siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact

Các mở rộng không gian compact có thể kể đến như: paracompact, σ −compact, realcompact, p−compact, giả compact, p−giả compact, −p compact mạnh, D−compact mạnh, ω −bị chặn, giả− −ω bị chặ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đinh Nguyễn Đông Triều

SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đinh Nguyễn Đông Triều

LỜI CÁM ƠN

Luận văn thạc sĩ này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Nguyễn Trọng Hòa Trong quá trình viết luận văn, Thầy đã nhiệt tình, tận tụy, chỉ dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn và nghiên cứu khoa học Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tôi xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào và thành công trong sự nghiệp giáo dục

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

+ TS.Nguyễn Hà Thanh, trong suốt thời gian tôi học cao học và làm luận văn Thầy đã hết sức nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở tôi học tập và làm tốt luận văn Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào, thành công trong sự nghiệp giáo dục và đạt được nhiều kết quả trong công trình nghiên cứu

+ Quí Thầy cô Phòng Sau đại học và Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong hai năm qua

+ Giáo sư Y.F Ortiz-Castillo giảng dạy tại Đại Học Auburn, tiểu bang Alabama, Hoa Kì và giáo sư Á Tamariz-Mascarúa giảng dạy tại Đại Học Benema Erita, Autônoda De Pebla, Tây Ban Nha Hai vị giáo sư đã cung cấp tài liệu quan trọng cho tôi để hoàn thành luận văn này

+ Bạn bè trong lớp Hình học và tôpô K23, bạn Lê Hoàng Lâm, Hồ Thị Thu

Hà, Nguyễn Thanh Hải, Huỳnh Phương Nam Đặc biệt là thạc sĩ Lê Anh Nhân đã chia sẽ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập và viết luận văn

Đinh Nguyễn Đông Triều

M ỤC LỤC Trang ph ụ bìa

L ời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian tôpô 4

1.2 Không gian compact 7

1.3 Lưới, lọc, các ánh xạ liên quan 9

1.4 Không gian p−compact, không gian gi ả compact, không gian p−gi ả compact, không gian ω bị chặn 12−

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN p−COMPACT MẠNH 17

2.1 Không gian p−compact m ạnh 17

2.2 Ảnh, nghịch ảnh và tích của không gian −p compact mạnh 26

CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN p −GIẢ COMPACT MẠNH VÀ 33

KHÔNG GIAN GIẢ−ω −BỊ CHẶN 33

3.1 Không gian p −gi ả compact mạnh và không gian giả−ω −b ị chặn33

3.2 Không gian p gi− ả compact mạnh và tiền thứ tự Rudin-Keisler trên



3.3 Không gian p gi− ả− −ω bị chặn và không gian hầu giả− −ω bị chặn 44

CHƯƠNG 4 KHÔNG GIAN GIẢ− −D BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN D−

COMPACT MẠNH 47

4.1 Không gian gi ả− −D b ị chặn 47

4.2 Không gian D−compact m ạnh 49

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Ind A phần trong của tập A

≤RK: bé hơn hoặc bằng theo tiền thứ tự Rudin-Keisler

≈RK: tương đương theo tiền thứ tự Rudin-Keisler

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học−tôpô là một chuyên ngành của toán học được sự quan tâm

của nhiều nhà toán học trên thế giới Ứng dụng của nó đã lan tỏa vào nhiều ngành khoa học khác nhau Như đã biết, nghiên cứu một tính chất tôpô cụ

thể mà nó bất biến qua ánh xạ như liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, đồng phôi

là một trong những bài toán cơ bản được sự quan tâm của nhiều nhà toán

học, chẳng hạn như tính compact

Những năm của thập niên 60 của thế kỉ trước cho đến nay những mở

rộng về tính chất compact là một trong những vấn đề quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới Các mở rộng không gian compact có thể

kể đến như: paracompact, σ −compact, realcompact, p−compact, giả compact, p−giả compact, −p compact mạnh, D−compact mạnh, ω −bị

chặn, giả− −ω bị chặn, giả− −D bị chặn, p−giả− −ω bị chặn, hầu giả− −ω

Năm 1975 John Ginburg và Victor Sark đưa ra khái niệm −p giới hạn

của dãy tập khác rỗng và từ đó định nghĩa không gian giả compact, p−giả compact

Năm 1993 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian p−

compact

Năm 1994 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian giả compact

và p−giả compact

Năm 1999 M.Sanchis, Á Tamariz-Mascarúa nghiên cứu mối quan hệ các không gian p− compact, p−giả compact, siêu giả compact, −p bị

chặn

Năm 2012 J.Angoa, Y Ortiz-Castillo, Á Tamariz-Mascarúa nghiên

cứu mối quan hệ không gian −p compact với không gian paracompact và không gian ω−bị chặn

Đặc biệt năm 2013 J.Angoa, Y Ortiz-Castillo, Á Tamariz-Mascarúa đưa ra các định nghĩa không gian −p giả compact mạnh, giả ω− −bị chặn,

−

D compact mạnh (Dlà tập các siêu lọc trên ), giả− −D bị chặn và tìm

thấy mối liên hệ với không gian −p compact và p−giả compact mạnh Đến đầu năm 2014 J.Angoa, Y Ortiz-Castillo, Á Tamariz-Mascarúa đưa ra những nghiên cứu sâu hơn về không gian p−giả compact mạnh,

giả ω− −bị chặn, D−compact mạnh, giả − −D bị chặn, đồng thời đưa ra định nghĩa và nghiên cứu không gian p−giả− −ω bị chặn, hầu giả− −ω bị

chặn

Như vậy, chúng ta thấy mở rộng tính compact là đề tài hấp dẫn, có tính

thời sự và được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Do đó, tôi chọn đề tài

“Siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact” làm luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Tìm hướng nghiên cứu mới về tính compact

Giải quyết một lớp bài toán tôpô tổng quát như:

+) Tính bất biến tôpô qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, toàn ánh liên tục , phép lấy tích trong không gian compact mạnh, −p compact giả mạnh, giả−ω −bị chặn, p −giả− −ω bị chặn, hầu giả− −ω bị chặn, D−

compact mạnh và giả − −D bị chặn

p−

+) Tính di truyền, tính trù mật của các tập con trong không gian compact mạnh, −p giả compact mạnh, giả−ω −bị chặn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các không gian compact mạnh, −p giả compact mạnh, giả−ω −bị chặn, p −giả− −ω bị chặn, hầu giả− −ω bị chặn, D−compact

mạnh và giả − −D bị chặn

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Trong không gian compact với cách đưa khái niệm lưới, lọc ta có thể mở

rộng khái niệm compact thành các khái niệm tổng quát hơn như

giả-compact, p − compact, p − giả compact nhằm giải quyết các bài toán tôpô tổng quát hơn

p−

p−

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và định lí, bổ đề

và làm cơ sở khoa học để trình bày các chương sau Nội dung chương này chúng tôi trình bày từ cơ bản đến chuyên sâu như sau: phần một là không gian tôpô, phần hai là không gian compact, phần ba là lưới, lọc, các ánh xạ liên quan, phần bốn là các không gian −p compact, không gian p gi− ả compact, không gian giả compact, không gian ω−bị chặn

1.1 Không gian tôpô

Tập X gọi là một không gian, những phần tử của X gọi là những điểm

của không gian X Và mọi tập con của X thuộc về  gọi là mở của không gian X Họ  của những tập con mở của X , được gọi là tôpô trên X

1.1.2 Định nghĩa

Cho X là một không gian tôpô Tập U ⊂ gX ọi là lân cận của điểm x,

x∈ nếu tồn tại tập mở X G sao cho x∈ ⊂G U

1.1.5 Định nghĩa

Tập A trong không gian tôpô X được gọi là trù mật khắp nơi nếu mọi điểm trong X đều là điểm dính của A (Nghĩa là x X∀ ∈ ,và ∀U mở chứa x ⇒ ∩ ≠ ∅U A )

1.1.6 Định nghĩa

Một tính chất P của một không gian tôpôX gọi là tính di truyền nếu mọi không gian con của X đều có tính chất P

1.1.7 Định nghĩa

Cho X và Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ : →f X Y Ánh xạ

f gọi là liên tục tại x X∈ nếu mọi lân cận V của f x trong ( ) Y tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f U( )⊂V

Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x X∈

Ánh xạ f gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và cả hai ánh xạ f , − 1

f

liên tục

1.1.8 Định nghĩa

Cho hai không gian tôpô X Y, , ánh xạ f :X →Y gọi là đóng nếu mỗi

B⊂Y và mỗi tập mở A⊂ X chứa 1( )

f − B thì tồn tại tập mở C Y⊂ sao cho 1( )

f− C ⊂ A

1.1.9 Tiên đề T0

Một không gian tôpô X được gọi là một T0 −không gian nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x x1, 2∈ X , tồn tại một tập mở chứa điểm này nhưng không chứa điểm kia

Một không gian tôpô X được gọi là một T2−không gian hay không

gian Hausdorff nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x x1, 2∈ X , tồn tại hai tập mở , ⊆U V X sao cho x1∈ U x , 2∈ V và U ∩ = ∅V

1.1.12 Tiên đề T3

Một không gian tôpô X được gọi là một T3 −không gian hay không

gian chính qui, nếu X là T1−không gian, với mỗi ∈x X và mỗi tập đóng F ⊂ X ,x F∉ , tồn tại hai tập mở U U1, 2 sao cho x U ∈ 1,F ⊂ U2

và U1∩ U2 ≠ ∅

T không gian hay không

gian Tychonoff nếu X là T1−không gian, với mọi ∈x X và mọi tập đóng F ⊂ X ,x F∉ , tồn tại một hàm liên tục f X: → I

1.2.4 Định lí

Mỗi không gian compact là chuẩn tắc

1.2.5 Định lí

Nếu tồn tại một toàn ánh liên tục : →f X Y, của không gian compact

X vào không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact

1.2.6 Định lí

Cho A là một không gian con trù mật trong không gian tôpô X và f

là ánh xạ liên tục từ A vào không gian compact Y Ánh xạ f thác

triển liên tục trên X nếu và chỉ nếu mọi cặp tập đóng rời nhau

Tích Đề-các ∏s S∈ X s (trong đó Xs ≠ ∅ ∀ ∈ , s S ) là compact nếu và

chỉ nếu mọi không gian Xs compact

1.2.8 Định nghĩa

Một không gian tôpô được gọi là compact địa phương nếu mọi ∈x X

tồn tại lân cận U của điểm x sao cho U là không gian con compact của X

1.2.9 Định lí

Mỗi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff

1.2.10 Định lí

Nếu tồn tại ánh xạ mở : →f X Y của không gian compact địa phương

X lên không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact địa

Một điểm x X∈ được gọi là điểm giới hạn lưới S ={xδ,δ ∈∑ trong }

X nếu mọi lân cận U của x tồn tại δ0∈∑ sao cho xδ ∈U,∀ ≥δ δ0

Ta nói lưới S hội tụ về x Một lưới có thể hội tụ về nhiều điểm Tập các giới hạn của lưới S kí hiệu là limS hoặc lim xδ∈∑ δ Nếu lưới S có đúng một điểm giới hạn x khi đó ta viết x=limS hoặc x lim xδ

δ∈∑

=

1.3.3 Định nghĩa

Một điểm x được gọi là điểm tụ của của lưới S ={xδ,δ∈∑ nếu mọi }

lân cận U của x và mọi δ0∈∑ tồn tại một δ δ≥ 0 sao cho xδ ∈U

1.3.4 Định lí

Một không gian Hausdorff X là compact nếu và chỉ nếu mỗi lưới trong X có một điểm tụ

1.3.5 Định nghĩa

Cho một họ F ≠ ∅ các tập con của X được gọi là lọc trong X nếu F

thỏa các điều kiện dưới đây:

Cho không gian tôpô X , F là lọc trong X và điểm x nằm trong X

Ta nói rằng F hội tụ về x nếu mọi lân cận của x đều thuộc F và ta viết là F →x Nếu F hội tụ về điểm x trong X thì x gọi là “điểm giới hạn của F” và ta viết =x lim F

Đặt β là tập các siêu lọc trên  Ta đồng nhất  với một tập con

của β , tương ứng với mỗi n ta đồng nhất với siêu lọc chính Fn tại n

Cho X là không gian tôpô và Y là không gian compact, c X: →Y là

đồng phôi nhúng từ X vào Y sao cho c X( )=Y Cặp ( )Y c , được gọi

là compact hóa của không gian X

1.3.16 Định lí

X có compact hóa nếu và chỉ nếu X là không gian Tychonoff

1.3.17 Định nghĩa

Compact hóa Stone-Cech

là kĩ thuật xây dựng ánh xạ phổ dụng từ không gian tôpô X vào không gian compact Hausdorff βX Compact hóa Stone-Cech

βX của không gian tôpô X là không gian compact Hausdorff tối đại sinh bởi X

1.3.18 Định lí Ginsburg và Saks

Cho X Y là hai không gian tôpô, , f ∈C X Y ( , )

Ta gọi f :βX →βY là ánh xạ thác triển của f

( )x n n∈, nếu mọi lân cận W của x sao cho {n x: n∈W}∈p (tập chỉ số

thuộc p ) Dãy điểm ( )x n n∈ trong X có điểm x X∈ gọi là p −giới

hạn, khi đó x là duy nhất và ta kí hiệu:

Cho X là không gian tôpô và {x n:n∈}⊆ X Khi đó ∈x X là điểm

tụ của dãy {x n:n∈ nếu có } p∈ sao cho * x = − p lim xn

1.4.3 Định nghĩa

Cho siêu lọc tự do p trên  Một không gian Tychonoff X là p−

compact nếu mọi dãy điểm trong X có một điểm p − giới hạn

1.4.4 B ổ đề

Với mỗi p∈ , không gian * p−compact có tính chất sau :

+ Mỗi không gian compact là không gian p−compact

+ Tích các không gian p−compact là không gian p−compact + Các tập con đóng trong không gian p−compact di truyền tất cả các tính chất của không gian này

1.4.5 Định nghĩa

Cho siêu lọc *

p∈ , một dãy tập con khác rỗng ( )U n n∈ của không gian tôpô X , ta nói rằng một điểm được gọi là điểm giới hạn của dãy ( )U n n∈ nếu mọi lân cận của thì

{n∈:W∩U n ≠ ∅ ∈} p (tập chỉ số thuộc )

p

Chú ý: Ta gọi L p U( ,( )n n∈) là tập chứa các điểm −giới hạn của dãy

( )U n n∈ thì L p U( ,( )n n∈) là tập đóng khác rỗng nhiều hơn một phần tử

1.4.6 Định nghĩa

Một không gian Tychonoff X là giả compact nếu mọi dãy tập con mở

khác rỗng {U n :n∈ của } X có p∈ sao cho * L p U( ,( )n n∈)≠ ∅

Cho p∈ , không gian Tychonoff * X được gọi là p−giả compact

nếu mọi dãy tập con mở khác rỗng của X có một điểm p−giới hạn

mở khác rỗng ( )V n n<ω trong X với Vn∩ ≠ ∅ ∀ ∈ Y , n , có x∈X là

điểm −p giới hạn của dãy ( )V n n<ω

2) Nếu X là p−bị chặn trên chính nó thì X là p−giả compact

1.4.12 Định lí

Cho p∈ , khi đó: *

+ Mỗi không gian p − giả compact là giả−compact

+ Cho hai không gian Tychonoff X Y , nếu ánh xạ :f X → liên tục Y

thì ( ,( )n ) ( ,( [ ]n )n )

n

f L p U ∈  ⊆ L p f U ∈ Trong đó ( )U n n∈ là dãy tập con khác rỗng của không gian X

+ Cho hai không gian Tychonoff X Y , nếu ánh xạ :f X → liên tục Y

Cho X là không gian Tychonoff, ω là số cardinal vô hạn

Không gian X là ω −bị chặn nếu mỗi tập con A∈[ ]X ≤ω bị chứa

trong tập compact con X (trong đó [ ]X ≤ω ={A∈X : A ≤ω})

1.4.15 Định nghĩa

Cho mỗi số cardinal m, số 2m, cũng kí hiệu bởi exp m , được định nghĩa như là lực lượng của họ tập con của X thỏa X m=

p−

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN p−COMPACT MẠNH

Một trong những mở rộng của tính compact là tính −p compact mạnh Trong không gian p−compact mạnh để khảo sát sự hội tụ người ta định nghĩa hội tụ

theo siêu lọc tự do p trên  Do đó, ta thấy điều kiện hội tụ trên không gian này

mạnh hơn trên không gian compact và chính điều này giúp ta mở rộng các kết quả trong không gian compact Khi nghiên cứu không gian −p compact mạnh ta nghiên cứu các tính chất có cấu trúc giống như trong không gian compact bao gồm nghiên cứu tính chất bất biến qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, đồng phôi, phép lấy tích và nghiên cứu tính đóng, mở, tính di truyền, tính trù mật của các tập con

2.1 Không gian p compact mạnh −

2.1.1 Định nghĩa

Cho Ta nói một không gian là p−compact m ạnh nếu

là p−giả compact và với mỗi dãy điểm trong , tồn tại dãy

tập mở của , ∀ ∈n , sao cho là không gian con compact khác rỗng của

Trước khi nghiên cứu không gian p− compact mạnh, ta xét bổ đề chỉ ra

dấu hiệu nhận biết không gian p−compact Bổ đề này có tính chất then

chốt để chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian p−compact

mạnh và không gian p−compact Ta có bổ đề sau:

(4) Cho mỗi dãy tập con khác rỗng ( )U n n∈ của X , ta có L p U( ,( )n n∈)

là khác rỗng và với mỗi V mở trong thỏa :

{x= −p lim x n:x n∈U n ∀ ∈n }⊆V thì {n∈:U n ⊆V}∈p

Ch ứng minh: Dễ thấy các khẳng định trên là tương đương ngoại trừ

Giả sử rằng có dãy ( )U n n∈, là dãy các tập mở khác rỗng nằm trong và giả sử V là tập mở con sao cho:

z x p limx x U n V Hơn nữa, từ định nghĩa,

{n∈:x n∉V}=A Do p∈* là siêu lọc , {n∈:x n∈ ∉U} pđiều này

là mâu thuẫn.

Cho không gian tôpô X , với *

p∈ Mỗi dãy tập ( )U n n∈ trong X và dãy điểm sao cho xn∈ Un, ∀ ∈ n Câu hỏi đặt ra liệu có mối liên hệ nào giữa không gian p−giới hạn của dãy tập ( )U n n∈ này và

điểm p − giới hạn của dãy điểm này không? Như đã giới thiệu

trong chương 1 chúng ta có tập L p U( ,( )n n∈)≠ ∅ là đóng và nhiều hơn

Cho A∈ ∈ Nếu p * X là một không gian p − compact, thì với mỗi

dãy tập con mở khác rỗng ( )U n n∈ của ta có:

Cho và đặt là dãy trong và mỗi

ta xét một cơ sở địa phương m của trong Đặt:

Khi đó:

x = − p lim xn nếu và chỉ nếu ∩

Ch ứng minh: Rõ ràng là nếu x = − p lim xn, thì cho

mỗi dãy tập con mở  Như vậy ∩

Cho là một phần tử của ∩ và giả sử không phải là giới hạn

của dãy Do vậy có lân cận của sao cho{n∈:x n∈W}∉p .Đặt V là tập mở chứa sao cho Cl V( )⊆W Với mỗi sao cho

, lấy Bn∈ n sao cho B n ∩Cl V( )= ∅ , chọn bất kì .

Chứng minh: Đặt và trong  Do mỗi , n là cơ

sở địa phương của , có Bn∈ n sao cho Bn Do là

giả compact, ta được:

 và ( )

Ch ứng minh: Cho là không gian p − compact mạnh Đặt là dãy điểm trong Cho là dãy tập con mở thuộc sao cho ( )

( , n n )

L p U ∈ là compact và với mỗi

Cho mỗi n∈, cho n là họ tất cả tập con mở thuộc có chứa và

tập mở này có chứa Rõ ràng là với mỗi , n là cơ sở địa phương của

là họ của những tập compact với tính giao hữu hạn (bổ đề 2.1.6) như

thế ∩ ≠ ∅  Theo bổ đề 2.1.7 dãy có một điểm p−giới hạn

Do đó là p−compact.

Lưu ý: Chiều ngược của định lí là không đúng Ví dụ sau đây cho thấy

một không gian p −compact nhưng không là p −compact mạnh Trước

khi trình bày nội dung ví dụ một cách rõ ràng, xin nhắc lại bốn chú ý sau:

2.1.9 Chú ý

a) là phần giao tất cả không gian p −compact có chứa , X

βp X = ∩ Y X ⊆ ⊆Y β X và Y là p−compact} [9,tr201] b) Cho siêu lọc p∈ β , ta đặt tập P RK( ) {p = q∈β:q≤RK p }

[12,tr324]

c) Với mỗi p∈* Đặt P= ∈{z β:∃ dãy ( )x n n∈ trong  sao cho

= − n

z p lim x } Khi đó P∪ = P RK( )p

d) Chúng ta đã biết mỗi tập con đóng của một không gian p −compact

là p− compact, và tích của các không gian p −compact là p −compact

Mỗi không gian Tychonoff và mỗi siêu lọc tự do p∈*, có một không gian duy nhất là đồng phôi tùy ý thỏa mãn:

Với mỗi siêu lọc tự do trên , không gian là không gian

p−compact nhưng không là p −compact mạnh

Ch ứng minh: Cho là phân hoạch của , nằm trong những

tập vô hạn và chọn x n∈U n*∩βp( ) cho mỗi Khi đó

là tập vô hạn của nhiều dãy tập mở trong đó Do và vô số tập con đóng của có

lực lượng là , có thể không compact Vậy ta có

Như đã biết các tập con đóng trong các không gian compact, p − compact, p− giả compact có tính di truyền Không gian p −compact

mạnh thì sao? Chúng ta có định lí sau:

2.1.11 Định lí

Nếu B là tập con đóng trong không gian p −compact mạnh thì B di

truyền tất cả các tính chất của không gian p −compact mạnh

Ch ứng minh: Giả sử X là không gian p− compact mạnh Cho B⊂ X

là tập con khác rỗng đóng Dãy ( ) xn n∈ trong B, và cho ( Un n) ∈ là dãy

tập con mở của X sao cho L p U ( ,( n n) ∈) là compact và xn∈ Un cho

mỗi n∈ Rõ ràng là (B∩U n n) ∈ là một dãy của những tập con mở

của B với xn∈ ∩ B Un Do định lí 2.1.8 X là p−compact, do đó B là

p−compact

Nếu x = − p lim xn thì x L p B ∈ B( ,( ∩ Un n) ∈) ⊆ ∩ B L p U ( ,( n n) ∈)[10,tr405]

Như vậy L B(p B,( ∩U n n) ∈) là khác rỗng Do L B(p B,( ∩U n n)∈) là đóng trong B, nó là đóng trong không gian con compact

( ,( n n) )

B ∩ L p U ∈ Vì vậy L p BB( ,( ∩ Un n) ∈) là compact Hơn nữa B

là p− compact kéo theo B là p− giả compact Vậy ta kết luận B là

không gian p− compact mạnh 

Theo định lí 2.1.8 ta biết: Mỗi không gian p−compact mạnh là không

gian p− compact Để xét trong trường hợp nào không gian p − compact

là không gian p− compact mạnh Ta có định lí sau:

2.1.12 Định lí

Mỗi không gian vừa là p − compact vừa là compact địa phương đều là

p− compact mạnh

Ch ứng minh: Cho là một không gian p − compact có tính compact

địa phương và cho dãy điểm trong Do là p− compact,

có sao cho x = − p lim xn Lấy một lân cận của sao cho

là compact Cho là lân cận của thỏa Cl V( )⊆ Với mỗi U

sao cho , lấy một lân cận của sao cho

và mỗi với , lấy một lân cận của sao cho

Ta cần X Cl U là t\ ( ) ập con của Thực vậy giả sử

Khi đó là tập con mở của có chứa Ngoài