xn− x) = P (xn), n = 0, 1, 2,

Trong đó xn là nghiệm của phương trình (2.29) Nếu tồn tại [P0(xn)]−1thì:

xn+1 = xn − [P0(xn)]−1.P (xn), n = 0, 1, 2, (2.30)Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên gọi là phương phápNewton - Kantorovich

Nếu dãy {xn} hội tụ đến x∗ và x0 được chọn gần x∗ thì các toán tử

P0(xn) và P0(x0) sẽ gần nhau Điều đó làm cơ sở cho việc thay thếcông thức (2.30) bằng công thức sau, đơn giản hơn:

yn+1 = yn− [P0(x0)]−1.P (yn) n = 0, 1, 2, (2.31)Phương pháp xây dựng dãy {yn} như trên được gọi là phương phápNewton - Kantorovich cải biên

2.2.2 Một số định lý của phương pháp Newton - KantorovichĐịnh lí 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) Toán tử P được xác định trong S và có đạo hàm cấp hai P00(x)liên tục trong S;

2) Hàm số ψ(u), (u0 ≤ u ≤ u0) hai lần khả vi liên tục;

3) Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Γ0 = [P0(x0)]−1;

4) c0 = −1

ψ(u0) > 0;

5) k ψ0P (x0) k≤ c0ψ00(u0);

6) k ψ0P00(x0) k≤ c0ψ(u) nếu k x − x0 k≤ u − u0 ≤ r;

7) Phương trình:

có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u0; u0]

Khi đó dãy xấp xỉ xây dựng theo phương pháp Newton - torovich cải biên (2.31) hội tụ đến nghiệm của phương trình (2.28).Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức:

Kan-kyn− x∗k ≤ u − vn (2.33)trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2.32); vn được xácđịnh bởi các đẳng thức:

vn = vn−1+ c0ψ(vn−1), n = 1, 2, ; v0 = u0 (2.34)Chứng minh Ta đưa vào một số kí hiệu:

A(x) = x − Γ0P (x)ϕ(u) = u + c0ψ(u)Khi đó các phương trình (2.28) và (2.32) có thể thay bằng cácphương trình tương đương:

Do đó đó từ điều kiện 5) suy ra:

kA(x0 − x0)k ≤ ϕ(u0) − u0

Dễ dàng kiểm tra được rằng:

A0(x) = I − Γ0P0(x), A00(x) = −Γ0P00(x)trong đó I là toán tử đơn vị Vì vậy:

Áp dụng định lí 2.2.1 ta được định lí sau đây về tính duy nhất củanghiệm:

Định lí 2.2.2 (Tính duy nhất nghiệm) Giả sử các điều kiện củađịnh lí 2.2.1 được thỏa mãn, ngoài ra:

ψ(u0) ≤ 0Khi đó nếu phương trình (2.32) có một nghiệm duy nhất trong[u0, u0] thì phương trình (2.28) có nghiệm duy nhất Bây giờ ta chuyểnsang nghiên cứu các xấp xỉ của phương pháp Newton - Kantorovich.Định lí 2.2.3 Giả sử các điều kiện của định lí 2.2.1 được thỏa mãn,khi đó các xấp xỉ Newton - Kantorovich (2.31) hội tụ đến nghiệm củaphương trình (2.28) Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức:

kxn − x∗k ≤ u − untrong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2.32), còn un đượcxác định bởi các đẳng thức:

Mặt khác, do ψ00(u) ≥ 0, u ∈ [u0, u0] và ψ(u) > 0 nên cực tiểucủa hàm số ψ(u) không thể đạt được ở bên trái điểm u Do u0 ≤ u

và ψ0(u0) < 0 nên ψ0(u0) < 0 Thật vậy, nếu ψ0(u0) = 0 thì u0 =

tử tuyến tính liên tục, hơn nữa:

kΓ1P (x1)k ≤ c1ϕ(u1) (2.39)Trước tiên ta chứng minh rằng:

kΓ0P (x1)k ≤ c0ψ(u1) (2.40)Theo công thức Taylor mở rộng ta có:

kΓ1P (x1)k ≤ kU Γ0P (x)k ≤ kU kkΓ0P (x1)k ≤ c1

c0c0ψ(u1) = c1ψ(u1) Suy ra điều kiện 5) được thỏa mãn

Giả sử kx − x1k ≤ U − U1 Khi đó:

kΓ1P00(x)k = kU Γ0P00(x)k ≤ kU kkΓ0P00(x)k ≤ c1

c0c0ψ

00(u) = c1ψ00(u).Vậy điều kiện 6) được thỏa mãn

Điều kiện 7) cũng được thỏa mãn vì nghiệm của phương trình (2.32)thuộc đoạn [u, u0] thì nó cũng thuộc đoạn [u1, u0] vì [u, u0] ⊂ [u1, u0]Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được rằng khi chuyển từkhoảng (x1, u1) sang khoảng (x2, u2), , thì điều kiện của định lí2.2.1 không bị ảnh hưởng

Ta biết rằng:

lim

n→∞un = u

bị chặn Công thức đánh giá tốc độ hội tụ được suy ra từ định lí 2.2.1

Trong các định lí đã chứng minh ở trên, hàm số ϕ(u) chưa đượcxác định, vì vậy khi ứng dụng gặp nhiều khó khăn Để khắc phục khókhăn này ta có định lí sau:

Định lí 2.2.4 Giả sử toán tử P hai lần khả vi liên tục trong S vàthỏa mãn các điều kiện sau: