Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

L i c m n

Sau m t th i gian mi t mài nghiên c u cùng v i s h ng d n và ch b o

t n tình c a th y giáo Ths Ph m L ng B ng , khóa lu n c a em đ n nay đã

hoàn thành

Qua đây em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình t i th y

Ph m L ng B ng ng i đã tr c ti p h ng d n , ch b o và đóng góp nhi u ý

ki n quý báu trong th i gian em th c hi n khoá lu n này

Em xin chân thành c m n các th y giáo , cô giáo trong khoa toán đã t o

đi u ki n t t nh t cho em trong th i gian em làm khoá lu n

Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u và n ng l c c a b n

thân còn nhi u h n ch nên không th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong

nh n đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n sinh viên đ khoá

lu n c a em đ c hoàn thi n h n M t l n n a em xin chân thành c m n !

Hà N i ,ngày 10 tháng 5 n m 2008

Sinh viên

Tr n c H i

L i cam đoan

Khoá lu n này là k t qu c a b n thân em trong quá trình h c t p , nghiên

c u b c đ i h c Bên c nh đó c ng đ c s quan tâm , t o đi u ki n c a th y

cô giáo trong khoa toán , đ c bi t là s h ng d n t n tình c a th y giáo Ths

M đ u

Trong ch ng trình toán ph thông c c tr là ph n h p d n , lôi cu n t t c

nh ng ng i h c toán và làm toán Các bài toán này r t phong phú và đa d ng

Vì v y, các bài toán c c tr c a hàm s th ng xuyên có m t trong các kì thi ph

thông trung h c c ng nh trong các kì thi h c sinh gi i và các đ thi đ i h c ,

cao đ ng

gi i quy t nó đòi h i ng i h c toán và làm toán ph i linh ho t và v n

d ng m t cách h p lý trong t ng bài toán T t nhiên đ ng tr c m t bài toán

c c tr thì m i ng i đ u có m t h ng xu t phát riêng c a mình Nói nh v y

có ngh a là có r t nhi u ph ng pháp đ đi đ n k t qu cu i cùng c a bài toán

c c tr i u quan tr ng là ta ph i l a ch n ph ng pháp nào cho l i gi i t i u

c a bài toán Th t là khó nh ng c ng thú v n u ta tìm đ c đ ng l i đúng

đ n đ gi i quy t nó

V i nh ng lý do trên , s đam mê c a b n thân cùng s h ng d n nhi t

tình c a th y th c s Ph m L ng B ng tôi m nh d n th c h ên bài khoá lu n

c a mình v i t a đ : “M t s ph ng pháp gi i bài toán c c tr c a hàm s ”

T đó giúp nh ng ng i h c toán và làm toán có thêm công c đ gi i

quy t các bài toán c c tr

Khoá lu n g m 7 ch ng

Ch ng 1:Lý thuy t chung v bài toán c c tr c a hàm s

Ch ng 2: S d ng tính đ n đi u trong vi c gi i bài toán c c tr c a hàm

Ch ng 6: Gi i bài toán c c tr c a hàm s b ng mi n giá tr

Ch ng 7 : Gi i bài toán c c tr c a hàm s b ng ph ng pháp hình h c

Trong các ch ng 2,3,4,5,6,7 thì sau ph n trình bày lý thuy t là m t s bài

t p đ a ra nh m minh ho cho lý thuy t đã đ a ra trên

Do trình đ và kinh nghi m còn h n ch nên bài lu n v n này còn nhi u

Ch ng 1: Lý thuy t chung v bài toán c c tr c a hàm s

nh ngh a 1.2 Cho hàm s f(x) xác đ nh trên mi n D ,x0D.Ta nói r ng f(x)

đ t c c ti u đ a ph ng t i x0n u nh t n t i lân c n V x 0 sao cho

f x f x , x D  V xHàm s f(x,y) xác đ nh trên D đ c g i là đ t c c ti u đ a ph ng t i

(x0,y0),(x0,y0) D n u nh t n t i lân c n V x ,y 0 0sao cho

nh lý 1.2 : Cho hàm s f(x) xỏc đ nh trờn mi n D và A,B là 2 t p con c a D

trong đó A B Ngoài ra maxf(x) , maxf(x) , minf(x) , minf(x)



  (1.2)

Ta ch c n ch ng minh (1.1) ,cũn (1.2) ch ng minh t ng t

Th t v y ,gi s max f (x) = f (x0) , x0 A

Do A B ,nờn t x0 ta suy ra A x0B.T đú theo đ nh ngh a ta cú

f(x ) 0 max f x hay max f x    max f x 

i u này theo đ nh ngh a giá tr nh nh t có ngh a là min(-f(x))=-M (1.4)

T (1.10) & (1.11) ta có đi u ph i ch ng minh

Chú ý :Nguyên lý phân rã nói trên cho phép ta bi n bài toán tìm giá tr l n

nh t,nh nh t c a hàm s trên mi n xác đ nh ph c t p thành m t dãy các bài

toán tìm giá tr l n nh t , nh nh t c a hàm s trên mi n đ n gi n h n

Ch ng 2 : S d ng tính đ n đi u trong vi c gi i bài toán c c tr

c a hàm s

Trong ch ng này ta s s d ng m i liên h gi a tính đ n đi u và tính kh

vi đ gi i bài toán tìm c c tr c a hàm s Ph ng pháp này d a trên các đ nh lý

v đi u ki n đ đ hàm s có c c tr k t h p v i vi c so sánh các giá tr c c tr

c a hàm s t i m t đi m đ c bi t khác

2 1 C s lý thuy t

2.1.1 Hàm đ n đi u trên m t kho ng

nh ngh a :Cho hàm s f(x) xác đ nh trên [a,b] , l y x1,x2 [a,b] t ng

- Các hàm trên đ c g i chung là các hàm đ n đi u trên 1 kho ng

-Hàm t ng ho c gi m trong m t kho ng đ c g i là hàm đ n đi u th c s

Gi s hàm f(x) liên t c trên [a,b] có ch a đi m x0 và có đ o hàm trong

kho ng (a,b) (có th tr t i đi m x0 )

a) N u khi x đi qua x0 mà f x  đ i d u t d ng sang âm thì f(x) đ t c c

(đó là đi m c c đ i,c c ti u c a hàm s ,các đi m đ u mút c a nh ng đo n đ c

bi t n m trong mi n xác đ nh c a hàm s )

Khi s d ng các ph ng pháp này c n l u ý các đi u sau đây :

-N u trong quá trình gi i ta dùng phép đ i bi n đ cho bài toán đ n gi n

h n thì bài toán m i ph i xác đ nh l i mi n xác đ nh c a bi n m i

-N u bài toán đã cho là hàm nhi u bi n ,có th s d ng đ nh lý 2.6 và

phép bi n đ i đ đ a bài toán tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s nhi u

bi n v vi c tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s m t bi n theo ph ng pháp

chi u bi n thiên hàm s nh đã đ c trình bày trên

2.2.1 Các bài toán tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s không có tham

 

minf (x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

Lại áp dụng định lý 1.5 ta có minf(x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

T (2.6),(2.7) ta đi đ n f x,y  1 ,  x,y D12

L i cú f 0, 1    1, 0, 1   D12minf x,y  1, x,y D12 (2.8)

T (2.4), (2.5), (2.8) suy ra cỏc đi u ki n nguyờn lý phõn ró đỳng trờn D1do đú

 

minf x,y 1x,y D

t D= { (x,y : x,y) Î ¥ , khi đó ta có } D D 1D2 (2.12)

Trong đó D1= { (x,y : x,y) Î ¥ & x+ + <y 2 6},

D2= { (x,y : x,y) Î ¥ & x+ + ³y 2 6}

áp d ng đ nh lý 1.5 (nguyên lý phân rã ) thì

minf (x,y) min minf(x,y) , minf(x,y)

12

  (2.14)

Theo b t đ ng th c Cauchy thì  x,y D2, ta có



2.2.2 :Các bài toán tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s có tham s

Bài 2.4: Cho hàm s :   1 sin2x  1 tanx

      2  

Bµi to¸n ®- î c ®- a vÒ t×m min f x minF t , F t t m 1 t m

Ta có F t  2t m 1 ,F t   '  0 có nghi m t m 1

2



 do đó s d n đ n hai

kh n ng sau :

a) n u m 1 1

2



 t c m1 ,ta có b ng bi n thiên sau

t - ¥ m 1

2



1 + ¥

F t  - 0 + +

F t  

0 ( ) ( ) ( ) VËy minF t F 1 0 minf x 0 1 t x D = = Þ = £ £ + ¥ Î

b) N u m 1 1 2   t c m > 1 ,có b ng bi n thiên : t



1 m 1 2  

F t  - 0 +

F t   0

 2

m 1 4  

  m 1 m 12 minF t F ,1 t 2 4              K t lu n    2 0 m 1 minf x m 1 m 1 4          

T b ng trên suy ra min P(m) = P (-2) = 2 V y min P(m) =2 m=-2

Ch ng 3 : S d ng đ nh lý Lagrange trong vi c gi i bài toán

c c tr c a hàm s

Hàm s y = f(x) có đ o hàm trên kho ng (a,b) n u nó có đ o hàm t i m i

đi m trên kho ng đó

Hàm s y=f(x) đ c g i là có đ o hàm trên [a,b] n u nó có đ o hàm trên

(a,b) và có đ o hàm bên ph i t i a,đ o hàm bên trái t i b

3.1.2 ( nh lý lagrange):Cho hàm s f:[a,b] ¡ tho mãn hai đi u ki n sau :

i) f liên t c trên [a,b]

ii) f có đ o hàm trong (a,b)

Khi đó  c  a,b sao cho f b     f a f c b a  

3.2 : Ph ng pháp chung :

Mu n tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s d a vào đ nh lý lagrange ta

ph i ch n đ c hàm s thích h p tho mãn đ nh lý t đó v n d ng đ nh lý

+Qua ví d trên ta có b t đ ng th c sinx + tanx > 2x v i x 0;

1 x 1 y 1 z 1   8 1 x 1 y 1 zxyz 

1xyz

a b a b c c2

(4.9)

L p lu n t ng t ta có 2006 2y2008 2

y2008

(4.10)

2

2006 2z

z2008

M t khác F(1,1,1) = 3 và (1,1,1) D min F(X,Y,Z) = 3 v i X,Y,Z D

Do v y min f(x,y,z) = 3 , (x,y,z)  D

Bài 4.7 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f x,y,z  1 x  1 y  1 z

+Ta xét m t ví d minh ho hình h c cho bài toán trên :

G i D là tâp h p t t c các tam giác nh n ABC Xét hàm s

 1 cot A cot B  1 cot Bcot C  1 cot Ccot A

t x = cot A cot B ; y = cot Bcot C ; z = cot Ccot A

Do A,B,C nh n nên x > 0 ,y > 0, z > 0 Theo h th c l ng trong tam giác thì

x + y + z = cot A cot B + cot Bcot C + cot Ccot A = 1

Bài 4.8: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f x,y,z xyz trên mi n

3 2 2

1945 63

Từ (4.24) và (4.25) ta đi đến kết luận max f x,y,z

3827x,y,z D

a

b ,

2 2

a

b , ,

n n

Bài 4.9 :Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s f x,y,z    x y z

D x,y,z : x 0,y0,z 0;x y z 1    

G i i

a) L y (x,y,z) tu ý D áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki cho 2 dãy

s x x,y y,z z và x, y, z Ta có

f x,y,z  1 tanx tany  1 tany tanz  1 tanztanx

trên mi n D x,y,z : x 0,y 0,z 0,x y z

Ta l y (x,y,z) tu ý thu c vào D và áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki

cho 2 dãy s sau 1,1,1 và 1 tanxtany , 1 tany tanz , 1 tanztanx

H ng d n : Ta làm nh bài 4.5 ( áp s max f(x,y,z) = 256)

Bài 4.19: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f x,y  x 2y

trên mi n D  x,y : logx 2y 2x y  1

Sau đó áp d ng đ nh lý 1.5 ( nguyên lý phân rã) ( s   3 10

f x   0 , x a,b khi đó y = f(x) là hàm l i trên [a,b]

Ch ng minh :L y tu ý x ,x1 2 a,b , 0,1 ta ph i ch ra b t đ ng th c sau

H qu 5.2: f :¡ ® ¡ là hàm l i trên [a,b]Ì ¡ khi đó x ,x , ,x1 2 n a,b

trên mi n D nào đó ta ti n hành theo các b c sau :

-T bài toán cho ph i tìm hàm F(t) th a mãn đi u ki n :

F(t) ph i là hàm l i ( ho c lõm ) trên    nào đó ( F(t) ph i áp d ng đ c vào ,

bài toán đã cho ).Sau đó áp d ng b t đ ng th c Jenxen ta thu đ c m t bài toán

trên mi n Dx,y,z : x 0,y 0,z 0 vµx y z       

(chú ý x,y,z là 3 góc trong m t tam giác )

G i i

suy ra f x,y  2, x,y D (5.5)

M t khác d u b ng b t đ ng th c (5.5) x y ra khi và ch khi x = y t đó suy ra

   (tam giác ABC là đ u )

V y min P = 3 đ t đ c khi và ch khi A = B = C =

3



Bài 5.5 Cho ABC,tìmgiá tr l n nh t c a P sinAsin sinB C

Bài 5.6 Cho tam giác ABC nh n ,tìm giá tr nh nh t c a

P tan A n tan B tan C, n 1n  n  

Khi s d ng b t đ ng th c Karamata đ tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a

hàm s trên mi n D nào đó ta ti n hành theo các b c sau :

-T bài toán đã cho ph i tìm hàm F (t) tho mãn đi u ki n : F (t) là hàm

l i (ho c lõm) trên    , nào đó F (t) ph i áp d ng đ c b t đ ng th c

Karamata đ thu đ c m t b t đ ng th c m i có liên quan t i bài toán đã cho

-Tìm m t đi m thu c D sao cho ng v i giá tr đ y b t đ ng th c v a tìm

3x,y,z : x yD

4

x y zx,y,z 0

x 0,y 0,z 0

x 4D

2 3

T (5.14) , (5.15) và theo đ nh ngh a giá tr nh nh t ta đi đ n k t lu n

minf x,y,z 16, x,y,z  D

h ng d n Xét hàm F t lnt là hàm lõm trên 0;( s max f(x,y,z) = 3)

T 3sinA sinBsinC Sau đó xét hàm f x sinx lõm trên  0,

Bài 5.17 A , B , C là 3 góc trong m t tam giác b t kì ABC Tìm giá tr l n nh t

Bài 5.18 ABC nh n Tìm giá tr l n nh t c a

 tanA  tanB  tanC

T tanA  tanB  tanC

G i y0 là m t giá tr tu c a hàm s xác đ nh trên D đi u đó có ngh a là h

sau đây có nghi m    

Tu t ng d ng bài c a h    6.1 , 6.2 mà ta có đi u ki n có nghi m thích

h p Trong nhi u tr ng h p đi u ki n y(sau khi bi n đ i và rút g n s đ a v

2x 10x 3

y3x 2x 1



  (6.4)

0 0

x 2x 2y

(y 1)x 2(y 1)x 2(y   (6.11) 1) 0

có nghi m trong đo n [0,2] Bài toán quay tr v tìm tham s y0đ ph ng trình

(6.11) có nghi m trong đo n [0,2].Ta có các tr ng h p sau:

0

y 1 f (0) 0

y 1 f (2) 0s

0 0

2(y 1) 0(y 1) 10y 2 0



0

0 0

0

3 2 2 y 3 2 2

1y5

T đó max f x t , minf x2   t1 Nh v y bài toán tr thành : Tìm p ,q đ

ph ng trình (6.15) có hai nghi m 9 va -1 Theo đ nh lý Viet đi u đó x y ra khi

4q p

94

G i t0là m t giá tr b t kì c a hàm s f (x,y) trên mi n D i u đó ch ng

t h ph ng trình sau đây ( n x,y ) có nghi m

Do t20   v i t0 1 0  nên hi n nhiên v i đi u ki n (6.18) thì (6.19) có t0

nghi m , ngh a là (6.18) là đi u ki n đ h (6.16),(6.17) có nghi m Nh v y

Cách áp d ng :

+ a hàm s đã cho v d ng :   2 2 2 2

f x,y  x a  y b

(a, b là các h ng s ) +Sau đó đ nh h tr c to đ , ch n 3 đi m A , B , C có to đ xác

đ nh và cu i cùng s d ng hai b t đ ng th c trên đ tìm giá tr l n nh t,nh nh t

V i x 3 , d ng ABC vuông t i A,AC 5,AB x 3   Trên c nh AC, ta l y

đi m D sao cho AD 1 Theo đính lý Pitago , ta có:

3 x

O

3 2

x y

12



32

Suy ra: 6 f x;y  36

V y: M x;ymax f x;y  D   36; min f x;yM x;y  D   6

  thì đi m M x;y ,N z;t     n m trên đ ng tròn t i g c O bán

kính R 5 trong h tr c to đ Oxy , xét đi m P( 1; 2) V y P (1; 2) c ng n m

x2

1

O

y

(x,y,z,t) D

  thì t p h p nh ng đi m M(x,y) n m

trên đ ng tròn tâm O(0;0), bán kính R = 1;

T p h p các đi m N(z,t) n m trên parabol: v=u2

G i i

D ng ABC đ u v i c nh b ng 1 khi đó: ABC

3S

4

  Trên AB, BC, CA ta l n l t đ t các đo n:

H ng d n Hàm s f y ( ) đ c vi t l i d i d ng

f y = y- 2 + 2 + y- 3 + 1

Sau đó trong h tr c to đ ta ch n các đi m A1;2 ;B 2;3 ;M 1;y    , áp d ng

b t đ ng th c trong tam giác AM BMAB Suy ra giá tr nh nh t c a f y ( )

( s minf y( )= 10

¡

)

Bài 7.10 Cho hàm s ( ) 2 2

f x = x + +9 x + 16 " Î ¡x Tìm giá tr nh nh t

c a hàm s f x ( )

H ng d n : Trong h to đ Oxy , xét các đi m A 0;3 ;B 0;4 ;M x;0      

áp d ng b t đ ng th c tam giác AM BM AB T đó suy ra giá tr nh nh t

H ng d n : Ta vi t l i hàm ( ) ( )2 2 ( )2 2

f x = x- 5 + x + 2 6- x + x Trong h to đ Oxy , xét các đi m A 0;5 ;B 2 6;0 ;M x;x      

áp d ng b t đ ng th c tam giác AM BM AB suy ra giá tr nh nh t

Trong h to đ Oxy , xét các đi m A 2; 1 ;B 2;2 ;M x;2 2x     

áp d ng b t đ ng th c tam giác AM BM AB suy ra giá tr nh nh t

Trong h to đ Oxy , xét các đi m A 3;2 ;B 2; 1 ;M x;3 1 x         

áp d ng b t đ ng th c tam giác AM BM AB suy ra giá tr nh nh t

( s minf x( )= 5

¡

)

K t lu n

Chúng ta đã bi t các bài toán tìm c c tr là các bài toán r t phong phú và đa

d ng , đòi h i v n d ng ki n th c m t cách linh ho t Vì v y đây là n i dung r t

đáng lo ng i c a ng i h c toán và làm toán Trong khoá lu n này em đã đ a ra

m t s công c đ gi i quy t bài toán tìm c c tr c a hàm s M c dù bài toán

c c tr có r t nhi u ph ng pháp gi i nh ng do khuôn kh c a khoá lu n và do

n ng l c c a b n thân còn nhi u h n ch nên khoá lu n c a em v n ch a nêu h t

đ c đ y đ và h th ng các ph ng pháp đ gi i chúng

H n n a đây là l n đ u tiên em đ c làm quen v i nghiên c u khoa h c

nên trong quá trình th c hi n đ tài , em không tránh kh i nh ng thi u sót

Em kính mong các th y cô giáo cùng toàn th các b n sinh viên đóng góp ý

ki n đ bài khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n M t l n a em xin chân

thành c m n th y Ph m L ng B ng đã giúp đ em hoàn thành khoá lu n