Xấp xỉ hàm số bằng ghép trơn

Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tìm đa thức nội suy... tức là việc thay một hàm số có dạng phức tạp hoặc một hàm cho dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản và thuận tiện hơn trong tính

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy, cô trong trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy, cô khoa toán cũng như các thầy, cô trong tổ Giải tích đã dạy em trong suốt thời gian qua

Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình nghiên cứu, với sự hạn chế về thời gian cũng như

về kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong được sự chỉ bảo của thầy, cô và sự góp ý của các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Em xin khẳng định đề tài này hoàn thành được là do sự tìm tòi và nỗ lực của bản thân,cũng như sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – Người thầy đã trực tiếp hướng dẫn em

Em xin cam đoan kết quả này không trùng với bất kì của tác giả nào khác.Nếu trùng em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Người cam đoan

Nguyễn Thị Nhung

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu: 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc luận văn 2

PHẦN 2: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số khái niệm trong giải tích hàm 3

1.2 Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết nội suy 6

1.2.1 Bài toán nội suy tổng quát 6

1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange 7

CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 11

2.1 Một số định nghĩa về hàm ghép trơn 11

2.2 Ví dụ về hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 3 13

2.3 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 13

2.3.1 Phương pháp luận 13

2.3.2 Mô hình bài toán 14

2.4 Ví dụ về xác định hàm nội suy ghép trơn bậc 3 17

2.5 Tính chất của hàm ghép trơn bậc 3 28

2.5.1 Tính chất 28

2.5.2 Định nghĩa 30

2.5.3 Định lý 30

2.6.Xấp xỉ hàm nhiều biến với độ trơn r 35

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÀM GHÉP TRƠN 37

3.1 Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tìm đa thức nội suy 37

3.2 Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tính gần đúng các giá trị của hàm

số 40

3.3 Sử dụng hàm ghép trơn để tính gần đúng giá trị đạo hàm 44

3.4 Ý nghĩa của hàm ghép trơn 47

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng chủ yếu

là giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối

ưu Và một trong những nhiệm vụ quan trọng của nó chính là “xấp xỉ hàm số” tức là việc thay một hàm số có dạng phức tạp hoặc một hàm cho dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản và thuận tiện hơn trong tính toán Để giải quyết nhiệm vụ đó chúng ta có thể sử dụng phương pháp nội suy

Trong các đa thực nội suy thông thường như đa thức Lagrange, đa thức Newton vẫn tồn tại những hạn chế căn bản là nếu tăng mốc nội suy thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên Cũng tức là chúng ta sẽ gặp khó khăn trong việc tính toán cụ thể

Để khắc phục hạn chế đó người ta đã sử dụng hàm phép trơn (spline) Kết quả cho thấy phương pháp này có nhiều ưu điểm và tiện lợi

Vì lí do trên tôi đã chọn đề tài: “Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

- Bước đầu làm quen với nghiện cứu khóa học dẫn đến hình thành

tư duy logic

- Nắm vững và tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về cách xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn

- Biết được một vài tính chất và ứng dụng của hàm ghép trơn

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc, phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp so sánh, đánh giá

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn

Chương 3: Ứng dụng và ý nghĩa của hàm ghép trơn

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm trong giải tích hàm

a) Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ

Cho tập hợpE mà các phần tử được kí hiệu   , , , và trường K mà các phần tử được kí hiệu là , , , x y z

Giả sử trên E có hai phép toán:

2) Tồn tại  sao cho E     ,   E

3) Với mỗi , tồn tại 'E sao cho  '' 

4)    ,  , E

5) (xy). x. y , x y,  K ;   E 6) .(x  )x. x. ,   K ; x  , E 7) .( )x y ( ).x y  ,   E; x y,  K 8) 1.  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó E cùng 2 phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K hay có thể gọi K– không gian vectơ

Khi K = ℝ thì E được gọi là không gian vectơ thực (hay không gian tuyến tính thực), còn khi K  thì Eđược gọi là không gian vectơ phức

b) Định nghĩa 1.2 Không gian metric

3) ( , )f x z  f x y( , ) f y z( , ) ,x y z, , X

Cặp ( , )X f sẽ được gọi là không gian metric

Trong đó X là một tập khác rỗng và f là khoảng cách trên X sẽ được gọi là không gian metric

Ta còn có thể viết tắt là X thay cho ( , )X f nếu f đã được cố định

c) Định nghĩa 1.3 Phiếm hàm tuyến tính

Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường K Ánh xạ f : X Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu:

1) f x( 1x2) f x( )1  f x( 2) , x x1, 2X 2) (f x)f x( ) ,   K; x X

Khi đó X là một không gian tuyến tính trên trường K thì toán tử tuyến tính f X: K xác định trên X và lấy giá trị trong K gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X

d) Định nghĩa 1.4 Hàm số liên tục

Cho hàm số y f x( ) xác định trong khoảng (a,b) và điểm x 0  (a,b) Hàm số đó được gọi là một hàm số liên tục tại điểm x0 nếu:

lim

→ ( ) = ( ) Điều kiện ắt có và đủ để hàm số y f x( ) liên tục tại điểm x là: 0

0lim

Hàm số f được gọi một hàm số liên tục trong khoảng (a,b) nếu nó liên

tục tại mọi điểm trong khoảng (a,b)

e) Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P = ℝ hoặc P = ) cùng với 1 ánh xạ từ tập X vào tập số thực ℝ , kí hiệu là ∥∙∥ (chuẩn) thỏa mãn ba tiên đề sau:

1) ∥ ∥ = 0 khi và khi x = 0 , với x  X

2) ∥ + ∥  ∥ ∥ + ∥ ∥ , với  ,x y  X

3) ∥  ∥ = || ∥ ∥ , với   , x  X

Khi đó ∥ ∥ được gọi là chuẩn của phần tử x

X được gọi là không gian định chuẩn

(X , ∥∙∥) được gọi là không gian Banach

f) Định nghĩa 1.6 Tích vô hướng

Cho H là một không gian tuyến tính trên K Khi đó:

Tích vô hướng trên H là quy tắc cho tương ứng mỗi cặp phần tử x y ,thuộc H với 1 vô hướng ( , ) x y thuộc K thỏa mãn 4 tiên đề:

Khi đó : ( , )x y là kí hiệu tích vô hướng của x với y

g) Định nghĩa 1.7 Giới hạn của dãy số trong không gian metric Cho dãy các phần tử x nX , với mọi  n và phần tử yX với X

là không gian metric

Khi đó : y được gọi là giới hạn của dãy { x } nếu lim ( , ) n n 0

1.2 Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết nội suy

1.2.1 Bài toán nội suy tổng quát

Tìm hàm ( )g x có đồ thị đi qua các điểm ( , ( )) x f x i i , y f x( )

b) Phương pháp:

Ta tìm cách xây dựng một đa thức :

1

Sao cho thỏa mãn:

( ) ( )

P x  f x  y , i = 0, 1,…, n Khi đó:

+ P x gọi là đa thức nội suy của hàm ( ) n( ) f x

+ Các điểm x (i = 0,…,n) gọi là các mốc nội suy i

c) Định lý sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy

Đa thức nội suy P x của hàm số ( ) n( ) f x nếu có thì chỉ là duy nhất

Tức là ta có điều phải chứng minh

1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange

a) Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

j j j

Vậy L x thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán đặt ra n( )

Khi đó L x xây dựng như vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange n( )

.( ).( )

Nói một cách khác giữa hai giá trị bằng nhau của một hàm khả vi luôn

có nghiệm của đạo hàm hàm số này

Khi đó ( )f x là hàm hằng trên [a,b]

Do đó với mọi c thuộc (a,b) ta có f c  '( ) 0

CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 2.1 Một số định nghĩa về hàm ghép trơn

Ta định nghĩa hàm ghép trơn ( )g x có bậc n trên phân hoạch  là hàm

số thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1) Thuộc lớp Cn-1[a,b] (n ≥ 1)

2) Là đa thức bậc n trên mỗi đoạn con j = [x j1,x j]

( j = 1, 2,…, n)

c) Định nghĩa 2.3

Giả sử U , V là hai không gian tuyến tính

Trong không gian tuyến tính U, cho một hệ các phiếm hàm tuyến tính có giới hạn li ( i = 1, 2,…, n) và hệ này độc lập tuyến tính

={ax0x1 x n  } b

và { } lần lượt là các giá trị của hàm số ( )f x tại các điểm { } Khi đó hàm ghép trơn bậc 3 một biến số là hàm ( )g x thỏa mãn 4 điều

kiện sau:

1) ( )g x thuộc C2[a,b] , tức ( )g x là hàm số liên tục và có các đạo

hàm liên tục đến cấp 2 trên đoạn [a,b]

2) ( )g x là một đa thức bậc 3 trên mỗi đoạn con [ x k1,x k], k 0, n

|  = 0 với  : là pháp tuyến ngoài;  : là biên của D

Như vậy theo định nghĩa 2.2 ta có ( )k x là hàm ghép trơn bậc 3

2.3 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3

2.3.1 Phương pháp luận

- Phương pháp nội suy bằng đa thức có nhược điểm là nếu số mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức cũng tăng lên Điều này rất bất lợi cho việc tính toán

Chính vì vậy ta có thể thực hiện phép nội suy nhờ những hàm ghép trơn

2.3.2 Mô hình bài toán

a) Bài toán

Giả sử ( )f x xác định trên đoạn [a,b]

Với y i  f x( )i và y i' f x'( )i là các giá trị của hàm số và giá trị đạo hàm

của hàm y f x( ) tại các mốc x (i = 0,1,…, n) là đã cho i

Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 ( )g x sao cho:

( )i i

g x  y và '( )g x i  y i' với mọi i = 0, 1,…, n

b) Cách giải bài toán

Vì đạo hàm bậc 2 của ( )g x là liên tục trên mỗi đoạn [ x i1,x i ] ; i = 1, n

 i 1

i i

m d

Cho xx i , ta được : m i i d i

 i

i i

m d

 Khi đó, ta được :

1

"( ) i ( )

i i

C d

 + ( 1)

i i

( )

g x =

3 1

6

i i

3 1

6

i i

i i

.2

i i

Từ (4) ta tìm được các giới hạn 1 phía của đạo hàm tại các điểm x , 1 x2

…, x n1 như sau:

1 1

Giải hệ phương trình (6) ta thu được (n-1) giá trị m m m1, 2, 3, ,m n1 Sau

đó thay m0m n  và (n-1) giá trị này vào (3) ta thu được hàm ( )0 g x

m m

2132





66

+ Với mọi x thuộc [2,3] thì m = 6, 1 m2 = -6 và d = 1 2

Theo (3) ta suy ra:

= 2727x9x2x3x3x2 12x 8 4x 8

= 2x315x2 35x27

+Với mọi x thuộc [3,4] thì m = –6, 2 m = 0 và 3 d3= 1

Theo (3) ta suy ra:

 

 

 b) Ví dụ 2.4

Cho hàm y f x( ) dưới dạng bảng sau:

Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 ( )h x

0

m m

1

2

6392233322

m m

+ Với mọi x thuộc [-1,1] thì 1 639

22

22

m  , d  2 2Theo (3) ta thu được :

Hàm y f x( ) cho dưới dạng bảng sau:

m m

m m

Theo (3) ta tìm được k(x) như sau:

Với g x là 1 hàm ghép trơn bậc 3 ta có: ( )

))(()(min

1

x g u

X



Chứng minh Thật vậy, ta xét:

a

 = g u"( 'g') ( ) x | ( ' ') "( )

Hay : ( ) g ( )u (ug)( )u với mọi hàm u thuộc W [a,b],

b x

 ≤ t + ε = C (do ε vô cùng bé) Vậy ta có điều phải chứng minh

+ Trường hợp 2:

Với k = 2 ta sẽ chứng minh 2 bằng bất đẳng thức sau:

)(

b x



  C d 1

)('

b x



  C 2

với C là hằng số không phụ thuộc vào phân hoạch của 2 a b , 

Vậy chứng minh xong bất đẳng thức thứ nhất

Ta chứng minh tiếp : max '(x)

b x



Do đó ta có :

max (x)

b x



 = max f(x) g(x)

b x

+Trường hợp 3 :

Với k = 2 ta sẽ chứng minh 3 bất đẳng thức

max (x)

b x

 ≤ C d1 2

+ Trường hợp 4 : Với k =3 , lập luận tương tự như các Trường hợp 1,

Trường hợp 2, Trường hợp 3 ta sẽ chứng minh được 4 bất đẳng thức:

max (x)

b x



  C 4

Trong đó C , 1 C , 2 C , 3 C là các hằng số không âm ,không phụ thuộc vào 4

phân hoạch của đoạn a b , 



 ≤ C 5

Vậy định lý đã được chứng minh

2.6.Xấp xỉ hàm nhiều biến với độ trơn r

  

i V if

Khi đó mọi x   ta nhận được :

 f  p  

Do vậy ta có điều phải chứng minh

c ) Bài toán cơ bản

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÀM GHÉP TRƠN

3.1 Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tìm đa thức nội suy

Theo công thức nội suy Lagrange ta có:

Việc sử dụng công thức nội suy Lagrange trong bài toán với nhiều mốc

nội suy như trên dẫn đến sự phức tạp và dễ nhầm lẫn trong tính toán

Thay vì việc tìm đa thức nội suy có bậc 5 ta có thể xây dựng hàm ghép

trơn bậc 3 trên nó Khi đó việc tính toán sẽ trở lên đơn giản hơn

Ta có thể xây dựng hàm ghép trơn ( )g x trên từng đoạn con [0,2] ;

m m m m

98131425148

Theo công thức (3) ta có hàm ghép trơn bậc 3 g(x) trên đoạn [8,10] như

Tương tự như vậy cho các đoạn còn lại

3.2 Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tính gần đúng các giá trị của

m m





618

= 3.(3 )3 7.( 3) 27.( 1)

2 x  2 x  x

Suy ra : (2)f g(2) = 3 7 27 25

22 b) Ví dụ 3.3

Hàm y f x( ) cho bởi bảng sau:

Vì 3  [2,4] nên ta đi xác định hàm ghép trơn ( )g x trên đoạn [2,4]

Từ giả thiết và theo các công thức (6) , (7) , (8) , (9) ta tìm được m ,1 m 2

m m







1

2

902346823

m m

Vậy :

'( 2) 16

f    ; "(2)f  9b) Bài tập áp dụng

Hàm y f x( ) cho dưới dạng bảng sau:

i

−43

3.4 Ý nghĩa của hàm ghép trơn

- Thay vì việc tìm đa thức nội suy có bậc cao trên 1 đoạn nào đó ta có thể xây dựng hàm ghép trơn bậc 3 trên nó Khi đó việc tính toán sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều

- Làm đồ thị của hàm số trở lên đơn giản hơn

- Hàm ghép trơn có ứng dụng cao và gần với thực tế Những kĩ sư chuyên vẽ sơ đồ thiết kế dùng một thiết bị cơ học gọi là spline để vẽ các đường cong đẹp, có thẩm mĩ Họ xác định tập hơp các điểm nút rồi bẻ cong một giải plastic hay thanh gõ linh hoạt (spline) quanh chúng Kết quả là vết của chúng tạo thành đường cong

Tiến trình này tương đương với nội suy spline về mặt toán học

KẾT LUẬN Hàm ghép trơn đã mang lại những thuận lợi nhất định cho việc xấp xỉ một hàm số Mức độ phức tạp của việc tính toán đã được giảm xuống một mức đáng kể Sai sót cũng được giảm bớt.Vì vậy trong khóa luận này em đã trình bày về một số khái niệm , cách xây dựng hàm ghép trơn, cách xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn để mọi người thấy được những ưu điểm này

Cuối cùng em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Giảitích khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã giúp đỡ , chỉ bảo, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, bản thân em

đã nỗ lực cố gắng song do còn có những hạn chế về trình độ chuyên môn

và do thời gian có hạn nên chắc chắn khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn