Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

2.2 Sử dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số trên miền D Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong việc giải bài toán cực trị của hàm số... V

Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo

tận tình của thầy giáo Ths Phạm Lương Bằng , khóa luận của em đến nay đã

hoàn thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy

Phạm Lương Bằng người đã trực tiếp hướng dẫn , chỉ bảo và đóng góp nhiều ý

kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo , cô giáo trong khoa toán đã tạo

điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khoá luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực của bản

thân còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong

nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá

luận của em được hoàn thiện hơn Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội ,ngày 10 tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Trần Đức Hải

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập , nghiên

cứu ở bậc đại học Bên cạnh đó cũng được sự quan tâm , tạo điều kiện của thầy

cô giáo trong khoa toán , đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Ths

Phạm Lương Bằng

Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài : “Một số phương pháp giải

toán cực trị của hàm số ” không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Trần Đức Hải

2.2) Sử dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất

của hàm số trên miền D

Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong

việc giải bài toán cực trị của hàm số

Mở đầu

Trong chương trình toán phổ thông cực trị là phần hấp dẫn , lôi cuốn tất cả

những người học toán và làm toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng

Vì vậy, các bài toán cực trị của hàm số thường xuyên có mặt trong các kì thi phổ

thông trung học cũng như trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi đại học ,

cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt và vận

dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bài toán

cực trị thì mỗi người đều có một hướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy

có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán

cực trị Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu

của bài toán Thật là khó nhưng cũng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng

đắn để giải quyết nó

Với những lý do trên , sự đam mê của bản thân cùng sự hướng dẫn nhiệt

tình của thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng tôi mạnh dạn thực hịên bài khoá luận

của mình với tựa đề: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số”

Từ đó giúp những người học toán và làm toán có thêm công cụ để giải

quyết các bài toán cực trị

Khoá luận gồm 7 chương

Chương 1:Lý thuyết chung về bài toán cực trị của hàm số

Chương 2: Sử dụng tính đơn điệu trong việc giải bài toán cực trị của hàm

số

Chương 3: Sử dụng định lý Lagrange trong việc giải bài toán cực trị của

hàm số

Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong việc giải

bài toán cực trị của hàm số

Chương 6: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị

Chương 7 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học

Trong các chương 2,3,4,5,6,7 thì sau phần trình bày lý thuyết là một số bài

tập đưa ra nhằm minh hoạ cho lý thuyết đã đưa ra ở trên

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận văn này còn nhiều

hạn chế , khó tránh khỏi những sai sót Em rất mong được sự góp ý của các thầy

cô trong khoa toán và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội ,tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Trần Đức Hải

Chương 1: Lý thuyết chung về bài toán cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f(x) xác định trên miền D ,x0D.Ta nói rằng f(x)

đạt cực tiểu địa phương tại x0 nếu như tồn tại lân cận V x 0 sao cho

f x f x , x  D V xHàm số f(x,y) xác định trên D được gọi là đạt cực tiểu địa phương tại

(x0,y0),(x0,y0) D nếu như tồn tại lân cận V x ,y 0 0sao cho

f x,y f x ,y , x,y  D V x ,yTương tự ta có định nghĩa hàm số đạt cực đại địa phương trên tập xác định

của nó

Nhận xét :Nếu f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0 D thì nói chung ta có

f x 0  m minf x 

Nếu f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 D thỡ ta cú

f x 0 M max f x 

Vậy giỏ trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f khụng trựng với cực đại địa

phương (cực tiểu địa phương) trờn một miền xỏc định D nào đú

1.2 Cỏc tớnh chất

Định lý 1.1 :Hàm số f(x) liờn tục trờn một đoạn [a,b] thỡ đạt giỏ trị lớn nhất,nhỏ

nhất trờn đoạn đú

Định lý 1.2 : Cho hàm số f(x) xỏc định trờn miền D và A,B là 2 tập con của D

trong đó A B Ngoài ra maxf(x) , maxf(x) , minf(x) , minf(x)



  (1.2)

Ta chỉ cần chứng minh (1.1) ,cũn (1.2) chứng minh tương tự

Thật vậy ,giả sử max f (x) = f (x0) , x0A

Do A B ,nờn từ x0A ta suy ra x0B.Từ đú theo định nghĩa ta cú

f(x ) 0 max f x hay max f x    max f x 

Thật vậy giả sử M = max f(x) , xD (1.3)

Khi đú theo định nghĩa giỏ trị lớn nhất ta cú

Điều này theo định nghĩa giá trị nhỏ nhất có nghĩa là min(-f(x))=-M (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta có điều phải chứng minh

Nhận xét : Định lý này cho phép ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất về bài

toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và ngược lại

Giả sử max g(x) = g(x0), x0D.Từ giả thiết ta có f x   0 g x0 (1.5)

Vì x0D,nên theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có

Định lý 1.5 :(nguyên lý phân rã ) :Giả sử hàm số f(x) xác định trên miền D và

miền D được biểu diễn dưới dạng DD1D2  Dn.Giả thiết tồn tại

Từ (1.10) & (1.11) ta có điều phải chứng minh

Chú ý :Nguyên lý phân rã nói trên cho phép ta biến bài toán tìm giá trị lớn

nhất,nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định phức tạp thành một dãy các bài

toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền đơn giản hơn

Chương 2 : Sử dụng tính đơn điệu trong việc giải bài toán cực trị

của hàm số

Trong chương này ta sẽ sử dụng mối liên hệ giữa tính đơn điệu và tính khả

vi để giải bài toán tìm cực trị của hàm số Phương pháp này dựa trên các định lý

về điều kiện đủ để hàm số có cực trị kết hợp với việc so sánh các giá trị cực trị

của hàm số tại một điểm đặc biệt khác

2.1 Cơ sở lý thuyết

2.1.1 Hàm đơn điệu trên một khoảng

Định nghĩa :Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b] , lấy x1,x2 [a,b] tương

ứng có 2 giá trị f(x1),f(x2) (với x1< x2)

+Nếu f(x1) < f(x2) thì f(x) được gọi là hàm tăng (đồng biến) / [a,b]

+Nếu f(x1) f(x2) thì f(x) được gọi là hàm không giảm / [a,b]

+Nếu f(x1) > f(x2) thì f(x) được gọi là hàm giảm (nghịch biến) / [a,b]

+Nếu f(x1)  f(x2) thì f(x) được gọi là hàm không tăng / [a,b]

- Các hàm trên được gọi chung là các hàm đơn điệu trên 1 khoảng

-Hàm tăng hoặc giảm trong một khoảng được gọi là hàm đơn điệu thực sự

trên khoảng ấy

Định lý 2.1( Điều kiện cần và đủ để hàm số tăng hoặc giảm / [a,b])

Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm hữu hạn trong (a,b) khi

Định lý 2.2 (Điều kiện cần để hàm số có cực trị địa phương ) : Nếu f(x) đạt

cực trị điạ phương tại x0 a,b thì chỉ có thể xảy ra 1 trong các khả năng sau :

a) f(x) không có đạo hàm tại x0

b) f(x) có đạo hàm tại x0 thì f x 0 0

Nhận xét 2.1 :Nếu gọi những điểm mà tại đó không có đạo hàm hoặc nếu có thì

đạo hàm đó bằng không là các điểm tới hạn Khi đó theo điều kiện cần ở trên

muốn tìm cực trị của hàm số ta chỉ cần xét các điểm tới hạn của hàm số

Định lý 2.3 :(Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị địa phương )

Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b] có chứa điểm x0 và có đạo hàm trong

khoảng (a,b) (có thể trừ tại điểm x0 )

a) Nếu khi x đi qua x0 mà f x  đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực

Định lý 2.4:( điều kiện đủ thứ 2 để hàm số có cực trị địa phương )

Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 ở lân cận của điểm x0 Khi đó :

a) Nếu f x 0 =0 , f x0 0thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f x 0 =0 , f x0 0thì f(x) đạt cực đại tại x0

2.2 Sử dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

trên miền D

- Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên miền D

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D

- Dựa vào bảng biến thiên và so sánh các giá trị của những điểm đặc biệt

(đó là điểm cực đại,cực tiểu của hàm số ,các điểm đầu mút của những đoạn đặc

biệt nằm trong miền xác định của hàm số )

Khi sử dụng các phương pháp này cần lưu ý các điều sau đây :

-Nếu trong quá trình giải ta dùng phép đổi biến để cho bài toán đơn giản

hơn thì bài toán mới phải xác định lại miền xác định của biến mới

-Nếu bài toán đã cho là hàm nhiều biến ,có thể sử dụng định lý 2.6 và

phép biến đổi để đưa bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nhiều

biến về việc tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số một biến theo phương pháp

chiều biến thiên hàm số như đã được trình bày ở trên

2.2.1 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số không có tham

x 1,2 ,y 3,4   z vì vậy

 

minf (x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

Lại áp dụng định lý 1.5 ta có minf (x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

Từ (2.6),(2.7) ta đi đến f x,y  1 ,  x,y D12

Lại cú f 0, 1    1, 0, 1   D12minf x,y  1, x,y D12 (2.8)

Từ (2.4), (2.5), (2.8) suy ra cỏc điều kiện nguyờn lý phõn ró đỳng trờn D1 do đú

Đặt D= { (x,y : x,y) Î ¥ , khi đó ta có } DD1D2 (2.12)

Trong đó D1= { (x,y : x,y) Î ¥ & x+ + <y 2 6},

D2= { (x,y : x,y) Î ¥ & x+ + ³y 2 6}

áp dụng định lý 1.5 (nguyên lý phân rã ) thì

minf (x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

Theo bất đẳng thức Cauchy thì  x,y D2, ta có

2.2.2 :Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số có tham số

Bài 2.4: Cho hàm số :   1 sin2x  1 tanx

      2  

Bµi to¸n ®- î c ®- a vÒ t×m min f x minF t , F t t m 1 t m

Ta có      '

F t  2t m 1 ,F t 0 có nghiệm m 1

t 2



 do đó sẽ dẫn đến hai khả năng sau :

a) nếu m 1

1 2

 

tức m1 ,ta có bảng biến thiên sau

t - ¥ m 1

2



1 + ¥

F t  - 0 + +

F t  

0 ( ) ( ) ( ) VËy minF t F 1 0 minf x 0 1 t x D = = Þ = £ £ + ¥ Î

b) Nếu m 1 1 2   tức m > 1 ,có bảng biến thiên : t



1 m 1 2  

F t  - 0 +

F t   0

 2

m 1 4  

  m 1 m 12 minF t F ,1 t 2 4              Kết luận    2 0 m 1 minf x m 1 m 1         

Từ bảng biến thiên và nhận xét trên ta suy ra

max f x( ) max g x( ) m 4 nÕu m 2

Từ bảng trên suy ra min P(m) = P (-2) = 2 Vậy min P(m) =2 m=-2

Chương 3 : Sử dụng định lý Lagrange trong việc giải bài toán

cực trị của hàm số

3.1 Cơ sở lý thuyết

3.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số

Định nghĩa 3.1: Hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a,b)

Hiệu số   x x x0 được gọi là số gia của đối số (biến số ) x

Hiệu số  y f x x0  f x0 được gọi là số gia của hàm số tại điểm x0

Nếu

x 0

ylim



 



 = f x 0 Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 , kí hiệu là f x 0

được định nghĩa là

x 0

ylimx

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm trên khoảng đó

Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu nó có đạo hàm trên

(a,b) và có đạo hàm bên phải tại a,đạo hàm bên trái tại b

3.1.2 (Định lý lagrange):Cho hàm số f:[a,b] ¡ thoả mãn hai điều kiện sau :

i) f liên tục trên [a,b]

ii) f có đạo hàm trong (a,b)

Khi đó  c  a,b sao cho f b     f a f c b a  

3.2 :Phương pháp chung :

Muốn tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số dựa vào định lý lagrange ta

phải chọn được hàm số thích hợp thoả mãn định lý từ đó vận dụng định lý

+Qua ví dụ trên ta có bất đẳng thức sinx + tanx > 2x với x 0;

2



 .Từ đó đi đến kết luận với sinA + sinB + sinC + tanA + tanB + tanC > 2 , ABC

+Bằng phương pháp tương tự ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki

trong việc giải bài toán cực trị của hàm số

Một số phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số chính là phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp

này dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm

số Như vậy để sử dụng phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

của hàm số f(x) trên một miền D nào đó ta tiến hành theo 2 bước sau đây:

(4.1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1= a 2=…= an

Bài 4.1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz xét trên miền

1 x 1 y 1 z 1   8 1 x 1 y 1 zxyz 

1xyz

a b a b c c2

  vuông cân tại c

Tóm lại giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b b c c a  

abc

là 4 3 2 đạt được khi tam giác ABC vuông cân tại C

hai số x2008

ta có

2008 2008

2008 2008 2 2008

(4.9) Lập luận tương tự ta có

2008

2

2006 2y

y2008

(4.10)

2

2006 2z

z2008

z  ta thu được bài toán sau:

Với x,y,t là các số dương thoả mãn: 2 2 2

.Từ đó ta đi đến max f(x,y,z) = 64 , x,y,zD

Nhận xét +Để f x,y,z 64 thì các dấu bằng ở (4.14),(4.15),(4.16) xảy ra

khi và chỉ khi x = y = z

D  X,Y,Z : X 0,Y 0,Z 0 vµ XYZ 1     

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có với mọi X,Y,ZD thì

Mặt khác F(1,1,1) = 3 và (1,1,1) D min F(X,Y,Z) = 3 với X,Y,ZD

Do vậy min f(x,y,z) = 3 , (x,y,z)  D

Bài 4.7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x,y,z  1 x  1 y  1 z

trên miền D x,y,z : x 0, y0 , z 0 ; x   y z 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng các bất đẳng thức (4.18) , (4.19),

(4.20) xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

3

+Ta xét một ví dụ minh hoạ hình học cho bài toán trên :

Gọi D là tâp hợp tất cả các tam giác nhọn ABC Xét hàm số

 1 cot A cot B  1 cot Bcot C  1 cot Ccot A

Đặt x = cot A cot B ; y = cot Bcot C ; z = cot Ccot A

Do A,B,C nhọn nên x > 0 ,y > 0, z > 0 Theo hệ thức lượng trong tam giác thì

x + y + z = cot A cot B + cot Bcot C + cot Ccot A = 1

Bài 4.8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x,y,z xyz trên miền

Từ (4.21) ,(4.22) và (4.23) có 3890 2   3

f x,y,z 194563

3 2 2

1945 63

Từ (4.24) và (4.25) ta đi đến kết luận max f x,y,z

3827x,y,z D





Nhận xột: Bài toỏn trờn chọn cỏc số nhằm kỉ niện 63 năm ngày thành lập nước

cộng hoà xó hội chủ nghĩa Việt Nam (2/9/1945 - 2/9/2008)

a

b ,

2 2

a

b , ,

n n

Bài 4.9 :Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x,y,z   x y z

D x,y,z : x 0,y0,z 0;x   y z 1

Giải

a) Lấy (x,y,z) tuỳ ý D áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy

số x x,y y,z z và x, y, z Ta có

B ài 4.12 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f x,y,z,t xyyz zt tx

trên miền D x,y,z,t : x2 y 2z t2 02

Ta có f x,y,z,t xyyz zt  tx xz y t (4.40)

Bây giờ từ (4.39) và (4.40) thì f x,y,z,t = - (y+z)  2  0