bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

HỒ CHÍ MINH Huỳnh Kim Quyên BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013... 17 CHƯƠNG 2: TÍ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Kim Quyên

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

VỚI KỲ DỊ MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Kim Quyên

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

VỚI KỲ DỊ MẠNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin và các giảng viên trường Đại học Sư phạm TP HCM đã nhiệt tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn – Người trực tiếp

chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2013

Học viên thực hiện Huỳnh Kim Quyên

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 3

CÁC KÝ HIỆU 5

CHƯƠNG 1: CÁC BỔ ĐỀ BỔ TRỢ 7

1.1 Giới thiệu bài toán 7

1.2 Bổ đề về dãy các nghiệm của bài toán bổ trợ 8

1.3 Các bổ đề về đánh giá tiên nghiệm 17

CHƯƠNG 2: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH 28

2 1 Định lí Fredholm 28

2.2 Các định lí tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh 47

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

M Ở ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn còn phát triển mạnh nhờ các công dụng của nó trong các ngành vật lý, cơ học, kỹ thuật, sinh học…Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả của hai nhà toán học R.P.AGARWAL và I.KIGURADZE trong bài báo [1] Các kết quả chính của luận văn là

các định lí về tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

u p t u − q t

=

=∑ + (1.1) với điều kiện biên

u p t u −

=

=∑ (1.10) Với n≥2 và m là phần nguyên của n/2, −∞ < < < +∞a b , ( 1)

Trong bài toán (1.1),(1.2) khi n = 2m thì các hàm số

(( , )) ( 1, , )

p ∈L a b i= m ,  2

2 2 2,2 2 ( ) n m m (( , ))

còn khi n=2m+1 thì p1 thỏa thêm điều kiện

2 1 1 lim sup ( ) ( )

t m

(( , ]) ( 1, , )

p ∈L a b i= m ,  2

2 2 2 ( ) n m (( , ])

Nội dung luận văn gồm hai chương

Chương 1: Các bổ đề bổ trợ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các bổ đề về dãy các nghiệm của bài toán bổ trợ và

bổ đề về đánh giá tiên nghiệm để làm cơ sở cho việc chứng minh các định lí tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

Chương 2: Tính giải được của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

Trong chương 2, chúng tôi tìm hiểu về các định lý dẫn đến tính chất Fredholm của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh, từ đó sử dụng các định lí này để tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

b L

2

1/ 2 2

1/ 2 2

1/ 2 2

γ ∈ − sao cho ( ) 2

( )

b m a

γ ∈ − sao cho ( ) 2

( )

b m a

ττ

CHƯƠNG 1: CÁC BỔ ĐỀ BỔ TRỢ

1.1 Gi ới thiệu bài toán

Trong chương này, chúng tôi trình bày các bổ đề bổ được trích dẫn từ bài báo [1] của hai nhà toán học R.P.AGARWAL và I.KIGURADZE để trong chương 2 sử dụng các bổ đề này chứng minh các định lí về tính giải được của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

u p t u − q t

=

=∑ + (1.1) với điều kiện biên

u p t u −

=

=∑ (1.10) Với n≥2 và m là phần nguyên của n/2, −∞ < < < +∞a b , ( 1)

Trong bài toán (1.1),(1.2) khi n = 2m thì các hàm số

(( , )) ( 1, , )

p ∈L a b i= m ,  2

2 2 2,2 2 ( ) n m m (( , ))

q t ∈L − − − a b (1.2’) còn khi n=2m+1 thì p1 thỏa them điều kiện

2 1 1 lim sup ( ) ( )

t m

(( , ]) ( 1, , )

p ∈L a b i= m ,  2

2 2 2 ( ) n m (( , ])

1.2 B ổ đề về dãy các nghiệm của bài toán bổ trợ

 2

2 2 2,2 2 (( , )) ( 1, , ), n m m (( , ))

p ∈L a b i= m q ∈L − − − a b (1.8) còn n=2m+1 các pi thỏa thêm điều kiện

1

2

0 sup ( ) ( ) : ( 1, , )

t def

u ∈C − a b và tồn tại r0là hằng số không âm sao cho

t m k t

u t dt≤r k =

∫ (1.11) Hơn nữa, nếu

u ≤r (1.13)

và ( 1) ( 1) lim k i ( ) i ( ) ( 1, , )

Hơn nữa, nếu

α > − 1 và u t( )1 =0 (1.16) hoặc

1

α< − và u t( )0 =0 (1.17) thì

( ) ( ) '( ) ,1

t

s t

→ − = (1.22) Mặt khác từ (1.20) ta có

1 2 0

(1 )2

14

+ +

Nếu  1

0 1 (( , ))

2 2

2 ( ) 2

2 ( ) 2

m

i i i

v t p t v − t

=

Λ =∑ (1.25) Giả sử các số t1, ,t n được cho như sau

1

1 1

t

→+∞∫ − − = = hội tụ đều trên (a,b) (1.30) Tương tự nếu t0∈( , )a b thì

0 lim ( )n i( k( ) ( )) 0

k t

→+∞∫ − − = hội tụ đều trên I(t0) (1.31)

với I t( ) [ , (0 = t0 a b+ ) / 2] với t0< (a+b)/2 và I t( ) [(0 = a b+ ) / 2, ]t0 với t0> (a+b)/2

(2 2 1) ( 1, , ) ( )!

m i i

: ( , )

u a b →Rlà khả vi liên tục bậc (m-1) và

( 1 ( 1) lim ( ) ( ) ( 1, , )

j

t n

n

t n t

u t u t t s u s q s ds g t

n

t s u s q s ds a t b n

Từ (1.31) và (1.39), ta có

( 1) ( 1) lim ( ) ( )

m m

i i

m r

=

= ∑ (1.49) Nếu m=1, từ điều kiện (1.8), (1.11) ta có

t

k t

t−s −q s ds

∫

1 1

2 2 1

k

t m k

m

u t ≤ρ b t− t ≤ <t b

và ( 1) ( 1) lim k i ( ) i ( ) ( 1, , )

→+∞ = = hội tụ đều trên (a,b] (1.56)

Chứng minh bổ đề 1.4 tương tự như bổ đề 1.1

1.3 Các b ổ đề về đánh giá tiên nghiệm

1 1 1

1 2 1

i i

n i m

i i

u∈C − a b là nghiệm tùy ý của bài toán (1.1) với điều kiện biên

( 1) 0 ( 1) 1

( ) 0 ( 1, , ) ( ) 0 ( 1, , )

i j

t−t − ∫ pτ τd ≤l t < ≤t t (1.61) với j∈{1, , },m l0 >0 Thì

t m t

2 2 2 0

1

( ) ( ) ( ), ( 1, , )

( ), ( 1, , ) ( ) (2 2 1)!!

t −t − ∫pτ τd ≤l t ≤ <t t (1.67) với j∈{1, , },m l0 >0 Thì

0

2 1 ( 1)

t m t

2 2 2 1

Chứng minh bổ đề 1.5

Từ

1 1 1

1 2 1

i i

n i m

i i

1 ( 1, 2)(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

ji i

( 1, 2)(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

0 1

(2 1)2

( )(2 1)!!

a m

m t

t a p t u t dt t a p t u t dt

m

l u t dt m

( ) ( ) ( ) ( )

(2 )2

( ) ( 2, , ) (2 1)!!(2 2 1)!!

i t

a

m i

m i t

(2 1)2

( )(2 1)!!

t m

m b

t a p t u t dt t a p t u t dt

m

l u t dt m

( ) ( ) ( ) ( )

(2 )2

( ) ( 2, , ) (2 1)!!(2 2 1)!!

t

i b

t

m i

m i b

t m

m i

2

2 2,2 2 0



0 1

2

2 2,2 2

0 1

0

2 ( ) 0

m

L b

i i

L t m t

2

2 ( 1) 0

1

n m m

b m

1 1

n i m

i i

n i m

i i

1(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

i i

2 1 1

(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

2 ( 1)

2 1

2 ( )

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

(2 1)2

( ) , (2 1)!!

m t a

i t

a

m i

m i t

2 2 2 0

a b

CHƯƠNG 2: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI

KỲ DỊ MẠNH.

2.1 Định lí Fredholm

Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả của chương 1 để chứng minh các định

lí về tồn tại nghiệm duy nhất của hai bài toán (1.1),(1.2) và (1.1),(1.3)

Xét bài toán thuần nhất tương ứng với bài toán (1.1),(1.2) và (1.1),(1.3) lần lượt là bài toán (1.10),(1.2) và (1.10),(1.3)

u p t u −

=

=∑ (1.10) với điều kiện biên

Bài toán (1.1),(1.2) ((1.1),(1.3)) gọi là có tính chất Fedholm trong không gian  1,

n m m

n m

m

L L

m

L L

hoặc

1/ 2, 1/ 2(( , ))

q∈L− − − a b (q∈L n m− −1/ 2,0(( , ))a b ) (2.2) thì

 2

2n 2m 2,2m 2 (( , ))

q∈L − − − a b  2

2 2 2 (q∈L n− m− (( , ]))a b (2.3)

n m m

n m

m

L L

m

L L

Hơn nữa, nếu

12

( ) ( ) '( )1

s t

(1 )/ 2 (1 )/ 2

2 (1 )/ 2

0

2

12

12

11

Nếu α > −1,

2 2,0 (( , )) 0 1

γ ∈ + (2.10) thì  2

γα

( ) ( ) ( ) ( ) (1 )

( ) ( ) ( ) ( ) (1 )

t

t t

γα

γβ

với r0 =γr hằng số dương không phụ thuộc vào q

Từ (2.19),(2.20) dễ thấy được điều phải chứng minh

Vậy chú ý được chứng minh □

1 1 1

1 2 1

i i

n i m

i i

2

t m

( ) 0 ( 1, , ) ( ) 0 ( 1, , )

i j

1/ 2 2 ( ) ( )

n m m

t m

L t

1/ 2 1/ 2 ( )

k

n m m k

t m

0

1/ 2 2 ( )

k k

t m

k k

t m

0 1

2 ( )

t m

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, 2, )

b m

với r0là hằng số không phụ thuộc vào k Cho k→ +∞, gặp mâu thuẫn 1 0≤

Vậy bổ đề được chứng minh □

1/ 2 2 ( ) ( )

k

n m m k

t m

≤

với r là hằng số không phụ thuộc vào q

Theo định nghĩa 2.1 thì bài toán (1.1),(1.2) có tính chất Fredholm

Vậy định lí được chứng minh □

1 2 1

i i

n i m

i i

2

2 2

m i i

2 1

1

01 2

Tương tự với i=2,…,m ta có

2 1

1

0 2

n

i m

a i

Vậy các điều kiện định lí 2.6 được thỏa mãn nên theo định lí 2.6 thì bài toán (1.1),(1.2) có

có tính chất Fredholm trong không gian  1,

n i m

i i

( ) 0 ( 1, , ) ( ) 0 ( 1, , )

i j

có nghiệm duy nhất trong không gian  1

(( , ])

n loc

C − a b và thỏa đánh giá

 2

2 2 0

1/ 2 2 ( ) ( )

n m

b m

L t

u ∈C − a b thỏa mãn

 2

2 2 0

1/ 2 1/ 2 ( )

n m k

b m

k

b m

k

b m

2 ( )

0

1 ( ) 1, ( 1, 2, )

n m k

b m

với r0là hằng số không phụ thuộc vào k Cho k→ +∞, gặp mâu thuẫn 1 0≤

Vậy bổ đề được chứng minh □

1/ 2 2 ( ) ( )

n m k

b m

2

n i m

i i

a

n i i

t a s a p s ds m

s a p s ds m

i a

τ τ

τ

τ

λλ

(( , )) ( 1, , )(( , )) ( 1, , )

C − a b

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh nếu  1

(( , ))

n loc

u∈C − a b là nghiệm bài toán (1.10),(1.2) (bài toán (1.10),(1.3)) thì

2 ( ) ( )

b m a

u t dt< +∞

∫ (2.46) Thật vậy, lấy t0∈( , )a b tùy ý ta có

0

1

0 1

j m a

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, , ) ( )!

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )(

t

a t m

t t t

bị chặn tại điểm b Khi đó u(m)thỏa (2.46)

Vậy định lí được chứng minh □

Chú ý: Nếu điều kiện (2.45) không thỏa thì từ ví dụ bên dưới có thể bài toán có nghiệm duy nhất trong trong không gian 1,

C − a b ) nhưng bài toán này

có tập hợp nghiệm vô hạn trong không gian  1

(( , ))

n loc

C − a b ( trong không gian 1

(( , ])

n loc

1 ( 1) ( ) 2 (2 1)!!(2 2 1)!!

1 ( ) , ( ) 0 ( 2, ) ( )n i

n n

1 ( ) 2

n

g m

λ= − (2.54)

Thì từ (2.50), (2.51) dễ thấy rằng phương trình đặc trưng

( )

n

g x =λ (2.55) chỉ có nghiệm căn thực xi (i=1,… ,n) sao cho

1 1

n m

i i

với g x0( ) 1,≡ g x k( )=x x( −1) (x k− +1), k≥1 Tuy nhiên, hệ này không có nghiệm lớn v

Do vậy chú ý rằng nếu ta xét các hàm pi(i = 1,…,m) thỏa (2.49), (2.51) thì sẽ thỏa điều kiện (2.31) (điều kiện (2.41)) của hệ quả 2.8 (hệ quả 2.11) với cách chọn

11 , 1i 21 2i 0 (i 2, , ) (m 1 , i 0 (i 2, , )),m p0i 0 (i 1, , ),m

1 1 0

1 1 0

i i

n i m

n m

i i

C − a b với điều kiện biên

( 1)

( ) 0 ( 1, , )

i

u − a = i= m Hàm này thỏa mãn điều kiện biên (1.2) (điều kiện (1.3)) nếu c1, ,c n m− là nghiệm của

phương trình đại số

1 1 1

1 2 1

i i

n i m

i i

Theo định lí 2.6 và từ điều kiện (2.62),(2.63) thì bài toán (1.1),(1.2) có tính chất Fredholm

Vậy để chứng minh định lí 2.14, ta chứng minh rằng bài toán thuần nhất (1.10),(1.2) trong không gian  1,

s t m

Hơn nữa, theo bổ đề 2.15 ta có

lim inf n( ) 0, lim inf n( ) 0

→ = → = (2.65)

Từ điều kiện (2.62) và theo bổ đề 1.6, 1.7 ta có

( 1, 2)(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

1 2 1

i i

n i m

i i

−

− +

− ≤ = (2.68) hầu khắp nơi trên ( , )a t0 và

− − ≤ = (2.69) hầu khắp nơi trên( , )t b0

τ

τ

λλ

1 1

n i m

i i

Từ điều kiện (2.72), (2.73) và theo định lí 2.9 thì bài toán (1.1),(1.3) có tính chất Fredholm

Vậy để chứng minh định lí 1.11, ta chứng minh rằng bài toán thuần nhất (1.10),(1.3) trong không gian  1,

s t m

Hơn nữa, theo bổ đề 2.15 ta có

lim inf n( ) 0, lim inf n( ) 0

→ = → = (2.74) Theo bổ đề 1.6, bổ đề 1.7 và từ điều kiện (2.70), ta có

2 1 1

m i m

i i

(2 2 1)!!(2 1)!!

m i m

Khi đó ta có

2 ( ) 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t m

s m

2

n i m

i i

−

− +

− ≤ = (2.76) hầu khắp nơi trên (a,b) Thì với mỗi 2

C − a b ( trong không gian  1

(( , ])

n loc

C − a b

K ẾT LUẬN

Luận văn đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Nội dung của luận văn chủ yếu được trích từ [1], [9] và [10] Nội dung chính của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Luận văn đã xây dựng các bổ đề về dãy các nghiệm của bài toán bổ trợ và các bổ đề về đánh giá tiên nghiệm Kết quả chính của chương này là các bổ đề 1.1, bổ đề 1.4, bổ đề 1.5, bổ đề 1.9

Chương 2: Luận văn đã áp dụng các kết quả của chương 1 để trình bày các định lí Frelhom của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Kết quả chính các định lý 2.6, định lý 2.9 Sau đó, áp dụng các kết quả này để chỉ ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm phương trình

vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh mà các kết quả chính là định lý 2.14, định lý 2.17

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn vẫn không tránh khỏi nhiều thiếu sót Vì vậy rất mong được sự quan tâm và đóng góp ý kiến của các thầy cô trường Đại học Sư

phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, hội đồng chấm luận văn và tất cả các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của nhiều bạn đọc!

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

1 R.P.Agarwal and I.Kiguradze, Two-point boundary value problems for higher-order

linear differential equtions with strong singularities, Hindawi Publishing Corporation

Boundary Value Problems, Volume 2006, Article ID 83910, Pages 1-32

2 R.P.Agarwal, Focal boundary value problems for differential and difference equations,

Mathematics and Its Applications, vol.436, Kluwer Acadamic Publishers, Dordrecht, 1998

3 R.P.Agarwal and D.O’Regan, Singular differential and integral equtions with applications, Kluwer Acadamic Publishers, Dordrecht, 2003

4 I.T Kiguradze, On a singular boundary value problem, Journal of Mathematical Analysis

and Applications 30 (1970), no 3, 475-489

5 I.T Kiguradze, On a singular multi-point boundary value problem, Annali di Matematica

Pura ed Applicata Series IV 86(1970), 367-399

6 I.Kiguradze, Some singular boundary value problem for ordinary differential equations,

Tbilisi University Press, Tbilisi, 1975

7 I.Kiguradze, Some optimal conditions for the solvability of two-point singular boundary value problems, Functional Differential Equations 10 (2003), no 1-2, 259-281, Functional

differential equations and applications (Beer_Sheva, 2002)

8 I.Kiguradze, On two-point boundary value problems for higher order singular ordinary differential equations, Georian Academy of Sciences, A Razmadze Mathematial Institute

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics 31 (2004),101-107

9 I.T.Kiguradze and T.A.Chanturia, Asymptotic Properties of solutions of nonnautonomous ordinary differential equtions, Mathematics and Its Applications (Soviet Series), vol.89,

Kluwer Acadamic Publishers, Dordrecht, 1993, Translated from the 1985 Russian original

10 I.Kiguradze and G.Tskhovrebsdze, On two-point boundary value problems for systems

of higher-order ordinary differential equations with singularities, Georgian Mathematical

Journal 1 (2004), no.1, 31-45