BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH

Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí minh, người đã dạy dỗ, động viên, giúp đỡ tôi học tập trong thời gian học cao học và đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian quý báu đọc, góp ý và phản biện cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – Tin học hai trường, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Hội đồng Giáo viên trường CĐSP Kiên Giang đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

Nguyễn Ngọc Trác

 L  0, ,Rn- không gian các hàm vectơ : Rx Rn có các thành

phần khả tích trên  0, với chuẩn  

 L Rn - không gian các hàm vectơ tuần hoàn : Rx Rn có các

thành phần khả tích trên  0, với chuẩn  

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý,

cơ học, kinh tế, nông nghiệp, … Đặc biệt, bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm càng đạt được nhiều kết quả bắt đầu từ năm 1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I.T Kiguradze, B Puza, … cho hệ phương trình vi phân hàm tổng quát Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

4 Phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận văn là tài liệu tham khảo cho tất cả mọi người quan tâm đến lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

6 Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Đây là chương cơ sở của luận văn, nội dung chính của chương là nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Chương 2: Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Ở chương này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính và áp dụng các kết quả đó đối với hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch

Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH

trong đó p C I:  ,Rn L I ,Rn và l C I:  ,RnRn là các toán tử tuyến

tính bị chặn, q L I  ,R ,n I  a b, và c0Rn Trường hợp riêng của điều

kiện (1.2) là điều kiện đầu

Nghiệm của (1.1), (1.2) là một hàm vectơ :x I Rn liên tục tuyệt đối

thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2)

Các trường hợp riêng của bài toán (1.1), (1.2) là các bài toán về sự tồn

tại nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch

trong đó P L I  ,Rn n , q0L I ,R , :n  I R là hàm đo được và

trong đó I là hàm đặc trưng của I

1.2 Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Xét bài toán (1.1), (1.2) cùng với bài toán thuần nhất tương ứng

Xuyên suốt mục này chúng ta sẽ giả thiết:

(i) p C I:  ,RnL I ,Rn là một toán tử tuyến tính sao cho tồn tại

hàm : I Rkhả tích thỏa

      C

p x t  t x với t I x C I ,   ,Rn (ii) l C I:  ,RnRn là toán tử tuyến tính bị chặn

(iii) q L I  ,R ,n c0Rn

Chú ý:

Từ điều kiện (i) ta suy ra p là toán tử tuyến tính bị chặn

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 1.1. Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán

thuần nhất tương ứng (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Mặt khác, từ (i)-(iii) và (1.12), ta có : Bf B là toán tử tuyến tính

compact Do đó theo định lý Fredholm cho phương trình toán tử thì điều kiện

cần và đủ để phương trình (1.13) có nghiệm duy nhất là phương trình toán tử

 



chỉ có nghiệm tầm thường Tuy nhiên, điều đó tương đương với bài toán

thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Lấy tùy ý một điểm cố định t0 Ta định nghĩa dãy các toán tử I

thỏa với mọi x là nghiệm của (1.10), (1.20)

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

tiếp tục quá trình trên ta được:

c l p x Thay vào (1.19) và theo (1.17) ta có:

Vậy x t 0 Định lý được chứng minh

Hệ quả 1.3. Giả sử tồn tại số nguyên dương m , số nguyên m0 không âm và

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x t 0 0

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất

Trong hệ quả 1.3, với điều kiện r A  , dấu bằng không thể xảy ra 1

Thật vậy, xét hệ phương trình vi phân

Hệ quả 1.4 Giả sử tồn tại các số nguyên không âm m , m và ma trận 0

m m

L L

thỏa với mọi x là nghiệm của hệ (1.10) với điều kiện đầu x t 0  0

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất

1

L L

Mặt khác

m L

Trong điều kiện (1.23) dấu bằng cũng không thể xảy ra Thật vậy, ta xét

bài toán thuần nhất

Hệ quả 1.5 Giả sử tồn tại số tự nhiên i sao cho ma trận

 

1

b i

j i

Để chứng minh hệ quả trên ta cần kiểm tra các điều kiện của định lý 1.2

được thỏa với l x     x b x a k i,  2, m và 1 m0  0

Thật vậy, từ (1.28), (1.29) và (1.15), (1.16) suy ra B i   k,

    

b

C C

thỏa với mọi x nghiệm của bài toán (1.10), (1.20), trong đó G là ma trận 0

Green của bài toán (1.30), (1.20) và ARn n là ma trận thỏa r A  1

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

Chứng minh

Theo định lý 1.1, ta cần chứng minh bài toán (1.10), (1.20) với giả thiết

của định lý 1.6 chỉ có nghiệm tầm thường

Giả sử x là một nghiệm tùy ý của (1.10), (1.20) Khi đó vì (1.30), (1.20)

chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán

với điều kiện biên (1.20) có nghiệm duy nhất và do G là ma trận Green của 0

bài toán (1.30), (1.20) nên ta có:

Khi đó kết hợp với điều kiện A không âm, r A  ta suy ra 1 x C  0

Hệ quả 1.7 Giả sử tồn tại một ma trận hàm P0I,Rn n  sao cho

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất

Hệ quả 1.8 Giả sử tồn tại ma trận hàm P0I,Rn n  thỏa (1.32) và ma trận

bao hàm bất đẳng thức (1.31) Khi đó tất cả các giả thiết của định lý 1.6 được

thỏa mãn Do vậy hệ quả được chứng minh

1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra

Trong mục này, ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1),

(1.2) khi p là toán tử Volterra

Định nghĩa 1.9 Toán tử p được gọi là Volterra tương ứng với t0I nếu với

mọi t I và x C I  ,Rn thỏa mãn điều kiện

Bổ đề 1.10 Nếu p C I:  ,RnL I ,Rn là một toán tử Volterra tương ứng

với t0I thì các bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x C I  ,Rn:

k

t t t

  với t I k  1,2,  (1.37) trong đó  là hàm trong điều kiện (i), p k : C I ,RnC I ,Rn k 1,2, 

là các toán tử được cho bởi các đẳng thức (1.15)

Bây giờ ta sẽ chứng minh (1.37) bằng quy nạp: Theo (1.15) và (1.36) ta có:

k

t t t

Vậy ta được (1.37) Bổ đề được chứng minh

Từ bổ đề trên ta có ngay kết quả sau:

Bổ đề 1.11 Nếu toán tử p là Volterra tương ứng với t0 thì toán tử I E p 1

là khả nghịch và

 1 1

0

k k

Định lý 1.12 Giả sử p là toán tử Volterra tương ứng với t Khi đó bài toán 0

(1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên dương

p x  A x với x C I  ,Rn

Chứng minh

Điều kiện đủ của định lý được suy ra từ định lý 1.2, ta chứng minh điều

kiện cần như sau:

Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có một nghiệm duy nhất, khi đó bài toán

   

0

i i

C C

p x  A x với x C I  ,Rn

trong đó RA n n là một ma trận với các phần tử 1

2n thỏa r A  Định lý 1được chứng minh

1.2.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét các bài toán sau

Với mỗi toán tử bị chặn g C I:  ,RnL I ,Rn, ta ký hiệu chuẩn của

nó là g và M là tập các hàm vectơ liên tục tuyệt đối : g y I Rn được biểu

diễn bởi

    t   

a

trong đó :z I Rn là hàm vectơ liên tục bất kỳ sao cho z C  1

Bổ đề 1.13 Giả sử bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường và dãy

các toán tử p và k l k k  1,2,  thỏa mãn các điều kiện

vectơ :z I Rn liên tục tuyệt đối ta có:

   0, 0 1, 

k C

trong đó

dương  k m m1 và dãy các hàm vectơ : Rn  1,2, 

m

z I  m liên tục tuyệt đối sao cho

Từ (1.54) và theo (1.57), (1.58) ta có dãy  y0m m1 là đồng liên tục Vì

vậy, theo bổ đề Ascoli – Arzela, không làm mất tính tổng quát, ta có thể xem

dãy y0m m1 là hội tụ đều Đặt

Như vậy y là một nghiệm bài toán (1.10 0), (1.20) Mâu thuẫn với giả thiết bài

toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường Bổ đề được chứng minh

Định lý 1.14 Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất x , dãy

các toán tử p và k l k k  1,2,  thỏa các điều kiện (1.43), (1.44)

Giả sử với mọi hàm :y I Rn liên tục tuyệt đối ta có

Khi đó tồn tại một số nguyên dương k sao cho bài toán (1.10 k), (1.2k)

cũng có nghiệm duy nhất x với mỗi k k k và 0

lim k C 0

k x x

Chứng minh

Giả sử k là số nguyên dương trong bổ đề 1.13 Khi đó theo bổ đề này, 0

với mỗi k k bài toán thuần nhất 0

chỉ có nghiệm tầm thường hay theo định lý 1.1 bài toán (1.1k), (1.2k) có

nghiệm duy nhất, giả sử là x k

Hệ quả 1.15 Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất x và với mọi

hàm vectơ :y I Rn liên tục tuyệt đối ta có

     

t k k

và tồn tại hàm : I R khả tích sao cho các bất đẳng thức sau đúng hầu

khắp nơi trên I với mọi y C I  ,Rn:

      1,2, 

Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho bài toán (1.10 k), (1.2k) cũng

có nghiệm duy nhất x thỏa (1.63) với mỗi k k k 0

Do đó từ (1.64), (1.65) suy ra (1.60), (1.61)

Theo định lý 1.14, để chứng minh hệ quả ta chỉ cần chứng minh điều

kiện (1.43) Giả sử trái lại điều kiện (1.43) không đúng Khi đó tồn tại số

Do đó, dãy  y m m1 là đồng liên tục Vậy không mất tính tổng quát, ta có thể xem  y m m1 là hội tụ đều Đặt

1.3 Các trường hợp riêng của bài toán biên tổng quát

1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Theo chú ý được nêu trong phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể

được viết lại thành dạng (1.1), (1.2), trong đó toán tử p và hàm vectơ q được

cho bởi đẳng thức (1.10) và (1.11) và hàm 0 được cho bởi đẳng thức (1.9)

Do đó, định lý 1.1 cho bài toán (1.5), (1.6) có dạng dưới đây:

Định lý 1.16. Bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần nhất tương ứng

tại duy nhất hàm ma trận : I Rn n sao cho các thành phần của  có biến

phân bị chặn trên I và không mất tính tổng quát ta giả sử

Từ các định lý 1.2, 1.12 và hệ quả 1.4 ta suy ra các kết quả sau:

Định lý 1.17 Giả sử tồn tại k , m là các số nguyên dương sao cho

trong đó  và k A k m, là các ma trận được cho bởi các đẳng thức (1.71)-(1.73)

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất

Định lý 1.18 Giả sử bất đẳng thức

 

 t t t t   00

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại

các số nguyên dương k và m sao cho các điều kiện (1.74) và (1.75) được

thỏa, trong đó k và A k m, là các ma trận được xác định bởi các đẳng thức

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

Hệ quả 1.20. Giả sử hàm  đơn điệu, liên tục tuyệt đối và tồn tại ma trận

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất

Định lý 1.22. Giả sử tồn tại hàm ma trận P0LI,Rn n  sao cho hệ phương

Giả sử x là một nghiệm của bài toán (1.10), (1.20), trong đó p là toán

tử được xác định bởi (1.10) Theo (1.78) ta có:

định lý 1.6 được thoả Định lý được chứng minh

Từ định lý trên, áp dụng cách chứng minh tương tự hệ quả 1.7, 1.8, ta

suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1.23. Giả sử tồn tại hàm ma trận P0LI,Rn n  sao cho

thỏa với hầu hết s, t I và

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

Hệ quả 1.24. Giả sử tồn tại hàm ma trận P0LI,Rn n  sao cho đẳng thức

(1.79) thỏa với hầu hết s , t I Giả sử ma trận

P L I  q L I c   I  là đo được,

Từ đó ta được (1.83) Bổ đề được chứng minh

Định lý 1.26 Giả sử bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất x và

k l y l y

  với y C I  ,Rn, lim 0k 0

 Giả sử tồn tại hàm :I R khả tích sao cho

     1,2, 

k

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó tồn tại số nguyên dương k0 sao cho với mỗi k k , bài toán 0

Trước hết ta nhận xét các bài toán (1.5), (1.6) và (1.5k), (1.6k) có thể

viết lại lần lượt dưới dạng (1.1), (1.2) và (1.1k), (1.2k) bằng cách đặt:

Áp dụng bổ đề 1.25, từ (1.11) và (1.95) kết hợp với (1.88)-(1.91) và

(1.92) suy ra điều kiện (1.65) và từ (1.92), (1.94) ta được bất đẳng thức (1.66)

Do đó để chứng minh định lý, áp dụng hệ quả 1.15 ta chỉ cần kiểm tra điều

lim k C 0.

k x x

Chứng minh

Với mỗi 1,2, k  , theo (1.99) thì các bài toán (1.5), (1.6) và (1.5k),

(1.6k) lần lượt tương đương với các bài toán (1.1), (1.2) và (1.1k), (1.2k), trong

đó 0,p và q được cho bởi (1.9)-(1.11),

và q k k  1,2,  thỏa mãn các điều kiện (1.43), (1.60) và (1.61)

Vì vậy theo (1.103) thì điều kiện (1.43) thỏa

Với mọi hàm :y I Rn hàm liên tục tuyệt đối tùy ý, ta đặt

 

b C a

y dy  s

Khi đó do (1.104) ta được

   

t k a

 

b C a

Chương 2: BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH

Một hàm vectơ : Rx Rn được gọi là nghiệm tuần hoàn của hệ

(2.1) (hay của hệ (2.2)) nếu nó liên tục tuyệt đối, tuần hoàn với chu kỳ , tức

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng p C:  Rn L Rn là một

toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện (2.3), P, q và  thỏa các điều kiện

và đặt

        

0

p x t  p v x t với t 0, (2.9) Khi đó v : C  0, ,RnC Rn là toán tử tuyến tính bị chặn và do đó

theo (2.3), (2.8) ta có    n    n

p C   L  là một toán tử tuyến tính thỏa

    

p x t  t x với t 0, , x C   0, ,Rn

trong đó 0 t 3 t Khi đó ta có nhận xét sau:

Giả sử x là nghiệm tuần hoàn tùy ý của hệ (2.1) Khi đó dựa vào

(2.8) và (2.9), thu hẹp của x trên  0, là nghiệm của bài toán giá trị biên

tuần hoàn