toàn văn Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng

và giải tích số phương pháp phần tử hữu hạn,phương pháp Wavelet,....Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuấthiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——oo——

LÊ XUÂN TRƯỜNG

KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

TRONG KHOA HỌC ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 62 46 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS NGUYỄN THÀNH LONG

2 GS TS ALAIN PHẠM NGỌC ĐỊNH

TP Hồ Chí Minh- 2009

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

Lê Xuân Trường

i

Qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn ThànhLong và GS TS Alain Phạm Ngọc Định Các Thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và tậntình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học.

Tôi cũng xin cảm ơn TS Lê Thị Phương Ngọc đã đọc và góp một số ý kiếnhữu ích giúp tôi hoàn thành luận án này

Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là các thành viên trong các Hộiđồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia phảnbiện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh giá và bình luậnquí báu cùng với những đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốtluận án

Tôi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giảitích và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố HồChí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thànhluận án

Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy Trần Minh Thuyết

và thầy Lê Khánh Luận đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc xin hoạt học thuật củanhóm chúng tôi

Cuối cùng, tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị đồng nghiệp đã quantâm giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua

******************************

ii

DANH SÁCH KÝ HIỆU 1

GIỚI THIỆU 3

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU 13

1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi tuyến 13

1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến 15

1.1.2 Sự hội tụ bậc cao 27

1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính 30

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 31

1.2.2 Tính chính quy của nghiệm 35

1.2.3 Tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm 42

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN RIÊNG PHI TUYẾN 47

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 48

2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi η → 0+ 64

2.3 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số K, λ và η 71

2.4 Tính chất tắt dần theo hàm mũ 77

CHƯƠNG 3 NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 86

3.1 Một số ký hiệu và kết quả ban đầu 87

3.2 Sự tồn tại nghiệm dương 91

3.3 Tính compắc của tập nghiệm dương 96

KẾT LUẬN 99

iii

PHỤ LỤC 102

A Không gian Sobolev một chiều 102

B Không gian phụ thuộc thời gian 104

C Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert 105

D Một số bất đẳng thức cơ bản 105

E Một số kết quả kết quả khác 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

Các không gian hàm

h·,·i Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L2(Ω)

C0(Ω) ≡ C(Ω) Không gian các hàm số u :Ω → R liên tục trên Ω

Cm(Ω) Không gian các hàm u ∈ C0(Ω)sao cho Diu ∈ C0(Ω)

với mọi i =1, 2, , m

Cm(Ω) Không gian các hàm u ∈ Cm(Ω)sao cho Diubị chặn và

liên tục đều trênΩ

m = 0Cm(Ω)

C0∞(Ω) Không gian các hàm u ∈ C∞(Ω)có giá compắc

Lp = Lp(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R

thỏakukp = RΩ|u(x)|pdx
1/p < ∞, với 1≤ p< ∞

L∞ = L∞(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn cốt yếu

u : Ω →R với chuẩnkukL∞ =ess supx∈Ω|u(x)| < ∞

Wm,p = Wm,p(Ω) Không gian các hàm u ∈ Lp sao cho các đạo hàm suy

rộng Diu∈ Lp, 1≤ i ≤ m

W0m,p = W0m,p(Ω) Bao đóng của C0∞(Ω)trong không gian Wm,p

Hm = Hm(Ω) Wm,2(Ω)

k · k∗ Chuẩn tương đương trong H1 (Xem Phụ Lục A.4)

a(u, v) Dạng song tuyến tính trên H1×H1 (Xem Phụ Lục A.4)

C([0, T]; X) Không gian các hàm liên tục u : [0, T] → Xvới chuẩn

kukC([0,T];X) =max0≤t≤Tku(t)kX <∞

Lp(0, T; X) Không gian các hàm đo được u : [0, T] → X sao cho

kukLp ( 0,T;X ) = R0Tku(t)kXpdt1/p < ∞, khi 1≤ p <∞,

vàkukL∞(0,T;X) =ess sup0≤t≤Tku(t)kX < ∞

W1(T) Không gian Banach các hàm u∈ L∞ 0, T; H1
sao cho

ut ∈ L∞ 0, T; L2
với chuẩn xác định bởi

kukW

1 ( T ) = kukL∞(0,T;H1) + kutkL∞(0,T;L2 )

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạohàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và ápdụng Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, , và đãđược nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học Quá trình tìm kiếmlời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kếtquả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểmbất động, lý thuyết nửa nhóm, ) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn,phương pháp Wavelet, ).

Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuấthiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn

[2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăngtrên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J L Lions[53, 54], H.Brezis [17, 19], F E Browder[20, 21], Số lượng các tạp chí có công bố các kếtquả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chíchuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhàxuất bản Hindawi Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình viphân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được

sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước

Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phươngtrình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhaunhư phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơnđiệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, Tuy nhiên, nói chung, chúng

ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phituyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng Việc lựa chọn phương pháp thích hợp

để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng Chính vì vậy, vấn đề

3

khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và

có ý nghĩa thực tiễn

Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứumột số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phươngtrình vi tích phân Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung cótrong luận án

Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóng mộtchiều Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 -1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé củamột sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định Mô hình toán học cho bài toán này, doD’Alembert đề nghị, có dạng

đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với haiđầu cố định được xác định bởi phương trình

∂2u

∂t2 = P0+ Eh

2L

Z L 0

Bài toán 1.Chúng tôi khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình

Kirchhoff phi tuyến

utt−µt,kuk22,kuxk22uxx = f(x, t, u), (x, t) ∈ Ω× (0, T), (3)kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

[75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quanđến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3)

Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63,

64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh

sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hoặc bậc hai về nghiệm địa phươngcủa các mô hình tương ứng, trước hết chúng tôi xây dựng một dãy lặp phi tuyến{um}m∈Z+ xác định bởi u0 = 0 và với mọi m ∈ N, um là nghiệm của phươngtrình

∂if

∂ui(x, t, um− 1) (um −um−1)i, (6)thỏa các điều kiện (4)−(5) Sự tồn tại của dãy {um}m∈Z+ như thế được chứngminh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm

và lý luận compắc Khi đó, nếu µ ∈ C1 R3

+
và f ∈ CN ([0, 1] ×R+×R), chúng

tôi chứng minh dãy{um} hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán (3)−(5) vớitốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa như sau

kum−ukL∞(0,T;H1) + ku·m−uk· L∞(0,T;L2 )

≤ Ckum−1−ukL∞(0,T;H1) + ku·m−1−u·kL∞(0,T;L2)N, (7)

với mọi m≥ 1, trong đó C là một hằng số không phụ thuộc m.

Kết quả trên đây đã được công bố trong[T5] Ngoài ra, sử dụng phương phápnày, chúng tôi cũng thu được những kết quả tương tự cho một số mô hình khác,

đã được công bố trong[T7, T8, T9]

Bài toán 2.Một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loạihai điểm được quan tâm nghiên cứu Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau

Để giải quyết những khó khăn xuất phát từ điều kiện biên chúng tôi sử dụngmột bất đẳng thức liên quan đến dạng toàn phương ( xemPhụ lục D.5) Nhờ đó,

sự tồn tại duy nhất và tính chính quy của nghiệm toàn cục được chứng minh vớicác giả thiết thích hợp Ngoài ra, chúng tôi cũng thiết lập một kết quả về tính chấttắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng phương pháp Lyapunov Các kết quả nàyđược công bố trong[T6]

Nội dung thứ hai của luận án, được trình bày trong chương2, đề cập đến mộtbài toán biên xuất hiện trong lý thuyết dao động của các vật liệu đàn hồi nhớt.

Mô hình mà chúng tôi nghiên cứu có dạng

trong đó ψr(z) = |z|r−2z; K, λ, η ≥ 0; p, q ≥ 2 là các hằng số và u0, u1, f , g là cáchàm số cho trước

Trong tài liệu chuyên khảo [89], các tác giả đã phân loại và trình bày nhiềukết quả liên quan đến những mô hình toán học mô tả chuyển động của các vậtliệu đàn hồi nhớt Nói chung, những kết quả đó tập trung vào một số vấn đề như

sự tồn tại nghiệm địa phương, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm toàn cục, dángđiệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞, , bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn,phương pháp năng lượng, phương pháp nửa nhóm,

Sử dụng các đánh giá năng lượng kết hợp với tính chất của nhân xác địnhdương mạnh (xem [94, 95]), Dafermos và Nohel [32] đã chứng minh sự tồn tạinghiệm toàn cục của phương trình

utt = φ(ux)x+

Z t

0 k0(t−s)ψ(ux(s))xds+ f(x, t), (x, t) ∈ Ω×R+, (15)kết hợp với các điều kiện biên loại Dirichlet và các điều kiện đầu (14) Điểm đánglưu ý trong kết quả này là giả thiết về tính xác định dương mạnh của k, k0 và k00.Tính chất này đã được sử dụng bởi nhiều tác giả trong việc khảo sát các phươngtrình tích phân và vi tích phân dạng Volterra (xem[31, 48, 94] )

Tính xác định dương mạnh còn được sử dụng cho các phương trình vi tíchphân bậc phân số Chẳng hạn như, trong [77], Messaoudi, Houari và Tatar đãchứng minh sự tồn tại toàn cục cũng như tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm

của bài toán

utt−∆u+

Z t

0 g(t−s)∆u(s)ds = |u|γu, trong U× (0,+∞), (19)

kết hợp với các điều kiện biên Dirichlet, trong đó hàm g thỏa các điều kiện yếuhơn trong [26].

Tiếp thu một số ý tưởng từ các kết quả trên vào bài toán (12)−(14), trướchết chúng tôi chứng minh hai kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệmvới các giả thiết về nhân k yếu hơn trong [10, 11, 23, 24, 25, 26] Đầu tiên, khi

k ∈ W2,1(0, T)và(u0, u1) ∈ H2×H1, f ∈ W1,2(QT), g ∈ H2(0, T), sự tồn tại củanghiệm yếu u thỏa điều kiện

u ∈ L∞0, T; H2, ut ∈ L∞0, T; H1, utt ∈ L∞0, T; L2, (20)

được chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp vớicác đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compắc Tiếp đó, sử dụng kết quảvừa trình bày và phương pháp xấp xỉ thông qua tính trù mật, chúng tôi đã mởrộng kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu khi các dữ kiện xuất hiện trong bài toányếu hơn trường hợp nêu trên, cụ thể là, khi (u0, u1) ∈ H1× L2, f ∈ L2(QT) và

k, g ∈ H1(0, T) Tất nhiên, khi đó tính trơn của nghiệm yếu cũng giảm đi,

u0 ∈ L∞0, T; H1, u0 ∈ L∞0, T; L2∩ Lq(QT) (21)

Một vấn đề đáng lưu ý là, với các dữ kiện đầu như trong trường hợp thứ hai,

sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình(12) ứng với k = 0, kết hợp với các loạiđiều kiện biên khác nhau, thường được chứng minh bằng phương pháp đơn điệu(xem[70]) Tuy nhiên, theo chúng tôi, phương pháp này tỏ ra không phù hợp chobài toán(12)−(14)

Cũng trong trường hợp k ∈ W2,1(0, T), chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của

nghiệm khi η → 0+ và thu được một khai triển tiệm cận đến cấp N của nghiệm

bài toán nhiễu theo tham số η Kết quả này phần nào đó tổng quát hóa các kết

quả có trong[59, 61, 66, 67, 68]

Tiếp theo, cũng đề cập đến việc khai triển tiệm cận, chúng tôi xét bài toán

(12)−(14) như bài toán nhiễu theo ba tham số bé K, λ, η và tìm một khai triển

tiệm cận cho nghiệm của nó Việc khai triển tiệm cận nghiệm của các bài toánbiên theo một tham số đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả Tuy nhiên, theo

hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả liên quan đến vấn đề khai triển tiệm cậntheo nhiều nhiều tham số, đặc biệt là tìm khai triển bậc cao Để giải quyết nhữngkhó khăn gặp phải chúng tôi đã xây dựng một bổ đề liên quan đến việc tìm các

hệ số trong lũy thừa bậc cao của một đa thức nhiều biến (xem Phụ lục E, Bổ đềE.2)

Cuối cùng, với một số điều kiện bổ sung cho nhân k, tương tự trong [11],chúng tôi chứng minh tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng cách sử dụngmột phiếm hàm Liapunov thích hợp Ở đây, chúng tôi lựa chọn phương phápphiếm hàm Liapunov từ ý tưởng trong[11] Hơn nữa, phương pháp sử dụng bấtđẳng thức Nakao[81] tỏ ra không thích hợp cho bài toán của chúng tôi Kết quảnày góp phần làm phong phú thêm những kết quả nghiên cứu tính tắt dần củacác hệ thống dao động[45, 50, 73, 78, 79, 80, 85, 87, 99]

Những kết quả của chúng tôi về bài toán (12)−(14) đã được công bố tronghai bài báo[T1, T4]

Chương 3dành cho việc khảo sát sự tồn tại nghiệm dương của một bài toánbiên nhiều điểm cho phương trình vi phân cấp hai Đây là một lĩnh vực có nhữngứng dụng rộng rãi trong các ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật, chẳnghạn lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng; lý thuyết truyền nhiệt; lý thuyếtđiều khiển, Đọc giả quan tâm có thể xem[2]và các tài liệu tham khảo trong đó.Việc nghiên cứu các bài toán biên như thế đã được khởi đầu bởi các công trìnhcủa Il’in và Moiseev[49], Gupta [42] Kể từ đó, nhiều công trình liên quan đến

sự tồn tại nghiệm cũng như sự tồn tại nghiệm dương của các bài toán biên nhiềuđiểm phi tuyến đã được công bố Những công trình này sử dụng các phươngpháp khác nhau như định lý điểm bất động Leray - Schauder, các định lý vềchỉ số điểm bất động, định lý điểm bất động Krasnoselskii, định lý điểm bấtđộng Leggett - Wiliams, hoặc phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới (xem

[28, 33, 37, 41, 71, 72, 96, 100, 101, 103]và các tài liệu tham khảo trong đó)

Gần đây, Han[43] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dương của bài toán biên

Nhằm nới rộng kết quả trong [43], chúng tôi xét phương trình (22)1 kết hợpvới các điều kiện biên nhiều điểm

Ngoài phần giới thiệu và nội dung chính của luận án được trình bày trong bachương (I, II, III) như trên đã nói, luận án còn có các phần sau

1 Phần kết luận Tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng thời cũng nêu

ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

2 Phần phụ lục Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, giải tích

thực, một số bất đẳng thức cũng như vài kết quả có liên quan đến đa thức,

v v nhằm phục vụ cho các chương chính

3 Danh mục công trình của tác giả.

4 Tài liệu tham khảo.

Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án này đã được công bố trong

[T1, T3-T6] Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu ở đây cũng được áp dụng thànhcông cho một số bài toán khác và đã công bố trong[T2, T7-T9] Một phần trong

số các kết quả này đã được báo cáo tại "Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VII,Qui Nhơn 04 - 08/08/2008" và một số hội nghị khoa học khác

Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau

 Trong toàn bộ luận án, ta sử dụng các ký hiệu C0, C1 để chỉ các hằng số phụthuộc vào h0 >0, h1 ≥0 Cụ thể hơn, xem Bổ đề A.9 - Phục lục A,

 Các ký hiệu CTvà C, nếu không có giải thích gì thêm, dùng để chỉ các hằng sốdương phụ thuộc vào T và độc lập với T một cách tương ứng Các hằng số này

có thể khác nhau trong những trường hợp khác nhau

 Ta qui ước đánh số liên tục cho các định nghĩa, bổ đề, định lý và hệ quả trongkhuôn khổ từng chương bởi các nhóm ba thành phần Chẳng hạn như, ta viết

"Định lý 2.1.3" với ý nghĩa rằng đây là định lý thứ 3 thuộc chương 2, mục 1

 Việc đánh số các công thức được thực hiện một cách tương tự

BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU

Nội dung chính của chương này là khảo sát hai bài toán biên cho phươngtrình sóng một chiều Trong mục 1.1 chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm địaphương của bài toán biên cho phương trình Kirchhoff phi tuyến và chỉ ra mộtdãy lặp hội tụ bậc N về nghiệm đó Mục 1.2 đề cập đến một phương trình sóngtuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại hai điểm Chúng tôi chứng minh

sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm Ngoài ra, tính chất tắt dần của nghiệmtheo hàm mũ cũng được khảo sát với một số dữ kiện thích hợp

1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình

Kirch-hoff phi tuyến

Mục đích của chúng tôi là xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phươngcủa bài toán biên phi tuyến sau

utt−µt,kuk22,kuxk22uxx = f(x, t, u), (x, t) ∈ Ω× (0, T), (1.1.1)

ux(0, t) −h0u(0, t) = ux(1, t) +h1u(1, t) = 0, (1.1.2)u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), (1.1.3)

(iii) |D2µ(t, y, z)| ≤ µ2(1+yp−1+zp), với mọi (t, y, z) ∈ R3

+,

(iv) |D3µ(t, y, z)| ≤ µ3(1+yp+zp−1), với mọi (t, y, z) ∈ R3

+.Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệmnghiệm yếu của bài toán (1.1.1)−(1.1.3)

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi một hàm u∈ L∞ 0, T; H2
thỏa điều kiện ut ∈ L∞ 0, T; H1
,

utt ∈ L∞ 0, T; L2
là nghiệm yếu của bài toán (1.1.1)−(1.1.3) nếu

1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến

Định lý 1.1.2 Tồn tại các hằng số dương M, T, độc lập với m, sao cho nếu um−1 ∈

W1(M, T)thì bài toán biến phân(1.1.4) có nghiệm um ∈ W1(M, T).

Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước

Z t

0 ds

Z s 0

D

Fm(k)(τ), wjEdτ, (1.1.8)với j∈ {1, 2, , k}

Cho Tm(k) ∈ (0, T], ta ký hiệu Y = C0h0, Tm(k)i;Rk là không gian Banachđược trang bị chuẩnk · kY, cho bởi

DeF(τ), wjEdτ,

i

3f(x, t, um−1) (ue−um−1)i,

với ue= ∑k

j = 1cj(t)wj Khi đó, rõ ràng rằng c(mk)(t) = c(m1k)(t), c(m2k)(t), , c(mkk)(t)lànghiệm của hệ phương trình tích phân (1.1.8) trênh0, Tm(k)i khi và chỉ khi

eF(x, t) =

trong đó qj(M, T, f), j =1, , N−1, là các hằng số không phụ thuộc R và Tm(k)

Từ biểu thức của Hj(c)(t) và các đánh giá (1.1.9)−(1.1.10), ta suy ra tồn tạihằng số dương D1, độc lập với Tm(k) và R, và hằng số dương D2, độc lập với Tm(k),sao cho

Hj(c)(t) ≤ D1+D2Tm(k)2, ∀t ∈ h0, Tm(k)i, j ∈ {1, 2, , k}.

Điều này dẫn đến

kH(c)kY ≤ D1+D2Tm(k)2

Lần lượt chọn R> D1 và Tm(k) ∈ (0, T]thỏa Tm(k) ≤ q 1

D2 R−D1
, ta suy ra điềuphải chứng minh

(µec(τ) −µee(τ)) ej(τ) dτ

... kiện khảo sát Cuối cùng,mục1.2.3đề cập đến tính tắt dần nghiệm theo hàm mũ cách xây dựngmột phi? ??m hàm Liapunov thích hợp Các kết công bố trong[ T6].

1.2.1 Sự tồn nghiệm

Trong. .. Hơn nữa, cố định m trong( 1.1.68) qua giới hạn p → +∞ ta thu đánh giá (1.1.55) Cuối cùng,việc chứng minh tính nghiệm tầm thường, ta bỏ qua chứng minhnày

1.2 Bài tốn biên hai điểm cho...

1.2 Bài tốn biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính

Trong mục chúng tơi xét tốn giá trị biên - đầu cho phương trình sóngtuyến tính có dạng